Word problem of Linear inequalities Questions in Gujarati

(C) ધારો કે સૌથી ટૂંકી બાજુની લંબાઈ $x \text{ cm}$ છે.
સૌથી લાંબી બાજુ $2x \text{ cm}$ છે અને ત્રીજી બાજુ $(x + 2) \text{ cm}$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ એ બધી બાજુઓનો સરવાળો છે: $P = x + 2x + (x + 2) = 4x + 2$.
પ્રશ્ન મુજબ, પરિમિતિ $166 \text{ cm}$ કરતા વધારે છે:
$4x + 2 > 166$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$4x > 164$
$4$ વડે ભાગતા:
$x > 41$.
તેથી, સૌથી ટૂંકી બાજુની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક લંબાઈ $42 \text{ cm}$ છે.

(N/A) આપેલ તાપમાનનું સૂત્ર: $T = 30 + 25(x - 3)$,જ્યાં $3 \leq x \leq 15$.
આપણે એવી ઊંડાઈ $x$ શોધવાની છે કે જેથી $155 < T < 205$ થાય.
$T$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$155 < 30 + 25(x - 3) < 205$
બધા પદોમાંથી $30$ બાદ કરતા:
$155 - 30 < 25(x - 3) < 205 - 30$
$125 < 25(x - 3) < 175$
$25$ વડે ભાગતા:
$5 < x - 3 < 7$
બધા પદોમાં $3$ ઉમેરતા:
$5 + 3 < x < 7 + 3$
$8 < x < 10$
આમ,$8 \text{ km}$ અને $10 \text{ km}$ ની વચ્ચેની ઊંડાઈએ તાપમાન $155^{\circ}C$ અને $205^{\circ}C$ ની વચ્ચે રહેશે.

(NONE) પ્રથમ અસમતા માટે: $\frac{2x+1}{7x-1} > 5$
$\Rightarrow \frac{2x+1}{7x-1} - 5 > 0$
$\Rightarrow \frac{2x+1 - 35x + 5}{7x-1} > 0$
$\Rightarrow \frac{-33x + 6}{7x-1} > 0$
$\Rightarrow \frac{33x - 6}{7x-1} < 0$
$\Rightarrow \frac{x - 2/11}{x - 1/7} < 0$
આમ,$x \in (1/7, 2/11)$.
બીજી અસમતા માટે: $\frac{x+7}{x-8} > 2$
$\Rightarrow \frac{x+7}{x-8} - 2 > 0$
$\Rightarrow \frac{x+7 - 2x + 16}{x-8} > 0$
$\Rightarrow \frac{-x + 23}{x-8} > 0$
$\Rightarrow \frac{x - 23}{x-8} < 0$
આમ,$x \in (8, 23)$.
અંતરાલ $(1/7, 2/11)$ અને $(8, 23)$ નો છેદગણ ખાલી ગણ છે.
તેથી,આપેલ અસમતાઓની સિસ્ટમ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ અસમતા $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} \geq 0$ છે.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $x^{2} + 1 > 0$ હોવાથી,આપણે અસમતાની નિશાની બદલ્યા વગર બંને બાજુ $(x^{2} + 1)$ વડે ગુણી શકીએ છીએ.
આથી $x^{2} - 1 \geq 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(x - 1)(x + 1) \geq 0$ મળે છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિ (sign scheme) નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $x \leq -1$ અથવા $x \geq 1$ માટે અઋણ છે.
તેથી,$x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

(C) આપેલ અસમતાઓ $x \geq 0, y \geq 0, y \leq 6$ અને $x+y \leq 3$ છે.
$1$. શરતો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$2$. રેખા $x+y = 3$ એ $(3, 0)$ અને $(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. કારણ કે $(0, 0)$ એ $x+y \leq 3$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$3$. રેખા $y = 6$ એ એક આડી રેખા છે. કારણ કે $x+y \leq 3$ એ પહેલેથી જ $y \leq 3$ સૂચવે છે (જ્યારે $x \geq 0$ હોય),તેથી $y \leq 6$ ની શરત વધારાની છે કારણ કે પ્રદેશ પહેલેથી જ $x+y \leq 3$ અને અક્ષો દ્વારા સીમિત છે.
$4$. આ પ્રદેશોનો છેદબિંદુ $(0, 0), (3, 0)$ અને $(0, 3)$ શિરોબિંદુઓ સાથેનો ત્રિકોણ બનાવે છે.
આ પ્રદેશની સીમાઓ મર્યાદિત હોવાથી,તે પ્રથમ ચરણમાં એક નિયંત્રિત (bounded) પ્રદેશ છે.

