Angle between the pair of straight lines, Condition for parallel and perpendicular lines Questions in Gujarati

(C) સમીકરણ $xy = 0$ એ યામ અક્ષોની જોડી દર્શાવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0$ ($y$-અક્ષ) અને $y = 0$ ($x$-અક્ષ).
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે જો $h^2 = ab$ અને $af^2 = bg^2$ હોય.
આપેલ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = 4, h = 6, b = 9$ મળે છે.
શરત $h^2 = ab$ ચકાસતા: $6^2 = 4 \times 9 \Rightarrow 36 = 36$,જે સંતોષાય છે.
શરત $af^2 = bg^2$ ચકાસતા: $4f^2 = 9g^2$ $\Rightarrow (2f)^2 = (3g)^2$ $\Rightarrow 2f = 3g$ $\Rightarrow f = \frac{3}{2}g$.
જો આપણે $g = 2$ લઈએ,તો $f = 3$ મળે.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 9 \times c + 2(3)(2)(6) - 4(3^2) - 9(2^2) - c(6^2) = 0$.
$36c + 72 - 36 - 36 - 36c = 0$.
$0 = 0$.
આ પરિણામ $c$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સાચું છે. તેથી,$g = 2, f = 3$ અને $c$ કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2xy \sec \theta + y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$h = \sec \theta$,અને $b = 1$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{1 + 1} \right|$.
કારણ કે $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$,તેથી $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{\tan^2 \theta}}{2} \right| = |\tan \theta|$.
તેથી,$\alpha = \theta$.

(A) રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ જોડી $3x^2 - 7xy + 4y^2 = 0$ માટે,$a=3, 2h=-7, b=4$ છે. તેથી $h = -3.5$.
$\tan \theta_1 = \left| \frac{2\sqrt{(-3.5)^2 - (3)(4)}}{3 + 4} \right| = \frac{1}{7}$.
તેથી,$\theta_1 = \tan^{-1}(\frac{1}{7})$.
બીજી જોડી $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ માટે,$a=6, 2h=-5, b=1$ છે. તેથી $h = -2.5$.
$\tan \theta_2 = \left| \frac{2\sqrt{(-2.5)^2 - (6)(1)}}{6 + 1} \right| = \frac{1}{7}$.
તેથી,$\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{1}{7})$.
આમ,$\theta_1 = \theta_2$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + hxy + by^2 = 0$ છે,જ્યાં $h = 1/2$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^\circ$,તેથી $\tan 45^\circ = 1$.
$1 = \left| \frac{2\sqrt{(1/2)^2 - ab}}{a + b} \right| = \left| \frac{\sqrt{1 - 4ab}}{a + b} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + b)^2 = 1 - 4ab$ મળે.
$a^2 + 2ab + b^2 = 1 - 4ab \Rightarrow a^2 + 6ab + b^2 = 1$.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા: $a = 1, b = -6$.
$1^2 + 6(1)(-6) + (-6)^2 = 1 - 36 + 36 = 1$. આ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 24xy + 16y^2 + 21x + 28y + 6 = 0$ છે.
આને $(3x + 4y)^2 + 7(3x + 4y) + 6 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $u = 3x + 4y$. તો સમીકરણ $u^2 + 7u + 6 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(u + 6)(u + 1) = 0$ મળે છે.
કિંમત પાછી મૂકતા,$(3x + 4y + 6)(3x + 4y + 1) = 0$ મળે છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $3x + 4y + 6 = 0$ અને $3x + 4y + 1 = 0$.
બંને સમીકરણોમાં $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = \sqrt{3}$,$2h = -4$ (તેથી $h = -2$),અને $b = \sqrt{3}$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2 - (\sqrt{3})(\sqrt{3})}}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{4 - 3}}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{2(1)}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,લઘુકોણ $\theta = 30^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{6}$ રેડિયન છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^2 + kxy - x^2 \tan^2 A = 0$ છે. તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -\tan^2 A$,$2h = k$,અને $b = 1$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
અહીં $\theta = 2A$ છે,તેથી $\tan 2A = \frac{2\sqrt{(k/2)^2 - (-\tan^2 A)(1)}}{1 - \tan^2 A} = \frac{2\sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}}{1 - \tan^2 A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = \frac{2\sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}}{1 - \tan^2 A}$.
આથી $\tan A = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\tan^2 A = \frac{k^2}{4} + \tan^2 A$.
તેથી,$\frac{k^2}{4} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 0$.

