Mathematical logic Questions in Hindi

(D) कथन $p \Rightarrow \sim (p \wedge \sim q)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसकी सत्यता सारणी बनाते हैं:

$p$	$q$	$\sim q$	$p \wedge \sim q$	$\sim (p \wedge \sim q)$	$p \Rightarrow \sim (p \wedge \sim q)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$

चूंकि अंतिम कॉलम में $T$ और $F$ दोनों हैं,इसलिए यह कथन न तो पुनरुक्ति है और न ही व्याघात। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) बूलियन व्यंजक का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\vee$ को $\wedge$ से,$\wedge$ को $\vee$ से,$1$ को $0$ से और $0$ को $1$ से बदलते हैं।
दिया गया व्यंजक: $(x \vee y) \wedge (x \vee 1) = x \vee (x \wedge y) \vee y$
नियमों को लागू करने पर:
$1$. $\vee$ को $\wedge$ से और $\wedge$ को $\vee$ से बदलें।
$2$. $1$ को $0$ से बदलें।
द्वैत व्यंजक: $(x \wedge y) \vee (x \wedge 0) = x \wedge (x \vee y) \wedge y$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(C) कथन-$I$ के लिए: $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv \sim ((p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p))$
$\equiv \sim (p$ $\rightarrow q) \vee \sim (q$ $\rightarrow p)$
$\equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$.
अतः,कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ के लिए: $p$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q) \equiv \sim p \vee (\sim p \vee q) \equiv (\sim p \vee \sim p) \vee q \equiv \sim p \vee q$.
यह एक पुनरुक्ति नहीं है (यह $p$ और $q$ के सत्य मानों पर निर्भर करता है)।
अतः,कथन-$II$ असत्य है।

(B) माना $p$ कथन '$96, 2$ से विभाज्य है' है और $q$ कथन '$96, 3$ से विभाज्य है' है।
दिया गया कथन $p \land q$ है।
संयोजन $p \land q$ का निषेध $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ है '$96, 2$ से विभाज्य नहीं है' और $\sim q$ है '$96, 3$ से विभाज्य नहीं है'।
अतः,निषेध '$96, 2$ से विभाज्य नहीं है या $96, 3$ से विभाज्य नहीं है' है।

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $p \Rightarrow q$ का निषेध तार्किक तुल्यता $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge (\sim q)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ है '$5, 2$ से बड़ा नहीं है' और $q$ है '$\text{जयपुर राजस्थान की राजधानी है}$'।
अतः,$\sim q$ है '$\text{जयपुर राजस्थान की राजधानी नहीं है}$'।
निषेध $p \wedge (\sim q)$ है,जो '$5, 2$ से बड़ा नहीं है और $\text{जयपुर राजस्थान की राजधानी नहीं है}$' है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) हम प्रत्येक युग्म की तार्किक समतुल्यता की जाँच करते हैं:
$A$. $\sim (\sim p) \equiv p$ (डबल निगेशन का नियम)। ये समतुल्य हैं।
$B$. $p \vee (p \wedge q) \equiv p$ (अवशोषण का नियम)। चूँकि $p \not\equiv q$,इसलिए ये तार्किक रूप से समतुल्य नहीं हैं।
$C$. $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ (डी मॉर्गन का नियम)। ये समतुल्य हैं।
$D$. $\sim (\sim p \wedge q) \equiv \sim (\sim p) \vee \sim q \equiv p \vee \sim q$ (डी मॉर्गन का नियम)। ये समतुल्य हैं।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया युग्म तार्किक रूप से समतुल्य नहीं है।

(C) $p \to (p \leftrightarrow q)$ के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$p$ | $q$ | $p \leftrightarrow q$ | $p \to (p \leftrightarrow q)$
$T$ | $T$ | $T$ | $T$
$T$ | $F$ | $F$ | $F$
$F$ | $T$ | $F$ | $T$
$F$ | $F$ | $T$ | $T$
अब,विकल्प $C$ का मूल्यांकन करने पर: $(q \to p) \to (p \to q)$
$p$ | $q$ | $q \to p$ | $p \to q$ | $(q \to p) \to (p \to q)$
$T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$
$T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$
$F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$
$F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
चूंकि $p$ और $q$ के सभी संयोजनों के लिए सत्यता मान समान हैं,इसलिए कथन $p \to (p \leftrightarrow q)$,$(q \to p) \to (p \to q)$ के तार्किक रूप से समतुल्य है.

