Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(A) કુલ અંકોની સંખ્યા $7$ છે.
અંકો $1, 2, 3, 2, 3, 3, 4$ છે.
અહીં,અંક $3$ એ $3$ વખત અને અંક $2$ એ $2$ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે.
ભિન્ન ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{n!}{p!q!r!...}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
જરૂરી સંખ્યા $= \frac{7!}{3! \times 2!} = \frac{5040}{6 \times 2} = \frac{5040}{12} = 420$.

(C) $4$ અંકની બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાને $0, 2, 4$ અથવા $6$ હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: એકમનું સ્થાન $0$ છે. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $6$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ વડે $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતે ભરી શકાય છે.
કિસ્સો $2$: એકમનું સ્થાન $2, 4$ અથવા $6$ છે ($3$ રીતો). હજારના સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે અને એકમના સ્થાને વપરાયેલ અંક પણ ન હોઈ શકે. આમ,હજારના સ્થાન માટે $7 - 2 = 5$ વિકલ્પો છે. બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો વડે $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય છે. તેથી,$3 \times 5 \times 20 = 300$ રીતો.
કુલ રીતો $= 120 + 300 = 420$.

(D) ચાર અંકની સંખ્યાને $d_1 d_2 d_3 d_4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સંખ્યા એકી હોવા માટે,છેલ્લા અંક $d_4$ ને $\{1, 3, 5, 7\}$ ગણમાંથી પસંદ કરવો આવશ્યક છે. $d_4$ ભરવા માટે $4$ રીતો છે.
પ્રથમ અંક $d_1$ માટે,તે $0$ હોઈ શકે નહીં (નહીંતર તે ત્રણ અંકની સંખ્યા બની જશે). આમ,$d_1$ ને $\{1, 2, 3, 5, 7\}$ માંથી પસંદ કરી શકાય છે,જે $5$ રીતો આપે છે.
બીજા અંક $d_2$ અને ત્રીજા અંક $d_3$ માટે,પુનરાવર્તન માન્ય હોવાથી,દરેકને $6$ અંકો $\{0, 1, 2, 3, 5, 7\}$ માંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. આમ,$d_2$ માટે $6$ રીતો અને $d_3$ માટે $6$ રીતો છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,આવી એકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5 \times 6 \times 6 \times 4 = 720$ છે.

(A) $BANANA$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $B, A, N, A, N, A$.
અહીં,$A$ ત્રણ વાર અને $N$ બે વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$.
બે $N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા: $(NN)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $B, A, A, A, (NN)$.
ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $\frac{5!}{3! \times 1!} = \frac{120}{6} = 20$.
બે $N$ પાસપાસે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા = (કુલ ગોઠવણીઓ) - ($N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ) = $60 - 20 = 40$.

(A) પ્રથમ,આપણે $5$ છોકરાઓને એક હારમાં ગોઠવીએ,જે $5!$ રીતે કરી શકાય છે.
આનાથી છોકરાઓની વચ્ચે $4$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે: $B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5$.
દરેક છોકરી બે છોકરાઓની વચ્ચે હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $3$ છોકરીઓને આ $4$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાં બેસાડવી પડશે.
$4$ જગ્યાઓમાં $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^4P_3$ છે.
કુલ રીતો = $5! \times ^4P_3 = 120 \times 24 = 2880$.

(C) અહીં $3$ વિષયો છે: ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્ર. એક જ વિષયના પુસ્તકો સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે દરેક વિષયના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
આ $3$ એકમોને શેલ્ફ પર ગોઠવવાની $3!$ રીતો છે.
ગણિતના જૂથમાં,$5$ પુસ્તકોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનના જૂથમાં,$4$ પુસ્તકોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
રસાયણશાસ્ત્રના જૂથમાં,$2$ પુસ્તકોને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $3! \times 5! \times 4! \times 2!$ છે.