(C) સમીકરણ $xy = 0$ એ $x = 0$ ($y$-અક્ષ) અને $y = 0$ ($x$-અક્ષ) રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
યામ અક્ષો એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$ છે. તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$h = -12$,અને $b = 11$ મળે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \pm \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \pm \frac{2\sqrt{(-12)^2 - (4)(11)}}{4 + 11} = \pm \frac{2\sqrt{144 - 44}}{15} = \pm \frac{20}{15} = \pm \frac{4}{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\pm \frac{4}{3}\right)$.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = \lambda$,$2h = (1 - \lambda)^2$,અને $b = -\lambda$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
અહીં,$a + b = \lambda + (-\lambda) = 0$ થાય છે.
જેથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(C) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $(a + 3b)(3a + b) = 4h^2$,ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$3a^2 + ab + 9ab + 3b^2 = 4h^2 \implies 3a^2 + 10ab + 3b^2 = 4h^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $4h^2 - 4ab = 3a^2 + 10ab + 3b^2 - 4ab = 3a^2 + 6ab + 3b^2 = 3(a + b)^2$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sqrt{4h^2 - 4ab}}{a + b} = \frac{\sqrt{3(a + b)^2}}{a + b} = \sqrt{3}$.
કારણ કે $\tan \theta = \sqrt{3}$,તેથી $\theta = 60^\circ$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x^2 + y^2)\sin \theta + 2xy = 0$ છે,જેને $(\sin \theta)x^2 + 2xy + (\sin \theta)y^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓની જોડીના સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = \sin \theta$,$h = 1$,અને $b = \sin \theta$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1^2 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta + \sin \theta} \right| = \left| \frac{2\cos \theta}{2\sin \theta} \right| = |\cot \theta|$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 7xy + 4y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$2h = -7$ (તેથી $h = -7/2$),અને $b = 4$ મળે છે.
રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - (1)(4)}}{1 + 4} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 4}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{33/4}}{5} \right| = \frac{\sqrt{33}}{5}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{33}}{5}\right)$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2xy - y^2 = 0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$h = 1$,અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓ લંબ હોવાની શરત $a + b = 0$ છે.
અહીં,$a + b = 1 + (-1) = 0$.
શરત $a + b = 0$ સંતોષાય છે,તેથી રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\pi/2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - (y^2 + 2y + 1) = 0$ છે.
આને $x^2 - (y + 1)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(x - (y + 1))(x + (y + 1)) = 0$ મળે છે.
તેથી,બે રેખાઓ $x - y - 1 = 0$ અને $x + y + 1 = 0$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માટે,જો $a + b = 0$ હોય તો રેખાઓ લંબ હોય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -1$,તેથી $a + b = 1 + (-1) = 0$.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(A) બે સીધી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આને $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + 4 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$2h = 5 \implies h = 5/2$,અને $b = 3$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(5/2)^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{25/4 - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1/4}}{5} \right| = \left| \frac{2(1/2)}{5} \right| = \frac{1}{5}$.
કારણ કે $\theta = \tan^{-1} m$,તેથી $m = 1/5$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
રેખાઓ લંબ હોય જો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય,એટલે કે $a + b = 0$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $2x^2 = 4xy + 2y^2 \Rightarrow 2x^2 - 4xy - 2y^2 = 0$.
અહીં,$a = 2$ અને $b = -2$ છે.
$a + b = 2 + (-2) = 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(p - q)x^2 + 2(p + q)xy + (q - p)y^2 = 0$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = (p - q)$ અને $b = (q - p)$ મળે છે.
આ કિંમતોને $a + b = 0$ શરતમાં મૂકતા,આપણને $(p - q) + (q - p) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $0 = 0$ થાય છે.
આ નિત્યસમ $p$ અને $q$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું છે. તેથી,$p$ અને $q$ કોઈપણ કિંમત ધરાવી શકે છે.

