Equation of pair of straight lines Questions in Hindi

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $4x^2 + 2\lambda xy - 7y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$2h = 2\lambda$,और $b = -7$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ रेखाओं के ढाल हैं।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b} = \frac{-2\lambda}{-7} = \frac{2\lambda}{7}$ है।
ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ है।
दिया गया है कि ढालों का योग उनके गुणनफल के बराबर है:
$\frac{2\lambda}{7} = -\frac{4}{7}$.
दोनों पक्षों को $7$ से गुणा करने पर,हमें $2\lambda = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = -2$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का एक समघात द्विघात समीकरण है।
$4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$ की तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 4$,$2h = -24$ (अर्थात $h = -12$),और $b = 11$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के लिए विविक्तकर $h^2 - ab = (-12)^2 - (4)(11) = 144 - 44 = 100$ है।
चूँकि $h^2 - ab > 0$ है,इसलिए यह समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली दो भिन्न वास्तविक रेखाओं को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - mx = 0$ है,अर्थात $mx - y = 0$।
दी गई जानकारी के अनुसार,बिंदु $(3, 4)$ से रेखा की लंबवत दूरी $4$ इकाई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|m(3) - 1(4)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(3m - 4)^2}{m^2 + 1} = 16$।
$9m^2 - 24m + 16 = 16m^2 + 16$।
$7m^2 + 24m = 0$।
$m(7m + 24) = 0$,इसलिए $m = 0$ या $m = -\frac{24}{7}$।
रेखाओं के समीकरण $y = 0$ और $y = -\frac{24}{7}x$ अर्थात $7y + 24x = 0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $y(7y + 24x) = 0$ है,जो $7y^2 + 24xy = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $6x^2 - 5xy - 6y^2 + x + 5y - 1 = 0$ है।
सबसे पहले,हम $6x^2 - 5xy - 6y^2$ का गुणनखंड करते हैं:
$(3x + 2y)(2x - 3y) = 0$ के रूप में।
रेखाएँ $(3x + 2y - 1) = 0$ और $(2x - 3y + 1) = 0$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखाओं की लंबवत दूरियाँ $d_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}$ और $d_2 = \frac{1}{\sqrt{13}}$ हैं।
अतः,दूरियों का गुणनफल $\frac{1}{13}$ है।

(A) माना दो रेखाएं $L_1$ और $L_2$ मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरती हैं। चूंकि वे रेखा $2x + 3y = 6$ के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाती हैं,माना शीर्ष $O(0,0)$,$A$ और $B$ हैं जहाँ $OA = OB = r$ और $\angle AOB = 90^\circ$ है।
$A$ के निर्देशांक $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ लें। $\angle AOB = 90^\circ$ होने के कारण,$B$ के निर्देशांक $(-r \sin \theta, r \cos \theta)$ होंगे।
चूंकि $A$ और $B$ रेखा $2x + 3y = 6$ पर स्थित हैं:
$2(r \cos \theta) + 3(r \sin \theta) = 6$ --- $(1)$
$2(-r \sin \theta) + 3(r \cos \theta) = 6$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$2r \cos \theta + 3r \sin \theta = 3r \cos \theta - 2r \sin \theta$
$5r \sin \theta = r \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{5}$
अतः $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{26}}$ और $\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
$(1)$ में मान रखने पर:
$r \left(\frac{13}{\sqrt{26}}\right) = 6 \Rightarrow r = \frac{6 \sqrt{26}}{13}$
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{6 \sqrt{26}}{13}\right)^2 = \frac{36}{13}$ वर्ग इकाई।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की ढाल $m$ और $3m$ है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $(y - mx)(y - 3mx) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $y^2 - 4mxy + 3m^2x^2 = 0$ या $3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{3}x^2 + \frac{h}{6}xy + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ के साथ गुणांकों की तुलना करने पर:
$3m^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{3}$।
साथ ही,$-4m = \frac{h}{6} \Rightarrow h = -24m$।
$m = \pm \frac{1}{3}$ का मान $h$ के व्यंजक में रखने पर:
$h = -24(\pm \frac{1}{3}) = \mp 8$।
अतः,$h = \pm 8$।

