ત્રણ રીંગ વડે બનેલ તાળાને $10$ ભિન્ન અક્ષરો વડે બંધ કરેલ હોય, તો તેને ખોલવા માટે કેટલા અસફળ પ્રયત્નો કરી શકાય ?

જો $^n{C_r} = 84,{\;^n}{C_{r - 1}} = 36$ અને  $^nC_{r+1}=126 $ હોય , તો  $n =..........$

$A$ અને $B$ બે ભાગમાં વહેંચેલ પ્રશ્નપત્ર અને દરેક ભાગ $5$ પ્રશ્નનો બનેલો છે. પરિક્ષાર્થીં એ $6$ પ્રશ્નોની પસંદગી કરવાની હોય, તો તે કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે જો દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા બે પ્રશ્નો પસંદ કરવાના હોય તો ....

$22$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે. જેમાં $2$ ખેલાડીઓને દરેક ટીમમાં પસંદ કરવાના છે જયારે $4$ ને હંમેશા બહાર રાખવાનાં છે. તો આ પસંદગી કેટલી રીતે થઇ શકે?

જો $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  {2n} \\ 
  3 
\end{array}} \right)\,\,:\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  n \\ 
  2 
\end{array}} \right)\, = \,44\,:3$ અને $\left( {_r^n} \right) = 15$  હોય, તો  $\,r\,\, = . .. . . $ થશે

જો $\sum\limits_{i = 0}^4 {^{4 + 1}} {C_i} + \sum\limits_{j = 6}^9 {^{3 + j}} {C_j} = {\,^x}{C_y}$ ($x$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે), હોય તો નીચેનામાંથી ક્યુ વિધાન ખોટું છે ?