(A) સીધી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાઓ લંબ હોય તે માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
વિકલ્પ $A$ માં,સમીકરણ $-x^2 + xy + y^2 = 0$ છે.
અહીં,$a = -1$ અને $b = 1$ છે.
તેથી $a + b = -1 + 1 = 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
$x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 - 3x - 3\sqrt{3}y - 4 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$h = \sqrt{3}$,અને $b = 3$ મળે છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાની શરત $h^2 - ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(\sqrt{3})^2 - (1)(3) = 3 - 3 = 0$ મળે છે.
$h^2 - ab = 0$ હોવાથી,સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ સમાંતર છે.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta = 0$,તેથી સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
રેખાઓ લંબ હોવાની શરત એ છે કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય,એટલે કે $a + b = 0$.
અહીં $a + b = 0$ આપેલ હોવાથી,સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,સમીકરણ બે લંબ સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2pxy + y^2 = 0$ છે. તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$h = -p$,અને $b = 1$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-p)^2 - (1)(1)}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{p^2 - 1}}{2} \right| = \sqrt{p^2 - 1}$.
$\tan \theta = \sqrt{p^2 - 1}$ હોવાથી,$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + (p^2 - 1) = p^2$ થાય.
તેથી,$\sec \theta = p$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sec^{-1} p$.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a + b = 0$.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + k_2 xy + k_1 y^2 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ અને $b = k_1$ મળે છે.
લંબ હોવાની શરત લાગુ પાડતા:
$1 + k_1 = 0$
$\Rightarrow k_1 = -1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 3x + 3y + 1 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = 5 \Rightarrow h = 5/2$,અને $b = 2$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(5/2)^2 - (2)(2)}}{2 + 2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4 - 4}}{4} \right| = \left| \frac{2\sqrt{9/4}}{4} \right| = \left| \frac{2(3/2)}{4} \right| = \frac{3}{4}$.
તેથી $\tan \theta = 3/4$ હોવાથી,$\cos \theta = 4/5$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \cos^{-1}(4/5)$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 5xy + 2y^2 - 3x + 3y + 1 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$2h = -5$ (તેથી $h = -5/2$),અને $b = 2$ મળે છે.
બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-5/2)^2 - (2)(2)}}{2 + 2} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{25/4 - 4}}{4} \right| = \left| \frac{2\sqrt{9/4}}{4} \right| = \left| \frac{2(3/2)}{4} \right| = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 = 0$ છે.
આને $(x - y)(x + y) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આમ,બે રેખાઓ $x - y = 0$ અને $x + y = 0$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,તેથી રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(B) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$a + b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = -b$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 4xy + y^2 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$2h = 4 \implies h = 2$,અને $b = 1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2 - (1)(1)}}{1 + 1} \right| = \frac{2\sqrt{4 - 1}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 7xy + 3y^2 = 0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$2h = -7$ (તેથી $h = -7/2$),અને $b = 3$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4}}{5} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2 \times (5/2)}{5} \right| = \left| \frac{5}{5} \right| = 1$.
તેથી $\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = 45^o$ મળે છે.

(C) રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે,જ્યાં $a = \cos \theta - \sin \theta$,$h = \cos \theta$,અને $b = \cos \theta + \sin \theta$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના લઘુકોણ $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
પ્રથમ,$h^2 - ab = \cos^2 \theta - (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \sin^2 \theta$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$a + b = 2\cos \theta$ મેળવો.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\tan \phi = \frac{2\sin \theta}{2\cos \theta} = \tan \theta$.
આમ,$\phi = \theta$.

(A) આપેલ સમીકરણ ${x^2} - 3xy + \lambda {y^2} + 3x - 5y + 2 = 0$ છે. તેને $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$2h = -3$ (તેથી $h = -\frac{3}{2}$),અને $b = \lambda$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\frac{9}{4} - \lambda}}{1 + \lambda}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{9 - 4\lambda}{(1 + \lambda)^2}$.
$(1 + \lambda)^2 = 81 - 36\lambda \implies \lambda^2 + 38\lambda - 80 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\lambda + 40)(\lambda - 2) = 0$.
$\lambda$ અ-ઋણ હોવાથી,$\lambda = 2$ મળે.