(C) $ARTICLE$ શબ્દમાં $7$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $A, R, T, I, C, L, E$.
તેમાં $3$ સ્વરો $(A, I, E)$ અને $4$ વ્યંજનો $(R, T, C, L)$ છે.
$7$ અક્ષરોના શબ્દમાં,બેકી સ્થાનો $2, 4, 6$ (કુલ $3$ સ્થાનો) છે.
$3$ સ્વરોને $3$ બેકી સ્થાનો પર $^3P_3 = 3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
બાકીના $4$ વ્યંજનોને બાકીના $4$ એકી સ્થાનો $(1, 3, 5, 7)$ પર $^4P_4 = 4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$.

(C) બસમાં $5$ ખાલી બેઠકો છે.
પ્રથમ,પુરુષ $5$ બેઠકોમાંથી કોઈપણ એક બેઠક $5$ રીતે પસંદ કરી શકે છે.
પુરુષ બેસી ગયા પછી,$4$ બેઠકો બાકી રહે છે.
પત્ની બાકી રહેલી $4$ બેઠકોમાંથી કોઈપણ એક બેઠક $4$ રીતે પસંદ કરી શકે છે.
તેથી,તેઓ કુલ $5 \times 4 = 20$ રીતે બેસી શકે છે.

(C) $SACHIN$ શબ્દના અક્ષરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $A, C, H, I, N, S$ છે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$C$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$N$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$S$ થી શરૂ થતા શબ્દો પહેલાના કુલ શબ્દો $5 \times 120 = 600$ છે.
શબ્દકોશમાં ત્યારપછીનો પ્રથમ શબ્દ $S$ થી શરૂ થાય છે,જે $SACHIN$ છે.
તેથી,$SACHIN$ નો ક્રમ $600 + 1 = 601$ છે.

(C) $999$ અને $10000$ ની વચ્ચેની તમામ સંખ્યાઓ $4$-અંકી સંખ્યાઓ છે.
અંકો ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનાવી શકાતી કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ છે.
જોકે,$4$-અંકી સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં. તેથી,આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જેમાં હજારના સ્થાને $0$ હોય.
જો હજારના સ્થાને $0$ નિશ્ચિત હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો ${2, 3, 6, 7, 8}$ વડે $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ રીતે ભરી શકાય.
તેથી,જરૂરી $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $360 - 60 = 300$ છે.

(B) $20$ માંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક જોડીના વિદ્યાર્થીઓ એકબીજા સાથે કાર્ડની આપ-લે કરે છે,તેથી $2$ વિદ્યાર્થીઓની દરેક પસંદગીમાં $2$ ગ્રીટિંગ કાર્ડની આપ-લે થાય છે (એક વિદ્યાર્થી $A$ થી $B$ અને એક વિદ્યાર્થી $B$ થી $A$).
તેથી,આપ-લે થયેલા ગ્રીટિંગ કાર્ડની કુલ સંખ્યા $2 \times ^{20}C_2$ છે.
આ $^{20}P_2$ ની સમકક્ષ છે.

(C) આપેલ સંખ્યા $112233$ છે,જેમાં કુલ $6$ અંકો છે.
અંકો $1, 1, 2, 2, 3, 3$ છે.
અહીં,અંક $1$ બે વાર,અંક $2$ બે વાર અને અંક $3$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આ $6$ અંકોની ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$\text{રીતોની સંખ્યા} = \frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{720}{2 \times 2 \times 2} = \frac{720}{8} = 90$.
આમ,$6$ અંકની કુલ $90$ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.

(C) $n$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ લેતા,જ્યારે $p$ ચોક્કસ વસ્તુઓ હંમેશા સામેલ હોય ત્યારે ક્રમચયોની સંખ્યા:
$1$. પ્રથમ,આપણે બાકીની $(n-p)$ વસ્તુઓમાંથી $(r-p)$ વસ્તુઓની પસંદગી કરીએ છીએ,જે $^{n-p}C_{r-p}$ રીતે કરી શકાય છે.
$2$. હવે,આપણી પાસે કુલ $r$ વસ્તુઓ છે ($p$ ચોક્કસ વસ્તુઓ અને પસંદ કરેલી $r-p$ વસ્તુઓ).
$3$. આ $r$ વસ્તુઓને તેમની વચ્ચે $r!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$4$. તેથી,કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $^{n-p}C_{r-p} \times r!$ છે.

