Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(B) બનાવી શકાતા સંકેતોની સંખ્યા એ $8$ ભિન્ન ધ્વજમાંથી $5$ ધ્વજ પસંદ કરીને કરેલી ગોઠવણીની સંખ્યા છે.
આ સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 5$ છે.
તેથી,સંકેતોની સંખ્યા = $^8P_5 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$.

(B) $6$ ટપાલો અને $3$ ટપાલ-પેટીઓ છે.
દરેક ટપાલ $3$ માંથી કોઈપણ ટપાલ-પેટીમાં નાખી શકાય છે.
પ્રથમ ટપાલ માટે $3$ વિકલ્પો છે.
બીજી ટપાલ માટે $3$ વિકલ્પો છે.
આ રીતે તમામ $6$ ટપાલો માટે આ પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$ થાય.

(A) $MISSISSIPPI$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M(1), I(4), S(4), P(2)$.
પ્રથમ,$S$ સિવાયના અક્ષરો $M, I, I, I, I, P, P$ ને ગોઠવતા,જેની સંખ્યા $7$ છે.
આ $7$ અક્ષરોની ગોઠવણીના પ્રકાર $\frac{7!}{4! \times 2!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{2} = 105$ થાય.
નોંધો કે $105 = 7 \times 3 \times 5 = 7 \times ^6C_4$.
હવે,કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે તે માટે,$4$ $S$ ને $7$ અક્ષરો દ્વારા બનતી $8$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) માં ગોઠવતા.
$8$ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યા પસંદ કરવાના પ્રકાર $^8C_4$ છે.
આમ,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $7 \times ^6C_4 \times ^8C_4$ થાય.

(D) $SACHIN$ શબ્દના અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, C, H, I, N, S$ મળે છે.
$S$ પહેલા આવતા અક્ષરો $A, C, H, I, N$ છે.
દરેક અક્ષરથી શરૂ થતા શબ્દોની સંખ્યા $5!$ છે.
તેથી,$S$ પહેલા આવતા કુલ શબ્દો = $5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$.
ત્યારબાદનો પ્રથમ શબ્દ $SACHIN$ છે.
તેથી,$SACHIN$ નો ક્રમાંક $600 + 1 = 601$ છે.

(C) $EAMCET$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $E, A, M, C, E, T$.
સ્વરો $3$ છે $(E, A, E)$ અને વ્યંજનો $3$ છે $(M, C, T)$.
કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન આવે તે માટે,પહેલા $3$ વ્યંજનોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવો.
આનાથી $4$ જગ્યાઓ બને છે: $\_ C \_ C \_ C \_$.
આ $4$ જગ્યાઓમાં $3$ સ્વરોને ગોઠવવાની રીતો $^4P_3 = 24$ છે.
બે સ્વર $(E, E)$ સમાન હોવાથી,આપણે $2!$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
કુલ ગોઠવણી = $3! \times \frac{^4P_3}{2!} = 6 \times 12 = 72$.

(C) $TRIANGLE$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $T, R, I, A, N, G, L, E$.
તેમાં $3$ સ્વરો $(I, A, E)$ અને $5$ વ્યંજનો $(T, R, N, G, L)$ છે.
પ્રથમ,$5$ વ્યંજનોને $5!$ રીતે ગોઠવો: $5! = 120$.
આ $5$ વ્યંજનો $6$ જગ્યાઓ બનાવે છે જ્યાં $3$ સ્વરો મૂકી શકાય: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
$6$ જગ્યાઓમાંથી $3$ સ્વરોને પસંદ કરીને ગોઠવવાની રીતો $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
કુલ ગોઠવણી = $120 \times 120 = 14400$.

(C) સંખ્યામાં $2$ સમાન અંકોની જોડ અને $2$ ભિન્ન અંકો હોય છે.
પગલું $1$: $4$ અંકોમાંથી $2$ અંકો પસંદ કરો જે જોડ બનાવશે: $^4C_2 = 6$ રીતે.
પગલું $2$: બાકીના $2$ અંકોમાંથી $2$ ભિન્ન અંકો પસંદ કરો: $^2C_2 = 1$ રીતે.
પગલું $3$: આ $6$ અંકોની ગોઠવણી (જ્યાં $2$ જોડ સમાન છે): $\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{4} = 180$ રીતે.
કુલ સંખ્યા = $6 \times 1 \times 180 = 1080$.