(B) कथन $p$ है "$2 \times 4 = 8$",जो सत्य है,इसलिए $p = T$.
कथन $q$ है "$4$,$7$ को विभाजित करता है",जो असत्य है,इसलिए $q = F$.
अब,हम प्रत्येक द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन के लिए सत्य मानों का मूल्यांकन करते हैं:
$(i)$ $p \leftrightarrow q$ है $T \leftrightarrow F$,जो $F$ है।
$(ii)$ $\sim p \leftrightarrow q$ है $\sim T \leftrightarrow F$,जो $F \leftrightarrow F$ है,इसलिए यह $T$ है।
$(iii)$ $\sim q \leftrightarrow p$ है $\sim F \leftrightarrow T$,जो $T \leftrightarrow T$ है,इसलिए यह $T$ है।
$(iv)$ $\sim p \leftrightarrow \sim q$ है $\sim T \leftrightarrow \sim F$,जो $F \leftrightarrow T$ है,इसलिए यह $F$ है।
अतः,सत्य मान $F, T, T, F$ हैं।

(D) "यदि $P$,तो $Q$" रूप के सशर्त कथन का विलोम "यदि $Q$,तो $P$" होता है।
यहाँ,कथन "यदि $p < q$,तो $p - x < q - x$" है।
माना $P$ है $p < q$ और $Q$ है $p - x < q - x$।
अतः,विलोम "यदि $Q$,तो $P$" अर्थात "यदि $p - x < q - x$,तो $p < q$" होगा।

(B) हमें $p \wedge (\sim q \vee \sim r)$ का निषेध ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$ होता है।
$\sim (p \wedge (\sim q \vee \sim r)) = \sim p \vee \sim (\sim q \vee \sim r)$।
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर,$\sim (\sim q \vee \sim r) = (\sim \sim q \wedge \sim \sim r) = (q \wedge r)$।
अतः,व्यंजक $\sim p \vee (q \wedge r)$ हो जाता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ होता है।
इसलिए,$\sim p \vee (q \wedge r) = (\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee r)$।

(A) कथन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी बनाते हैं:

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$(p \wedge \sim q)$	$(\sim p \vee q)$	$(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$F$

चूंकि अंतिम कॉलम में $p$ और $q$ के सभी संभावित सत्यता मानों के लिए केवल $F$ (असत्य) है,इसलिए यह कथन एक व्याघात है।

(D) कथन $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$ के असत्य होने के लिए,पूर्ववर्ती $(p \rightarrow q)$ का सत्य होना और परिणामी $(q \rightarrow r)$ का असत्य होना आवश्यक है।
$(q \rightarrow r)$ के असत्य होने के लिए,$q$ का सत्य $(T)$ और $r$ का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
$q = T$ को पूर्ववर्ती $(p \rightarrow q)$ में रखने पर,हमें $(p \rightarrow T)$ प्राप्त होता है,जो $p$ के किसी भी सत्यता मान के लिए सदैव सत्य होता है।
अतः,$p$ सत्य या असत्य हो सकता है,$q$ सत्य होना चाहिए,और $r$ असत्य होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर,$(p, q, r) = (F, T, F)$ इस शर्त को पूरा करता है।

(B) सत्यता मान निर्धारित करने के लिए,हम $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ की तार्किक समतुल्यता का विश्लेषण करते हैं।
हम जानते हैं कि $(p \leftrightarrow \sim q)$ तब सत्य होता है जब $p$ और $\sim q$ का सत्यता मान समान हो,जिसका अर्थ है कि $p$ और $q$ के सत्यता मान विपरीत हैं।
अतः,$(p \leftrightarrow \sim q)$ का मान $\sim (p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।
इसलिए,$\sim (p \leftrightarrow \sim q) \equiv \sim (\sim (p \leftrightarrow q)) \equiv (p \leftrightarrow q)$।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया कथन सत्य है।

(B) माना $p$ कथन है: "मैं कॉलेज जाऊँगा".
माना $q$ कथन है: "मैं इंजीनियर बनूँगा".
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ के रूप में है.
$p \rightarrow q$ का निषेध $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है.
अतः,निषेध है: "मैं कॉलेज जाऊँगा और मैं इंजीनियर नहीं बनूँगा."

