Angle between the pair of straight lines, Condition for parallel and perpendicular lines Questions in Gujarati

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 + 3xy + y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = 3$ (તેથી $h = 3/2$),અને $b = 1$ મળે છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \theta_1$ અને $m_2 = \tan \theta_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -2h/b = -3$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = a/b = 2$ થાય છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\tan(\theta_1 - \theta_2)| = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(m_1 - m_2)^2 = (-3)^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1$.
તેથી,$|m_1 - m_2| = 1$.
આમ,$|\tan(\theta_1 - \theta_2)| = |\frac{1}{1 + 2}| = 1/3$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = (x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 \sin^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
$x^2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = 0$
$-x^2 \cos(2\alpha) + xy \sin(2\alpha) = 0$
આ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $A = -\cos(2\alpha)$,$H = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$,અને $B = 0$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A+B} \right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} \sin^2(2\alpha) - 0}}{-\cos(2\alpha) + 0} \right| = |-\tan(2\alpha)| = |\tan(2\alpha)|$.
તેથી,$\theta = 2\alpha$.

(B) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ રેખાઓની જોડીના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ છે.
જો યામ અક્ષો દ્વિભાજક હોય,તો તેમનું સમીકરણ $xy = 0$ થાય.
આથી,$h = 0$ હોવું જોઈએ.

(D) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે,જ્યાં $A = \cos \theta - \sin \theta$,$H = \cos \theta$,અને $B = \cos \theta + \sin \theta$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ $\alpha$ માટે $\tan \alpha = \left| \frac{2 \sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા:
$H^2 - AB = \cos^2 \theta - (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \sin^2 \theta$.
$A + B = 2 \cos \theta$.
તેથી,$\tan \alpha = \left| \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right| = |\tan \theta|$.
$2 \theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\alpha = \theta$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ મળે છે. ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તો $bm^2+2hm+a=0$. આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ એ રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $h^2=ab$,તેથી વિવેચક $D = (2h)^2 - 4ab = 4h^2 - 4ab = 4(h^2-ab) = 0$. વિવેચક શૂન્ય હોવાથી,બંને બીજ સમાન છે,એટલે કે $m_1 = m_2$. તેથી,ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:1$ છે.

(B) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
$(2p-3)x^2 + 2pxy - y^2 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = 2p-3$,$h = p$,$b = -1$,$g = 0$,$f = 0$,અને $c = 0$ મળે છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા,$0 = 0$ મળે છે,જે કોઈપણ $p \in R$ માટે સત્ય છે.
રેખાઓ ભિન્ન હોય તે માટેની શરત $h^2 - ab > 0$ છે.
અહીં,$h^2 - ab = p^2 - (2p-3)(-1) = p^2 + 2p - 3$.
આપણે $p^2 + 2p - 3 > 0$ ની જરૂર છે.
અવયવ પાડતા: $(p+3)(p-1) > 0$.
આ અસમતા $p < -3$ અથવા $p > 1$ માટે સાચી છે.
આમ,રેખાઓ $p \in R - [-3, 1]$ માટે ભિન્ન છે.

