Mathematical logic Questions in Hindi

(C) आइए कथन $\sim (p \rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ के लिए सत्यता सारणी बनाएं।
$1$. $p = T, q = T$ के लिए: $\sim (T$ $\rightarrow T) \Leftrightarrow (\sim T \vee \sim T) \implies \sim (T) \Leftrightarrow (F \vee F) \implies F \Leftrightarrow F$,जो $T$ है।
$2$. $p = T, q = F$ के लिए: $\sim (T$ $\rightarrow F) \Leftrightarrow (\sim T \vee \sim F) \implies \sim (F) \Leftrightarrow (F \vee T) \implies T \Leftrightarrow T$,जो $T$ है।
$3$. $p = F, q = T$ के लिए: $\sim (F$ $\rightarrow T) \Leftrightarrow (\sim F \vee \sim T) \implies \sim (T) \Leftrightarrow (T \vee F) \implies F \Leftrightarrow T$,जो $F$ है।
$4$. $p = F, q = F$ के लिए: $\sim (F$ $\rightarrow F) \Leftrightarrow (\sim F \vee \sim F) \implies \sim (T) \Leftrightarrow (T \vee T) \implies F \Leftrightarrow T$,जो $F$ है।
चूंकि कथन के सत्यता मान सभी $T$ नहीं हैं (पुनरुक्ति नहीं है) और सभी $F$ नहीं हैं (व्याघात नहीं है),इसलिए यह न तो पुनरुक्ति है और न ही व्याघात है।

(B) मान लीजिए $p$ कथन "मैं शिक्षक बनता हूँ" है और $q$ कथन "मैं स्कूल खोलूँगा" है।
दिया गया कथन एक निहितार्थ (implication) के रूप में है: $p \implies q$।
निहितार्थ $p \implies q$ का निषेध $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ है "मैं शिक्षक बनता हूँ" और $\sim q$ है "मैं स्कूल नहीं खोलूँगा"।
अतः,निषेध "मैं शिक्षक बनूँगा और मैं स्कूल नहीं खोलूँगा" है।

(B) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ है।
अतः,व्यंजक $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ हो जाता है।
वितरण नियम द्वारा,यह $\sim p \wedge (\sim q \vee q)$ के बराबर है।
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv t$ (पुनरुक्ति),व्यंजक $\sim p \wedge t$ हो जाता है।
तत्समक नियम द्वारा,$\sim p \wedge t \equiv \sim p$।

(B) हम जानते हैं कि $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ होता है।
दिए गए व्यंजक पर इसे लागू करने पर:
$(p$ $\rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\rightarrow p) \equiv (\sim p \vee \sim p) \wedge (p \vee p)$.
आइडेंपोटेंट नियम $(p \vee p \equiv p)$ का उपयोग करने पर:
$\equiv (\sim p) \wedge (p)$.
चूंकि $p \wedge \sim p \equiv c$ (जहाँ $c$ एक व्याघात है),इसलिए यह कथन एक व्याघात है।

(A) माना $S = (p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$S = [(p \wedge \sim q) \wedge \sim p] \vee [(p \wedge \sim q) \wedge q]$
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर:
$S = [(p \wedge \sim p) \wedge \sim q] \vee [p \wedge (\sim q \wedge q)]$
चूंकि $(p \wedge \sim p) = c$ और $(\sim q \wedge q) = c$ है:
$S = (c \wedge \sim q) \vee (p \wedge c)$
$S = c \vee c = c$
अतः,यह कथन एक विरोधोक्ति है।

(D) हम जानते हैं कि निहितार्थ $p \rightarrow q$,$\sim p \vee q$ के समतुल्य है।
इस नियम को व्यंजक $\sim (p \rightarrow \sim q)$ पर लागू करने पर:
$\sim (p \rightarrow \sim q) \equiv \sim (\sim p \vee \sim q)$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (\sim p \vee \sim q) \equiv (\sim \sim p \wedge \sim \sim q) \equiv (p \wedge q)$।
अतः,व्यंजक $\sim (p \rightarrow \sim q)$,$(p \wedge q)$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।

