Mathematical logic Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $p$ : સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધે છે.
ધારો કે $q$ : દબાણ ઘટે છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિવિધાન $\sim p \rightarrow \sim q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\sim p$ એટલે "સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધતું નથી" અને $\sim q$ એટલે "દબાણ ઘટતું નથી".
તેથી,પ્રતિવિધાન "જો સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધતું નથી,તો દબાણ ઘટતું નથી." થાય.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $p$: ચતુષ્કોણ ચોરસ છે.
ધારો કે $q$: ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓ સમાન છે.
વિધાન $1$ એ $p \rightarrow q$ છે.
વિધાન $2$ એ $q \rightarrow p$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $q \rightarrow p$ છે.
તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ નું પ્રતિ-વિધાન (converse) છે.

(B) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ છે.
$S$ નો પ્રતિવિધિ $\sim(p \wedge q) \rightarrow \sim(p \vee \sim q)$ છે.
તાર્કિક સમાનતા $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રતિવિધિ:
$\sim[\sim(p \wedge q)] \vee \sim(p \vee \sim q)$
$\equiv (p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)$ (ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા)
$\equiv (q \wedge p) \vee (q \wedge \sim p)$ (ક્રમના નિયમ દ્વારા)
$\equiv q \wedge (p \vee \sim p)$ (વિભાજનના નિયમ દ્વારા)
$\equiv q \wedge T$ (પૂરક નિયમ દ્વારા,જ્યાં $T$ એ નિત્યસત્ય છે)
$\equiv q$ (તદેવતાના નિયમ દ્વારા).
હવે,પ્રતિવિધિનું નિષેધ $\sim(q) = \sim q$ છે.

(C) આપણે તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ:
$(p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv ((p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)) \vee (\sim p \wedge q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (પૂરક નિયમ):
$\equiv ((p \vee q) \wedge T) \vee (\sim p \wedge q)$
$\equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
ફરીથી વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv T$ અને $(q \vee q) \equiv q$ (સ્વયંઘાતી નિયમ):
$\equiv (T \vee q) \wedge (p \vee q)$
કારણ કે $(T \vee q) \equiv T$:
$\equiv T \wedge (p \vee q)$
$\equiv p \vee q$
તેથી,આ પદાવલિ $p \vee q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) આપેલ છે કે $q$ અસત્ય છે અને $p \wedge q \leftrightarrow r$ સત્ય છે.
$q \equiv F$ હોવાથી,$p \wedge q \equiv F$ થાય.
દ્વિ-શરતી વિધાન $p \wedge q \leftrightarrow r$ સત્ય હોવા માટે,$r$ નું સત્યતા મૂલ્ય $p \wedge q$ જેવું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$r \equiv F$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A)$ $p \vee r \equiv p \vee F \equiv p$,જે નિત્યસત્ય નથી.
$(B)$ $(p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) \equiv (p \wedge F)$ $\rightarrow (p \vee F) \equiv F$ $\rightarrow p$. $F \rightarrow p$ હંમેશા સત્ય હોવાથી,આ નિત્યસત્ય છે.
$(C)$ $(p \vee r)$ $\rightarrow (p \wedge r) \equiv (p \vee F)$ $\rightarrow (p \wedge F) \equiv p$ $\rightarrow F$,જે નિત્યસત્ય નથી.
$(D)$ $p \wedge r \equiv p \wedge F \equiv F$,જે વ્યાઘાત (contradiction) છે.

(B) વિધાન $(p \vee \sim q) \rightarrow (p \wedge \sim q)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim (p \vee \sim q)$ છે.
નિયમ $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim (p \wedge \sim q) \vee \sim (p \vee \sim q)$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ:
$(\sim p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
હવે,આ પ્રતિ-વિધાનનું નિષેધ:
$\sim [(\sim p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)]$
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરતા:
$\sim (\sim p \vee q) \wedge \sim (\sim p \wedge q)$
$\sim C = (\sim p \vee q) \wedge (p \vee \sim q)$.