(C) આપેલ અસમતાઓનું તંત્ર નીચે મુજબ છે:
$x - y \leq -1$ $(1)$
$x - y \geq 0$ $(2)$
$x \geq 0, y \geq 0$ $(3)$
અસમતા $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે $x - y \leq -1$,જેનો અર્થ છે $y \geq x + 1$.
અસમતા $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે $x - y \geq 0$,જેનો અર્થ છે $y \leq x$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x + 1 \leq y \leq x$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $x + 1 \leq x$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $1 \leq 0$ મળે છે.
$1 \leq 0$ એ અસત્ય વિધાન હોવાથી,$x$ અને $y$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે બંને અસમતાઓનું એકસાથે પાલન કરી શકે.
તેથી,આ અસમતાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતો પ્રદેશ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(D) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $x + y \leq 4$
$2$. $3x + 3y \geq 18 \implies x + y \geq 6$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ અસમતા મુજબ,પ્રદેશ રેખા $x + y = 4$ પર અથવા તેની નીચે હોવો જોઈએ.
બીજી અસમતા મુજબ,પ્રદેશ રેખા $x + y = 6$ પર અથવા તેની ઉપર હોવો જોઈએ.
આ બંને રેખાઓ સમાંતર છે અને અલગ-અલગ અર્ધતલ દર્શાવે છે ($x+y \leq 4$ અને $x+y \geq 6$),તેથી એવો કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે બંને અસમતાઓનું એકસાથે પાલન કરી શકે.
તેથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનું અસ્તિત્વ નથી.

(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અસમતાઓ $3x + 4y \leq 12$,$x \geq 0$ અને $y \geq 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપણે પૂર્ણાંક જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે જે આ શરતોનું પાલન કરે.
$y \geq 1$ હોવાથી,આપણે $y$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસીએ:
$1$. જો $y = 1$ હોય: અસમતા $3x + 4(1) \leq 12$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $3x \leq 8$ થાય,તેથી $x \leq 2.66$. $x \geq 0$ હોવાથી,$x$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $0, 1, 2$ છે. બિંદુઓ $(0, 1), (1, 1), (2, 1)$ છે.
$2$. જો $y = 2$ હોય: અસમતા $3x + 4(2) \leq 12$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $3x \leq 4$ થાય,તેથી $x \leq 1.33$. $x \geq 0$ હોવાથી,$x$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $0, 1$ છે. બિંદુઓ $(0, 2), (1, 2)$ છે.
$3$. જો $y = 3$ હોય: અસમતા $3x + 4(3) \leq 12$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $3x \leq 0$ થાય,તેથી $x \leq 0$. $x \geq 0$ હોવાથી,$x$ માટે માત્ર એક જ પૂર્ણાંક કિંમત $0$ છે. બિંદુ $(0, 3)$ છે.
$4$. જો $y > 3$ હોય: $y = 4$ માટે,$3x + 16 \leq 12$ નો અર્થ $3x \leq -4$ થાય,જે $x$ માટે કોઈ અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલ ધરાવતું નથી.
આમ,કુલ બિંદુઓ $(0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2), (0, 3)$ છે.
કુલ $6$ બિંદુઓ મળે છે.