(A) આપેલ સમીકરણને સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$2h = -1 \implies h = -1/2$,અને $b = -6$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-1/2)^2 - (1)(-6)}}{1 + (-6)} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{1/4 + 6}}{-5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4}}{-5} \right| = \left| \frac{2 \times (5/2)}{-5} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = |-1| = 1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^o$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ છે.
$\cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$ હોવાથી,સમીકરણ $-x^2 \sin^2 \theta - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ બને છે.
$-\sin^2 \theta$ વડે ભાગતા,$x^2 + xy - y^2 = 0$ મળે છે.
આને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$2h = 1$,અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ સૂત્ર છે.
અહીં,$a + b = 1 + (-1) = 0$ છે.
છેદ શૂન્ય હોવાથી,$\tan \alpha$ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટેની શરત એ છે કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $A + B = 0$.
આપેલ સમીકરણ $3ax^2 + 5xy + (a^2 - 2)y^2 = 0$ માં,$A = 3a$ અને $B = a^2 - 2$ છે.
$A + B = 0$ લેતા,આપણને $3a + a^2 - 2 = 0$ મળે છે,જે $a^2 + 3a - 2 = 0$ માં પરિણમે છે.
આ $a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$ છે.
$D > 0$ હોવાથી,$a^2 + 3a - 2 = 0$ સમીકરણને $a$ માટે બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે.
તેથી,રેખાઓ $a$ ના બે મૂલ્યો માટે એકબીજાને લંબ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - 3xy + \lambda y^2 + 3x - 5y + 2 = 0$ ને સરખાવતા,$a=1, h=-3/2, b=\lambda, g=3/2, f=-5/2, c=2$ મળે છે.
શરત મુજબ $\lambda = 2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} = \frac{2\sqrt{(-3/2)^2 - (1)(2)}}{1+2} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,$\text{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + (3)^2 = 10$.

(B) રેખાઓ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$h = a + b$,તેથી $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{a^2 + ab + b^2}}{a + b} \right|$.
રેખાઓ વર્તુળને $\theta$ અને $\pi - \theta$ ખૂણાવાળા ચાર વૃત્તાંશમાં વિભાજિત કરે છે.
આપેલ છે કે એક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ બીજા કરતા ત્રણ ગણું છે,તેથી $\pi - \theta = 3\theta$,જેનો અર્થ છે કે $4\theta = \pi$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\tan^2 \theta = \tan^2(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$\frac{4(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)^2} = 1$.
$4a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$3a^2 + 2ab + 3b^2 = 0$.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તેની શરત એ છે કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ,એટલે કે $a + b = 0$.
આપેલ સમીકરણ $(p - q) x^2 + 2 (p + q) xy + (q - p) y^2 = 0$ માં,$a = (p - q)$ અને $b = (q - p)$ છે.
શરત $a + b = 0$ લાગુ પાડતા:
$(p - q) + (q - p) = 0$
$0 = 0$.
આમ,$0 = 0$ એ $p$ અને $q$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સાચું છે,તેથી રેખાઓ $p$ અને $q$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે લંબ છે.