(C) ધારો કે આપેલી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલી માહિતી મુજબ,મોટા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ નાના વૃતાંશના ક્ષેત્રફળ કરતા $5$ ગણું છે.
ધારો કે $A_1$ એ નાના વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_2$ એ મોટા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A_2 = 5 A_1 \Rightarrow \frac{1}{2}(\pi - \theta) r^2 = 5 \times \left(\frac{1}{2} \theta r^2\right)$
$\Rightarrow \pi - \theta = 5 \theta$ $\Rightarrow 6 \theta = \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$
રેખાઓની જોડી $a x^2 + 2h x y + b y^2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = l$,$h = l+m$,અને $b = m$.
$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{2 \sqrt{(l+m)^2 - lm}}{l+m} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{3} = \frac{4((l+m)^2 - lm)}{(l+m)^2}$
$(l+m)^2 = 12(l+m)^2 - 12 lm$
$11(l+m)^2 = 12 lm$
$\frac{lm}{(l+m)^2} = \frac{11}{12}$
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ છે. $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$b = 6$ અને $xy$ નો સહગુણક $2h$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{6} = -\frac{h}{3}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{6}$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ આપેલ છે,તેથી $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{1}{7}$.
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(m_1 - m_2)^2 = \frac{h^2}{9} - \frac{2}{3} = \frac{h^2 - 6}{9}$.
તેથી $|m_1 - m_2| = \frac{\sqrt{h^2 - 6}}{3}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\frac{\sqrt{h^2 - 6}}{3}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{1}{7} \implies \frac{2\sqrt{h^2 - 6}}{7} = \frac{1}{7}$.
આથી $2\sqrt{h^2 - 6} = 1 \implies 4h^2 - 24 = 1 \implies h^2 = \frac{25}{4} \implies h = \pm \frac{5}{2}$.
ઢાળ ધન હોવાથી,$m_1 + m_2 = -\frac{h}{3} > 0$,તેથી $h$ ઋણ હોવો જોઈએ. આમ,$h = -\frac{5}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = (x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2$ છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha + y^2(\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$.
આનું સાદું રૂપ: $-x^2 \cos 2\alpha + xy \sin 2\alpha = 0$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ લંબ હોય તે માટેની શરત $A + B = 0$ છે.
અહીં,$A = -\cos 2\alpha$ અને $B = 0$.
તેથી,$-\cos 2\alpha + 0 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 2\alpha = 0$.
કારણ કે $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 0$,તેથી $\sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$.
પછી $\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.
અંતે,$\sin^2 \alpha + \tan^2 \alpha = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ એકબીજાને કાટખૂણે હોય તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $A + B = 0$.
આપેલ સમીકરણ $3ax^2 + 5xy + (a^2 - 2)y^2 = 0$ માં,$A = 3a$ અને $B = a^2 - 2$ છે.
$A + B = 0$ લેતા,આપણને $3a + a^2 - 2 = 0$ મળે છે,જે $a^2 + 3a - 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$ મળે છે.
અહીં વિવેચક $D = 17 > 0$ હોવાથી,$a$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો મળે છે.
આમ,$a$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $2x^2 + 3xy + ky^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$k(\frac{y}{x})^2 + 3(\frac{y}{x}) + 2 = 0$ મળે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $km^2 + 3m + 2 = 0$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ $m_1 = 2$ છે,તેથી $k(2)^2 + 3(2) + 2 = 0 \implies 4k + 8 = 0 \implies k = -2$.
સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$ બને છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = -2$ મળે.
અહીં $a + b = 2 - 2 = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે આપેલ રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $\alpha$ ખૂણાવાળા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}r^2\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મોટા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ નાના વૃતાંશના ક્ષેત્રફળ કરતા $5$ ગણું છે:
$\frac{1}{2}r^2(\pi-\theta) = 5 \times \frac{1}{2}r^2\theta$
$\pi-\theta = 5\theta$
$6\theta = \pi \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$ નું પાલન કરે છે.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સમાંતર રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $h^2=ab$ અને $bg^2=af^2$ હોય.
શરત $bg^2=af^2$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $\frac{g^2}{f^2}=\frac{a}{b}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{g^2-ac}{f^2-bc} = \frac{a}{b}$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{g^2-ac}{f^2-bc}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