(B) આપેલ અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. $2x + 3y \leq 5$: આ રેખા $2x + 3y = 5$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$2$. $4x - 3y \leq -2$ અથવા $3y \geq 4x + 2$: આ રેખા $3y = 4x + 2$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $x \geq 0$: આ પ્રદેશને $y$-અક્ષની જમણી બાજુ (પ્રથમ અને ચોથા ચરણ) સુધી મર્યાદિત કરે છે.
છેદબિંદુઓ:
- $2x + 3y = 5$ અને $3y = 4x + 2$ નું છેદબિંદુ: $3y$ ની કિંમત મૂકતા,$2x + (4x + 2) = 5 \implies 6x = 3 \implies x = 0.5$. તેથી $3y = 4(0.5) + 2 = 4 \implies y = 4/3$.
- જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $2x + 3y = 5 \implies y = 5/3$ અને $3y = 4x + 2 \implies y = 2/3$.
આમ,આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b > 0$ અને $a+2b \leq 1$.
વર્તુળ $C_1$ ની ત્રિજ્યા $ab^3$ અને વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા $b^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi(ab^3)^2 = \pi a^2b^6$.
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi(b^2)^2 = \pi b^4$.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi a^2b^6}{\pi b^4} = a^2b^2 = (ab)^2$.
$a$ અને $2b$ માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a+2b}{2} \geq \sqrt{a \cdot 2b} = \sqrt{2ab}$.
$a+2b \leq 1$ હોવાથી,$\frac{1}{2} \geq \sqrt{2ab}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} \geq 2ab$,જેનો અર્થ છે કે $ab \leq \frac{1}{8}$.
તેથી,$(ab)^2 \leq (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$.
$\frac{A_1}{A_2}$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{64}$ છે.

(C) આપેલ અસમતા: $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} < 0.2$
ડાબી બાજુનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{2}{0.2} < \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$
$10 < \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$
$n=25$ માટે: $\sqrt{26}+\sqrt{24} \approx 5.099 + 4.899 = 9.998 < 10$ (ખોટું)
$n=26$ માટે: $\sqrt{27}+\sqrt{25} \approx 5.196 + 5 = 10.196 > 10$ (સાચું)
આમ,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 26$ છે.

(C) ધારો કે $x$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે,$y$ એ ખોટા જવાબોની સંખ્યા છે અને $z$ એ ન ગણેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા છે.
કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $30$ હોવાથી,$x + y + z = 30$.
કુલ ગુણ $4x + 0y + 1z = 60$ છે,જે $4x + z = 60$ થાય છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$z = 60 - 4x$.
$z \ge 0$ હોવાથી,$60 - 4x \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \le 15$.
વળી,$x + y + z = 30$ માં $z = 60 - 4x$ મૂકતા,$x + y + (60 - 4x) = 30$,જેનું સાદું રૂપ $y = 3x - 30$ થાય છે.
$y \ge 0$ હોવાથી,$3x - 30 \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \ge 10$.
આમ,$10 \le x \le 15$.
$x$ ના શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $10, 11, 12, 13, 14, 15$ છે.
આમ,$x$ માટે કુલ $6$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(C) આ પ્રદેશ રેખાઓ $y = mx + 3$,$y = nx + 3$ અને $x$-અક્ષ $(y = 0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$y = 0$ માટે,$x$-અંત:ખંડ $x_1 = -\frac{3}{m}$ અને $x_2 = -\frac{3}{n}$ છે.
બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $b = 3 |\frac{1}{m} - \frac{1}{n}|$ અને ઊંચાઈ $h = 3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{9}{2} (\frac{1}{m} - \frac{1}{n})$.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ માટે,$m = \sqrt{3}$ અને $n = -\sqrt{3}$ લેતા,
ક્ષેત્રફળ $= 3 \sqrt{3}$ મળે છે.