(A) મહેમાન માટે એક ચોક્કસ ખુરશી નક્કી છે,તેથી મહેમાન $1$ રીતે બેસી શકે છે.
બાકી રહેલી $5$ વ્યક્તિઓને બાકીની $8$ ખુરશીઓ પર બેસાડવાની છે.
આ ક્રમચય (permutation) નો પ્રશ્ન છે જ્યાં આપણે $8$ ઉપલબ્ધ ખુરશીઓમાં $5$ વ્યક્તિઓને ગોઠવીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા $^8P_5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $6720$ છે.

(C) આપેલા અક્ષરો $\{a, b, c, d, e, f\}$ છે,જેમાં સ્વર $\{a, e\}$ ($2$ અક્ષરો) અને વ્યંજન $\{b, c, d, f\}$ ($4$ અક્ષરો) છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવા $3$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે.
ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવા કુલ શબ્દો = ($3$ અક્ષરના કુલ શબ્દો) - (કોઈ પણ સ્વર ન હોય તેવા શબ્દો).
$6$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરના કુલ શબ્દો = $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
સ્વર વગરના શબ્દો (માત્ર વ્યંજન $\{b, c, d, f\}$ નો ઉપયોગ કરીને) = $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = $120 - 24 = 96$.

(A) $10$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $5$ અક્ષરોના કુલ શબ્દો (પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે) $10^5 = 100000$ બનાવી શકાય છે.
$5$ અક્ષરોના એવા શબ્દો કે જેમાં બધા અક્ષરો ભિન્ન હોય,તેની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $P(10, 5) = \frac{10!}{(10-5)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ દ્વારા મળે છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = (કુલ શબ્દો) - (બધા અક્ષરો ભિન્ન હોય તેવા શબ્દો).
આમ,જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $100000 - 30240 = 69760$ છે.

(B) કોઈપણ સ્થાન પર,$2, 5$ અને $7$ અંકોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે,તેથી આવી ધન $n$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $3^n$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $900$ અલગ સંખ્યાઓ બનાવવાની છે,તેથી આપણે અસમતા $3^n \ge 900$ લઈએ છીએ.
$3$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$3^6 = 729 < 900$
$3^7 = 2187 \ge 900$
આમ,$n$ ની સૌથી નાની કિંમત $7$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રમચય અને સંચય વચ્ચેનો સંબંધ $^n{P_r} = r! \times {^n{C_r}}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $^n{P_r} = 720 \times {^n{C_r}}$ છે.
બંને બાજુને ${^n{C_r}}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{^n{P_r}}{^n{C_r}} = 720$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{^n{P_r}}{^n{C_r}} = r!$,તેથી $r! = 720$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
તેથી,$r! = 6!$,જેનો અર્થ છે કે $r = 6$.

(B) $3$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓ મળીને કુલ $5$ વ્યક્તિઓ થાય છે.
બસની બંને બાજુ $3-3$ બેઠકો છે,તેથી કુલ $6$ બેઠકો ઉપલબ્ધ છે.
પ્રથમ,$6$ માંથી $5$ બેઠકો પસંદ કરવાની રીતો $^6C_5$ છે.
ત્યારબાદ,આ $5$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરેલી $5$ બેઠકો પર ગોઠવવાની રીતો $5!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $^6C_5 \times 5!$ થાય.

(B) $10$ અને $1000$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ કાં તો $2$ અંકની અથવા $3$ અંકની હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: $2$ અંકની સંખ્યાઓ.
દરેક $2$ સ્થાન $9$ અંકો ($1$ થી $9$) માંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે કારણ કે પુનરાવર્તન માન્ય છે.
રીતોની સંખ્યા $= 9 \times 9 = 81$.
કિસ્સો $2$: $3$ અંકની સંખ્યાઓ.
દરેક $3$ સ્થાન $9$ અંકો ($1$ થી $9$) માંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે કારણ કે પુનરાવર્તન માન્ય છે.
રીતોની સંખ્યા $= 9 \times 9 \times 9 = 729$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 81 + 729 = 810$.