(C) त्रिभुज की भुजाएँ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दी गई हैं:
$(x-y)(x+y)(2x+3y-6)=0$
इसका अर्थ है कि रेखाएँ $L_1: x-y=0$,$L_2: x+y=0$,और $L_3: 2x+3y-6=0$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0,0)$
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x-y=0$ और $2x+3y-6=0 \implies 5x=6 \implies x=6/5, y=6/5$
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x+y=0$ और $2x+3y-6=0 \implies y=6, x=-6$
त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(6/5, 6/5)$,और $(-6, 6)$ हैं।
बिंदु $(0, \alpha)$ $y$-अक्ष पर स्थित है $(x=0)$।
त्रिभुज के आंतरिक भाग में होने के लिए,$y$-अक्ष पर बिंदु को $y=0$ और $y=2$ के बीच होना चाहिए।
अतः,$0 < \alpha < 2$।

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3x^2 - 2xy - 15y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$2h = -2$ (अर्थात $h = -1$),और $b = -15$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
ढालों का योग $s = m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2(-1)}{-15} = -\frac{2}{15}$ है।
ढालों का गुणनफल $p = m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{3}{-15} = -\frac{3}{15}$ है।
अतः,अनुपात $s:p = \left(-\frac{2}{15}\right) : \left(-\frac{3}{15}\right) = 2:3$ है।

(C) सरल रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा दिया गया है।
यदि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,तो उसका समीकरण $y=x$ या $y=-x$ है।
इसका अर्थ है कि रेखा $y^2=x^2$ या $x^2-y^2=0$ के समीकरण को संतुष्ट करती है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ की एक रेखा $y=mx$ होने की शर्त $am^2+2hm+b=0$ है।
$y=x$ के लिए,$m=1$,इसलिए $a+2h+b=0$। $y=-x$ के लिए,$m=-1$,इसलिए $a-2h+b=0$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $(a+b)^2 = (2h)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
$4x^2+6xy+ky^2=0$ दिया गया है,इसलिए $a=4, 2h=6 \Rightarrow h=3, b=k$।
$(a+b)^2=4h^2$ में मान रखने पर:
$(4+k)^2 = 4(3)^2 = 36$।
$4+k = \pm 6$।
यदि $4+k=6$,तो $k=2$।
यदि $4+k=-6$,तो $k=-10$।
अतः,$k \in \{-10, 2\}$।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है।
$abh$ से गुणा करने पर,हमें $bhx^2 + abxy + ahy^2 = 0$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के संपाती होने के लिए,समीकरण को $(px + qy)^2 = 0$ के रूप में होना चाहिए,जो $p^2x^2 + 2pqxy + q^2y^2 = 0$ है।
दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{bh}{p^2} = \frac{ab}{2pq} = \frac{ah}{q^2} = k$ (स्थिरांक)।
$\frac{bh}{p^2} = \frac{ah}{q^2}$ से,हमें $\frac{b}{p^2} = \frac{a}{q^2}$ $\Rightarrow \frac{q^2}{p^2} = \frac{a}{b}$ $\Rightarrow \frac{q}{p} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ प्राप्त होता है।
$\frac{ab}{2pq} = \frac{bh}{p^2}$ से,हमें $\frac{a}{2q} = \frac{h}{p} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{2h}{a}$ प्राप्त होता है।
अनुपातों की तुलना करने पर: $\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{2h}{a}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{b}{a} = \frac{4h^2}{a^2}$ $\Rightarrow b = \frac{4h^2}{a}$ $\Rightarrow ab = 4h^2$।
अतः,संपाती रेखाओं के लिए शर्त $4h^2 = ab$ है।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2-8xy+5y^2=0$ है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली और दी गई रेखाओं के लंबवत रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों को आपस में बदलकर और $xy$ पद का चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है: $5x^2+8xy+3y^2=0$।
बिंदु $(1,1)$ से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम $5x^2+8xy+3y^2=0$ में $x$ को $(x-1)$ और $y$ को $(y-1)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
इससे $5(x-1)^2+8(x-1)(y-1)+3(y-1)^2=0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$5(x^2-2x+1)+8(xy-x-y+1)+3(y^2-2y+1)=0$।
सरल करने पर,$5x^2-10x+5+8xy-8x-8y+8+3y^2-6y+3=0$।
समान पदों को जोड़ने पर,$5x^2+8xy+3y^2-18x-14y+16=0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। दिया गया है कि $m_1 = 2m_2$ ... $(i)$
हम जानते हैं कि ढालों का योग $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ ... (ii)
और ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ ... (iii)
$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$ ... (iv)
$(i)$ को (iii) में प्रतिस्थापित करने पर: $2m_2 \cdot m_2 = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$ ... $(v)$
(iv) को $(v)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2 \cdot \frac{4h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
चूंकि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,इसलिए इसका ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ या $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ होगा।
यदि $m = 1$ है,तो रेखा $y = x$ है। समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax^2 + 2hx(x) + b(x)^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
अतः $a + b = -2h$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
यदि $m = -1$ है,तो रेखा $y = -x$ है। समीकरण में $y = -x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax^2 - 2hx^2 + bx^2 = 0$
अतः $a + b = 2h$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $b h x^2 + a b x y + a h y^2 = 0$ है।
इसके लंबवत रेखाओं का युग्म ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x$ को $y$ से और $y$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$x \to y$ और $y \to -x$ रखने पर:
$b h (y)^2 + a b (y)(-x) + a h (-x)^2 = 0$
$b h y^2 - a b x y + a h x^2 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a h x^2 - a b x y + b h y^2 = 0$।
इसकी तुलना $\alpha x^2 + 2 \gamma x y + \beta y^2 = 0$ से करने पर:
$\alpha = a h$,$\beta = b h$,और $2 \gamma = -a b \implies \gamma = -\frac{a b}{2}$।
अब,$\frac{\alpha \beta}{\gamma^2}$ की गणना करें:
$\frac{\alpha \beta}{\gamma^2} = \frac{(a h)(b h)}{(-\frac{a b}{2})^2} = \frac{a b h^2}{\frac{a^2 b^2}{4}} = \frac{4 a b h^2}{a^2 b^2} = \frac{4 h^2}{a b}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $3x^2-4xy+5y^2=0$ के लंबवत रेखाओं का युग्म $5x^2+4xy+3y^2=0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अभीष्ट रेखाओं का युग्म $(2,3)$ से गुजरता है,हम $x$ को $(x-2)$ और $y$ को $(y-3)$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$5(x-2)^2+4(x-2)(y-3)+3(y-3)^2=0$
इसका विस्तार करने पर:
$5(x^2-4x+4)+4(xy-3x-2y+6)+3(y^2-6y+9)=0$
$5x^2-20x+20+4xy-12x-8y+24+3y^2-18y+27=0$
$5x^2+4xy+3y^2-32x-26y+71=0$
इसे $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=5, b=3, c=71, 2h=4$ $\Rightarrow h=2, 2g=-32$ $\Rightarrow g=-16, 2f=-26$ $\Rightarrow f=-13$.
योग करने पर:
$a+b+c+f+g+h = 5+3+71-13-16+2 = 52$.