(A) વારાફરતી ગોઠવણી માટે બે શક્ય ભાત છે:
$1$. $B G B G B G B G B G$
$2$. $G B G B G B G B G B$
પ્રથમ ભાતમાં,$5$ છોકરાઓને $5!$ રીતે અને $5$ છોકરીઓને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
પ્રથમ ભાત માટે કુલ ગોઠવણી $= 5! \times 5!$.
તે જ રીતે,બીજી ભાત માટે કુલ ગોઠવણી $= 5! \times 5!$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 5! \times 5! + 5! \times 5! = 2 \times (5!)^2$.

(A) $BANANA$ શબ્દમાં કુલ $6$ અક્ષરો છે,જેમાં $A$ ત્રણ વાર,$N$ બે વાર અને $B$ એક વાર આવે છે.
ક્રમચયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{p!q!r!}$ છે.
અહીં,$n = 6$,$p = 3$ ($A$ માટે) અને $q = 2$ ($N$ માટે).
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $= \frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = \frac{720}{12} = 60$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4 \times ^{15}P_r = 3 \times ^{16}P_{r-1}$
સૂત્ર $^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \times \frac{15!}{(15-r)!} = 3 \times \frac{16!}{(17-r)!}$
$4 \times \frac{15!}{(15-r)!} = 3 \times \frac{16 \times 15!}{(17-r)(16-r)(15-r)!}$
બંને બાજુ $15!$ વડે ભાગતા:
$4 = \frac{48}{(17-r)(16-r)}$
$(17-r)(16-r) = 12$
$(17-r)(16-r) = 4 \times 3$
સરખામણી કરતા,$r = 13$ મળે છે.

(C) ક્રમચયનું સૂત્ર $_{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
આપેલ છે કે $_{12}P_r = 1320$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $_{12}P_r = 12 \times 11 \times 10 \times \dots \times (12-r+1)$.
ચાલો $12$ થી શરૂ થતા ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરીએ:
$12 \times 11 = 132$
$12 \times 11 \times 10 = 1320$
આમ,$3$ પદોનો ગુણાકાર $1320$ થાય છે,તેથી $r = 3$.

(C) $EAMCET$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $E, A, M, C, E, T$.
અહીં $3$ સ્વર $(E, A, E)$ અને $3$ વ્યંજન $(M, C, T)$ છે.
પ્રથમ $3$ વ્યંજનોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આ વ્યંજનોની વચ્ચે અને છેડે કુલ $4$ જગ્યાઓ મળે: $\_ M \_ C \_ T \_$.
$3$ સ્વરોને આ $4$ જગ્યાઓમાંથી પસંદ કરીને ગોઠવવાના છે જેથી કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન આવે.
$4$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યા પસંદ કરવાની રીત $^4C_3 = 4$ છે.
$3$ સ્વરો $(E, A, E)$ માં $2$ સ્વર સમાન હોવાથી,તેમને ગોઠવવાની રીત $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
કુલ ગોઠવણી = $3! \times ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} = 6 \times 4 \times 3 = 72$.

(A) $COURTESY$ શબ્દમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $C, O, U, R, T, E, S, Y$.
પ્રથમ અક્ષર $C$ અને અંતિમ અક્ષર $Y$ નિશ્ચિત હોવાથી,આ બે સ્થાન નિશ્ચિત છે.
બાકીના $6$ સ્થાન પર $6$ અક્ષરોને ગોઠવવાના બાકી રહે છે.
$6$ ભિન્ન અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $6!$ છે.