(C) $TRIANGLE$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $T, R, I, A, N, G, L, E$.
તેમાં $5$ વ્યંજનો $(T, R, N, G, L)$ અને $3$ સ્વરો $(I, A, E)$ છે.
પ્રથમ,$5$ વ્યંજનોને $5! = 120$ રીતે ગોઠવો.
આ $5$ વ્યંજનો $6$ જગ્યાઓ બનાવે છે જ્યાં $3$ સ્વરોને એવી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે સ્વરો સાથે ન આવે: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
આ $6$ જગ્યાઓમાં $3$ સ્વરોને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતો $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $120 \times 120 = 14400$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = 30800$
સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{56!}{(56-(r+6))!} \times \frac{(54-(r+3))!}{54!} = 30800$
$\frac{56!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800$
$\frac{56 \times 55 \times 54!}{54!} \times \frac{(51-r) \times (50-r)!}{(50-r)!} = 30800$
$56 \times 55 \times (51-r) = 30800$
$3080 \times (51-r) = 30800$
$51-r = 10$
$r = 41$

(A) $10$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા $5$ અક્ષરોના કુલ શબ્દોની સંખ્યા (પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે) $10^5 = 100000$ છે.
જે શબ્દોમાં કોઈ પણ અક્ષરનું પુનરાવર્તન થતું નથી તેની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ દ્વારા મળે છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = કુલ શબ્દો - કોઈ પણ અક્ષર પુનરાવર્તિત ન થતો હોય તેવા શબ્દો.
જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $= 100000 - 30240 = 69760$.

(B) $ARRANGE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, A, R, R, N, G, E$.
અહીં બે $A$,બે $R$ અને $N, G, E$ એક-એક વખત છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા:
$\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$.
બંને $R$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,$(RR)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ. હવે આપણી પાસે $6$ એકમો છે: $(RR), A, A, N, G, E$.
આ એકમોની ગોઠવણીની સંખ્યા:
$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
તેથી,બંને $R$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા:
$1260 - 360 = 900$.

(A) કુલ $10$ વ્યક્તિઓ છે. શરત એ છે કે $A$ એ $B$ પહેલાં બોલવું જોઈએ અને $B$ એ $C$ પહેલાં બોલવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $A, B, C$ નો સાપેક્ષ ક્રમ $A, B, C$ તરીકે નિશ્ચિત છે.
પ્રથમ,$10$ માંથી $3$ સ્થાનો $A, B, C$ માટે $^{10}C_3$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે. એકવાર આ સ્થાનો પસંદ થઈ જાય,પછી $A, B, C$ ને ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત છે જેથી $A$ એ $B$ પહેલાં અને $B$ એ $C$ પહેલાં આવે.
બાકીની $7$ વ્યક્તિઓને બાકીના $7$ સ્થાનોમાં $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $^{10}C_3 \times 7! = \frac{10!}{3! \times 7!} \times 7! = \frac{10!}{3!} = \frac{10!}{6}$ છે.

(A) $INDEPENDENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I, N, D, E, P, E, N, D, E, N, C, E$.
સ્વરો $I, E, E, E, E$ છે ($4$ $E$ અને $1$ $I$).
વ્યંજનો $N, D, P, N, D, N, C$ છે ($3$ $N$,$2$ $D$,$1$ $P$,$1$ $C$).
સ્વરો હંમેશા સાથે રહેતા હોવાથી,આપણે સ્વરોના જૂથ $(I, E, E, E, E)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે $7$ વ્યંજનો + $1$ સ્વરનો એકમ = $8$ એકમો છે.
આ $8$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો,જ્યાં $N$ ત્રણ વાર અને $D$ બે વાર આવે છે,તે $\frac{8!}{3! \times 2!} = 3360$ છે.
સ્વરના એકમમાં,$5$ સ્વરો $(I, E, E, E, E)$ ને $\frac{5!}{4!} = 5$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $3360 \times 5 = 16800$.