(A) ત્રિકોણ $x > 0$,$y > 0$ અને $3x + 4y < 60$ દ્વારા સીમિત છે. $b$ એ $a$ નો ગુણક હોવાથી,ધારો કે $b = ka$ જ્યાં $k \ge 1$ પૂર્ણાંક છે.
નિશ્ચિત $x = a$ માટે,$3a + 4y < 60$,તેથી $y < 15 - 0.75a$.
$y = ka$ હોવાથી,$ka < 15 - 0.75a$,જેનો અર્થ છે કે $k < \frac{15}{a} - 0.75$.
$a=1$ માટે: $k < 14.25 \Rightarrow k \in \{1, 2, \dots, 14\}$ ($14$ બિંદુઓ).
$a=2$ માટે: $k < 6.75 \Rightarrow k \in \{1, 2, \dots, 6\}$ ($6$ બિંદુઓ).
$a=3$ માટે: $k < 4.25 \Rightarrow k \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ બિંદુઓ).
$a=4$ માટે: $k < 3 \Rightarrow k \in \{1, 2\}$ ($2$ બિંદુઓ).
$a=5$ માટે: $k < 2.25 \Rightarrow k \in \{1, 2\}$ ($2$ બિંદુઓ).
$a=6$ માટે: $k < 1.75 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ બિંદુ).
$a=7$ માટે: $k < 1.39 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ બિંદુ).
$a=8$ માટે: $k < 1.125 \Rightarrow k \in \{1\}$ ($1$ બિંદુ).
$a \ge 9$ માટે: $k < 0.91$,કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ શક્ય નથી.
કુલ બિંદુઓ $= 14 + 6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 31$.

(D) આપેલ અસમતા $|n^2 - 10n + 19| < 6$ છે.
જે $-6 < n^2 - 10n + 19 < 6$ ને સમાન છે.
કિસ્સો $1$: $n^2 - 10n + 19 < 6 \Rightarrow n^2 - 10n + 13 < 0$.
$n^2 - 10n + 13 = 0$ ના બીજ $n = 5 \pm 2\sqrt{3}$ છે.
$2\sqrt{3} \approx 3.46$ હોવાથી,વિસ્તાર $n \in (1.54, 8.46)$ છે.
કિસ્સો $2$: $n^2 - 10n + 19 > -6 \Rightarrow (n - 5)^2 > 0$.
આ $n = 5$ સિવાયના તમામ $n \in \mathbb{Z}$ માટે સાચું છે.
બંનેને જોડતા,$n \in \{2, 3, 4, 6, 7, 8\}$ મળે.
આવા ઘટકોની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(B) આપેલ અસમતાઓ $|x-y| \leqslant 1$ અને $x, y \geqslant 0$ છે.
અસમતા $|x-y| \leqslant 1$ ને $-1 \leqslant x-y \leqslant 1$ તરીકે લખી શકાય,જે બે અસમતાઓમાં વિભાજિત થાય છે: $y \leqslant x+1$ અને $y \geqslant x-1$.
આને $x \geqslant 0$ અને $y \geqslant 0$ સાથે જોડતા,આપણે પ્રથમ ચરણમાં પ્રદેશ જોઈએ છીએ.
કોઈપણ $x \geqslant 0$ માટે,આપણે $y$ ને એવી રીતે પસંદ કરી શકીએ કે $x-1 \leqslant y \leqslant x+1$ થાય.
જેમ જેમ $x$ અનંત સુધી વધે છે,તેમ $y$ પણ અનંત સુધી વધી શકે છે (દા.ત.,$y=x$ પસંદ કરીને).
આથી,આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં અનંત સુધી વિસ્તરેલો હોવાથી,ઉકેલ ગણ એક અનંત ગણ (unbounded set) છે.

(D) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલ શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $2x + 3y \leqslant 18$: આ રેખા $2x + 3y = 18$ ની નીચે અથવા તેના પરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે. તેના અંતઃખંડો $(9, 0)$ અને $(0, 6)$ છે.
$2$. $x + y \geqslant 10$: આ રેખા $x + y = 10$ ની ઉપર અથવા તેના પરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે. તેના અંતઃખંડો $(10, 0)$ અને $(0, 10)$ છે.
$3$. $x \geqslant 0, y \geqslant 0$: આ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
બંને રેખાઓની સરખામણી કરતા:
$2x + 3y = 18$ માટે,મહત્તમ $x$-કિંમત $9$ છે અને મહત્તમ $y$-કિંમત $6$ છે.
$x + y = 10$ માટે,ન્યૂનતમ $x$-કિંમત $10$ છે અને ન્યૂનતમ $y$-કિંમત $10$ છે.
કારણ કે $2x + 3y \leqslant 18$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં સંપૂર્ણપણે $x + y = 10$ રેખાની નીચે આવે છે,તેથી એવું કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે $2x + 3y \leqslant 18$ અને $x + y \geqslant 10$ બંનેનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ખાલી ગણ છે.