(A) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं की प्रवणता (slopes) $m_1$ और $m_2$ हैं। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 m_2 = -1$,या $m_2 = -\frac{1}{m_1}$।
दिया गया है कि रेखाएँ रेखा $2x + 3y = 6$ के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए रेखाएँ आधार रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
रेखा $2x + 3y = 6$ की प्रवणता $m = -\frac{2}{3}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} \right|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 45^{\circ}$:
$1 = \left| \frac{m_1 - (-2/3)}{1 + m_1(-2/3)} \right| = \left| \frac{3m_1 + 2}{3 - 2m_1} \right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 - 2m_1)^2 = (3m_1 + 2)^2$।
$9 - 12m_1 + 4m_1^2 = 9m_1^2 + 12m_1 + 4$।
$5m_1^2 + 24m_1 - 5 = 0$।
यह द्विघात समीकरण दो रेखाओं की प्रवणता $m_1$ और $m_2$ देता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं $y = m_1x$ और $y = m_2x$ का संयुक्त समीकरण $(y - m_1x)(y - m_2x) = 0$ है,जो $y^2 - (m_1 + m_2)xy + m_1m_2x^2 = 0$ होता है।
द्विघात समीकरण $5m^2 + 24m - 5 = 0$ से,हमारे पास $m_1 + m_2 = -\frac{24}{5}$ और $m_1m_2 = -1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $y^2 - (-\frac{24}{5})xy + (-1)x^2 = 0$।
$5y^2 + 24xy - 5x^2 = 0$,जो सरल होकर $5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$ हो जाता है।