(B) રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $ax^2+4xy+2y^2=0$ છે. તેને $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,$A=a$,$H=2$,અને $B=2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B} \right|$ છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$.
$1 = \left| \frac{2\sqrt{4-2a}}{a+2} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \frac{4(4-2a)}{(a+2)^2}$.
$(a+2)^2 = 16-8a \Rightarrow a^2+4a+4 = 16-8a$.
$a^2+12a-12 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{-12 \pm \sqrt{144+48}}{2} = -6 \pm 4\sqrt{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $3ax^2 - 16xy - (a^2 - 10)y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = 3a$,$H = -8$,અને $B = -(a^2 - 10)$ મળે છે.
સમાંતર રેખાઓની જોડી માટેની શરત $H^2 = AB$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(-8)^2 = 3a(-(a^2 - 10))$ $\Rightarrow 64 = -3a^3 + 30a$ $\Rightarrow 3a^3 - 30a + 64 = 0$.
લંબ રેખાઓની જોડી માટેની શરત $A + B = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3a - (a^2 - 10) = 0 \Rightarrow a^2 - 3a - 10 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(a - 5)(a + 2) = 0$,તેથી $a = 5$ અથવા $a = -2$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $H \equiv ax^2 - xy + by^2 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, -1)$ એ $H = 0$ પર હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 1$ અને $y = -1$ મૂકીએ:
$a(1)^2 - (1)(-1) + b(-1)^2 = 0$
$a + 1 + b = 0 \Rightarrow a + b = -1$
$ax^2 - xy + by^2 = 0$ ની સરખામણી સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે કરતા,આપણને $2h = -1$ મળે છે,તેથી $h = -\frac{1}{2}$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = 5$,તેથી:
$5 = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 - ab}}{-1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} - ab}}{-1} \right| = 2\sqrt{\frac{1}{4} - ab}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 4(\frac{1}{4} - ab)$ $\Rightarrow 25 = 1 - 4ab$ $\Rightarrow 4ab = -24$ $\Rightarrow ab = -6$.
હવે,આપણે $a^2 + ab + b^2$ શોધવાનું છે.
$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = (-1)^2 - (-6) = 1 + 6 = 7$.

(A) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2-4xy-2y^2=0$ છે. $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,$A=a$,$2H=-4 \Rightarrow H=-2$,અને $B=-2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2 - a(-2)}}{a-2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4+2a}}{a-2} \right|$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{5}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{24}/5}{1/5} = \sqrt{24}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2\sqrt{4+2a}}{|a-2|} = \sqrt{24}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4(4+2a)}{(a-2)^2} = 24 \Rightarrow \frac{4+2a}{(a-2)^2} = 6$.
$4+2a = 6(a^2-4a+4) \Rightarrow 4+2a = 6a^2-24a+24$.
$6a^2-26a+20 = 0 \Rightarrow 3a^2-13a+10 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(3a-10)(a-1) = 0$.
તેથી,$a_1=1$ અને $a_2=\frac{10}{3}$.
અંતે,$a_1+3a_2 = 1 + 3(\frac{10}{3}) = 1+10 = 11$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $5x^2 + \frac{40}{3}xy + ky^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 5$,$2h = \frac{40}{3} \Rightarrow h = \frac{20}{3}$,અને $b = k$ મળે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{40}{3k}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{5}{k}$.
$m_1 = 3$ આપેલ હોવાથી,$3 + m_2 = -\frac{40}{3k}$ અને $3m_2 = \frac{5}{k} \Rightarrow m_2 = \frac{5}{3k}$ મળે.
સરવાળાના સમીકરણમાં $m_2$ ની કિંમત મૂકતા: $3 + \frac{5}{3k} = -\frac{40}{3k}$.
$3k$ વડે ગુણતા: $9k + 5 = -40$ $\Rightarrow 9k = -45$ $\Rightarrow k = -5$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a + b = 5 + (-5) = 0$.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે.
રેખાઓ કાટખૂણે હોય તે માટેની શરત $A + B = 0$ છે.
અહીં,$A = \alpha^2 + 12|\alpha|$ અને $B = 18 - 21|\alpha|$ છે.
$A + B = 0$ લેતા,આપણને $\alpha^2 + 12|\alpha| + 18 - 21|\alpha| = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણ $\alpha^2 - 9|\alpha| + 18 = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે $|\alpha| = t$,જ્યાં $t \ge 0$. તો $t^2 - 9t + 18 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(t - 3)(t - 6) = 0$ મળે છે.
તેથી,$t = 3$ અથવા $t = 6$.
$|\alpha| = 3$ હોવાથી,$\alpha = 3$ અથવા $\alpha = -3$.
$|\alpha| = 6$ હોવાથી,$\alpha = 6$ અથવા $\alpha = -6$.
આમ,$\alpha$ ની કુલ $4$ વાસ્તવિક કિંમતો મળે છે.

