Angle between the pair of straight lines, Condition for parallel and perpendicular lines Questions in Gujarati

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - 3xy + \lambda y^2 + 3x - 5y + 2 = 0$ ને સરખાવતા,$a=1, b=\lambda, c=2, h=-\frac{3}{2}, g=\frac{3}{2}, f=-\frac{5}{2}$ મળે છે.
શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(1)(\lambda)(2) + 2(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2})(-\frac{3}{2}) - (1)(-\frac{5}{2})^2 - (\lambda)(\frac{3}{2})^2 - (2)(-\frac{3}{2})^2 = 0$
$2\lambda + \frac{45}{4} - \frac{25}{4} - \frac{9\lambda}{4} - \frac{18}{4} = 0$
$-\frac{\lambda}{4} + \frac{2}{4} = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(2)}}{1+2} \right| = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + (3)^2 = 10$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+\lambda xy-y^2 \tan^2 \theta=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$h=\frac{\lambda}{2}$,અને $b=-\tan^2 \theta$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ છે.
અહીં,$\alpha = 2\theta$ હોવાથી,$\tan 2\theta = \left|\frac{2\sqrt{(\frac{\lambda}{2})^2 - (1)(-\tan^2 \theta)}}{1-\tan^2 \theta}\right|$.
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \left|\frac{2\sqrt{\frac{\lambda^2}{4}+\tan^2 \theta}}{1-\tan^2 \theta}\right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4\tan^2 \theta}{(1-\tan^2 \theta)^2} = \frac{4(\frac{\lambda^2}{4}+\tan^2 \theta)}{(1-\tan^2 \theta)^2}$ મળે છે.
આથી $\tan^2 \theta = \frac{\lambda^2}{4} + \tan^2 \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda^2}{4} = 0$.
તેથી,$\lambda = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x \cos \alpha + y \sin \alpha)^2 = (x^2 + y^2) \sin^2 \alpha$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = x^2 \sin^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha$
બંને બાજુથી $y^2 \sin^2 \alpha$ બાદ કરતા: $x^2 \cos^2 \alpha + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = x^2 \sin^2 \alpha$
ગોઠવતા: $x^2(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = 0$
આ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$,$h = \sin \alpha \cos \alpha$,અને $b = 0$.
રેખાઓ લંબ હોવા માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 0 = 0$
$\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$
$\tan^2 \alpha = 1$
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-3xy+\lambda y^2+3x-5y+2=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,અને $b=\lambda$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \left|\frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(\lambda)}}{1+\lambda}\right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^2}$.
$(1+\lambda)^2 = 36(\frac{9}{4}-\lambda) = 81 - 36\lambda$.
$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 81 - 36\lambda$.
$\lambda^2 + 38\lambda - 80 = 0$.
$(\lambda+40)(\lambda-2) = 0$.
$\lambda \geq 0$ હોવાથી,$\lambda = 2$ મળે છે.

(C) બે રેખાઓ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
$kx^2 - 4xy + y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = k$,$h = -2$,અને $b = 1$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \left| \frac{2 \sqrt{(-2)^2 - k(1)}}{k + 1} \right|$.
$\frac{1}{4} = \frac{4(4 - k)}{(k + 1)^2} \Rightarrow (k + 1)^2 = 16(4 - k)$.
$k^2 + 2k + 1 = 64 - 16k \Rightarrow k^2 + 18k - 63 = 0$.
$(k + 21)(k - 3) = 0$.
આમ,$k = 3$ મળે છે.

(C) $ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી રેખાઓની જોડી વચ્ચેના લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
તેથી,$1 = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $1 = \frac{4(h^2-ab)}{(a+b)^2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(a+b)^2 = 4h^2 - 4ab$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 - 4ab$.
પદોને ગોઠવતા,$4h^2 = a^2 + 6ab + b^2$.