(D) $1$. $p$ का विश्लेषण: फलन $f(x) = x$ एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = -x = -f(x)$। अतः,$p$ असत्य है ($\sim p$ सत्य है)।
$2$. $q$ का विश्लेषण: द्विपद गुणांक ${}^nC_m$ $n$ में से $m$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है,जो हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है। अतः,$q$ सत्य है।
$3$. $r$ का विश्लेषण: यदि $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$ है,तो $\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b} = 0$। शून्य सदिश के लिए एक गैर-शून्य रैखिक संयोजन मौजूद है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं। अतः,$r$ सत्य है।
$4$. विकल्पों का मूल्यांकन:
- $A: (p \wedge q) = (F \wedge T) = F$
- $B: (p \vee q) \wedge \sim r = (F \vee T) \wedge F = T \wedge F = F$
- $C: \sim (q \wedge r) \vee p = \sim (T \wedge T) \vee F = \sim T \vee F = F \vee F = F$
- $D: \sim p \vee (q \wedge r) = \sim F \vee (T \wedge T) = T \vee T = T$
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन सत्य है।

(D) प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow r$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $r$ असत्य हो।
यहाँ,कथन $p \rightarrow \sim q$ है।
इसे असत्य होने के लिए,$p$ को सत्य होना चाहिए और $\sim q$ को असत्य होना चाहिए।
यदि $\sim q$ असत्य है,तो $q$ को सत्य होना चाहिए।
अतः,कथन $p \rightarrow \sim q$ तब असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $q$ सत्य हो।

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $S = (p \wedge \sim q \wedge \sim r) \vee (\sim p \wedge q \wedge \sim r) \vee (\sim p \wedge \sim q \wedge r)$ है।
यह व्यंजक उस स्थिति को दर्शाता है जहाँ तीन कथनों $p, q, r$ में से ठीक एक सत्य है।
व्यंजक $(p \vee q \vee r) \wedge \sim ((p \wedge q) \vee (q \wedge r) \vee (r \wedge p))$ पर विचार करें।
$(p \vee q \vee r)$ तब सत्य होता है जब $p, q, r$ में से कम से कम एक सत्य हो।
$((p \wedge q) \vee (q \wedge r) \vee (r \wedge p))$ तब सत्य होता है जब $p, q, r$ में से कम से कम दो सत्य हों।
इसलिए,उनका संयोजन केवल तभी सत्य होता है जब $p, q, r$ में से ठीक एक सत्य हो।
यह दिए गए व्यंजक $S$ से मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
माना व्यंजक $S = p \wedge ((q \vee t) \wedge p)$ है।
चूंकि $q \vee t$ एक पुनरुक्ति है,इसलिए $q \vee t \equiv t$ है।
अतः,$S = p \wedge (t \wedge p) = p \wedge p = p$ है।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $[p \to (q \vee r) \wedge (p \vee t)] \leftrightarrow [\sim(q \vee r) \to \sim p]$ प्राप्त होता है।
बायाँ पक्ष $p \to (q \vee r)$ के बराबर है और दायाँ पक्ष भी $(q \vee r) \vee \sim p$ के बराबर है,जो समान हैं। इसलिए यह एक पुनरुक्ति है।