(D) આપેલ સુરેખ અસમતાઓ:
$1) 2x + 3y \leq 18$
$2) x + y \geq 10$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ અસમતા $2x + 3y \leq 18$ માટે,સીમા રેખા $2x + 3y = 18$ છે. તેના અંતઃખંડો $(9, 0)$ અને $(0, 6)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ એ $2(0) + 3(0) \leq 18$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
બીજી અસમતા $x + y \geq 10$ માટે,સીમા રેખા $x + y = 10$ છે. તેના અંતઃખંડો $(10, 0)$ અને $(0, 10)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ એ $0 + 0 \geq 10$ નું સમાધાન કરતું નથી,તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
બંને પ્રદેશોની સરખામણી કરતા: પ્રથમ પ્રદેશ $(9, 0)$ અને $(0, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાની નીચે છે,જ્યારે બીજો પ્રદેશ $(10, 0)$ અને $(0, 10)$ માંથી પસાર થતી રેખાની ઉપર છે. આ બંને પ્રદેશો પ્રથમ ચરણમાં $(x \geq 0, y \geq 0)$ એકબીજાને છેદતા નથી.
તેથી,કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ નથી જે બધી આપેલી અસમતાઓનું સમાધાન કરે. આમ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ રિક્ત ગણ (ખાલી ગણ) છે.

(A) સુરેખ અસમતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1) x+y \geq 1$
$2) 7x+9y \leq 63$
$3) y \leq 5$
$4) x \leq 6$
$5) x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે સીમાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
- રેખા $x+y=1$ એ $(1,0)$ અને $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $x+y \geq 1$ એ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
- રેખા $7x+9y=63$ એ $(9,0)$ અને $(0,7)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $7x+9y \leq 63$ એ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
- રેખાઓ $x=6$ અને $y=5$ અનુક્રમે શિરોલંબ અને આડી રેખાઓ છે,જે પ્રદેશને મર્યાદિત કરે છે.
- શરતો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ રેખાઓ દોરીને અને અસમતાઓને ધ્યાનમાં લેતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો બંધ બહુકોણ છે જે તમામ શરતોને સંતોષે છે. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,ઉકેલની આકૃતિ (જે વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે) આ તમામ અર્ધ-તલોના છેદને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) સામાન્ય પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x+y \geq 5$: આ રેખા $x+y=5$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે. કારણ કે $(0,0)$ આનું સમાધાન કરતું નથી ($0 \geq 5$ ખોટું છે),તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુએ છે.
$2$. $y \leq 4$: આ રેખા $y=4$ પર અથવા તેની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $x \geq 2$: આ રેખા $x=2$ પર અથવા તેની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$4$. $x, y \geq 0$: આ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ રેખાઓ દોરવાથી,આપણે આકૃતિમાં છાયાંકિત પ્રદેશ જોઈએ છીએ. આ પ્રદેશ રેખાઓ $x=2$,$y=4$,અને $x+y=5$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આ પ્રદેશ આ રેખાઓ દ્વારા બંધ હોવાથી,તે એક સીમિત પ્રદેશ છે. વધુમાં,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છાયાંકિત પ્રદેશમાં આવતું નથી,તેથી તે ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુએ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે,$C(x) = 20x + 4000$ અને $R(x) = 60x + 2000$.
નફો મેળવવા માટે,આવક ખર્ચ કરતા વધારે હોવી જોઈએ,એટલે કે $R(x) - C(x) > 0$.
આપેલ વિધેયો મૂકતા:
$(60x + 2000) - (20x + 4000) > 0$
$60x + 2000 - 20x - 4000 > 0$
$40x - 2000 > 0$
$40x > 2000$
$x > \frac{2000}{40}$
$x > 50$.
આમ,નફો મેળવવા માટે વસ્તુઓની સંખ્યા $x$ એ $50$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.