(D) तर्कशास्त्र में एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
$(a)$ 'दरवाजा खोलो' एक आज्ञावाचक वाक्य है।
$(b)$ 'अपना गृहकार्य करो' एक आज्ञावाचक वाक्य है।
$(c)$ 'हुर्रे! हम मैच जीत गए' एक विस्मयादिबोधक वाक्य है।
$(d)$ 'दो और दो का योग पांच है' एक घोषणात्मक वाक्य है जो असत्य है। चूंकि इसका एक निश्चित सत्यता मान (असत्य) है,इसलिए यह एक गणितीय कथन है।

(A) एक सशर्त कथन $p \rightarrow S$ असत्य होता है यदि और केवल यदि $p$ का मान $T$ हो और $S$ का मान $F$ हो।
यहाँ,$p \rightarrow (q \vee r)$ असत्य है।
इसका अर्थ है कि $p$ का मान $T$ है और $(q \vee r)$ का मान $F$ है।
वियोजन $(q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$q$ और $r$ दोनों का $F$ होना आवश्यक है।
अतः,सत्य मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।

(A) कथन-$1$: $\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$,$p \Leftrightarrow q$ के समतुल्य है।
कथन-$2$: $\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$ एक पुनरुक्ति है।

$p$	$q$	$\sim q$	$(p \Leftrightarrow q)$	$(p \Leftrightarrow \sim q)$	$\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$

सत्यता सारणी से,हम देख सकते हैं कि $\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$ का कॉलम $(p \Leftrightarrow q)$ के कॉलम के समान है,इसलिए कथन-$1$ सत्य है।
हालाँकि,$\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$ के कॉलम में $T$ और $F$ दोनों मान हैं,इसलिए यह एक पुनरुक्ति नहीं है। अतः,कथन-$2$ असत्य है।

(D) हम जानते हैं कि:
$p \vee (\sim p) = t$
$p \wedge (\sim p) = c$
$p \wedge p = p$
$p \vee p = p$
अतः,$p \vee p = p$ सत्य है।

(A) माना $p$ कथन है: "$12$,$3$ का गुणज है।"
माना $q$ कथन है: "$12$,$4$ का गुणज है।"
दिया गया कथन $p \wedge q$ है।
$p \wedge q$ का निषेध $\sim (p \wedge q) = \sim p \vee \sim q$ होता है (डी मॉर्गन के नियम के अनुसार)।
अतः,निषेध है: "$12$,$3$ का गुणज नहीं है या $12$,$4$ का गुणज नहीं है।"

(A) हम जानते हैं कि $p \rightarrow (q \vee r)$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $(q \vee r)$ असत्य हो।
$(q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$q$ और $r$ दोनों का असत्य होना आवश्यक है।
अतः,$p, q, r$ के सत्यता मान क्रमशः $T, F, F$ हैं।

(D) यह जाँचने के लिए कि $[p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ एक पुनरुक्ति है या नहीं:
$1$. निहितार्थ नियम $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करें:
$[p \wedge (\sim p \vee q)] \rightarrow q$
$2$. वितरण नियम लागू करें:
$[(p \wedge \sim p) \vee (p \wedge q)] \rightarrow q$
$3$. चूँकि $p \wedge \sim p \equiv F$ (व्याघात):
$[F \vee (p \wedge q)] \rightarrow q$
$4$. तत्समक नियम $F \vee r \equiv r$ का उपयोग करके सरल करें:
$(p \wedge q) \rightarrow q$
$5$. पुनः निहितार्थ नियम लागू करें:
$\sim (p \wedge q) \vee q$
$6$. डी मॉर्गन का नियम लागू करें:
$(\sim p \vee \sim q) \vee q$
$7$. साहचर्य नियम का उपयोग करें:
$\sim p \vee (\sim q \vee q)$
$8$. चूँकि $\sim q \vee q \equiv T$ (पुनरुक्ति):
$\sim p \vee T \equiv T$
चूँकि परिणाम $T$ है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(B) हम कथन $p$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p)$ के सत्यता मान का मूल्यांकन करते हैं:
$p$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p) \equiv \sim p \vee (q$ $\Rightarrow p)$
$\equiv \sim p \vee (\sim q \vee p)$
$\equiv (\sim p \vee p) \vee \sim q$
$\equiv T \vee \sim q \equiv T$
अब,हम विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
विकल्प $B$ के लिए: $p \Rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee p) \vee q$
$\equiv T \vee q \equiv T$
चूंकि दिया गया कथन और विकल्प $B$ दोनों ही पुनरुक्ति (tautology) हैं,इसलिए वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं।