(D) વિધાન $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ ક્યારે નિત્યસત્ય બને તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પદ $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q]$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
$(p \rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$ હોવાથી,$[(p \rightarrow q) \wedge \sim q] \equiv [(\sim p \vee q) \wedge \sim q]$ થાય.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ $(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)$ બને છે.
$(q \wedge \sim q) \equiv F$ હોવાથી,આ પદ $(\sim p \wedge \sim q)$ માં પરિણમે છે.
હવે,મૂળ વિધાન $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow r$ છે.
આ વિધાન નિત્યસત્ય ત્યારે જ બને જ્યારે $r \equiv \sim q$ હોય,કારણ કે $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim q$ હંમેશા સત્ય છે.

(A) ધારો કે $p$: સંખ્યા એકી સંખ્યા છે.
ધારો કે $q$: સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે.
દ્વિ-શરતી વિધાનનું નિષેધ $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ છે.
તેથી,નિષેધ છે: "સંખ્યા એકી સંખ્યા છે પરંતુ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી અથવા સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે પરંતુ એકી સંખ્યા નથી."

(B) આપેલ પદાવલિ: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim r \wedge \sim q \wedge p]$
બીજા ભાગ પર ક્રમનો નિયમ વાપરતા: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim q \wedge \sim r]$
બીજા ભાગ પર ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરતા: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [p \wedge \sim (q \vee r)]$
વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $p \wedge [(q \vee r) \vee \sim (q \vee r)]$
પૂરકનો નિયમ વાપરતા: $p \wedge T$ (જ્યાં $T$ એ નિત્યસત્ય છે)
તદર્થતાનો નિયમ વાપરતા: $p$
તેથી,આ વિધાન $p$ ને સમકક્ષ છે.

(B) વિધાન $p \leftrightarrow (q \rightarrow p)$ અસત્ય છે.
આ દ્વિ-શરતી વિધાન ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ અને $(q \rightarrow p)$ ના સત્યતા મૂલ્યો અલગ હોય.
જો $p$ એ $T$ હોય,તો $(q \rightarrow T)$ એ $T$ થાય,તેથી $T \leftrightarrow T$ એ $T$ થાય.
જો $p$ એ $F$ હોય,તો દ્વિ-શરતી વિધાન અસત્ય હોવા માટે $(q \rightarrow F)$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
$(q \rightarrow F)$ એ $T$ થવા માટે,$q$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
આમ,$p \equiv F$ અને $q \equiv F$.
હવે,વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $p$ $\rightarrow (p \vee \sim q) \equiv F$ $\rightarrow (F \vee \sim F) \equiv F$ $\rightarrow (F \vee T) \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
પરિણામ $T$ હોવાથી,વિકલ્પ $(B)$ એ સાચું વિધાન છે.

(D) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$ છે.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ:
$S = \{(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)\} \vee q$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ એ એક્સક્લુઝિવ $OR$ માટેનું તાર્કિક પદ છે,જેને $p \oplus q$ અથવા $\sim(p \Leftrightarrow q)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$S = (p \oplus q) \vee q$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(p \oplus q) \vee q \equiv (p \vee q) \wedge (\sim q \vee q) \equiv (p \vee q) \wedge T \equiv p \vee q$.
આમ,આપેલ વિધાન $p \vee q$ ને સમકક્ષ છે.

(C) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
તેથી,પદાવલિ $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $\sim p$ ને સામાન્ય કાઢીએ છીએ:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$.
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv t$ (નિત્યસત્ય),
તેથી પદાવલિ $\sim p \wedge t \equiv \sim p$ માં સરળ બને છે.

(A) આપેલ વિધાન 'જો $p$,તો $q$' સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $p$ એ '$\forall x, x$ એ સંકર સંખ્યા છે' અને $q$ એ '$x^2 < 0$' છે.
'જો $p$,તો $q$' નું નિષેધ '$p$ અને (નહિ $q$)' થાય છે.
અહીં $p$ એ '$\forall x, x$ એ સંકર સંખ્યા છે' અને $\neg q$ એ '$x^2 \geq 0$' છે.
તેથી,નિષેધ '$\forall x, x$ એ સંકર સંખ્યા છે અને $x^2 \geq 0$' થાય.