(A) $UNIVERSAL$ શબ્દમાં $9$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, A, L$.
$3$ અક્ષરોનો શબ્દ બનાવવા માટે,આપણે $9$ માંથી $3$ અક્ષરો પસંદ કરીને ગોઠવવાના છે.
$n$ અલગ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 3$ છે.
શબ્દોની કુલ સંખ્યા $= P(9, 3) = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

(C) $RACHIT$ શબ્દના અક્ષરોનો મૂળાક્ષર ક્રમ: $A, C, H, I, R, T$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દોની સંખ્યા: $5! = 120$
$C$ થી શરૂ થતા શબ્દોની સંખ્યા: $5! = 120$
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દોની સંખ્યા: $5! = 120$
$I$ થી શરૂ થતા શબ્દોની સંખ્યા: $5! = 120$
ત્યારબાદ,$R$ થી શરૂ થતા શબ્દો આવે છે. $R$ થી શરૂ થતો પ્રથમ શબ્દ $RACHIT$ છે.
તેથી,$RACHIT$ શબ્દનો ક્રમ $(4 \times 120) + 1 = 480 + 1 = 481$ થશે.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે આખી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
${1, 2, 3, 4, 5}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $2$ અંકની સંખ્યાઓ:
$12, 24, 32, 52$.
આવી કુલ $4$ જોડીઓ છે.
દરેક જોડી માટે,બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $3$ અંકો વડે $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ સંખ્યાઓ = $(\text{જોડીઓની સંખ્યા}) \times (3!) = 4 \times 6 = 24$.

(B) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને એકસાથે લેતા બનતા ક્રમચયોની સંખ્યા $n!$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 3$ (અક્ષરો $A, B, C$).
તેથી,ક્રમચયોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ થાય.
શક્ય ક્રમચયો છે: $ABC, ACB, BCA, BAC, CBA, CAB$.

(B) પગલું $1$: $6$ વ્યંજનમાંથી $4$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીત: $\binom{6}{4} = 15$.
પગલું $2$: $5$ સ્વરમાંથી $3$ સ્વર પસંદ કરવાની રીત: $\binom{5}{3} = 10$.
પગલું $3$: અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીત = $15 \times 10 = 150$.
પગલું $4$: આ $7$ પસંદ કરેલા અક્ષરોને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$7! = 5040$.
પગલું $5$: કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $150 \times 5040 = 756000$.

(A) $5000$ અને $10000$ વચ્ચેની સંખ્યાઓ $4$ અંકની હોય છે.
હજારના સ્થાનને $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે,જે $5$ વિકલ્પો આપે છે.
કોઈપણ અંકનું પુનરાવર્તન થતું ન હોવાથી,બાકીના $3$ સ્થાન ભરવા માટે આપણી પાસે $8$ અંકો બાકી રહે છે.
બાકીના $3$ સ્થાનને $8$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને ભરવાની રીતો $^8P_3$ છે.
તેથી,આવી કુલ સંખ્યાઓ $5 \times ^8P_3$ છે.

(A) દરેક $5$ ઈનામ $4$ છોકરાઓમાંથી કોઈપણને આપી શકાય છે.
દરેક ઈનામ $4$ રીતે વહેંચી શકાતું હોવાથી,$5$ ઈનામો વહેંચવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ થાય.
$4^5 = 1024$.

(B) $ARRANGE$ શબ્દમાં અક્ષરો $A, A, R, R, N, G, E$ છે. કુલ અક્ષરો = $7$. અક્ષરોની આવૃત્તિ $A: 2, R: 2, N: 1, G: 1, E: 1$ છે.
શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, A, E, G, N, R, R$.
ગણતરી કરતા,$ARRANGE$ શબ્દનો ક્રમ $341$ મળે છે.

(A) $10$ ભિન્ન અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને (પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે) $5$ અક્ષરોવાળા શબ્દોની કુલ સંખ્યા = $10^5 = 100000$.
કોઈ પણ અક્ષરનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય તેવા $5$ અક્ષરોવાળા શબ્દોની સંખ્યા = $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = કુલ શબ્દો - પુનરાવર્તન ન થતા હોય તેવા શબ્દો.
માગેલ શબ્દોની સંખ્યા = $100000 - 30240 = 69760$.