(A) एक कथन विरोधाभास होता है यदि उसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए उसका सत्य मान हमेशा असत्य (false) हो।
आइए व्यंजक $(p \wedge q) \wedge (\sim (p \vee q))$ का मूल्यांकन करें।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$।
अतः,व्यंजक $(p \wedge q) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$ बन जाता है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों के अनुसार,यह $(p \wedge \sim p) \wedge (q \wedge \sim q)$ के बराबर है।
चूंकि $(p \wedge \sim p)$ हमेशा असत्य $(F)$ है और $(q \wedge \sim q)$ हमेशा असत्य $(F)$ है,इसलिए पूरा व्यंजक $F \wedge F$ हो जाता है,जो हमेशा $F$ होता है।
इसलिए,$(p \wedge q) \wedge (\sim (p \vee q))$ एक विरोधाभास है।

(A) दिया गया कथन $(p \wedge q) \rightarrow p$ है।
तार्किक तुल्यता $(A \rightarrow B) \equiv (\neg A \vee B)$ का उपयोग करने पर:
$\neg (p \wedge q) \vee p$
डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर:
$(\neg p \vee \neg q) \vee p$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियम का उपयोग करने पर:
$(\neg p \vee p) \vee \neg q$
चूंकि $(\neg p \vee p) \equiv T$ (पुनरुक्ति):
$T \vee \neg q \equiv T$
अतः,यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(C) मान लीजिए कि $p$ और $q$ निम्नलिखित कथन हैं:
$p$: एक चतुर्भुज एक वर्ग है।
$q$: एक चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का निषेध $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,निषेध है: "एक चतुर्भुज एक वर्ग है और वह एक समचतुर्भुज नहीं है।"

(A) कथन $p$ इस प्रकार परिभाषित है: $x \in S$ एक ऐसी परिमेय संख्या है कि $x > 0$ है।
$x > 0$ शर्त वाले कथन का निषेध $x \leq 0$ होता है।
अतः,निषेध $\sim p$ है: $x \in S$ एक ऐसी परिमेय संख्या है कि $x \leq 0$ है।

(C) दिया गया है कि $(p \vee \sim r) \rightarrow (q \wedge r)$ असत्य है।
एक निहितार्थ $A \rightarrow B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
इसलिए,$(p \vee \sim r)$ सत्य है और $(q \wedge r)$ असत्य है।
चूंकि $(q \wedge r)$ असत्य है और $q$ सत्य है,इसलिए $r$ को असत्य होना चाहिए।
अब,$r = \text{False}$ को $(p \vee \sim r) = \text{True}$ में प्रतिस्थापित करने पर।
$(p \vee \sim \text{False}) = \text{True} \Rightarrow (p \vee \text{True}) = \text{True}$.
चूंकि $(p \vee \text{True})$ हमेशा सत्य होता है,इसलिए $p$ सत्य या असत्य हो सकता है।

(D) किसी कथन का द्वैत कथन $\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से,$c$ को $t$ से और $t$ को $c$ से एक साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है।
दिए गए कथन $p \wedge (\sim p) = c$ का द्वैत कथन $p \vee (\sim p) = t$ है।

(C) एक संयुक्त कथन का द्वैत कथन 'और' $(land)$ को 'या' $(lor)$ से बदलकर और इसके विपरीत प्राप्त किया जाता है।
दिया गया कथन: $p \land q$,जहाँ $p$ है "रीना स्वस्थ है" और $q$ है "मीना सुंदर है"।
द्वैत कथन $p \lor q$ है।
अतः,द्वैत कथन "रीना स्वस्थ है या मीना सुंदर है" है।

(B) $p \Rightarrow q$ का विलोम $q \Rightarrow p$ है।
$q \Rightarrow p$ का प्रतिधनात्मक $\sim p \Rightarrow \sim q$ है।
अतः,$p \Rightarrow q$ के विलोम का प्रतिधनात्मक $\sim p \Rightarrow \sim q$ है।