(D) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $(\sim p \wedge q) \rightarrow (q \wedge \sim r)$ માટે,$p$ એ $(\sim p \wedge q)$ છે અને $q$ એ $(q \wedge \sim r)$ છે.
તેથી પ્રતિ-વિધાન $\sim (q \wedge \sim r) \rightarrow \sim (\sim p \wedge q)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમો લાગુ પાડતા:
$\sim (q \wedge \sim r) \equiv \sim q \vee r$.
$\sim (\sim p \wedge q) \equiv p \vee \sim q$.
આમ,પ્રતિ-વિધાન $(\sim q \vee r) \rightarrow (p \vee \sim q)$ છે.

(B) સમાન વિધાન નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલ પેટર્ન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ અને વિકલ્પો સાથે સરખાવીએ.
| $p$ | $q$ | $q \rightarrow p$ | $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
વિધાન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ એ નિત્યસત્ય (tautology) છે.
હવે,વિકલ્પ $B$ તપાસો: $p \rightarrow (p \vee q)$.
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ | $p \rightarrow (p \vee q)$ |
|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
બંને $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ અને $p \rightarrow (p \vee q)$ નિત્યસત્ય હોવાથી,તેઓ તાર્કિક રીતે સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વિધાન $p \vee (q \rightarrow \sim r)$ નો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sim(p \vee (q$ $\rightarrow \sim r)) \equiv \sim p \wedge \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$.
તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sim(q \rightarrow \sim r) \equiv q \wedge \sim(\sim r)$ મળે છે.
કારણ કે $\sim(\sim r) \equiv r$,તેથી પદ $q \wedge r$ માં સરળ બને છે.
તેથી,અંતિમ નિષેધ $\sim p \wedge (q \wedge r)$ છે.

(C) $n^2+n = n(n+1)$ એ બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા બેકી હોય છે. તેથી,$p$ સત્ય છે.
$n^2-n = n(n-1)$ પણ બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા બેકી હોય છે. તેથી,$q$ અસત્ય છે.
હવે,સત્યતા મૂલ્યો તપાસતા:
$p \wedge q = T \wedge F = F$
$p \vee q = T \vee F = T$
$p$ $\rightarrow q = T$ $\rightarrow F = F$
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $F, T, F$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ "ચુકવણી કરવામાં આવે છે" અને $q$ એ "કામ સમયસર પૂર્ણ થાય છે" તેવું વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $p \leftrightarrow q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિ-શરતી વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે: "ચુકવણી કરવામાં આવે છે અને કામ સમયસર પૂર્ણ થતું નથી,અથવા ચુકવણી કરવામાં આવતી નથી અને કામ સમયસર પૂર્ણ થાય છે".
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) જો વિધાન સ્વરૂપનું સત્યતા મૂલ્ય તેના તમામ ઘટકોના શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે હંમેશા અસત્ય $(c)$ હોય,તો તે વિરોધાભાસ છે.
$S_3 \equiv (\sim p \wedge q) \wedge (\sim q)$ માટે:
$S_3 \equiv \sim p \wedge (q \wedge \sim q)$ [જૂથનો નિયમ]
$S_3 \equiv \sim p \wedge c$ [કારણ કે $q \wedge \sim q \equiv c$]
$S_3 \equiv c$ [કારણ કે કોઈપણ વિધાન $\wedge c \equiv c$]
આમ,$S_3$ એ વિરોધાભાસ છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $p \rightarrow (q \vee r)$ છે.
તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p \rightarrow (q \vee r) \equiv \sim p \vee (q \vee r)$
વિકલ્પનાના જૂથના નિયમ (associative law) મુજબ:
$\equiv (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee r)$
ફરીથી ગર્ભિતાર્થ (implication) ની વ્યાખ્યા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ બંને ભાગો માટે લાગુ પાડતા:
$\equiv (p$ $\rightarrow q) \vee (p$ $\rightarrow r)$