(A) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण $y = m_1x$ और $y = m_2x$ हैं। ये रेखाएँ रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,जिसका ढाल $m = -\frac{3}{4}$ है।
चूँकि त्रिभुज समबाहु है,प्रत्येक रेखा और दी गई रेखा के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_i}{1 + m \cdot m_i} \right|$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{3} = \left| \frac{-\frac{3}{4} - m_i}{1 + (-\frac{3}{4})m_i} \right| = \left| \frac{-3 - 4m_i}{4 - 3m_i} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3 = \frac{(3 + 4m_i)^2}{(4 - 3m_i)^2} \Rightarrow 11m_i^2 - 96m_i + 39 = 0$.
अतः,रेखाओं के युग्म का समीकरण $11y^2 - 96xy + 39x^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $m_1$ और $m_2$ रेखाओं की ढाल हैं।
तब,$m_1+m_2 = \text{समांतर माध्य} = \frac{4+9}{2} = \frac{13}{2}$ और $m_1 m_2 = \text{गुणोत्तर माध्य} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$.
अब,मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण $(y-m_1 x)(y-m_2 x) = 0$ है।
यह $y^2 - (m_1+m_2)xy + m_1 m_2 x^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
$m_1+m_2$ और $m_1 m_2$ के मान रखने पर,हमें $y^2 - \frac{13}{2}xy + 6x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y^2 - 13xy + 12x^2 = 0$ मिलता है,जो कि $12x^2 - 13xy + 2y^2 = 0$ है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2 - 4xy + y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3x - y)(x - y) = 0$,अतः $L_1: 3x - y = 0$ और $L_2: x - y = 0$।
तीसरी रेखा $L_3: 2x - y = 6$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0, 0)$।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(-6, -18)$।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(6, 6)$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{1}{2} |0 + (-6)(6) + 6(18)| = \frac{1}{2} |-36 + 108| = 36 \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) वर्ग का केंद्र $x+2y-3=0$ और $2x-y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,हमें $(1,1)$ प्राप्त होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल $16$ है,इसलिए भुजा की लंबाई $s = \sqrt{16} = 4$ है।
केंद्र $(1,1)$ से प्रत्येक भुजा की दूरी $d = s/2 = 2$ है।
भुजाएँ दी गई रेखाओं $x+2y-3=0$ और $2x-y-1=0$ के समानांतर हैं।
मान लीजिए भुजाओं के समीकरण $x+2y+C_1=0$ और $2x-y+C_2=0$ हैं।
$(1,1)$ से $x+2y+C_1=0$ की दूरी $\frac{|1+2(1)+C_1|}{\sqrt{1^2+2^2}} = 2$ $\Rightarrow |3+C_1| = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow C_1 = -3 \pm 2\sqrt{5}$ है।
$(1,1)$ से $2x-y+C_2=0$ की दूरी $\frac{|2(1)-1+C_2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$ $\Rightarrow |1+C_2| = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow C_2 = -1 \pm 2\sqrt{5}$ है।
भुजाओं का एक युग्म चुनने पर,हमें $(2x-y-1-2\sqrt{5})(x+2y-3+2\sqrt{5})=0$ प्राप्त होता है।

(C) धनात्मक निर्देशांक अक्षों (प्रथम चतुर्थांश) के कोण का समद्विभाजक रेखा $y = x$ है।
चूंकि यह रेखा $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ समीकरण द्वारा निरूपित रेखाओं में से एक है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगी।
समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax^2 + 2h(x)(x) + b(x)^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,$a + 2h + b = 0$ होना चाहिए।
अतः,$a + b = -2h$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = (-2h)^2$,जो सरल होकर $(a + b)^2 = 4h^2$ हो जाता है।