(D) तर्कशास्त्र में एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं।
$(a)$ 'प्रत्येक समुच्चय एक अनंत समुच्चय है' एक असत्य कथन है।
$(b)$ 'प्रत्येक वर्ग एक आयत है' एक सत्य कथन है।
$(c)$ 'सूर्य एक तारा है' एक सत्य कथन है।
$(d)$ 'खिड़की बंद करो' एक आज्ञावाचक वाक्य है,जिसे सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।
अतः,यह एक कथन नहीं है।

(A) व्यंजक $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ पर विचार करें।
तर्क के साहचर्य (associative) और क्रमविनिमेय (commutative) नियमों का उपयोग करते हुए:
$\equiv (\sim p \vee p) \vee (\sim q \vee \sim q)$
$\equiv t \vee \sim q$
चूंकि $t \vee \text{कुछ भी} \equiv t$ होता है,जहाँ $t$ एक पुनरुक्ति है:
$\equiv t$
अतः,$(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ एक पुनरुक्ति है।

(D) मान लीजिए कि दिए गए कथन $p$,$q$ और $r$ हैं।
"सुमन बुद्धिमान और बेईमान है" कथन को $(p \wedge \sim r)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
"सुमन अमीर है यदि और केवल यदि सुमन बुद्धिमान और बेईमान है" कथन को $q \Leftrightarrow (p \wedge \sim r)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
किसी कथन $S$ का निषेध $\sim S$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,दिए गए कथन का निषेध $\sim (q \Leftrightarrow (p \wedge \sim r))$ होगा।

(C) दिया गया है कि $S(p, q, r) = \sim p \wedge [\sim (q \vee r)]$.
चूंकि $S^*(p, q, r)$ कथन $S(p, q, r)$ का द्वैत है,हम $\wedge$ को $\vee$ से और $\vee$ को $\wedge$ से बदलते हैं:
$S^*(p, q, r) = \sim p \vee [\sim (q \wedge r)]$.
अब,$S^*(\sim p, \sim q, \sim r)$ ज्ञात करने के लिए,$p, q, r$ को $\sim p, \sim q, \sim r$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$S^*(\sim p, \sim q, \sim r) = \sim (\sim p) \vee [\sim (\sim q \wedge \sim r)] = p \vee (q \vee r)$.
दूसरी ओर,$\sim S(p, q, r) = \sim (\sim p \wedge [\sim (q \vee r)]) = \sim (\sim p) \vee \sim [\sim (q \vee r)] = p \vee (q \vee r)$.
अतः,$S^*(\sim p, \sim q, \sim r) \equiv \sim S(p, q, r)$.

(B) दिया गया कथन: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\sim p \vee q \equiv \sim (p \wedge \sim q)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $(p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q)$.
मान लीजिए $X = (p \wedge \sim q)$। तब व्यंजक $X \wedge \sim X$ बन जाता है।
व्याघात के नियम के अनुसार,$X \wedge \sim X \equiv c$,जहाँ $c$ एक व्याघात है।

(D) एक कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान हमेशा $T$ (सत्य) होता है।
$1$. $(p$ $\Rightarrow q) \wedge p$ $\Rightarrow q$ के लिए:
$(\sim p \vee q) \wedge p$ $\Rightarrow q = ((\sim p \wedge p) \vee (q \wedge p))$ $\Rightarrow q = (F \vee (p \wedge q))$ $\Rightarrow q = (p \wedge q)$ $\Rightarrow q = \sim (p \wedge q) \vee q = \sim p \vee \sim q \vee q = \sim p \vee T = T$.
$2$. $(p \vee q) \wedge (\sim p) \Rightarrow q$ के लिए:
$((p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p))$ $\Rightarrow q = (F \vee (q \wedge \sim p))$ $\Rightarrow q = (q \wedge \sim p)$ $\Rightarrow q = \sim (q \wedge \sim p) \vee q = \sim q \vee p \vee q = T \vee p = T$.
$3$. $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow r)$ $\Rightarrow (p$ $\Rightarrow r)$ के लिए:
यह काल्पनिक न्यायवाक्य (hypothetical syllogism) का मानक नियम है,जो एक पुनरुक्ति है।
चूंकि दिए गए सभी कथन पुनरुक्ति हैं,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(C) हम जानते हैं कि $p \Leftrightarrow q$,$(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$ के समतुल्य है।
इसलिए,$\sim (p \Leftrightarrow q) = \sim ((p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p))$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$,हमें प्राप्त होता है:
$\sim (p$ $\Rightarrow q) \vee \sim (q$ $\Rightarrow p)$.
चूंकि $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$,इसलिए व्यंजक हो जाता है:
$(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$.