(C) આપણે તર્કના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આપેલ પદાવલિને સરળ બનાવીએ છીએ:
$(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q) \vee (r \wedge \sim q)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$\equiv \{(p \vee \sim p) \wedge q\} \vee (r \wedge \sim q)$
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv t$ (નિરર્થક સત્ય):
$\equiv (t \wedge q) \vee (r \wedge \sim q)$
$\equiv q \vee (r \wedge \sim q)$
વિભાજનનો નિયમ $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ લાગુ પાડતા:
$\equiv (q \vee r) \wedge (q \vee \sim q)$
કારણ કે $(q \vee \sim q) \equiv t$:
$\equiv (q \vee r) \wedge t$
$\equiv q \vee r$

(A) $p \rightarrow q$ સ્વરૂપના વિધાનનું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ થાય છે.
અહીં,$p$ એ '$A \subseteq B$ અને $B \subseteq D$' છે અને $q$ એ '$A \subseteq C$' છે.
નિષેધ $\sim q$ એ '$A \nsubseteq C$' છે.
નિષેધ $\sim p$ એ '$\sim(A \subseteq B \text{ અને } B \subseteq D)$' છે,જે ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ '$A \nsubseteq B$ અથવા $B \nsubseteq D$' થાય છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: જો $A \nsubseteq C$,તો $A \nsubseteq B$ અથવા $B \nsubseteq D$.

(C) આપેલ છે કે $(p \wedge \sim r) \rightarrow (\sim p \vee q)$ નું સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ $F$ હોય જ્યારે $A$ એ $T$ હોય અને $B$ એ $F$ હોય.
તેથી,$(p \wedge \sim r)$ એ $T$ છે અને $(\sim p \vee q)$ એ $F$ છે.
$(p \wedge \sim r)$ $T$ હોવા માટે,$p$ એ $T$ હોવું જોઈએ અને $\sim r$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
જો $p$ એ $T$ હોય,તો $\sim p$ એ $F$ થાય.
$(\sim p \vee q)$ $F$ હોવા માટે,$\sim p$ $F$ હોવાથી $q$ પણ $F$ હોવું જોઈએ.
$\sim r$ એ $T$ હોવાથી,$r$ એ $F$ થાય.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.

(D) '$\text{એક માણસ ન તો ખુશ છે કે ન તો શ્રીમંત છે}$' વિધાનનો અર્થ એ છે કે માણસ ખુશ નથી $AND$ માણસ શ્રીમંત નથી.
પ્રતીકાત્મક રીતે,આને $(\sim p \wedge \sim q)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(\sim p \wedge \sim q) \equiv \sim(p \vee q)$.
આમ,સાચું પ્રતીકાત્મક સ્વરૂપ $\sim(p \vee q)$ છે.

(A) આપણે $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ધારો કે $P = \sim s \vee (\sim r \wedge s)$.
તેનું નિષેધ $\sim P = \sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$:
$\sim P \equiv \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
દ્વિ-નિષેધના નિયમ $\sim (\sim s) \equiv s$ અને ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P \equiv s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$.
વધુ સાદું રૂપ આપતા:
$\sim P \equiv s \wedge (r \vee \sim s)$.
વિભાજનના નિયમ $A \wedge (B \vee C) \equiv (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P \equiv (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
કારણ કે $(s \wedge \sim s) \equiv F$ (વિરોધાભાસ):
$\sim P \equiv (s \wedge r) \vee F \equiv s \wedge r$.

(D) વિધાન પેટર્ન $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \leftrightarrow \sim q$ | $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ | $p \leftrightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
સત્યતા કોષ્ટક પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ માટેનો સ્તંભ એ $(p \leftrightarrow q)$ માટેના સ્તંભ સમાન છે.
તેથી,વિધાન પેટર્ન $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ એ $(p \leftrightarrow q)$ ને સમતુલ્ય છે.