(B) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $x \ cm$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લંબાઈ $5x \ cm$ થશે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2(\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ})$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = 2(5x + x) = 2(6x) = 12x$.
આપેલ છે કે ન્યૂનતમ પરિમિતિ $180 \ cm$ છે,તેથી $P \geq 180$.
તેથી,$12x \geq 180$.
બંને બાજુ $12$ વડે ભાગતા,આપણને $x \geq 15$ મળે છે.
અહીં $x$ એ પહોળાઈ દર્શાવે છે,તેથી પહોળાઈ ઓછામાં ઓછી $15 \ cm$ હોવી જોઈએ.

(C) આપેલ અસમતા $\frac{x^{2}+6x-7}{|x+4|} < 0$ છે.
અહીં $|x+4|$ એ $x \neq -4$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી આ પદ ત્યારે જ ઋણ થાય જ્યારે અંશ ઋણ હોય.
આથી,$x^{2}+6x-7 < 0$ અને $x \neq -4$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(x+7)(x-1) < 0$ મળે.
આ અસમતા $x \in (-7, 1)$ માટે સાચી છે.
છેદ શૂન્ય થાય તે બિંદુ $(x = -4)$ ને બાદ કરતા,ઉકેલ ગણ $(-7, -4) \cup (-4, 1)$ મળે છે.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{8x^2-14x-9}{3x^2-7x-6} > 2$ \\ બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા: $\frac{8x^2-14x-9}{3x^2-7x-6} - 2 > 0$ \\ સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2x^2+3}{3x^2-7x-6} > 0$ \\ $2x^2+3$ હંમેશા ધન હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $3x^2-7x-6 > 0$ હોય \\ અવયવ પાડતા: $(3x+2)(x-3) > 0$ \\ નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2/3$ અને $x = 3$ છે \\ અંતરાલ ચકાસતા,ઉકેલ $(-\infty, -2/3) \cup (3, \infty)$ મળે છે.

(B) આપેલ અસમતા: $\frac{x^2-1}{(x-4)(x-3)} \geq 1$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $\frac{x^2-1}{(x-4)(x-3)} - 1 \geq 0$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{x^2-1 - (x^2-7x+12)}{(x-4)(x-3)} \geq 0$.
$\frac{7x-13}{(x-4)(x-3)} \geq 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ મેળવતા: $x = \frac{13}{7}, x = 3, x = 4$.
સંખ્યા રેખા પર વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અંતરાલો તપાસતા:
$x > 4$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$3 < x < 4$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$\frac{13}{7} \leq x < 3$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$x < \frac{13}{7}$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $[\frac{13}{7}, 3) \cup (4, \infty)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{x-1}{3x+4} - \frac{x-3}{3x-2} < 0$
લસાઅ લેતા:
$\frac{(x-1)(3x-2) - (x-3)(3x+4)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(3x^2 - 2x - 3x + 2) - (3x^2 + 4x - 9x - 12)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(3x^2 - 5x + 2) - (3x^2 - 5x - 12)}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
$\frac{14}{(3x+4)(3x-2)} < 0$
અહીં અંશ $14$ ધન હોવાથી,પદાવલિ ત્યારે જ ઋણ થાય જ્યારે છેદ ઋણ હોય:
$(3x+4)(3x-2) < 0$
છેદના શૂન્યો $x = -\frac{4}{3}$ અને $x = \frac{2}{3}$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિ મુજબ,$(3x+4)(3x-2)$ એ બંને શૂન્યોની વચ્ચે ઋણ હોય છે.
તેથી,$x \in \left(-\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{14 x}{x+1}-\frac{9 x-30}{x-4} < 0$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{14 x(x-4)-(9 x-30)(x+1)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{14 x^2-56 x-(9 x^2+9 x-30 x-30)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{14 x^2-56 x-(9 x^2-21 x-30)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5 x^2-35 x+30}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5(x^2-7 x+6)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5(x-1)(x-6)}{(x+1)(x-4)} < 0$
સંખ્યા રેખા પર વેવી કર્વ પદ્ધતિ (ચિહ્ન યોજના) નો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $-1, 1, 4, 6$ છે:
આ પદાવલિ $(-1, 1)$ અને $(4, 6)$ અંતરાલમાં ઋણ છે.
તેથી,$x \in (-1, 1) \cup (4, 6)$.