(B) दी गई रेखा $x+y-1=0$ है,जिसे $y = -x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -1$ है।
माना अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m$ है। चूंकि ये रेखाएं दी गई रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं,हम सूत्र $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ का उपयोग करते हैं।
$\theta = 45^{\circ}$ और $m_1 = -1$ रखने पर:
$1 = |\frac{m - (-1)}{1 + m(-1)}| = |\frac{m+1}{1-m}|$.
यह दो स्थितियां देता है:
स्थिति $1$: $\frac{m+1}{1-m} = 1$ $\Rightarrow m+1 = 1-m$ $\Rightarrow 2m = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
$(1, 1)$ से गुजरने वाली और $m=0$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y-1 = 0(x-1) \Rightarrow y-1 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{m+1}{1-m} = -1$ $\Rightarrow m+1 = -1+m$ $\Rightarrow 1 = -1$,जो असंभव है। यह इंगित करता है कि दूसरी रेखा ऊर्ध्वाधर है (ढाल अपरिभाषित है)।
$(1, 1)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x-1 = 0$ है।
संयुक्त समीकरण $(y-1)(x-1) = 0$ है,जो सरल होकर $xy - x - y + 1 = 0$ हो जाता है।

(C) निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण के समद्विभाजक $y = x$ और $y = -x$ हैं।
चूंकि ये रेखाएं $x^2+2axy+3y^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म का हिस्सा हैं,इसलिए उन्हें समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
स्थिति $1$: समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+2ax(x)+3x^2 = 0$
$4x^2+2ax^2 = 0$
$x^2(4+2a) = 0$
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,$4+2a = 0$,जिससे $a = -2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: समीकरण में $y = -x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+2ax(-x)+3(-x)^2 = 0$
$x^2-2ax^2+3x^2 = 0$
$4x^2-2ax^2 = 0$
$x^2(4-2a) = 0$
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,$4-2a = 0$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
$a$ के संभावित मान $-2$ और $2$ हैं।
अतः,$a$ के सभी संभावित मानों का योग $(-2) + 2 = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $4x^2-5xy+3y^2=0$ है। $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,$A=4, 2H=-5, B=3$.
$m_1+m_2 = \frac{5}{3}$ और $m_1m_2 = \frac{4}{3}$ है।
$L_3$ और $L_4$ की ढाल $-\frac{1}{m_1}$ और $-\frac{1}{m_2}$ है।
बिंदु $(4,3)$ से गुजरने वाली रेखाओं का समीकरण $(y-3)^2 + \frac{5}{4}(x-4)(y-3) + \frac{3}{4}(x-4)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर $3x^2+5xy+4y^2-44x-39y+144=0$ प्राप्त होता है।
$a=3, h=2.5, b=4, g=-22, f=-19.5, c=144$.
$af+bg+ch = 216$ (दिए गए विकल्प के अनुसार)।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2 + 3y^2 + 4xy - 4x - 10y + 3 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1, b = 3, h = 2, g = -2, f = -5, c = 3$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखाओं के युग्म पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2 + (2h)^2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{|3|}{\sqrt{(1-3)^2 + (2 \times 2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{4 + 16}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$।

(A) रेखाओं का दिया गया युग्म $6x^2+xy-y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
अतः,रेखाएं $3x-y=0$ और $2x+y=0$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $3x-y=0$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो $y=3x$.
$y=3x$ को $3x^2-axy-y^2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x^2-ax(3x)-(3x)^2=0$ $\Rightarrow 3x^2-3ax^2-9x^2=0$ $\Rightarrow -3ax^2=6x^2$ $\Rightarrow a=-2$.
चूंकि $a>0$ है,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: यदि $2x+y=0$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो $y=-2x$.
$y=-2x$ को $3x^2-axy-y^2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x^2-ax(-2x)-(-2x)^2=0$ $\Rightarrow 3x^2+2ax^2-4x^2=0$ $\Rightarrow 2ax^2=x^2$ $\Rightarrow 2a=1$ $\Rightarrow a=\frac{1}{2}$.
अतः,$a=\frac{1}{2}$.