(A) बूलियन बीजगणित में,वियोजन (योग) संक्रिया को $\vee$ द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी भी तार्किक कथन $p$ के लिए,वियोजन का तत्समक अवयव $c$ को $p \vee c = p$ को संतुष्ट करना चाहिए।
हम जानते हैं कि $p \vee F = p$ (जहाँ $F$ एक असत्य कथन है),इसलिए वियोजन के लिए तत्समक अवयव असत्य कथन $F$ है।
बूलियन बीजगणित के संदर्भ में,असत्य कथन को $c$ या $\sim t$ के रूप में दर्शाया जाता है (जहाँ $t$ एक पुनरुक्ति/नित्य सत्य कथन है)।
अतः,तत्समक अवयव $\sim t$ है।

(C) माना $p: x \in A$,$q: x \in B$,और $r: x \in A \cup B$.
दिया गया कथन $p \vee q \Rightarrow r$ है।
$P \Rightarrow Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \Rightarrow \sim P$ होता है।
यहाँ,प्रतिधनात्मक $\sim r \Rightarrow \sim (p \vee q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee q) \equiv (\sim p) \wedge (\sim q)$.
अतः,प्रतिधनात्मक है: यदि $x \notin A \cup B$,तो $x \notin A$ और $x \notin B$.

(A) तार्किक कथनों के बूलियन बीजगणित में,संयोजन संक्रिया को $\wedge$ द्वारा दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि किसी भी कथन $p$ के लिए,$p \wedge t = p = t \wedge p$,जहाँ $t$ एक पुनरुक्ति (tautology) को दर्शाता है।
अतः,$t$ संयोजन संक्रिया के लिए तत्समक अवयव है।
चूँकि $t = \sim c$ (जहाँ $c$ एक व्याघात है),इसलिए तत्समक अवयव $\sim c$ है।

(C) एक गणितीय कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
$1$. "मैं एक शेर हूँ" एक कथन नहीं है क्योंकि इसका सत्य मान वक्ता पर निर्भर करता है।
$2$. "तर्कशास्त्र एक दिलचस्प विषय है" एक कथन नहीं है क्योंकि "दिलचस्प" व्यक्तिपरक है।
$3$. "एक त्रिभुज एक वृत्त है और $10$ एक अभाज्य संख्या है" दो घटकों से बना एक संयुक्त कथन है। चूंकि दोनों घटक असत्य हैं (त्रिभुज वृत्त नहीं है,और $10$ अभाज्य संख्या नहीं है),इसलिए यह संयुक्त कथन असत्य है। अतः,यह एक वैध गणितीय कथन है।

(D) $1$. $p \wedge q$ केवल तब सत्य होता है जब $p$ और $q$ दोनों सत्य हों। अतः विकल्प $A$ गलत है।
$2$. $p \rightarrow q$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य और $q$ असत्य हो। अतः विकल्प $B$ गलत है।
$3$. $p \Leftrightarrow q$ तब सत्य होता है जब $p$ और $q$ दोनों का सत्यता मान समान हो (दोनों सत्य या दोनों असत्य)। अतः विकल्प $C$ गलत है।
$4$. $\sim (p \vee q)$ केवल तब सत्य होता है जब $(p \vee q)$ असत्य हो,जो केवल तब होता है जब $p$ और $q$ दोनों असत्य हों। अतः विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया कथन $(p \wedge q) \vee (q \wedge r)$ है।
वितरण नियम (distributive law) के अनुसार,यह $(q \wedge (p \vee r))$ के बराबर है।
इस कथन के सत्य होने के लिए,$q$ का सत्य होना आवश्यक है और $(p \vee r)$ का भी सत्य होना आवश्यक है।
इसका अर्थ है कि $q$ सत्य है,और $p$ या $r$ में से कम से कम एक सत्य है।
विकल्पों को देखने पर,यदि $q$ और $r$ सत्य हैं और $p$ असत्य है,तो $(p \vee r)$ सत्य होगा,इसलिए $(q \wedge (p \vee r))$ सत्य होगा।
अतः,विकल्प $D$ कथन के सत्य होने के लिए एक मान्य शर्त है।