(C) $BHARAT$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $ = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
હવે,ધારો કે $B$ અને $H$ હંમેશા સાથે આવે છે. $(BH)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. અક્ષરો $(BH), A, R, A, T$ છે. કુલ $5$ એકમો છે,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$B$ અને $H$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $ = \frac{5!}{2!} \times 2! = 120 \times 1 = 120$.
તેથી,$B$ અને $H$ ક્યારેય સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા $ = 360 - 120 = 240$.

(A) પુસ્તકોની કુલ સંખ્યા $N = a + 2b + 3c + d$ છે.
આપણી પાસે એક પુસ્તકની $a$ સમાન નકલો,બે પુસ્તકોની દરેકની $b$ સમાન નકલો,ત્રણ પુસ્તકોની દરેકની $c$ સમાન નકલો અને $d$ અલગ-અલગ પુસ્તકોની એક-એક નકલ છે.
જ્યારે $n_1$ સમાન વસ્તુઓ પ્રકાર $1$ ની હોય,$n_2$ સમાન વસ્તુઓ પ્રકાર $2$ ની હોય,વગેરે,ત્યારે $N$ વસ્તુઓની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{N!}{n_1! n_2! \dots}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,આપણી પાસે છે:
- એક પુસ્તકની $a$ સમાન નકલો ($a!$ રીતો)
- બે પુસ્તકોની દરેકની $b$ સમાન નકલો ($(b!)^2$ રીતો)
- ત્રણ પુસ્તકોની દરેકની $c$ સમાન નકલો ($(c!)^3$ રીતો)
આમ,ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{(a + 2b + 3c + d)!}{a! (b!)^2 (c!)^3}$ છે.

(B) કારમાં કુલ $3$ સીટ છે: $2$ આગળ અને $1$ પાછળ.
ડ્રાઇવર આગળની સીટ પર હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $2$ ડ્રાઇવર વ્યક્તિઓમાંથી $1$ ને $^2C_1$ રીતે પસંદ કરી શકીએ છીએ.
બાકીની $2$ સીટો માટે બાકી રહેલા $5$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિ પસંદ કરવાની રીત $^5C_2$ છે.
કુલ રીતો = $^2C_1 \times ^5C_2 = 2 \times 10 = 20$.

(A) $5000$ અને $10,000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા $4$ અંકની હોવી જોઈએ.
હજારના સ્થાન પર $5, 6, 7, 8, 9$ અંકોમાંથી કોઈ પણ અંક મૂકી શકાય જેથી સંખ્યા $5000$ કે તેથી મોટી રહે.
આમ,હજારનું સ્થાન $5$ રીતે ભરી શકાય.
દરેક અંક એકથી વધુ વખત ન આવી શકે,તેથી બાકીના $3$ સ્થાન ભરવા માટે $8$ અંકો ઉપલબ્ધ છે.
$8$ માંથી $3$ અંકોની ગોઠવણી કરવાની રીત $^{8}P_{3}$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ = $5 \times ^{8}P_{3}$.

(D) $MORADABAD$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $A, A, A, D, D, M, O, R, B$. કુલ $6$ પ્રકારના ભિન્ન અક્ષરો છે. આપણે $4$ અક્ષરો વાળા શબ્દો બનાવવાના છે.
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય: $6$ માંથી $4$ પસંદ કરીને ગોઠવતા: $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.
$(ii)$ $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ ભિન્ન હોય: $2$ પ્રકારમાંથી ($A$ અથવા $D$) $1$ જોડ પસંદ કરો અને બાકીના $5$ પ્રકારમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરો: $^2C_1 \times ^5C_2 \times \frac{4!}{2!} = 2 \times 10 \times 12 = 240$.
$(iii)$ $3$ અક્ષરો સમાન અને $1$ ભિન્ન હોય: $3$ સમાન અક્ષરોનો $1$ પ્રકાર $(A)$ પસંદ કરો અને બાકીના $5$ પ્રકારમાંથી $1$ ભિન્ન અક્ષર પસંદ કરો: $^1C_1 \times ^5C_1 \times \frac{4!}{3!} = 1 \times 5 \times 4 = 20$.
$(iv)$ $2$ અક્ષરો એક પ્રકારના સમાન અને $2$ અક્ષરો બીજા પ્રકારના સમાન હોય: $2$ પ્રકારમાંથી $2$ જોડ પસંદ કરો ($A$ અને $D$): $^2C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 1 \times 6 = 6$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $360 + 240 + 20 + 6 = 626$.