(B) આપેલ અસમતા: $\frac{7 x^2-5 x-18}{2 x^2+x-6} < 2$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા: $\frac{7 x^2-5 x-18}{2 x^2+x-6} - 2 < 0$
$\Rightarrow \frac{7 x^2-5 x-18 - 2(2 x^2+x-6)}{2 x^2+x-6} < 0$
$\Rightarrow \frac{7 x^2-5 x-18 - 4 x^2-2 x+12}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
$\Rightarrow \frac{3 x^2-7 x-6}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
અંશના અવયવ પાડતા: $3 x^2-7 x-6 = 3 x^2-9 x+2 x-6 = 3 x(x-3)+2(x-3) = (3 x+2)(x-3)$
તેથી,અસમતા બને છે: $\frac{(3 x+2)(x-3)}{(2 x-3)(x+2)} < 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -2, -\frac{2}{3}, \frac{3}{2}, 3$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતરાલો તપાસીએ છીએ:
$x > 3$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$\frac{3}{2} < x < 3$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$-\frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$-2 < x < -\frac{2}{3}$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$x < -2$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
આપણને પદાવલિ $0$ કરતા નાની જોઈએ છે,તેથી ઉકેલ $x \in \left(-2, -\frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, 3 \right)$ છે.

(D) આપેલ છે,$1 \leq \frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \leq 2$. કારણ કે $x^2+1 > 0$ તમામ $x \in R$ માટે,આપણે $(x^2+1)$ વડે ગુણી શકીએ છીએ.
પ્રથમ,$1 \leq \frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \implies x^2+1 \leq 3x^2-7x+8 \implies 2x^2-7x+7 \geq 0$ ધ્યાનમાં લો.
$2x^2-7x+7$ નો વિવેચક $D = (-7)^2 - 4(2)(7) = 49 - 56 = -7 < 0$ છે. અગ્ર સહગુણક ધન હોવાથી,$2x^2-7x+7 > 0$ તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે.
ત્યારબાદ,$\frac{3x^2-7x+8}{x^2+1} \leq 2 \implies 3x^2-7x+8 \leq 2x^2+2 \implies x^2-7x+6 \leq 0$ ધ્યાનમાં લો.
અવયવ પાડતા,$(x-1)(x-6) \leq 0$ મળે છે.
આ અસમતા $x \in [1, 6]$ માટે સાચી છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $1$ અને મહત્તમ કિંમત $6$ છે.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{8x^2+16x-51}{(2x-3)(x+4)} > 3$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $\frac{8x^2+16x-51 - 3(2x^2+5x-12)}{(2x-3)(x+4)} > 0$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $8x^2+16x-51 - 6x^2-15x+36 = 2x^2+x-15$
અંશના અવયવ પાડતા: $2x^2+6x-5x-15 = 2x(x+3)-5(x+3) = (2x-5)(x+3)$
તેથી,અસમતા આ મુજબ બને છે: $\frac{(2x-5)(x+3)}{(2x-3)(x+4)} > 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -4, -3, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $(-\infty, -4) \cup (-3, \frac{3}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$ અંતરાલોમાં ધન છે.