(A) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ: $mx^2+2hxy+ny^2=0$.
આપેલ શરત: $(m+3n)(3m+n)=4h^2$.
શરતનું વિસ્તરણ કરતા: $3m^2+10mn+3n^2=4h^2$.
રેખાઓ $ax^2+2hxy+by^2=0$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ છે.
અહીં $a=m$ અને $b=n$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-mn}}{m+n}\right|$.
આપેલ શરત પરથી,$h^2-mn = \frac{3(m+n)^2}{4}$.
તેથી,$\sqrt{h^2-mn} = \frac{\sqrt{3}|m+n|}{2}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan \theta = \sqrt{3}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.

(D) બે સીધી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય તે માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(k^2+2) x^2 + 3xy - 6y^2 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = (k^2+2)$ અને $b = -6$ મળે છે.
આ કિંમતોને $a + b = 0$ શરતમાં મૂકતા:
$(k^2+2) + (-6) = 0$
$k^2 - 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x^2+y^2) \sin \theta + 2xy = 0$ છે,જેને $(\sin \theta)x^2 + 2xy + (\sin \theta)y^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = \sin \theta$,$h = 1$,અને $b = \sin \theta$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\alpha$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1^2 - (\sin \theta)(\sin \theta)}}{\sin \theta + \sin \theta} \right|$.
$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{2 \sin \theta} \right| = \left| \frac{2\cos \theta}{2 \sin \theta} \right| = |\cot \theta|$.
$\alpha$ લઘુકોણ હોવાથી,$\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.