(C) આપેલ સંખ્યા $223355888$ છે. અંકો $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$ છે.
કુલ $9$ અંકો છે. સ્થાનો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ છે.
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે,જે કુલ $4$ છે.
આપેલ સંખ્યામાં એકી અંકો $3, 3, 5, 5$ છે.
આ $4$ એકી અંકો $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે. ગોઠવણીની રીતો $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$ છે.
બાકીના $5$ અંકો $2, 2, 8, 8, 8$ છે,જે $5$ એકી સ્થાનો $(1, 3, 5, 7, 9)$ પર ગોઠવવાના છે.
ગોઠવણીની રીતો $\frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$ છે.
તેથી,કુલ રીતો $6 \times 10 = 60$ છે.

(A) $CRICKET$ શબ્દના અક્ષરો $C, R, I, C, K, E, T$ છે.
તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $C, C, E, I, K, R, T$.
કુલ અક્ષરો = $7$,જેમાં $C$ બે વાર આવે છે.
$CRICKET$ પહેલા આવતા શબ્દોની ગણતરી કરતા કુલ સંખ્યા $530$ મળે છે.

(D) ક્રમચય ${}^{n}P_{r}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $n \ge r \ge 0$ અને $n, r \in \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$n = 7 - x$ અને $r = x - 3$ છે.
$1$. $n \ge r \implies 7 - x \ge x - 3 \implies 10 \ge 2x \implies x \le 5$.
$2$. $r \ge 0 \implies x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
$3$. $n \ge 0 \implies 7 - x \ge 0 \implies x \le 7$.
આ શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $x \in \{3, 4, 5\}$ મળે છે.
હવે,પ્રદેશની દરેક કિંમત માટે $f(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$x = 3$ માટે: $f(3) = {}^{7-3}P_{3-3} = {}^{4}P_{0} = 1$.
$x = 4$ માટે: $f(4) = {}^{7-4}P_{4-3} = {}^{3}P_{1} = 3$.
$x = 5$ માટે: $f(5) = {}^{7-5}P_{5-3} = {}^{2}P_{2} = 2$.
તેથી,વિસ્તાર ${f(3), f(4), f(5)} = \{1, 3, 2\}$ એટલે કે $\{1, 2, 3\}$ છે.

(A) $n$ કેડેટ્સને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
બે ચોક્કસ કેડેટ્સ બાજુ-બાજુમાં હોય તેવા સાનુકૂળ કિસ્સાઓ શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આનાથી આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $(n - 1)$ એકમો બાકી રહે છે,જે $(n - 1)!$ રીતે કરી શકાય છે.
તે બે ચોક્કસ કેડેટ્સ પોતાની વચ્ચે $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ કિસ્સાઓની સંખ્યા $2 \times (n - 1)!$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{2 \times (n - 1)!}{n!} = \frac{2 \times (n - 1)!}{n \times (n - 1)!} = \frac{2}{n}$ છે.

(B) $10$ શક્ય અંકો છે: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
છેલ્લા બે અંકો અલગ-અલગ છે,તેથી છેલ્લા બે અંકો ડાયલ કરવાની કુલ રીતો ક્રમચયના સૂત્ર ${}^{10}P_2 = 10 \times 9 = 90$ દ્વારા મળે છે.
આ $90$ શક્ય પરિણામોમાંથી,ફક્ત $1$ પરિણામ એ છેલ્લા બે અંકોનો સાચો ક્રમ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{90}$ છે.