(B) ભૌતિકશાસ્ત્રની શિષ્યવૃતિ $3$ અરજદારો પૈકી કોઈ એકને એનાયત કરી શકાય,જે $3$ રીતે થઈ શકે.
ગણિતશાસ્ત્રની શિષ્યવૃતિ $5$ અરજદારો પૈકી કોઈ એકને એનાયત કરી શકાય,જે $5$ રીતે થઈ શકે.
રસાયણશાસ્ત્રની શિષ્યવૃતિ $4$ અરજદારો પૈકી કોઈ એકને એનાયત કરી શકાય,જે $4$ રીતે થઈ શકે.
દરેક વિષયમાં એક શિષ્યવૃતિ આપવાની હોવાથી,ગુણાકારના મૂળભૂત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
કુલ રીતો $= 3 \times 5 \times 4 = 60$.

(B) કુલ અંકોની સંખ્યા $5$ છે,જેમાં $5$ અંક $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
ક્રમચયની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર:
$N = \frac{n!}{p!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

(C) $GARDEN$ શબ્દમાં $6$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $G, A, R, D, E, N$.
શબ્દમાં સ્વરો $A$ અને $E$ છે.
$6$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણી $6! = 720$ થાય.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,સ્વરો $A$ અને $E$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય: $(A, E)$ અથવા $(E, A)$.
આપણે સ્વરો મૂળાક્ષરના ક્રમમાં જોઈએ છે,તેથી આપણે ફક્ત તે જ કિસ્સો ધ્યાનમાં લઈશું જેમાં $A$ એ $E$ ની પહેલા આવે.
સંમિતિ મુજબ,કુલ ગોઠવણીમાંથી અડધી ગોઠવણીમાં $A$ એ $E$ ની પહેલા આવશે અને બાકીની અડધી ગોઠવણીમાં $E$ એ $A$ ની પહેલા આવશે.
તેથી,$A$ એ $E$ ની પહેલા આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ છે.

(A) ખાસ મહેમાન ખાસ ખુરશી પર બેસશે,જે $1$ રીતે થઈ શકે.
હવે,બાકીની $8$ ખુરશીઓ અને $5$ વ્યક્તિઓ બાકી રહે છે.
$8$ ખુરશીઓમાં $5$ વ્યક્તિઓને બેસાડવાની રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 5$.
કુલ રીતો = $P(8, 5) = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ રીતો.

(C) અહીં આપણે ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
કુલ $6$ અંકોમાંથી $4$ અંકોની ગોઠવણી $^6P_4 = \frac{6!}{2!} = 360$ રીતે થઈ શકે.
પરંતુ,$4$ અંકની સંખ્યામાં હજારના સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે.
હજારના સ્થાને $0$ હોય તેવી સંખ્યાઓ $^5P_3 = \frac{5!}{2!} = 60$ છે.
તેથી,કુલ માન્ય $4$ અંકની સંખ્યાઓ $360 - 60 = 300$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $a = {}^{x+2}P_{x+2} = (x+2)!$
$b = {}^{x}P_{11} = \frac{x!}{(x-11)!}$
$c = {}^{x-11}P_{x-11} = (x-11)!$
સમીકરણ $a = 182bc$ મુજબ:
$(x+2)! = 182 \times \frac{x!}{(x-11)!} \times (x-11)!$
$(x+2)(x+1)x! = 182 \times x!$
$(x+2)(x+1) = 182$
કારણ કે $182 = 14 \times 13$,તેથી $(x+2)(x+1) = 14 \times 13$.
સરખાવતા,$x+2 = 14$ અથવા $x+1 = 13$.
તેથી,$x = 12$.