(A) सबसे पहले,दिए गए कथन का विश्लेषण करें: $(p \to \sim p) \to (p \to q)$.
$A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sim (p \to \sim p) \lor (\sim p \lor q)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sim (p \to \sim p) \equiv \sim (\sim p \lor \sim p) \equiv \sim (\sim p) \equiv p$,व्यंजक $p \lor \sim p \lor q$ में सरल हो जाता है,जो एक पुनरुक्ति $(T)$ है।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $(p \to p) \to (p \to \sim p) \equiv T \to (\sim p \lor \sim p) \equiv \sim p \lor \sim p \equiv \sim p$. यह एक पुनरुक्ति नहीं है।
विकल्प $B$: $q \to (p \to q) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor q) \equiv (\sim q \lor q) \lor \sim p \equiv T \lor \sim p \equiv T$.
विकल्प $C$: $(q \to \sim p) \to (q \to p) \equiv \sim (\sim q \lor \sim p) \lor (\sim q \lor p) \equiv (q \land p) \lor \sim q \lor p \equiv (q \lor \sim q) \land (p \lor \sim q) \lor p \equiv T \land (p \lor \sim q \lor p) \equiv p \lor \sim q$. यह एक पुनरुक्ति नहीं है।

(C) मान लीजिए $p$ कथन "$3^2 = 10$" है और $q$ कथन "मुझे दूसरा पुरस्कार मिलता है" है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि निहितार्थ की तार्किक समतुल्यता $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ होती है।
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ "$3^2 \neq 10$" है और $q$ का अर्थ "मुझे दूसरा पुरस्कार मिलता है" है।
अतः,यह कथन "$3^2 \neq 10$ या मुझे दूसरा पुरस्कार मिलता है" के समतुल्य है।

(C) दिए गए कथन हैं:
$A$: कमल गुलाबी हैं
$B$: पृथ्वी एक ग्रह है
नकारात्मक कथन $\sim A$ है: कमल गुलाबी नहीं हैं
तार्किक अभिव्यक्ति $(\sim A) \vee B$ वियोजन (disjunction) को दर्शाती है: $(\sim A) \text{ या } B$
कथनों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sim A) \vee B$: कमल गुलाबी नहीं हैं या पृथ्वी एक ग्रह है।

(C) दिया गया कथन $P$ "प्रत्येक $x$ के लिए,$Q(x)$ या $R(x)$" के रूप में है,जहाँ $Q(x)$ का अर्थ $x > 5$ है और $R(x)$ का अर्थ $x < 5$ है।
सार्वत्रिक क्वांटिफायर ("प्रत्येक के लिए") वाले कथन का निषेध करने के लिए,हम क्वांटिफायर को अस्तित्ववाचक क्वांटिफायर ("मौजूद है") में बदलते हैं और आंतरिक कथन का निषेध करते हैं।
"प्रत्येक $x$ के लिए,$Q(x)$ या $R(x)$" का निषेध "एक ऐसा $x$ मौजूद है जिसके लिए $\sim(Q(x) \lor R(x))$" होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(Q(x) \lor R(x))$ का मान $\sim Q(x) \land \sim R(x)$ के बराबर होता है।
यहाँ,$\sim(x > 5)$ का अर्थ $x \leq 5$ है और $\sim(x < 5)$ का अर्थ $x \geq 5$ है।
अतः,निषेध है: "एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ मौजूद है जिसके लिए $x \leq 5$ और $x \geq 5$ है"।
इसका अर्थ यह है: "एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ मौजूद है जिसके लिए न तो $x > 5$ है और न ही $x < 5$ है" (जो $x = 5$ के लिए सत्य है)।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) कथन $(p \to q) \leftrightarrow (q \vee \sim p)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी बनाते हैं:

$p$	$q$	$\sim p$	$p \to q$	$q \vee \sim p$	$(p \to q) \leftrightarrow (q \vee \sim p)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$

चूंकि अंतिम कॉलम में केवल $T$ (सत्य) मान हैं,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति (Tautology) है.