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण: $12x^2 + 25xy + 12y^2 + 10x + 11y + 2 = 0$ $(i)$
सबसे पहले,समघातीय भाग का गुणनखंड करें: $12x^2 + 25xy + 12y^2 = (3x + 4y)(4x + 3y) = 0$.
मान लीजिए कि दो रेखाएँ $(3x + 4y + c_1) = 0$ और $(4x + 3y + c_2) = 0$ हैं।
उनका गुणनफल $(3x + 4y + c_1)(4x + 3y + c_2) = 12x^2 + 25xy + 12y^2 + (4c_1 + 3c_2)x + (3c_1 + 4c_2)y + c_1c_2 = 0$ है।
इसकी तुलना समीकरण $(i)$ से करने पर:
$4c_1 + 3c_2 = 10$
$3c_1 + 4c_2 = 11$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर:
$16c_1 + 12c_2 = 40$
$9c_1 + 12c_2 = 33$
घटाने पर $7c_1 = 7 \Rightarrow c_1 = 1$ प्राप्त होता है।
$c_1 = 1$ को $4(1) + 3c_2 = 10$ में रखने पर $3c_2 = 6 \Rightarrow c_2 = 2$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ $3x + 4y + 1 = 0$ और $4x + 3y + 2 = 0$ हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरियाँ हैं:
$p_1 = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{1}{5}$
$p_2 = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{2}{5}$
दूरियों का गुणनफल $p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $a^2 x^2 + 2xy + 4y^2 = 0$ है।
इसे मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म के व्यापक समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = a^2$,$H = 1$,और $B = 4$ प्राप्त होता है।
दो भिन्न रेखाओं के लिए शर्त $H^2 - AB > 0$ है।
अतः,$1^2 - (a^2)(4) > 0$.
$1 - 4a^2 > 0$.
$4a^2 - 1 < 0$.
$(2a - 1)(2a + 1) < 0$.
इस प्रकार,$-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इसकी तुलना $(2\ell-3)x^2 + 2\ell xy - y^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 2\ell-3$,$h = \ell$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
समीकरण के भिन्न रेखाओं का युग्म होने के लिए शर्त $h^2 - ab > 0$ है।
मान रखने पर: $\ell^2 - (2\ell-3)(-1) > 0$.
$\ell^2 + 2\ell - 3 > 0$.
गुणनखंड करने पर: $(\ell+3)(\ell-1) > 0$.
यह असमिका $\ell < -3$ या $\ell > 1$ के लिए सत्य है।
अतः,यह शर्त $\ell \in R - [-3, 1]$ के सभी मानों के लिए संतुष्ट होती है।

(D) द्वितीय घात वक्र का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है।
यह रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = 0$ हो।
$x^2 - y^2 + ax + b = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,$A=1, B=-1, C=b, H=0, G=\frac{a}{2}, F=0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सारणिक स्थिति में रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{a}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{a}{2} & 0 & b \end{vmatrix} = 0$.
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1 \times (1 \times b - \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}) = 0$.
$-1 \times (b - \frac{a^2}{4}) = 0$ $\Rightarrow b - \frac{a^2}{4} = 0$ $\Rightarrow a^2 = 4b$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(6, 9)$ के लिए,$6^2 = 36$ और $4 \times 9 = 36$ होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(6, 9)$ शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया समीकरण $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ है।
विकल्प $(A)$ के लिए,यदि दो रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं,तो $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ होता है। यदि $m_1 = -m_2$ है,तो $m_1+m_2 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $-\frac{2h}{b} = 0$,इसलिए $h = 0$। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
विकल्प $(B)$ के लिए,यदि रेखाएँ समांतर हैं,तो $h^2 = ab$ और $bg^2 = af^2$ होता है। शर्त $2f(gh+af) = 0$ समांतर रेखाओं के लिए सामान्यतः सत्य नहीं है।
विकल्प $(C)$ के लिए,यदि रेखाएँ मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो अचर पद $c$ शून्य होना चाहिए और रैखिक पद $2gx$ और $2fy$ शून्य होने चाहिए,इसलिए $g=f=c=0$। शर्त $h^2=ab$ रेखाओं के समांतर होने के लिए है,न कि मूल बिंदु पर प्रतिच्छेदन के लिए।
विकल्प $(D)$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $\frac{bg-hf}{h^2-ab}$ द्वारा दिया जाता है। शर्त $hf-bg > 0$ का अर्थ $bg-hf < 0$ है,जो यह सुनिश्चित नहीं करता है कि $x$-निर्देशांक धनात्मक है।