(B) $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}-4xy+y^{2}=0$ ને $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$2h=-4$ (તેથી $h=-2$),અને $b=1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^{2}-(1)(1)}}{1+1} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{4-1}}{2} \right|$
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
અહીં $\theta = \tan^{-1}(k)$ હોવાથી,$\tan^{-1}(k) = \tan^{-1}(\sqrt{3})$,જેનો અર્થ છે કે $k = \sqrt{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $3x^{2}-4\sqrt{3}xy+3y^{2}=0$ ને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=3, h=-2\sqrt{3}, b=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}-(3)(3)}}{3+3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{12-9}}{6} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}}{6} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\theta = 30^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^{2}-3xy+\lambda y^{2}+3x-5y+2=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,અને $b=\lambda$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-\lambda}}{1+\lambda} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^{2}} = \frac{9-4\lambda}{(1+\lambda)^{2}}$.
$(1+\lambda)^{2} = 9(9-4\lambda) = 81-36\lambda$.
$1+2\lambda+\lambda^{2} = 81-36\lambda$.
$\lambda^{2}+38\lambda-80=0$.
$(\lambda+40)(\lambda-2)=0$.
કારણ કે $\lambda \geq 0$,તેથી $\lambda=2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2xy \operatorname{cosec} \alpha+y^{2}=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$h=\operatorname{cosec} \alpha$,અને $b=1$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\operatorname{cosec}^{2} \alpha - 1}}{1+1} \right|$.
કારણ કે $\operatorname{cosec}^{2} \alpha - 1 = \cot^{2} \alpha$,તેથી $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\cot^{2} \alpha}}{2} \right| = |\cot \alpha|$.
આમ,$\tan \theta = \cot \alpha = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta + x^{2}(\cos^{2} \theta - 1) = 0$ છે.
$\cos^{2} \theta - 1 = -\sin^{2} \theta$ હોવાથી,સમીકરણ $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta - x^{2} \sin^{2} \theta = 0$ બને છે.
$\sin^{2} \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $y^{2} - xy - x^{2} = 0$ મળે છે.
અહીં $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $a + b = -1 + 1 = 0$ છે.
જ્યારે $a + b = 0$ હોય,ત્યારે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
જો આ રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો શરત $a + b = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(1+\sin^2 \theta) x^2 + 2hxy + 2\sin \theta y^2 = 0$ માટે,$a = 1+\sin^2 \theta$ અને $b = 2\sin \theta$ છે.
શરત $a + b = 0$ લાગુ પાડતા:
$(1+\sin^2 \theta) + 2\sin \theta = 0$
$(1+\sin \theta)^2 = 0$
$1+\sin \theta = 0$
$\sin \theta = -1$
$\theta \in [0, 2\pi]$ માટે,$\sin \theta = -1$ નું સમાધાન કરતી $\theta$ ની કિંમત $\theta = \frac{3\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-xy-6y^{2}-7x+31y-18=0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-6$,અને $2h=-1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h=-\frac{1}{2}$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2} - (1)(-6)}}{1+(-6)} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}+6}}{-5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}}}{-5} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2 \times \frac{5}{2}}{-5} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = |-1| = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(A) $a x^{2}+2 h x y+b y^{2}=0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\varphi$ માટે $\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{h^{2}-a b}}{a+b} \right|$ છે.
$x^{2}+2 x y \sec \theta+y^{2}=0$ સમીકરણ માટે,$a=1$,$b=1$,અને $h=\sec \theta$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{\sec^{2} \theta - 1}}{1+1} \right|$
$\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{\tan^{2} \theta}}{2} \right|$
$\tan \varphi = \tan \theta$.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^{2}+2Hxy+By^{2}+2Gx+2Fy+C=0$ છે. \\ રેખાઓની જોડી પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. \\ એટલે કે,$A+B=0$. \\ આપેલ સમીકરણ $12x^{2}+7xy+ay^{2}+13x-y+3=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A=12$ અને $B=a$ મળે છે. \\ આ કિંમતોને $A+B=0$ માં મૂકતા,$12+a=0$ મળે છે. \\ તેથી,$a=-12$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
સરખામણી કરતા $a=1, h=-3/2, b=\lambda, g=3/2, f=-5/2, c=2$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1)(\lambda)(2) + 2(-5/2)(3/2)(-3/2) - (1)(-5/2)^2 - (\lambda)(3/2)^2 - (2)(-3/2)^2 = 0$.
$2\lambda + 45/4 - 25/4 - 9\lambda/4 - 9/2 = 0$.
$2\lambda - 9\lambda/4 + 5 - 4.5 = 0 \implies -\lambda/4 + 0.5 = 0 \implies \lambda = 2$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$.
અહીં $a=1, b=2, h=-3/2$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{9/4 - 2}}{1+2} \right| = \frac{2\sqrt{1/4}}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી $\cot \theta = 3$.
$\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + 3^2 = 10$.
આમ,$\frac{\operatorname{cosec}^2 \theta}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-3xy+2y^2+3x-5y+2=0$ છે.
તેને બે સીધી રેખાઓના વ્યાપક સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1$,$2h=-3 \implies h=-\frac{3}{2}$,$b=2$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(2)}}{1+2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{3} \right| = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{3}$.
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ હોવાથી,આપણે સામેની બાજુ $1$ અને પાસેની બાજુ $3$ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ.
કર્ણ $\sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
$px^2 - qy^2 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = p$,$h = 0$,અને $b = -q$ મળે છે.
રેખાઓ ભિન્ન અને વાસ્તવિક હોય તે માટેની શરત $h^2 - ab > 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $0^2 - (p)(-q) > 0$ મળે છે.
આથી $pq > 0$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણને $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, h=-\frac{3}{2}, b=\lambda, g=\frac{3}{2}, f=-\frac{5}{2}, c=2$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત: $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $\begin{vmatrix} 1 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & \lambda & -\frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} & 2 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(8\lambda - 25) + 3(-12 + 15) + 3(15 - 6\lambda) = 0$.
$16\lambda - 50 + 9 + 45 - 18\lambda = 0$ $\Rightarrow -2\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{1+2} \right| = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\cot \theta = 3$.
આમ,$\operatorname{cosec}^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta = 1 + 9 = 10$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $(\cos^{2} \alpha - 1) x^{2} - 2 \cos^{2} \alpha \cdot xy + \sin^{2} \alpha y^{2} = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = \cos^{2} \alpha - 1 = -\sin^{2} \alpha$,
$h = -\cos^{2} \alpha$,
$b = \sin^{2} \alpha$.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$a + b = -\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha = 0$.
છેદ $0$ હોવાથી,$\tan \theta$ ની કિંમત અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
આમ,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(B) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2xy-y^{2}=0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$h=1$,અને $b=-1$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $a+b=0$ હોય તો $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
અહીં,$a+b = 1 + (-1) = 0$.
$x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $[x \cos \theta - y][(\cos \theta + \tan \alpha) x - (1 - \cos \theta \tan \alpha) y] = 0$ છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે:
$L_1: x \cos \theta - y = 0 \implies y = (\cos \theta) x$,તેથી ઢાળ $m_1 = \cos \theta$.
$L_2: (\cos \theta + \tan \alpha) x - (1 - \cos \theta \tan \alpha) y = 0 \implies y = \frac{\cos \theta + \tan \alpha}{1 - \cos \theta \tan \alpha} x$,તેથી ઢાળ $m_2 = \frac{\cos \theta + \tan \alpha}{1 - \cos \theta \tan \alpha}$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $\tan \phi = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m_1$ અને $m_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\tan \phi = \left| \frac{\frac{\cos \theta + \tan \alpha}{1 - \cos \theta \tan \alpha} - \cos \theta}{1 + \left( \frac{\cos \theta + \tan \alpha}{1 - \cos \theta \tan \alpha} \right) \cos \theta} \right| = \tan \alpha$.
આમ,$\phi = \alpha$.