(A) ધારો કે $x^2 - 2pxy + y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલ સમીકરણને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = 1$ અને $2h = -2p$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $h = -p$.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-p)^2 - (1)(1)}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{p^2 - 1}}{2} \right| = \sqrt{p^2 - 1}$ મળે.
કારણ કે $\tan^2 \theta = p^2 - 1$,તેથી $p^2 = 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ થાય.
આમ,$\sec \theta = p$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sec^{-1}(p)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 12, b = -p$.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,$a + b = 0$ થાય.
તેથી,$12 - p = 0 \implies p = 12$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાઓની જોડ દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
$x^2 - 3xy + \lambda y^2 + 3x - 5y + 2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=\lambda, c=2, h=-3/2, g=3/2, f=-5/2$ મળે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$(1)(\lambda)(2) + 2(-5/2)(3/2)(-3/2) - 1(-5/2)^2 - \lambda(3/2)^2 - 2(-3/2)^2 = 0$
$2\lambda + 45/4 - 25/4 - 9\lambda/4 - 18/4 = 0$
$-\lambda/4 + 2/4 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan\theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$.
$\tan\theta = \left| \frac{2\sqrt{(-3/2)^2 - (1)(2)}}{1+2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{9/4 - 2}}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1/4}}{3} \right| = 1/3$.
તેથી,$\text{cosec}^2\theta = 1 + \cot^2\theta = 1 + (1/\tan\theta)^2 = 1 + (3)^2 = 10$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 7xy + 3y^2 = 0$ છે.
તેને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = -7 \Rightarrow h = -7/2$,અને $b = 3$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4}}{5} \right| = \left| \frac{2 \times (5/2)}{5} \right| = \left| \frac{5}{5} \right| = 1$.
તેથી $\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = 45^o$ મળે છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાઓની જોડ દર્શાવે જો $\Delta = 0$ હોય,જ્યાં $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$.
આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 6xy + by^2 - 10x + 10y - 6 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a=a, h=3, b=b, g=-5, f=5, c=-6$ મળે.
$\Delta = 0$ ની શરત મુજબ:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 3 & -5 \\ 3 & b & 5 \\ -5 & 5 & -6 \end{array}\right| = 0$
$a(-6b - 25) - 3(-18 + 25) - 5(15 + 5b) = 0$
$-6ab - 25a - 21 - 75 - 25b = 0$
$25a + 25b + 6ab + 96 = 0 \quad \dots(1)$
રેખાઓ લંબ હોય તે માટે $x^2$ નો સહગુણક અને $y^2$ ના સહગુણકનો સરવાળો શૂન્ય થાય,એટલે કે $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$.
સમીકરણ $(1)$ માં $b = -a$ મૂકતા:
$25a + 25(-a) + 6a(-a) + 96 = 0$
$-6a^2 + 96 = 0$
$6a^2 = 96$
$a^2 = 16$
$|a| = 4$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 - 2y - 1 = 0$ છે.
આને $x^2 - (y^2 + 2y + 1) = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આનું સાદું રૂપ $x^2 - (y + 1)^2 = 0$ થાય છે.
તફાવતના વર્ગના સૂત્ર $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x - (y + 1))(x + (y + 1)) = 0$.
$(x - y - 1)(x + y + 1) = 0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x - y - 1 = 0$ અને $L_2: x + y + 1 = 0$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,તેથી રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(A) રેખાઓની જોડ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ $3x^2 - 7xy + 4y^2 = 0$ માટે,$a=3, h=-7/2, b=4$ મળે.
$\tan \theta_1 = \left| \frac{2\sqrt{(-7/2)^2 - 3(4)}}{3+4} \right| = \left| \frac{2\sqrt{49/4 - 12}}{7} \right| = \frac{1}{7}$.
બીજા સમીકરણ $6x^2 - 5xy + y^2 = 0$ માટે,$a=6, h=-5/2, b=1$ મળે.
$\tan \theta_2 = \left| \frac{2\sqrt{(-5/2)^2 - 6(1)}}{6+1} \right| = \left| \frac{2\sqrt{25/4 - 6}}{7} \right| = \frac{1}{7}$.
આમ,$\tan \theta_1 = \tan \theta_2$ હોવાથી,$\theta_1 = \theta_2$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2xy - y^2 = 0$ છે.
તેને રેખાઓની જોડના વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$h = 1$,અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
અહીં $a + b = 1 + (-1) = 0$ હોવાથી,છેદ $0$ થાય છે.
જ્યારે છેદ $0$ હોય,ત્યારે $\tan \theta$ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \pi / 2$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $a + b = 0$ હોય,તો રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
તેથી,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2 = \frac{4(h^2 - ab)}{b^2}$.
તેથી,$|m_1 - m_2| = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$.
આમ,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^2 + kxy - x^2 \tan^2 A = 0$ છે. તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -\tan^2 A$,$2h = k$,અને $b = 1$ મળે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
અહીં $\theta = 2A$ આપેલ છે,તેથી $\tan 2A = \left| \frac{2\sqrt{(k/2)^2 - (-\tan^2 A)(1)}}{-\tan^2 A + 1} \right|$.
$\tan 2A = \left| \frac{2\sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}}{1 - \tan^2 A} \right|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = \frac{2\sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}}{1 - \tan^2 A}$.
$\tan A = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \tan^2 A}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\tan^2 A = \frac{k^2}{4} + \tan^2 A$.
$\frac{k^2}{4} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 0$.