(A) कथन $q \wedge (\sim p \vee \sim r)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हैं।
माना कथन $S = q \wedge (\sim p \vee \sim r)$ है।
इसका निषेध $\sim S = \sim (q \wedge (\sim p \vee \sim r))$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम $\sim (A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$ का उपयोग करने पर:
$\sim S = \sim q \vee \sim (\sim p \vee \sim r)$।
अब,$\sim (A \vee B) = \sim A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर:
$\sim S = \sim q \vee (\sim (\sim p) \wedge \sim (\sim r))$।
चूँकि $\sim (\sim p) = p$ और $\sim (\sim r) = r$,हमें प्राप्त होता है:
$\sim S = \sim q \vee (p \wedge r)$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिए गए कथन $p \to (\sim q \wedge \sim r)$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim(\sim q \wedge \sim r)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,यह $\sim p \to (q \vee r)$ में सरल हो जाता है।
एक सशर्त कथन केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती सत्य हो और परिणामी असत्य हो।
इसलिए,$\sim p \equiv T$ और $(q \vee r) \equiv F$ है।
$\sim p \equiv T$ से,हमें $p \equiv F$ प्राप्त होता है।
$(q \vee r) \equiv F$ से,$q$ और $r$ दोनों को असत्य होना चाहिए,इसलिए $q \equiv F$ और $r \equiv F$ है।
अतः,सत्यता मान $p \equiv F, q \equiv F, r \equiv F$ हैं।

(B) माना कि $p$ कथन 'जयपुर राजस्थान की राजधानी है' है और $q$ कथन 'जयपुर भारत में है' है।
दिया गया कथन $p \to q$ के रूप में है।
$p \to q$ का प्रतिधनात्मक $(\sim q) \to (\sim p)$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$\sim q$ का अर्थ है 'जयपुर भारत में नहीं है' और $\sim p$ का अर्थ है 'जयपुर राजस्थान की राजधानी नहीं है'।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन 'यदि जयपुर भारत में नहीं है,तो जयपुर राजस्थान की राजधानी नहीं है' होगा।

(B) कथन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$(p \wedge q) \rightarrow p$	$\sim q$	$q \wedge \sim q$	$[(p \wedge q)$ $\rightarrow p]$ $\rightarrow (q \wedge \sim q)$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$

चूंकि अंतिम कॉलम में $p$ और $q$ के सभी संभावित सत्यता मानों के लिए केवल $F$ (असत्य) है,इसलिए यह कथन एक व्याघात (contradiction) है।

(B) मान लीजिए $p$ कथन है: "भारत मैच जीतता है"।
मान लीजिए $q$ कथन है: "भारत फाइनल में पहुँचेगा"।
दिया गया कथन एक प्रतिज्ञप्ति (implication) $p \implies q$ के रूप में है।
प्रतिज्ञप्ति $p \implies q$ का निषेध $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ है "भारत मैच जीतता है" और $\sim q$ है "भारत फाइनल में नहीं पहुँचेगा"।
अतः,निषेध है: "भारत मैच जीतता है और भारत फाइनल में नहीं पहुँचेगा"।

(A) दिया गया तार्किक कथन $(p \wedge \sim q) \wedge r \to \sim r = F$ है।
एक निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य $(F)$ होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
अतः,$(p \wedge \sim q) \wedge r = T$ और $\sim r = F$ है।
$\sim r = F$ से,हमें $r = T$ प्राप्त होता है।
प्रथम भाग की जाँच करने पर: यदि $r = T$ है,तो $(p \wedge \sim q) \wedge T = T$,जिसका अर्थ है कि $(p \wedge \sim q) = T$ है।
यह तब संभव है यदि $p = T$ और $q = F$ हो।
अतः,$r$ का सत्यता मान $T$ है।

(A) कथन $(p \wedge q) \Rightarrow p$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सत्यता सारणी (Truth Table) बनाते हैं:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$(p \wedge q) \Rightarrow p$
$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

चूंकि कथन $(p \wedge q) \Rightarrow p$ का सत्यता मान $p$ और $q$ के सभी संभावित मानों के लिए $T$ है,इसलिए यह एक पुनरुक्ति (Tautology) है।

(B) तार्किक समतुल्यता की परिभाषा के अनुसार,द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन $p \Leftrightarrow q$ को दो प्रतिबंधात्मक कथनों $p \Rightarrow q$ और $q \Rightarrow p$ के संयोजन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$p \Leftrightarrow q \equiv (p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$.