(B) રેખાઓની જોડીનું વ્યાપક સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે. આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા $A=9, H=a/2, B=4, G=3, F=b/2, C=-3$ મળે.
સમાંતર રેખાઓ માટે $H^2 = AB$ હોવાથી,$(a/2)^2 = 9 \times 4 = 36$,તેથી $a^2 = 144$ એટલે કે $a = \pm 12$.
વળી,સમાંતર રેખાઓ માટે $af^2 = bg^2$ શરત મુજબ,$9(b/2)^2 = 4(3)^2$ $\Rightarrow 9(b^2/4) = 36$ $\Rightarrow b^2 = 16$ એટલે કે $b = \pm 4$.
$a=12, b=4$ લેતા સમીકરણ $(3x + 2y)^2 + 2(3x + 2y) - 3 = 0$ બને છે,જે બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = (x \cos \theta + y \sin \theta)^2$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
બંને બાજુથી $x^2 \cos^2 \theta$ બાદ કરતા:
$y^2 \cos^2 \theta = y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
તેને $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ ના સામાન્ય સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$0x^2 + (2 \sin \theta \cos \theta)xy + (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)y^2 = 0$
રેખાઓની જોડી એકબીજાને લંબ હોવા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$A + B = 0$
$0 + (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) = 0$
$\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
$\tan^2 \theta = 1$
$\tan \theta = \pm 1$
આમ,$\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\frac{3\pi}{4}$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ: $4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2x - y)(2x - 11y) = 0$.
તેથી,બે રેખાઓના સમીકરણો $y = 2x$ અને $y = \frac{2}{11}x$ છે.
આ રેખાઓ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ $\theta_1$ અને $\theta_2$ માટે $\tan \theta_1 = 2$ અને $\tan \theta_2 = \frac{2}{11}$ થાય.
આપણે $\tan |\theta_1 - \theta_2|$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{2 - \frac{2}{11}}{1 + 2 \times \frac{2}{11}} = \frac{\frac{20}{11}}{\frac{15}{11}} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.
તેથી,નિરપેક્ષ મૂલ્ય $\frac{4}{3}$ છે.