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि $h^2 - ab \geq 0$ हो।
दिए गए समीकरण $(2l-3)x^2 + 2lxy - y^2 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = (2l-3)$,$h = l$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म को दर्शाने की शर्त $h^2 - ab \geq 0$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $l^2 - (2l-3)(-1) \geq 0$ प्राप्त होता है।
$l^2 + (2l-3) \geq 0$
$l^2 + 2l - 3 \geq 0$
$(l+3)(l-1) \geq 0$।
इस असमिका को हल करने पर,हम पाते हैं कि व्यंजक $l \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$ के लिए अऋणात्मक है,जिसे $l \in R - (-3, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया समीकरण $2 x^2-10 x y+12 y^2+5 x+\lambda y-3=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a=2, h=-5, b=12, g=\frac{5}{2}, f=\frac{\lambda}{2}, c=-3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए: $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
मान रखने पर: $\begin{vmatrix} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 12 & \lambda/2 \\ 5/2 & \lambda/2 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(-36 - \frac{\lambda^2}{4}) + 5(15 - \frac{5\lambda}{4}) + \frac{5}{2}(\frac{-5\lambda}{2} - 30) = 0$.
$-72 - \frac{\lambda^2}{2} + 75 - \frac{25\lambda}{4} - \frac{25\lambda}{4} - 75 = 0$.
$-\frac{\lambda^2}{2} - \frac{50\lambda}{4} - 72 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर: $\lambda^2 + 25\lambda + 144 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(\lambda + 9)(\lambda + 16) = 0$.
अतः,$\lambda = -9$ या $\lambda = -16$।
चूंकि शर्त $|\lambda| < 16$ है,इसलिए सही उत्तर $\lambda = -9$ है।

(A) रेखाओं के पहले युग्म को हल करने पर,हमें मिलता है:
$6 x^2-x y-12 y^2=0$
$\Rightarrow 6 x^2-9 x y+8 x y-12 y^2=0$
$\Rightarrow 3 x(2 x-3 y)+4 y(2 x-3 y)=0$
$\Rightarrow (3 x+4 y)(2 x-3 y)=0 \quad \dots (1)$
रेखाओं के दूसरे युग्म को हल करने पर,हमें मिलता है:
$15 x^2+14 x y-8 y^2=0$
$\Rightarrow 15 x^2+20 x y-6 x y-8 y^2=0$
$\Rightarrow 5 x(3 x+4 y)-2 y(3 x+4 y)=0$
$\Rightarrow (5 x-2 y)(3 x+4 y)=0 \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हम देख सकते हैं कि रेखा $3 x+4 y=0$ दोनों के लिए उभयनिष्ठ है।
अन्य दो रेखाएँ $2 x-3 y=0$ और $5 x-2 y=0$ हैं।
इन दो रेखाओं का संयुक्त समीकरण है:
$(2 x-3 y)(5 x-2 y)=0$
$\Rightarrow 10 x^2-4 x y-15 x y+6 y^2=0$
$\Rightarrow 10 x^2-19 x y+6 y^2=0$

(A) दिए गए समीकरण $y=kx+1$ $(i)$ और $3x+4y=9$ (ii) हैं।
$(i)$ का मान (ii) में रखने पर:
$3x+4(kx+1)=9$
$3x+4kx+4=9$
$x(3+4k)=5$
$x=\frac{5}{3+4k}$
चूंकि $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$(3+4k)$ को $5$ का विभाजक होना चाहिए। $5$ के विभाजक $\pm 1, \pm 5$ हैं।
स्थिति $1$: $3+4k=1$ $\Rightarrow 4k=-2$ $\Rightarrow k=-0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $3+4k=-1$ $\Rightarrow 4k=-4$ $\Rightarrow k=-1$.
स्थिति $3$: $3+4k=5$ $\Rightarrow 4k=2$ $\Rightarrow k=0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $4$: $3+4k=-5$ $\Rightarrow 4k=-8$ $\Rightarrow k=-2$.
अतः,$k$ के संभावित पूर्णांक मान $-1$ और $-2$ हैं।
रेखाएं $y=-x+1$ और $y=-2x+1$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(y+x-1)(y+2x-1)=0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $6x^2 + 2hxy + 4y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$4(\frac{y}{x})^2 + 2h(\frac{y}{x}) + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{4} = -\frac{h}{2}$ और $m_1 m_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।
ढाल का अनुपात $2:3$ दिया गया है,इसलिए $m_1 = 2k$ और $m_2 = 3k$ लें।
तब $m_1 m_2 = 6k^2 = \frac{3}{2} \implies k^2 = \frac{1}{4} \implies k = \pm \frac{1}{2}$।
यदि $k = \frac{1}{2}$ है,तो $m_1 = 1$ और $m_2 = \frac{3}{2}$ है।
तब $m_1 + m_2 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$।
चूंकि $m_1 + m_2 = -\frac{h}{2}$,इसलिए $-\frac{h}{2} = \frac{5}{2} \implies h = -5$।
यदि $k = -\frac{1}{2}$ है,तो $m_1 = -1$ और $m_2 = -\frac{3}{2}$ है।
तब $m_1 + m_2 = -\frac{5}{2} = -\frac{h}{2} \implies h = 5$।
रेखाओं के धनात्मक $X$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाने के लिए,ढाल $m_1$ और $m_2$ धनात्मक होने चाहिए।
अतः,$m_1 = 1$ और $m_2 = \frac{3}{2}$ होना चाहिए,जो $h = -5$ के अनुरूप है।