(B) બૂકની કુલ સંખ્યા $n = a + 2 + 3 + 1 = a + 6$ છે.
અહીં $a$ બૂક $A$ પ્રકારની,$2$ સમાન બૂક $B$ પ્રકારની,$3$ સમાન બૂક $C$ પ્રકારની અને $1$ બૂક $D$ પ્રકારની હોવાથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા:
$P = \frac{n!}{n_1! n_2! n_3! n_4!} = \frac{(a + 6)!}{a! 2! 3! 1!}$ થાય.
તેથી,સાચો જવાબ $\frac{(a + 6)!}{a! 2! 3!}$ છે.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $5 + 4 + 1 = 10$ છે.
અહીં $5$ લાલ,$4$ વાદળી અને $1$ લીલો દડો હોવાથી,ગોઠવણીની કુલ રીતો:
$\frac{10!}{5! \times 4! \times 1!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = 1260$.

(A) $3000$ અને $4000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા માટે,હજારના સ્થાને $3$ હોવું જોઈએ.
$5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા માટે,એકમના સ્થાને $0$ અથવા $5$ હોવું જોઈએ. આપેલ અંકોમાં $0$ ન હોવાથી,એકમના સ્થાને $5$ હોવું જોઈએ.
આમ,હજારનું સ્થાન $3$ અને એકમનું સ્થાન $5$ નિશ્ચિત છે.
બાકીના બે સ્થાન (શતક અને દશક) બાકીના $4$ અંકો $(4, 6, 7, 8)$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર ભરવાના છે.
આ $2$ સ્થાન ભરવાની રીતો $^4P_2$ છે.
$^4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$.
તેથી,કુલ $12$ સંખ્યાઓ મળે.

(D) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$. જેમાં $3$ જોડ સમાન અક્ષરો $(M, A, T)$ અને $5$ ભિન્ન અક્ષરો $(H, E, I, C, S)$ છે.
કિસ્સો $I$: બે અક્ષરો એક પ્રકારના અને બે અક્ષરો બીજા પ્રકારના.
રીતોની સંખ્યા $= ^3C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $II$: બે અક્ષરો એક પ્રકારના અને બે અક્ષરો ભિન્ન.
રીતોની સંખ્યા $= ^3C_1 \times ^7C_2 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 21 \times 12 = 756$.
કિસ્સો $III$: ચારેય અક્ષરો ભિન્ન હોય.
રીતોની સંખ્યા $= ^8C_4 \times 4! = 70 \times 24 = 1680$.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 18 + 756 + 1680 = 2454$.

(A) $BANANA$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $3$ $A$,$2$ $N$ અને $1$ $B$.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ છે.
જ્યારે બંને $N$ સાથે હોય,ત્યારે તેમને એક એકમ $(NN)$ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ એકમો થાય: $(NN), A, A, A, B$.
આવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{5!}{3!1!} = \frac{120}{6} = 20$ છે.
તેથી,બે $N$ પાસ-પાસે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 60 - 20 = 40$ થાય.

(B) $5$ મોટાં પ્રાણીઓ માટે $6$ મોટાં પાંજરામાંથી પસંદગી કરવી પડે. આ પસંદગી $_6P_5$ રીતે થઈ શકે.
ત્યારબાદ વધેલાં $5$ પ્રાણીઓ માટે વધેલાં $4$ નાના અને $1$ મોટું એમ કુલ $5$ પાંજરામાંથી પસંદગી કરવી પડે,જે $5!$ રીતે થશે.
આમ,પ્રાણીઓને રાખવાના કુલ પ્રકાર = $_6P_5 \times 5!$.
$_6P_5 = 720$ અને $5! = 120$.
કુલ પ્રકાર = $720 \times 120 = 86400$.