(A) $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ રેખાઓની જોડી ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ રેખાઓ રેખા $a x+b y+c=0$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તે માટે,રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{3}$ રેડિયન હોવો જોઈએ.
$A x^2+2 H x y+B y^2=0$ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ લેતા,આપણને $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 = \frac{4(H^2-A B)}{(A+B)^2}$.
$3(A+B)^2 = 4(H^2-A B)$.
$3(A^2+2 A B+B^2) = 4 H^2-4 A B$.
$3 A^2+6 A B+3 B^2 = 4 H^2-4 A B$.
$3 A^2+10 A B+3 B^2 = 4 H^2$.
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા: $3 A^2+9 A B+A B+3 B^2 = 4 H^2$.
$3 A(A+3 B)+B(A+3 B) = 4 H^2$.
$(A+3 B)(3 A+B) = 4 H^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 3xy + Ky^2 = 0$ છે.
$Ky^2$ વડે ભાગતા,આપણને ઢાળ $m = \frac{y}{x}$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$Km^2 + 3m + 2 = 0$.
એક ઢાળ $m_1 = 2$ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$K(2)^2 + 3(2) + 2 = 0$ $\Rightarrow 4K + 8 = 0$ $\Rightarrow K = -2$.
$K = -2$ ને $Km^2 + 3m + 2 = 0$ માં મૂકતા:
$-2m^2 + 3m + 2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - 3m - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2m + 1)(m - 2) = 0$.
આમ,ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
$m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.

(B) સમીકરણ $x^2+kxy+y^2=0$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. ધારો કે આ રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. ત્રીજી રેખાનું સમીકરણ $x+y=1$ છે,જેને $y=-x+1$ તરીકે લખી શકાય,તેથી તેનો ઢાળ $m_3=-1$ છે.
રેખાઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી કોઈપણ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
રેખા $y=mx$ અને રેખા $x+y=1$ (ઢાળ $-1$) વચ્ચેનો ખૂણો નીચે મુજબ છે:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3 = \frac{(m+1)^2}{(1-m)^2}$
$3(1-2m+m^2) = m^2+2m+1$
$3-6m+3m^2 = m^2+2m+1$
$2m^2-8m+2 = 0$
$m^2-4m+1 = 0$
કારણ કે $m = y/x$,આપણે આને દ્વિઘાત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(y/x)^2 - 4(y/x) + 1 = 0$
$y^2 - 4xy + x^2 = 0$
આને $x^2+kxy+y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k=-4$ મળે છે.
તેથી,$k^2 = (-4)^2 = 16$.