(C) યુગ્મ સંખ્યા બનાવવા માટે એકમના સ્થાન પર $0, 2, 4$ અથવા $6$ હોવા જોઈએ. આને બે કિસ્સામાં વહેંચીએ:
કિસ્સો $I$: એકમના સ્થાન પર $0$ હોય.
એકમના સ્થાનને ભરવાની રીત $1$ છે. બાકીના $3$ સ્થાન $6$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ માંથી $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $II$: એકમના સ્થાન પર $2, 4$ અથવા $6$ હોય.
એકમના સ્થાનને ભરવાની રીત $3$ છે. હજારના સ્થાન પર $0$ ન આવી શકે અને એકમના સ્થાનનો અંક પણ ન આવી શકે,તેથી $5$ વિકલ્પો છે. બાકીના $2$ સ્થાન $5$ અંકોમાંથી $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ રીત $= 3 \times 5 \times 20 = 300$.
કુલ યુગ્મ સંખ્યાઓ $= 120 + 300 = 420$.

(B) $CALCUTTA$ શબ્દમાં કુલ $8$ અક્ષરો છે.
અક્ષરોની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$C$ બે વાર આવે છે.
$A$ બે વાર આવે છે.
$T$ બે વાર આવે છે.
$L$ એક વાર આવે છે.
$U$ એક વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{Arrangements} = \frac{8!}{2! 2! 2!}$
ગણતરી:
$\frac{40320}{8} = 5040$
આમ,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $5040$ છે.

(C) પાંચ અંકોનો ઉપયોગ કરીને કુલ $5! = 120$ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય.
$1$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $4! = 24$.
$21$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $3! = 6$.
$23$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $3! = 6$.
કુલ $24000$ થી નાની સંખ્યાઓ: $24 + 6 + 6 = 36$.
તેથી,$24000$ થી મોટી સંખ્યાઓ: $120 - 36 = 84$.

(A) અહીં $7$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓ છે. કોઈપણ બે છોકરીઓ સાથે ન આવે તે માટે,પહેલા $7$ છોકરાઓને હારમાં $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આનાથી $8$ ખાલી જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $3$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય.
આ $8$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $^8P_3$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $7! \times {^8P_3}$ થાય.

(A) $3$ અંકની અયુગ્મ સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાન પર અયુગ્મ અંક હોવો જોઈએ.
આપેલ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી અયુગ્મ અંકો $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
એકમના સ્થાન માટે $5$ વિકલ્પો છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન માન્ય ન હોવાથી,એકમનું સ્થાન ભર્યા પછી,દશકના સ્થાન માટે $8$ અંકો અને સોના સ્થાન માટે $7$ અંકો બાકી રહે છે.
દશકનું સ્થાન ભરવાની રીતો $8$ છે અને સોનું સ્થાન ભરવાની રીતો $7$ છે.
કુલ $3$ અંકની અયુગ્મ સંખ્યાઓ = $7 \times 8 \times 5 = 280$.

(D) $3$ રીંગ માટે કુલ શક્ય સંયોજનોની સંખ્યા $10 \times 10 \times 10 = 1000$ છે.
આ $1000$ સંયોજનોમાંથી,માત્ર $1$ સંયોજન તાળું ખોલવા માટે સાચું છે.
તેથી,અસફળ પ્રયત્નોની સંખ્યા કુલ સંયોજનોમાંથી સાચું સંયોજન બાદ કરવાથી મળે.
અસફળ પ્રયત્નો $= 1000 - 1 = 999$.

(C) $ALLAHABAD$ શબ્દમાં કુલ $9$ અક્ષરો છે.
તેમાં $A$ અક્ષર $4$ વખત અને $L$ અક્ષર $2$ વખત આવે છે.
બાકીના અક્ષરો અલગ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{9!}{4!2!}$ થશે.

(A) ધારો કે સ્થાન $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ છે.
જો $A$ સ્થાન $i$ પર હોય,તો $B$ સ્થાન $i+3$ પર હોવો જોઈએ (જેથી તેમની વચ્ચે બે વ્યક્તિઓ આવે).
સ્થાનની શક્ય જોડીઓ $(i, i+3)$ એ $(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)$ છે.
આવી $5$ જોડીઓ છે.
$A$ અને $B$ તેમના સ્થાન અદલાબદલી કરી શકે છે,તેથી $A$ અને $B$ ને ગોઠવવાની $5 \times 2 = 10$ રીતો છે.
બાકીના $6$ વ્યક્તિઓને બાકીના $6$ સ્થાનોમાં $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ રીતો $= 10 \times 6! = 10 \times 6 \times 5! = 60 \times 5!$.