(A) $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોમાંથી પુનરાવર્તન વગર $4$ અંકોની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે $7$ માંથી $4$ અંકો પસંદ કરીને તેમને ગોઠવવા પડે.
$7$ માંથી $4$ અંકો પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 7$ અને $r = 4$.
રીતોની સંખ્યા = $^7P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = 30800$
સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{56!}{(56-(r+6))!} \times \frac{(54-(r+3))!}{54!} = 30800$
$\frac{56!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800$
$\frac{56 \times 55 \times 54!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)(50-r)!}{54!} = 30800$
$56 \times 55 \times (51-r) = 30800$
$3080 \times (51-r) = 30800$
$51-r = \frac{30800}{3080}$
$51-r = 10$
$r = 51 - 10 = 41$

(B) ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી ભિન્ન અંકો વાળી $8$ અંકોની સંખ્યા બનાવવા માટે,પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.
પ્રથમ અંક માટે $9$ વિકલ્પો છે ($1$ થી $9$ સુધીના અંકો).
બાકીના $7$ સ્થાનો માટે,બાકીના $9$ અંકોમાંથી (જેમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે) $7$ અંકો પસંદ કરીને ગોઠવવાના રહે.
બાકીના $7$ સ્થાનો ભરવાની રીતોની સંખ્યા $^9P_7$ છે.
તેથી,$8$ અંકોની કુલ સંખ્યા $9 \times ^9P_7$ થાય.
ગણતરી: $9 \times \frac{9!}{(9-7)!} = 9 \times \frac{9!}{2!} = \frac{9 \times 9!}{2}$.

(D) $1$ અને $2$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $5$ અંકોની કુલ સંખ્યાઓ $2^5 = 32$ છે.
જેમાં બધા અંકો સમાન હોય તેવી સંખ્યાઓ $(1, 1, 1, 1, 1)$ અને $(2, 2, 2, 2, 2)$ છે.
આપણે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જેમાં માત્ર એક અંક અલગ હોય. એટલે કે $4$ અંકો સમાન હોય અને $1$ અંક અલગ હોય.
કિસ્સો $1$: ચાર $1$ અને એક $2$. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{4!1!} = 5$ છે.
કિસ્સો $2$: ચાર $2$ અને એક $1$. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{4!1!} = 5$ છે.
કુલ આવી સંખ્યાઓ = $5 + 5 = 10$.

(C) $COCHIN$ શબ્દના અક્ષરો $\{C, C, H, I, N, O\}$ છે.
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા = $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
$COCHIN$ પહેલા આવતા શબ્દો શોધવા માટે,અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવો: $C, C, H, I, N, O$.
$1$. $C$ થી શરૂ થતા શબ્દો (ત્યારબાદ $C$): બાકી રહેલા અક્ષરો $\{H, I, N, O\}$ છે. શબ્દોની સંખ્યા = $4! = 24$.
$2$. $CH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $\{C, I, N, O\}$ છે. શબ્દોની સંખ્યા = $4! = 24$.
$3$. $CI$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $\{C, H, N, O\}$ છે. શબ્દોની સંખ્યા = $4! = 24$.
$4$. $CN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $\{C, H, I, O\}$ છે. શબ્દોની સંખ્યા = $4! = 24$.
$COCHIN$ પહેલા આવતા કુલ શબ્દો = $24 + 24 + 24 + 24 = 96$.

(B) $MOBILE$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M, O, B, I, L, E$.
વ્યંજનો $M, B, L$ ($3$ અક્ષરો) છે અને સ્વરો $O, I, E$ ($3$ અક્ષરો) છે.
કુલ $6$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
અયુગ્મ સ્થાનો $1, 3, 5$ છે ($3$ સ્થાનો) અને યુગ્મ સ્થાનો $2, 4, 6$ છે ($3$ સ્થાનો).
વ્યંજનો અયુગ્મ સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,જે $3!$ રીતે થઈ શકે.
સ્વરો બાકીના યુગ્મ સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,જે $3!$ રીતે થઈ શકે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$.