(D) રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a = 12$,$b = 7$,અને $\tan \theta = \frac{8}{19}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{8}{19} = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - 12 \times 7}}{12 + 7} \right|$.
$\frac{8}{19} = \frac{2\sqrt{h^2 - 84}}{19}$.
$8 = 2\sqrt{h^2 - 84}$.
$4 = \sqrt{h^2 - 84}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16 = h^2 - 84$.
$h^2 = 100$.
$h = \pm 10$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $xy-x-y+1=0$ ને $(x-1)(y-1)=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ બે રેખાઓ $x=1$ અને $y=1$ દર્શાવે છે.
આ રેખાઓ $x+ay-3=0$ સાથે સંગામી હોવાથી,તેમનું છેદબિંદુ $(1,1)$ એ $x+ay-3=0$ નું સમાધાન કરશે.
$(1,1)$ ને $x+ay-3=0$ માં મૂકતા,$1+a(1)-3=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a=2$.
$a=2$ ને બીજી રેખાઓની જોડીમાં મૂકતા,$2x^2-13xy-7y^2+x+23y-6=0$ મળે છે.
સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ માટે,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}\right|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $A=2, 2H=-13, B=-7$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(-13/2)^2 - (2)(-7)}}{2-7}\right| = \left|\frac{2\sqrt{169/4 + 14}}{-5}\right| = \left|\frac{2\sqrt{225/4}}{-5}\right| = \left|\frac{2(15/2)}{-5}\right| = |-3| = 3$.
$\tan \theta = 3$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-5xy+py^2+3x-8y+2=0$ ને સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, h=-\frac{5}{2}, b=p, g=\frac{3}{2}, f=-4, c=2$ મળે છે.
આ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ હોય.
કિંમતો મૂકતા: $1(p)(2) + 2(-4)(\frac{3}{2})(-\frac{5}{2}) - 1(-4)^2 - p(\frac{3}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2})^2 = 0$.
$2p + 30 - 16 - \frac{9p}{4} - \frac{25}{2} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા: $8p + 120 - 64 - 9p - 50 = 0$ $\Rightarrow -p + 6 = 0$ $\Rightarrow p=6$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{5}{2})^2 - 1(6)}}{1+6} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}-6}}{7} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{7} \right| = \frac{2(\frac{1}{2})}{7} = \frac{1}{7}$.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{1}{7}$,આપણી પાસે સામેની બાજુ $1$ અને પાસેની બાજુ $7$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. કર્ણ $\sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{50}$ છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે તે માટે $h^2=ab$ અને $af^2=bg^2$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં $a=4, h=6, b=9$ છે.
$h^2=ab$ શરત સંતોષાય છે $(36=36)$.
$af^2=bg^2$ પરથી $4f^2=9g^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f/g = 3/2$.
તેથી,$\frac{f}{g} + \frac{g}{f} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6}$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ માં,જો રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તો $A + B = 0$ થાય.
અહીં $A = a^2-3$ અને $B = -2a$ છે.
તેથી,$(a^2-3) + (-2a) = 0 \implies a^2 - 2a - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(a-3)(a+1) = 0$,એટલે કે $a = 3$ અથવા $a = -1$.
નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ ની શરત ચકાસતા,$a = 3$ માટે સમીકરણ રેખાઓની જોડ દર્શાવે છે,જ્યારે $a = -1$ માટે તે શક્ય નથી.
આમ,સાચો જવાબ $a = 3$ છે.

(A) સીધી રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $3y^2 - 8xy - 3x^2 - 29x + 3y - 18 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $-3x^2 - 8xy + 3y^2 - 29x + 3y - 18 = 0$ મળે છે.
આને સીધી રેખાઓની જોડીના સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3$ અને $b = 3$ મળે છે.
કારણ કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $a + b = -3 + 3 = 0$ છે,તેથી રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,સીધી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(D) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 4xy - 2y^2 = 0$ છે. તેને $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a$,$H = 2$,અને $B = -2$ મળે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$.
આપેલ છે કે $\tan \theta = 2\sqrt{10}$,તેથી $2\sqrt{10} = \left| \frac{2\sqrt{4 + 2a}}{a - 2} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $10 = \frac{4 + 2a}{a^2 - 4a + 4} \implies 5a^2 - 21a + 18 = 0$.
$a \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$a = 3$ મળે.
રેખાઓનું સમીકરણ $3x^2 + 4xy - 2y^2 = 0$ થાય. ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$ થાય.