(D) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का निषेध $\sim (p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए कथन $p \rightarrow (q \wedge r)$ पर इसे लागू करने पर:
$\sim (p \rightarrow (q \wedge r)) \equiv p \wedge \sim (q \wedge r)$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (q \wedge r) \equiv \sim q \vee \sim r$।
अतः,निषेध $p \wedge (\sim q \vee \sim r)$ है।

(B) दिया गया कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ है।
तार्किक तुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv \sim p \vee (\sim q \vee p)$।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा,यह $(\sim p \vee p) \vee \sim q$ के बराबर है,जो $T \vee \sim q = T$ (पुनरुक्ति) में सरल हो जाता है।
अब,विकल्प $B$ की जाँच करें: $p \rightarrow (q \vee p) \equiv \sim p \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q = T$।
चूंकि दोनों व्यंजक पुनरुक्ति हैं,इसलिए कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$,$p \rightarrow (q \vee p)$ के समतुल्य है।

(D) कथन $-1$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ के लिए सत्यता सारणी का विश्लेषण करते हैं।
याद रखें कि $(p \leftrightarrow \sim q)$ तब सत्य होता है जब $p$ और $\sim q$ का सत्यता मान समान हो,जिसका अर्थ है कि $p$ और $q$ के सत्यता मान विपरीत हैं।
अतः,$(p \leftrightarrow \sim q)$ का मान $\sim (p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।
इसलिए,$\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ का मान $\sim (\sim (p \leftrightarrow q))$ के समतुल्य है,जो सरल होकर $(p \leftrightarrow q)$ हो जाता है।
अतः,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ एक पुनरुक्ति है।
चूँकि $\sim (p \leftrightarrow \sim q) \equiv (p \leftrightarrow q)$,और $(p \leftrightarrow q)$ सभी $p$ और $q$ के मानों के लिए सत्य नहीं है (यह तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्यता मान अलग होते हैं),इसलिए यह व्यंजक एक पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,कथन $-2$ असत्य है।

(A) मान लीजिए कि दिए गए कथन हैं:
$P :$ सुमन प्रतिभाशाली है
$Q :$ सुमन अमीर है
$R :$ सुमन ईमानदार है
कथन "सुमन प्रतिभाशाली और बेईमान है" को $(P \wedge \sim R)$ के रूप में दर्शाया गया है।
कथन "सुमन प्रतिभाशाली और बेईमान है यदि और केवल यदि सुमन अमीर है" को $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ के रूप में दर्शाया गया है।
चूंकि द्वि-प्रतिबंधात्मक ऑपरेटर क्रमविनिमेय है,यह $Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R)$ के बराबर है।
किसी कथन $S$ के निषेध को $\sim S$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,दिए गए कथन का निषेध $\sim (Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R))$ है।

(A) मान लीजिए $p$ कथन "मैं शिक्षक बनूँगा" है और $q$ कथन "मैं एक स्कूल खोलूँगा" है।
दिया गया कथन एक निहितार्थ (implication) के रूप में है: $p \implies q$।
निहितार्थ $p \implies q$ का निषेध $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ "मैं शिक्षक बनूँगा" है और $\sim q$ "मैं स्कूल नहीं खोलूँगा" है।
अतः,निषेध "मैं शिक्षक बनूँगा और मैं स्कूल नहीं खोलूँगा" है।

(D) कथन-$2$: $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim q \rightarrow \sim p)$
चूंकि $(\sim q \rightarrow \sim p)$,$(p \rightarrow q)$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है,इसलिए उनके सत्य मान समान होते हैं।
अतः,$(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)$ हमेशा सत्य है,जिसका अर्थ है कि यह एक पुनरुक्ति है।
इसलिए,कथन-$2$ सही है।
कथन-$1$: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करते हुए:
$= (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$
$= F \wedge F = F$
चूंकि परिणाम हमेशा असत्य है,यह एक असत्यता है।
इसलिए,कथन-$1$ सही है।
दोनों कथन सही हैं,और कथन-$2$,कथन-$1$ का स्पष्टीकरण नहीं है।