(B) $10000$ થી નાની સંખ્યાઓ $1, 2, 3,$ અથવા $4$ અંકની હોઈ શકે.
$1$ અંકની સંખ્યાઓ: અંક $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ હોઈ શકે. કુલ $= 7$.
$2$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ સ્થાન $7$ રીતે અને બીજું સ્થાન $8$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 7 \times 8 = 56$.
$3$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ સ્થાન $7$ રીતે અને બાકીના બે સ્થાન $8$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 7 \times 8 \times 8 = 448$.
$4$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ સ્થાન $7$ રીતે અને બાકીના ત્રણ સ્થાન $8$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 7 \times 8 \times 8 \times 8 = 3584$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 7 + 56 + 448 + 3584 = 4095$.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $^nP_4 : ^nP_5 = 1 : 2$ છે.
સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{(n-4)!} \div \frac{n!}{(n-5)!} = \frac{1}{2}$
$\frac{n!}{(n-4)!} \times \frac{(n-5)!}{n!} = \frac{1}{2}$
$\frac{(n-5)!}{(n-4)(n-5)!} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{n-4} = \frac{1}{2}$
$n - 4 = 2$
$n = 6$

(B) $10$ લાખથી મોટી સંખ્યા ઓછામાં ઓછા $7$ અંકો ધરાવતી હોવી જોઈએ.
આપણી પાસે કુલ $7$ અંકો $(2, 3, 0, 3, 4, 2, 3)$ છે,તેથી આ બધા અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી દરેક $7$ અંકની સંખ્યા $10$ લાખથી મોટી હશે,જો પ્રથમ અંક $0$ ન હોય.
કુલ ગોઠવણીઓ $= \frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{5040}{12} = 420$.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ (જે $6$ અંકની ગણાય) $= \frac{6!}{2! \times 3!} = \frac{720}{12} = 60$.
તેથી,માંગેલ સંખ્યા $= 420 - 60 = 360$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રમચયનું સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
પદ $(n - r + 1) \times ^nP_{r - 1}$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$^nP_{r-1} = \frac{n!}{(n - (r - 1))!} = \frac{n!}{(n - r + 1)!}$.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા:
$(n - r + 1) \times \frac{n!}{(n - r + 1)!} = (n - r + 1) \times \frac{n!}{(n - r + 1) \times (n - r)!}$.
અંશ અને છેદમાંથી $(n - r + 1)$ પદને દૂર કરતા:
$= \frac{n!}{(n - r)!} = ^nP_r$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ઉપલબ્ધ અયુગ્મ અંકો $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે. કુલ $5$ અંકો છે.
$6$ અંકોની સંખ્યા બનાવવા માટે જેમાં બધા જ અયુગ્મ અંકો ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે,એક અંકનું પુનરાવર્તન થવું જરૂરી છે.
પગલું $1$: $5$ અયુગ્મ અંકોમાંથી પુનરાવર્તિત થતો અંક પસંદ કરવાની રીત = $^5C_1 = 5$.
પગલું $2$: આ $6$ અંકોની ગોઠવણી (જ્યાં એક અંક બે વાર આવે છે) = $\frac{6!}{2!}$ રીતે.
કુલ સંખ્યા = $5 \times \frac{6!}{2!} = 1800$.

(B) કુલ અક્ષરોની સંખ્યા $6$ $(a, b, c, d, e, f)$ છે. સ્વરો $a, e$ ($2$ સ્વર) છે અને વ્યંજનો $b, c, d, f$ ($4$ વ્યંજન) છે.
$6$ અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરોની પુનરાવર્તન વગરની કુલ ગોઠવણી $= ^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
એક પણ સ્વર ન હોય તેવી ગોઠવણી (એટલે કે ત્રણેય વ્યંજન હોય) $= ^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $= 120 - 24 = 96$.

(B) $ARTICLE$ શબ્દમાં $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $A, R, T, I, C, L, E$.
તેમાં $3$ સ્વર $(A, I, E)$ અને $4$ વ્યંજન $(R, T, C, L)$ છે.
$7$ અક્ષરના શબ્દમાં,યુગ્મ સ્થાનો $2, 4, 6$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
$3$ સ્વરો આ $3$ યુગ્મ સ્થાનો પર ગોઠવાય,જે $^3P_3 = 3! = 6$ રીતે થઈ શકે.
બાકીના $4$ વ્યંજનો $4$ અયુગ્મ સ્થાનો $(1, 3, 5, 7)$ પર ગોઠવાય,જે $^4P_4 = 4! = 24$ રીતે થઈ શકે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$.