(C) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે,જ્યાં $a=1$,$2h=4$ (તેથી $h=2$),અને $b=1$ છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right|$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(B) સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
આમ,$1 = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \frac{4(h^2-ab)}{(a+b)^2}$.
$(a+b)^2 = 4h^2 - 4ab$.
$a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 - 4ab$.
$4h^2 = a^2 + 6ab + b^2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $A = \cos \theta(\cos \theta + 1)$,$2H = -(2 \cos \theta + \sin^2 \theta)$,અને $B = 1 - \cos \theta$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $A + B = \cos^2 \theta + 1$ મળે છે.
ગણતરી કરતા $H^2 - AB = \cos^2 \theta + \frac{\sin^4 \theta}{4}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{\sqrt{4 \cos^2 \theta + \sin^4 \theta}}{\cos^2 \theta + 1} = 1$ મળે છે.
આમ,$\alpha = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ છે.
આપેલ સમીકરણ $6x^2 + 11xy - 10y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 6$,$b = -10$,અને $h = \frac{11}{2}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{11}{2})^2 - (6)(-10)}}{6 - 10} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{121}{4} + 60}}{-4} \right| = \frac{\sqrt{361}}{4}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{361}}{4}\right)$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+6xy+by^2-10x+10y-6=0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ સાથે સરખાવતા,$A=a, H=3, B=b, G=-5, F=5, C=-6$ મળે છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a+b=0$,જેનો અર્થ છે $b=-a$.
વળી,સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a(b)(-6) + 2(5)(3)(-5) - a(5)^2 - b(-5)^2 - (-6)(3)^2 = 0$.
$-6ab - 150 - 25a - 25b + 54 = 0$.
$-6ab - 25(a+b) - 96 = 0$.
$a+b=0$ હોવાથી,આપણને $-6a(-a) - 25(0) - 96 = 0$ મળે છે.
$6a^2 = 96 \Rightarrow a^2 = 16$.
તેથી,$|a| = \sqrt{16} = 4$.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $x^2 + 2xy \sec \theta + y^2 = 0$ માટે,$a = 1$,$h = \sec \theta$,અને $b = 1$ છે.
ધારો કે આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ છે.
તો $\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{(\sec \theta)^2 - (1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{2} \right|$.
કારણ કે $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$,તેથી $\tan \phi = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
તેથી,$\phi = \theta$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\sin ^2 \alpha) y^2 - 2xy(\cos ^2 \alpha) + (\cos ^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = \cos ^2 \alpha - 1 = -\sin ^2 \alpha$
$h = -\cos ^2 \alpha$
$b = \sin ^2 \alpha$
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
છેદની ગણતરી કરતા: $a + b = -\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha = 0$.
છેદ $0$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\tan \theta = \infty$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ab(x^2 - y^2) + (a^2 - b^2)xy = 0$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $abx^2 + (a^2 - b^2)xy - aby^2 = 0$ મળે છે.
આ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $A = ab$ અને $B = -ab$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત $A + B = 0$ છે.
અહીં,$A + B = ab - ab = 0$.
તેથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
આમ,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-7xy+12y^2=0$ છે. તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$2h=-7$,અને $b=12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - 1 \cdot 12}}{1+12} \right| = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 12}}{13} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1/4}}{13} \right| = \frac{2 \cdot (1/2)}{13} = \frac{1}{13}$.
$\tan \theta = \frac{1}{13}$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $1$ અને પાસેની બાજુ $13$ છે. કર્ણ $\sqrt{1^2+13^2} = \sqrt{170}$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{170}}$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + 4 = 0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = 5 \Rightarrow h = \frac{5}{2}$,અને $b = 3$ મળે છે.
સીધી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4} - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{5} \right| = \left| \frac{2 \times \frac{1}{2}}{5} \right| = \frac{1}{5}$.
ખૂણો $\tan^{-1}(k)$ હોવાથી,$\tan \theta = k$ થાય.
તેથી,$k = \pm \frac{1}{5}$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$\left(\frac{y}{x}\right)^2 - 5\left(\frac{y}{x}\right) + 6 = 0$.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તો $m^2 - 5m + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$(m - 3)(m - 2) = 0$.
આમ,રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha = 3$ અને $m_2 = \tan \beta = 2$ છે.
બે ખૂણાઓના તફાવત માટેના ટેન્જન્ટનું સૂત્ર વાપરતા:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{3 - 2}{1 + (3)(2)} = \frac{1}{1 + 6} = \frac{1}{7}$.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ સીધી રેખાઓની જોડી લંબ હોવાની શરત એ છે કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a + b = 0$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $2 x^2 = y(x + 2 y)$
$\Rightarrow 2 x^2 - xy - 2 y^2 = 0$
અહીં,$a = 2$ અને $b = -2$.
સહગુણકોનો સરવાળો: $a + b = 2 + (-2) = 0$.
આમ,શરત $a + b = 0$ સંતોષાય છે,તેથી આ રેખાઓ લંબ છે.

(B) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
જ્યારે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય,ત્યારે $\theta = 90^{\circ}$ થાય.
$\tan 90^{\circ}$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$a + b = 0$.

(A) $ax^2+2hxy+by^2=0$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $(\theta)$ નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$
જો રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય,તો $\theta = 90^\circ$ થાય.
$\tan 90^\circ$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$a+b=0$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+4xy+y^2=0$ છે.
તેને સામાન્ય સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$2h=4 \Rightarrow h=2$,અને $b=1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(1)}}{1+1} \right|$.
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{4-1}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = 60^{\circ}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3dx^2 - 5xy + (d^2 - 2)y^2 = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ માટે,જો રેખાઓ લંબ હોય તો $A + B = 0$ થાય.
અહીં,$A = 3d$ અને $B = d^2 - 2$ છે.
તેથી,$3d + d^2 - 2 = 0$ અથવા $d^2 + 3d - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$d = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
આમ,$d$ ની $2$ શક્ય કિંમતો મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.