(C) कथन $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
$1$. द्वि-प्रतिबंधक $p \leftrightarrow \sim q$ तब सत्य होता है जब $p$ और $\sim q$ के सत्यता मान समान हों।
$2$. निषेध $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ तब सत्य होता है जब $p \leftrightarrow \sim q$ असत्य हो।
सत्यता सारणी के अनुसार,$\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ के सत्यता मान $(p \leftrightarrow q)$ के मानों के समान हैं।
अतः,यह कथन $(p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $P = \sim s \vee (\sim r \wedge s)$ है।
हम इसका निषेध $\sim P = \sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$ ज्ञात करना चाहते हैं।
डी मॉर्गन के नियम $\sim (A \vee B) = \sim A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर:
$\sim P = \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
डी मॉर्गन के नियम को पुनः लागू करने पर,यह $s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\sim P = s \wedge (r \vee \sim s)$.
वितरण नियम $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ का उपयोग करने पर:
$\sim P = (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
चूंकि $(s \wedge \sim s)$ एक व्याघात (False) है,इसलिए:
$\sim P = (s \wedge r) \vee F = s \wedge r$.

(A) माना व्यंजक $E = (p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(p \wedge \sim q) \vee q \equiv (p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)$.
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पुनरुक्ति),इसलिए $(p \vee q) \wedge T \equiv p \vee q$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E \equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$.
पुनः वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(p \vee q) \vee (\sim p \wedge q) \equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$.
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$,इसलिए $(T \vee q) \wedge (p \vee q)$.
चूंकि $(T \vee q) \equiv T$,इसलिए $T \wedge (p \vee q) \equiv p \vee q$.
अतः,व्यंजक $p \vee q$ के समतुल्य है.

(B) कथन $(p \to q) \to [(\sim p \to q) \to q]$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
(सारणी ऊपर दी गई है)
चूंकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ (सत्य) हैं,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है।

(D) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पुनरुक्ति):
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$।

(B) माना $p$ कथन है: "परीक्षा कठिन है"।
माना $q$ कथन है: "मैं उत्तीर्ण हो जाऊँगा"।
माना $r$ कथन है: "मैं कड़ी मेहनत करता हूँ"।
दिया गया कथन है: $p \Rightarrow (r \Rightarrow q)$।
हम जानते हैं कि निहितार्थ $A \Rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
अतः,$\sim(p \Rightarrow (r \Rightarrow q)) \equiv p \wedge \sim(r \Rightarrow q)$।
चूँकि $\sim(r \Rightarrow q) \equiv r \wedge \sim q$,इसलिए निषेध $p \wedge (r \wedge \sim q)$ है।
इसका अनुवाद है: "परीक्षा कठिन है और मैं कड़ी मेहनत करता हूँ लेकिन मैं उत्तीर्ण नहीं होऊँगा।"

(C) प्रतिबंधात्मक कथन $p \Rightarrow q$ केवल एक विशिष्ट स्थिति में असत्य होता है।
प्रतिबंधात्मक कथन की सत्यता सारणी के अनुसार:
- यदि $p$ सत्य है और $q$ सत्य है,तो $p \Rightarrow q$ सत्य है।
- यदि $p$ सत्य है और $q$ असत्य है,तो $p \Rightarrow q$ असत्य है।
- यदि $p$ असत्य है और $q$ सत्य है,तो $p \Rightarrow q$ सत्य है।
- यदि $p$ असत्य है और $q$ असत्य है,तो $p \Rightarrow q$ सत्य है।
अतः,$p \Rightarrow q$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $q$ असत्य हो।

(C) द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन $p \Leftrightarrow \sim q$ तभी सत्य होता है यदि $p$ और $\sim q$ दोनों के सत्यता मान समान हों।
स्थिति $1$: $p$ सत्य है और $\sim q$ सत्य है। इसका अर्थ है कि $p$ सत्य है और $q$ असत्य है।
स्थिति $2$: $p$ असत्य है और $\sim q$ असत्य है। इसका अर्थ है कि $p$ असत्य है और $q$ सत्य है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ ($p$ असत्य है और $q$ सत्य है) कथन को सत्य बनाता है।