(A) પ્રથમ,વિધાનોના સત્યતા મૂલ્યો નક્કી કરો:
$P: 11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,જે $T$ (સત્ય) છે.
$Q: 7$ એ $176$ નો અવયવ છે. $176 \div 7 = 25.14$ હોવાથી,$7$ અવયવ નથી,તેથી $Q$ એ $F$ (અસત્ય) છે.
$R$: $3$ અને $7$ નો લ.સા.અ. $21$ છે,જે $T$ (સત્ય) છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $A$: $P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv T \vee (\sim F \wedge T) \equiv T \vee (T \wedge T) \equiv T \vee T \equiv T$.
વિકલ્પ $B$: $(\sim P) \wedge (\sim Q \wedge R) \equiv F \wedge (T \wedge T) \equiv F \wedge T \equiv F$.
વિકલ્પ $C$: $(P \wedge Q) \vee (\sim R) \equiv (T \wedge F) \vee F \equiv F \vee F \equiv F$.
વિકલ્પ $D$: $(\sim P) \vee (Q \wedge R) \equiv F \vee (F \wedge T) \equiv F \vee F \equiv F$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(D) ધારો કે $p$ એ 'હું અભ્યાસ કરું છું' અને $q$ એ 'હું નાપાસ થાઉં છું' વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $p \vee q$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,વિયોજનનું નકારાત્મક વિધાન $\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$ થાય.
અહીં,$\sim p$ એટલે 'હું અભ્યાસ કરતો નથી' અને $\sim q$ એટલે 'હું નાપાસ થતો નથી'.
તેથી,નકારાત્મક વિધાન 'હું અભ્યાસ કરતો નથી અને હું નાપાસ થતો નથી' થાય.

(B) દરેક વિધાનનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$S_1: \sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q) \equiv p \wedge q$. તેથી,$S_1$ સાચું છે.
$S_2: (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge q) \wedge \sim(p \wedge q)$,જે વિરોધાભાસ છે,નિત્યસત્ય નથી.
$S_3: [p \wedge (p$ $\rightarrow \sim q)]$ $\rightarrow q$ એ આકસ્મિક છે,વિરોધાભાસ નથી.
$S_4: p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ એ નિત્યસત્ય છે,આકસ્મિક નથી.
તેથી,માત્ર $S_1$ સાચું છે.

(B) શરતી વિધાન $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $p$ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ $(\sim p \vee q)$ અસત્ય હોય.
$p$ સત્ય હોવાથી,$\sim p$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(\sim p \vee q)$ અસત્ય હોવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
$\sim p$ પહેલેથી જ અસત્ય હોવાથી,$q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$p$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $p = F$ અને $q = F$.
પગલું $1$: $(\sim p \vee q) \leftrightarrow \sim(p \wedge q)$ નું મૂલ્ય શોધો
$\sim p = \sim F = T$
$\sim p \vee q = T \vee F = T$
$p \wedge q = F \wedge F = F$
$\sim(p \wedge q) = \sim F = T$
તેથી,$(\sim p \vee q) \leftrightarrow \sim(p \wedge q) = T \leftrightarrow T = T$.
પગલું $2$: $\sim p \leftrightarrow (p \rightarrow \sim q)$ નું મૂલ્ય શોધો
$\sim p = T$
$\sim q = \sim F = T$
$p$ $\rightarrow \sim q = F$ $\rightarrow T = T$
તેથી,$\sim p \leftrightarrow (p \rightarrow \sim q) = T \leftrightarrow T = T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતીપ (converse) $q \rightarrow p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
અહીં,$p$ એટલે 'ચતુષ્કોણ $ABCD$ ચોરસ છે' અને $q$ એટલે 'ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન છે'.
વિધાન $I$ એ $p \rightarrow q$ છે.
વિધાન $II$ એ $q \rightarrow p$ છે.
તેથી,વિધાન $II$ એ વિધાન $I$ નું પ્રતીપ છે.

(D) પ્રથમ,આપણે આપેલા વિધાનોના સત્યતા મૂલ્યો નક્કી કરીએ:
$p: 25$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. $25 = 5 \times 5$ હોવાથી,તે વિભાજ્ય છે. તેથી,$p \equiv F$.
$q: 14$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે. $14 = 2 \times 7$ હોવાથી,તે વિભાજ્ય છે. તેથી,$q \equiv T$.
$r: 64$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા છે. $64 = 8^2$ હોવાથી,તે પૂર્ણ વર્ગ છે. તેથી,$r \equiv T$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$D: \sim p \vee (q \wedge r) \equiv \sim F \vee (T \wedge T) \equiv T \vee T \equiv T$.