(B) $3, 1, 7, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને કુલ $4! = 24$ સંખ્યાઓ બને છે.
દરેક સ્થાન પર દરેક અંક $6$ વખત આવે છે.
દરેક સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો $= 6 \times (1 + 3 + 7 + 9) = 120$ થાય.
કુલ સરવાળો $= 120 \times (1 + 10 + 100 + 1000) = 120 \times 1111 = 133320$.

(D) $2, 4, 5, 5, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $40000$ થી મોટી સંખ્યા બનાવવા માટે,પ્રથમ અંક $4, 5$ અથવા $7$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો પ્રથમ અંક $4$ હોય,તો બાકીના $4$ અંકો $(2, 5, 5, 7)$ ને $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કિસ્સો $2$: જો પ્રથમ અંક $5$ હોય,તો બાકીના $4$ અંકો $(2, 4, 5, 7)$ ને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કિસ્સો $3$: જો પ્રથમ અંક $7$ હોય,તો બાકીના $4$ અંકો $(2, 4, 5, 5)$ ને $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ સંખ્યાઓ $= 12 + 24 + 12 = 48$.

(D) $ALGEBRA$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, L, G, E, B, R, A$.
સ્વરો $A, E, A$ છે (સ્થાન $1, 4, 7$ પર).
વ્યંજનો $L, G, B, R$ છે (સ્થાન $2, 3, 5, 6$ પર).
સાપેક્ષ સ્થાન જાળવી રાખવા માટે,આપણે $3$ સ્વરોને તેમના $3$ સ્થાનો પર અને $4$ વ્યંજનોને તેમના $4$ સ્થાનો પર ગોઠવીએ.
સ્વરો $(A, E, A)$ ગોઠવવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
વ્યંજનો $(L, G, B, R)$ ગોઠવવાની રીતો $= 4! = 24$.
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $= 3 \times 24 = 72$.

(B) $ENDEANOEL$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $E, E, E, N, D, A, O, N, L$. અક્ષરો $E(3), N(2), D(1), A(1), O(1), L(1)$ છે.
કુલ અક્ષરો = $9$. આપણે એવી રીતે ગોઠવણી કરવાની છે કે છેલ્લા $5$ સ્થાનમાં $D, L$ કે $N$ ન આવે.
આનો અર્થ એ છે કે છેલ્લા $5$ સ્થાન બાકીના અક્ષરો $E, E, E, A, O$ દ્વારા ભરવા પડશે.
છેલ્લા $5$ સ્થાનમાં $E, E, E, A, O$ ને ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ છે.
બાકીના $4$ સ્થાન બાકીના અક્ષરો $D, L, N, N$ દ્વારા ભરવા પડશે. આને ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
કુલ ક્રમચયો = $20 \times 12 = 240$.
$2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $99$ અને $1000$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ $3$ અંકની હોય છે.
આપણી પાસે $6$ અંકો છે: ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$.
આ $6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી કુલ $3$ અંકની સંખ્યાઓ (જેમાં $0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ પણ સામેલ છે) $= ^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ (જે વાસ્તવમાં $2$ અંકની સંખ્યાઓ છે) બાકીના $5$ અંકોમાંથી $2$ અંકો પસંદ કરીને દશક અને એકમના સ્થાન પર ગોઠવતા મળે: $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$.
માટે,કુલ માંગેલ સંખ્યાઓ $= 120 - 20 = 100$.

(B) અહીં,દરેક $n$ સ્થાન પર $3$ અંકો $(2, 5, 7)$ માંથી કોઈપણ અંક વાપરી શકાતો હોવાથી,કુલ $n$-અંકી સંખ્યાઓ $3^n$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે ઓછામાં ઓછી $900$ અલગ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે,તેથી $3^n \geq 900$.
$3$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
અહીં $3^6 < 900$ અને $3^7 \geq 900$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.