(A) कथन $\sim p \vee (p \vee (\sim q))$ का निषेध $\sim (\sim p \vee (p \vee \sim q))$ द्वारा प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$,हमें मिलता है:
$p \wedge \sim (p \vee \sim q)$.
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$.
इस प्रकार,व्यंजक $p \wedge (\sim p \wedge q)$ बन जाता है।
साहचर्य नियम के अनुसार,यह $(\sim p \wedge p) \wedge q$ के बराबर है,जो $F \wedge q = F$ होता है।

(B) कथन $(p \wedge q) \to (p \vee q)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$p \vee q$	$(p \wedge q) \to (p \vee q)$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

चूंकि अंतिम कॉलम में सभी सत्यता मान $T$ (सत्य) हैं,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है।

(B) एक सशर्त कथन $p \Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\neg q \Rightarrow \neg p$ होता है। प्रतिधनात्मक का सत्यता मान मूल कथन के सत्यता मान के समान होता है।
कथन $P: p \Rightarrow q$ के लिए,जहाँ $p$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य) और $q$ है '$7, 2$ से विभाज्य है' (असत्य)।
चूंकि $T \Rightarrow F$ का मान $F$ होता है,इसलिए सत्यता मान $V_1 = F$ है।
कथन $Q: p \Rightarrow q$ के लिए,जहाँ $p$ है '$7$ एक अभाज्य संख्या है' (सत्य) और $q$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य)।
चूंकि $T \Rightarrow T$ का मान $T$ होता है,इसलिए सत्यता मान $V_2 = T$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(V_1, V_2) = (F, T)$ है।

(C) एक सशर्त कथन $p \to q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \to \sim p$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $p$ कथन है: "वर्ग की भुजा दोगुनी हो जाती है।"
मान लीजिए $q$ कथन है: "उसका क्षेत्रफल चार गुना बढ़ जाता है।"
अतः प्रतिधनात्मक $\sim q \to \sim p$ है: "यदि वर्ग का क्षेत्रफल चार गुना नहीं बढ़ता है,तो उसकी भुजा दोगुनी नहीं होती है।"
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(D) एक सशर्त कथन "यदि $P$,तो $Q$" का प्रतिधनात्मक "यदि $Q$ नहीं,तो $P$ नहीं" के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन: "यदि बारिश हो रही है $(P)$,तो मैं नहीं आऊंगा $(Q)$"।
यहाँ,$P$ है "बारिश हो रही है" और $Q$ है "मैं नहीं आऊंगा"।
इसलिए,"$Q$ नहीं" है "मैं आऊंगा" और "$P$ नहीं" है "बारिश नहीं हो रही है"।
अतः,प्रतिधनात्मक "यदि मैं आऊंगा,तो बारिश नहीं हो रही है" है।

(D) मान लीजिए कथन $P$,$Q$,और $R$ हैं।
"सुमन प्रतिभाशाली और बेईमान है" को $P \wedge \sim R$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
"सुमन अमीर है" को $Q$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
कथन "सुमन प्रतिभाशाली और बेईमान है यदि और केवल यदि सुमन अमीर है" को $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
हम जानते हैं कि $A \leftrightarrow B$ का निषेध $\sim A \leftrightarrow B$ या $A \leftrightarrow \sim B$ होता है।
इसलिए,$(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ का निषेध $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow \sim Q$ है,जो $\sim Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R)$ के समतुल्य है।

(B) दिया गया कथन है "यदि बारिश नहीं होती है,तो मैं स्कूल जाता हूँ"।
माना $p$ कथन "बारिश नहीं होती है" है और $q$ कथन "मैं स्कूल जाता हूँ" है।
दिया गया कथन $p \Rightarrow q$ के रूप में है।
$p \Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \Rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$\sim q$ का अर्थ है "मैं स्कूल नहीं जाता हूँ" और $\sim p$ का अर्थ है "बारिश होती है"।
अतः,प्रतिधनात्मक "यदि मैं स्कूल नहीं जाता हूँ,तो बारिश होती है" है।

(C) दिया गया व्यंजक $\sim (p \vee \sim q) \vee \sim (p \vee q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$.
अतः,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$ और $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
व्यंजक $(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ हो जाता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हम $\sim p$ को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$\sim p \wedge (q \vee \sim q)$.
चूंकि $(q \vee \sim q)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है,
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(B) दिया गया कथन $p \Rightarrow (q \vee r)$ है।
तार्किक समतुल्यता $A$ $\Rightarrow (B \vee C) \equiv (A$ $\Rightarrow B) \vee (A$ $\Rightarrow C)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं।
अतः,$p \Rightarrow (q \vee r)$ का समतुल्य $(p$ $\Rightarrow q) \vee (p$ $\Rightarrow r)$ है।