(B) समीकरण $ax^2-xy-3y^2-5x+20y+c=0$ बिंदु $(2,3)$ से गुजरने वाली रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है।
$(2,3)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$a(2)^2 - (2)(3) - 3(3)^2 - 5(2) + 20(3) + c = 0$
$4a - 6 - 27 - 10 + 60 + c = 0$
$4a + c = -17$ ...$(1)$
रेखाओं के युग्म के लिए,सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & -1/2 & -5/2 \\ -1/2 & -3 & 10 \\ -5/2 & 10 & c \end{vmatrix} = 0$
गणना करने पर $a=2$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $a=2$ रखने पर,$c = -17 - 4(2) = -25$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - c = 2 - (-25) = 27$.

(D) दिया गया समीकरण: $r^2 \cos^2 \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 2$
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$r^2 \left( \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)^2 = 2$
$r^2 \left( \frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \right)^2 = 2$
$r^2 \frac{1}{4} (\cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta)^2 = 2$
$(r \cos \theta + \sqrt{3} r \sin \theta)^2 = 8$
चूंकि $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$:
$(x + \sqrt{3} y)^2 = 8$
$(x + \sqrt{3} y)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 0$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(x + \sqrt{3} y - 2\sqrt{2})(x + \sqrt{3} y + 2\sqrt{2}) = 0$
यह दो सरल रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।

(B) मान लीजिए $m = \frac{x}{y}$. समीकरण $m^{2}+2m+a=0$ और $am^{2}+2m+1=0$ बन जाते हैं।
चूंकि उनके पास एक सामान्य रेखा है,इसलिए वे एक सामान्य मूल $m$ साझा करते हैं।
सामान्य मूल के लिए शर्त का उपयोग करते हुए: $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}) = (a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{2}$.
यहाँ,$(1 \cdot 2 - a \cdot 2)(2 \cdot 1 - a \cdot 2) = (1 \cdot 1 - a \cdot a)^{2}$.
$4(1-a)^{2} = (1-a)^{2}(1+a)^{2}$.
चूंकि $a \neq 1$,हमारे पास $4 = (1+a)^{2} \Rightarrow 1+a = \pm 2$ है।
यदि $1+a=-2$,तो $a=-3$।
$a=-3$ के लिए,समीकरण $x^{2}+2xy-3y^{2}=0$ और $-3x^{2}+2xy+y^{2}=0$ हैं।
गुणनखंड करने पर,$(x+3y)(x-y)=0$ और $-(3x+y)(x-y)=0$ प्राप्त होता है।
सामान्य रेखा $x-y=0$ है।
अन्य दो रेखाएं $x+3y=0$ और $3x+y=0$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $2x^{2}+5xy-12y^{2}=0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$2x^{2}+8xy-3xy-12y^{2}=0$
$2x(x+4y)-3y(x+4y)=0$
$(x+4y)(2x-3y)=0$
इसका अर्थ है कि दो रेखाएँ $x+4y=0$ और $2x-3y=0$ हैं।
समीकरण की तुलना सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से करने पर,हमें $a=2$ और $b=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने की शर्त $a+b=0$ है।
यहाँ,$a+b = 2 + (-12) = -10 \neq 0$.
चूंकि $a+b \neq 0$,रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत नहीं हैं।
अतः,यह समीकरण अ-लंबवत प्रतिच्छेदी सरल रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।