(A) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim p \rightarrow \sim q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ વિધાન પેટર્ન $(p \vee q) \rightarrow (p \wedge q)$ માટે,$p$ ને $(p \vee q)$ અને $q$ ને $(p \wedge q)$ તરીકે ઓળખીએ.
વ્યાખ્યા લાગુ કરતાં,પ્રતિ-વિધાન $\sim(p \vee q) \rightarrow \sim(p \wedge q)$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ અને $\sim(p \wedge q) \equiv (\sim p \vee \sim q)$.
આમ,પ્રતિ-વિધાન $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow (\sim p \vee \sim q)$ છે.

(A) પ્રથમ,વિધાન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ ધ્યાનમાં લો. આ $\neg p \vee (\neg q \vee p)$ ને સમતુલ્ય છે,જે $(\neg p \vee p) \vee \neg q = T \vee \neg q = T$ માં સરળ બને છે. આમ,તે એક નિત્યસત્ય છે.
આગળ,$p \rightarrow (p \vee q)$ ધ્યાનમાં લો. આ $\neg p \vee (p \vee q)$ ને સમતુલ્ય છે,જે $(\neg p \vee p) \vee q = T \vee q = T$ માં સરળ બને છે. આમ,તે પણ એક નિત્યસત્ય છે.
અંતે,પદાવલિ $[p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)]$ $\rightarrow [p$ $\rightarrow (p \vee q)]$ એ $T \rightarrow T$ બને છે,જે $T$ છે. તેથી,આ વિધાન પેટર્ન એક નિત્યસત્ય છે.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "ચતુષ્કોણ $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે".
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: "તેની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે".
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
$p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ છે,જેનો અર્થ થાય છે: "જો ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર ન હોય,તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી".
$p \rightarrow q$ નું પ્રતીપ-વિધાન $q \rightarrow p$ છે,જેનો અર્થ થાય છે: "જો ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય,તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે".
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) તાર્કિક પદાવલિ $p \wedge (\sim p \vee \sim q)$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે તર્કશાસ્ત્રના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$p \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge \sim p) \vee (p \wedge \sim q)$.
કારણ કે $(p \wedge \sim p)$ એ વિરોધાભાસ છે,તેથી તે $F$ (અસત્ય) ને સમાન છે.
તેથી,પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$F \vee (p \wedge \sim q) \equiv p \wedge \sim q$.
આમ,સાચી પદાવલિ $p \wedge \sim q$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન '$x \in A \cap B$' છે અને $q$ એ વિધાન '$x \in A \text{ and } x \in B$' છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નો નિષેધ $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$p$ એ '$x \in A \cap B$' છે અને $\sim q$ એ '$x \in A \text{ and } x \in B$' નો નિષેધ છે,જે ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ '$x \notin A \text{ or } x \notin B$' થાય છે.
તેથી,નિષેધ '$x \in A \cap B \text{ and } (x \notin A \text{ or } x \notin B)$' છે.

(C) આપેલ વિધાનો:
$p$: આજે વરસાદ પડે છે
$q$: હું શાળાએ જાઉં છું
$r$: હું મારા મિત્રને મળીશ
$s$: હું ફિલ્મ જોવા જઈશ
વિધાન છે: "જો (આજે વરસાદ નહીં પડે અથવા હું શાળાએ નહીં જાઉં),તો (હું મારા મિત્રને મળીશ અને હું ફિલ્મ જોવા જઈશ)."
સાંકેતિક રીતે:
"આજે વરસાદ નહીં પડે" એટલે $\sim p$.
"હું શાળાએ નહીં જાઉં" એટલે $\sim q$.
"હું મારા મિત્રને મળીશ" એટલે $r$.
"હું ફિલ્મ જોવા જઈશ" એટલે $s$.
તાર્કિક જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને:
$(\sim p \vee \sim q) \rightarrow (r \wedge s)$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim p \vee \sim q \equiv \sim(p \wedge q)$.
તેથી,સાંકેતિક સ્વરૂપ $\sim(p \wedge q) \rightarrow (r \wedge s)$ છે.

(D) તાર્કિક સમતુલ્યતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરીને,
$(p \wedge q) \rightarrow (\sim p \vee r)$ નું નિષેધ $(p \wedge q) \wedge \sim(\sim p \vee r)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(\sim p \vee r) \equiv p \wedge \sim r$.
તેથી,$(p \wedge q) \wedge (p \wedge \sim r) \equiv p \wedge q \wedge (\sim r)$.