(C) दिया गया कथन $p \Rightarrow q$ के रूप में है,जहाँ $p$ है "मैं अच्छा महसूस नहीं कर रहा हूँ" और $q$ है "मैं डॉक्टर के पास जाऊँगा"।
$p \Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\neg q \Rightarrow \neg p$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$\neg q$ है "मैं डॉक्टर के पास नहीं जाऊँगा" और $\neg p$ है "मैं अच्छा महसूस कर रहा हूँ"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है "यदि मैं डॉक्टर के पास नहीं जाऊँगा,तो मैं अच्छा महसूस कर रहा हूँ"।

(C) कथन $-1$ के लिए:
$A \to (B \to A) \equiv \sim A \vee (\sim B \vee A) \equiv (\sim A \vee A) \vee \sim B \equiv T \vee \sim B \equiv T$.
$A \to (A \vee B) \equiv \sim A \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$.
चूंकि दोनों $T$ (पुनरुक्ति) के समतुल्य हैं,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए:
माना $P = (A \wedge B) \to (\sim A \vee B)$.
यदि $A=T, B=T$ है,तो $P = (T \wedge T) \to (F \vee T) = T \to T = T$.
अतः $\sim P = \sim T = F$.
चूंकि यह कथन सभी सत्यता मानों के लिए सत्य नहीं है,यह एक पुनरुक्ति नहीं है। अतः,कथन $-2$ असत्य है।

(B) हम दिए गए कथन और विकल्पों के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं। कथन $p \to (q \to p)$,$\neg p \vee (\neg q \vee p)$ के समतुल्य है,जो सरल होकर $(\neg p \vee p) \vee \neg q$ बनता है,जो $T \vee \neg q = T$ (एक पुनरुक्ति) है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $p \to (p \vee q)$,$\neg p \vee (p \vee q)$ के समतुल्य है,जो सरल होकर $(\neg p \vee p) \vee q$ बनता है,जो $T \vee q = T$ (एक पुनरुक्ति) है।
चूँकि दोनों कथन पुनरुक्ति हैं,इसलिए वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं।

(A) प्रत्येक विकल्प के लिए उदाहरणों की जाँच करने पर:
विकल्प $(D)$ के लिए,$Q \to P$: मान लीजिए $m = 8$ और $n = 4$ है। $n^2 = 16$ है। चूँकि $8$,$16$ को विभाजित करता है,$Q$ सत्य है। लेकिन $8$,$4$ को विभाजित नहीं करता है,इसलिए $P$ असत्य है। अतः,$Q \to P$ असत्य है।
विकल्प $(C)$ के लिए,$Q \to R$: मान लीजिए $m = 12$ और $n = 6$ है। $n^2 = 36$ है। चूँकि $12$,$36$ को विभाजित करता है,$Q$ सत्य है। लेकिन $12$ अभाज्य नहीं है,इसलिए $R$ असत्य है। अतः,$Q \to R$ असत्य है।
विकल्प $(B)$ के लिए,$P \wedge Q \to R$: मान लीजिए $m = 4$ और $n = 8$ है। $P$ सत्य है ($4$,$8$ को विभाजित करता है) और $Q$ सत्य है ($4$,$64$ को विभाजित करता है)। लेकिन $m = 4$ अभाज्य नहीं है,इसलिए $R$ असत्य है। अतः,$P \wedge Q \to R$ असत्य है।
विकल्प $(A)$ के लिए,$Q \wedge R \to P$: यदि $m$ अभाज्य है $(R)$ और $m$,$n^2$ को विभाजित करता है $(Q)$,तो यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार,$m$ को $n$ को विभाजित करना ही होगा $(P)$। अतः,$Q \wedge R \to P$ सत्य है।