(C) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F$.
દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$(A)$ $(p \vee q) \vee r \equiv (T \vee T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
$(B)$ $(p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (T \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(C)$ $(p$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow q \equiv (T$ $\rightarrow F)$ $\rightarrow T \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
$(D)$ $(p \leftrightarrow q)$ $\rightarrow r \equiv (T \leftrightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે કયું વિધાન સાચું છે,અને વિકલ્પ $(C)$ નું મૂલ્ય $T$ મળે છે,તેથી વિકલ્પ $(C)$ સાચું વિધાન છે.

(C) સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર વિધાન $\forall x \in S, P(x)$ નું નકારાત્મક વિધાન $\exists x \in S$ એવું છે કે $\neg P(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિધાન $\forall x \in \mathbb{R}, x^2+1=0$ છે.
નિયમ લાગુ કરતાં,તેનું નકારાત્મક વિધાન $\exists x \in \mathbb{R}$ એવું છે કે $x^2+1 \neq 0$ થાય.

(A) આપેલ તાર્કિક વિધાન: $(p$ $\rightarrow q) \wedge (p$ $\rightarrow \sim p)$
ગર્ભિત નિયમ $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(p \rightarrow q) \equiv \sim p \vee q$
$(p \rightarrow \sim p) \equiv \sim p \vee \sim p \equiv \sim p$
હવે,પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $(\sim p \vee q) \wedge (\sim p)$
શોષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $A \wedge (A \vee B) \equiv A$
અહીં,$A = \sim p$ અને $B = q$ લો.
તેથી,$(\sim p) \wedge (\sim p \vee q) \equiv \sim p$
આમ,આ વિધાન $\sim p$ ને સમકક્ષ છે.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
પ્રથમ પદાવલિ $\sim(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \wedge s)$ માટે:
$\sim(T \rightarrow T) \leftrightarrow (T \wedge F)$
$= \sim(T) \leftrightarrow (F)$
$= F \leftrightarrow F = T$.
બીજી પદાવલિ $(\sim p \rightarrow q) \wedge (r \leftrightarrow s)$ માટે:
$(\sim T \rightarrow T) \wedge (F \leftrightarrow F)$
$= (F \rightarrow T) \wedge (T)$
$= T \wedge T = T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) આપેલ છે કે $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a : \sim (p \wedge \sim r) \vee (\sim q \vee s)$ માટે:
$a \equiv \sim (T \wedge \sim F) \vee (\sim T \vee F)$
$a \equiv \sim (T \wedge T) \vee (F \vee F)$
$a \equiv \sim T \vee F$
$a \equiv F \vee F$
$a \equiv F$.
$b : (p \vee s) \leftrightarrow (q \wedge r)$ માટે:
$b \equiv (T \vee F) \leftrightarrow (T \wedge F)$
$b \equiv T \leftrightarrow F$
$b \equiv F$.
આમ,$a$ અને $b$ ના સત્ય મૂલ્યો અનુક્રમે $F$ અને $F$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge q) \wedge [(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)]$
ચોરસ કૌંસની અંદરના પદ પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q) \equiv (p \vee \sim p) \wedge q$
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv T$ (નિરર્થકતા),તેથી:
$T \wedge q \equiv q$
આને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(p \wedge q) \wedge q$
સાહચર્ય અને સ્વયંઘાતી નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$p \wedge (q \wedge q) \equiv p \wedge q$
આમ,પદાવલિ $p \wedge q$ ને સમકક્ષ છે.

(D) આપણે આપેલા વિધાનોને તાર્કિક સ્વરૂપમાં લખીએ:
$S_1 = p \rightarrow q$
$S_2 = p \rightarrow \sim q$
$S_3 = \sim p \vee q$
$S_4 = p \wedge q$
આપણે જાણીએ છીએ કે તાર્કિક સમાનતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ છે.
આને $S_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $S_1 = p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ મળે છે.
કારણ કે $S_3 = \sim p \vee q$,તેથી $S_1 \equiv S_3$ થાય છે.