(C) तार्किक कथन $r: p \to (\sim p \vee q)$ का सत्यता मान $F$ है।
एक निहितार्थ $A \to B$ केवल तभी असत्य $(F)$ होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
इसलिए,$p$ को $T$ होना चाहिए और $(\sim p \vee q)$ को $F$ होना चाहिए।
वियोजन $(\sim p \vee q)$ के $F$ होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों को $F$ होना चाहिए।
चूंकि $\sim p$ का मान $F$ है,इसका अर्थ है कि $p$ का मान $T$ है।
अतः,$p$ का मान $T$ है और $q$ का मान $F$ है।

(A) विकल्प $(A)$ के लिए: $p \Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \Rightarrow \sim p$ होता है। यहाँ $p$ का मान $3x + 2 = 8$ है और $q$ का मान $x = 2$ है। अतः,$\sim q \Rightarrow \sim p$ का मान $x \neq 2 \Rightarrow 3x + 2 \neq 8$ है। यह सत्य है।
विकल्प $(B)$ के लिए: $p \Rightarrow q$ का विलोम $q \Rightarrow p$ होता है। $\tan x = 0 \Rightarrow x = 0$ का विलोम $x = 0 \Rightarrow \tan x = 0$ है। अतः,$(B)$ असत्य है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $p \Rightarrow q$ का मान $\sim p \vee q$ के समतुल्य होता है,न कि $p \vee \sim q$ के। अतः,$(C)$ असत्य है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $p \vee q$ (वियोजन) और $p \wedge q$ (संयोजन) की सत्यता सारणी अलग-अलग होती है। अतः,$(D)$ असत्य है।

(A) परिभाषा के अनुसार,द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन $p \Leftrightarrow q$ दो प्रतिबंधात्मक कथनों $p \Rightarrow q$ और $q \Rightarrow p$ के संयोजन (conjunction) के तार्किक रूप से समतुल्य है।
अतः,$p \Leftrightarrow q \equiv (p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$.

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $p \to q$ को सत्यता सारणी द्वारा परिभाषित किया गया है जहाँ यह केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $q$ असत्य हो।
यह तार्किक रूप से $p$ के निषेध और $q$ के वियोजन (disjunction) के समतुल्य है।
इसलिए,$p \to q \equiv \sim p \vee q$.

(C) मान लीजिए $p$: सूर्य चमक रहा है।
मान लीजिए $q$: मैं दोपहर में टेनिस खेलूँगा।
दिया गया कथन $p \to q$ के रूप में है।
प्रतिबंधात्मक कथन $p \to q$ का निषेध $\sim(p \to q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,निषेध "सूर्य चमक रहा है और मैं दोपहर में टेनिस नहीं खेलूँगा" होगा,जो $p \wedge \sim q$ के अनुरूप है।

(C) हम $(\oplus, \Theta)$ के लिए संभावित संयोजनों का परीक्षण करते हैं जहाँ $\oplus, \Theta \in \{\wedge, \vee\}$ है।
स्थिति $1$: $(\oplus, \Theta) = (\wedge, \vee)$
$(p \wedge q) \wedge (\sim p \vee q) \equiv (p \wedge q \wedge \sim p) \vee (p \wedge q \wedge q)$
$\equiv (F \wedge q) \vee (p \wedge q) \equiv F \vee (p \wedge q) \equiv p \wedge q$.
यह दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
स्थिति $2$: $(\oplus, \Theta) = (\wedge, \wedge)$
$(p \wedge q) \wedge (\sim p \wedge q) \equiv (p \wedge \sim p) \wedge q \equiv F \wedge q \equiv F$.
स्थिति $3$: $(\oplus, \Theta) = (\vee, \vee)$
$(p \vee q) \wedge (\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim p) \vee q \equiv F \vee q \equiv q$.
स्थिति $4$: $(\oplus, \Theta) = (\vee, \wedge)$
$(p \vee q) \wedge (\sim p \wedge q) \equiv (p \wedge \sim p \wedge q) \vee (q \wedge \sim p \wedge q) \equiv F \vee (q \wedge \sim p) \equiv q \wedge \sim p$.
अतः,सही क्रमित युग्म $(\wedge, \vee)$ है।