(C) આપેલ અસમતા $\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x+5} \geq \frac{\sqrt{6+x-x^2}}{x+4}$ છે.
પ્રથમ,પદાવલિ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $6+x-x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x^2-x-6 \leq 0$,તેથી $(x-3)(x+2) \leq 0$. આમ,$x \in [-2, 3]$.
જો $6+x-x^2 = 0$ હોય,તો $x = -2$ અથવા $x = 3$. બંને અસમતાનું સમાધાન કરે છે કારણ કે $0 \geq 0$.
જો $6+x-x^2 > 0$ હોય,તો આપણે $\sqrt{6+x-x^2}$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{1}{2x+5} \geq \frac{1}{x+4} \Rightarrow \frac{1}{2x+5} - \frac{1}{x+4} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{x+4-(2x+5)}{(2x+5)(x+4)} \geq 0$ $\Rightarrow \frac{-x-1}{(2x+5)(x+4)} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{x+1}{(2x+5)(x+4)} \leq 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $-4, -2.5, -1$ માટે ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $x \in (-\infty, -4) \cup (-2.5, -1]$ માટે $\leq 0$ છે.
આને પ્રદેશ $x \in [-2, 3]$ સાથે જોડતા,આપણને $x \in [-2, -1] \cup \{3\}$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે બે અસમતાઓ છે:
$5x - 1 < (x + 1)^2$ અને $(x + 1)^2 < 7x - 3$.
પ્રથમ અસમતા માટે:
$5x - 1 < x^2 + 2x + 1$
$x^2 - 3x + 2 > 0$
$(x - 1)(x - 2) > 0$
આથી $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
બીજી અસમતા માટે:
$(x + 1)^2 < 7x - 3$
$x^2 + 2x + 1 < 7x - 3$
$x^2 - 5x + 4 < 0$
$(x - 1)(x - 4) < 0$
આથી $x \in (1, 4)$.
બંને અંતરાલોનો છેદ લેતા:
$x \in ((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) \cap (1, 4) = (2, 4)$.
અંતરાલ $(2, 4)$ માં માત્ર એક જ પૂર્ણાંક $x = 3$ છે.
આમ,$x$ નું માત્ર $1$ પૂર્ણાંક મૂલ્ય શક્ય છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\sqrt{9x^2+6x+1} < (2-x)$
$\sqrt{(3x+1)^2} < 2-x$ હોવાથી,$|3x+1| < 2-x$ મળે.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે $2-x > 0$ એટલે કે $x < 2$ હોવું જરૂરી છે.
$|3x+1| < 2-x$ ઉકેલતા:
$-(2-x) < 3x+1 < 2-x$
કિસ્સો $1$: $3x+1 < 2-x$ $\Rightarrow 4x < 1$ $\Rightarrow x < \frac{1}{4}$
કિસ્સો $2$: $3x+1 > -(2-x)$ $\Rightarrow 3x+1 > -2+x$ $\Rightarrow 2x > -3$ $\Rightarrow x > -\frac{3}{2}$
આમ,$x \in \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)$.

(C) ચતુષ્કોણ $x = 0$ ($y$-અક્ષ),$y = 0$ ($x$-અક્ષ),$2x + y = 2$ અને $x + y = 5$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
બિંદુ $(x, y)$ ચતુષ્કોણની અંદર હોય અને તેના યામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(x, y \in \{1, 2, 3, \dots\})$ હોય,તો તે નીચેની અસમતાઓનું પાલન કરવું જોઈએ:
$1) \ x > 0$
$2) \ y > 0$
$3) \ 2x + y > 2$
$4) \ x + y < 5$
$x$ ની પૂર્ણાંક કિંમતો માટે ચકાસણી:
જો $x = 1$: $2(1) + y > 2 \implies 2 + y > 2 \implies y > 0$. તેમજ $1 + y < 5 \implies y < 4$. તેથી $y \in \{1, 2, 3\}$. બિંદુઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$.
જો $x = 2$: $2(2) + y > 2 \implies 4 + y > 2 \implies y > -2$. તેમજ $2 + y < 5 \implies y < 3$. તેથી $y \in \{1, 2\}$. બિંદુઓ: $(2, 1), (2, 2)$.
જો $x = 3$: $2(3) + y > 2 \implies 6 + y > 2 \implies y > -4$. તેમજ $3 + y < 5 \implies y < 2$. તેથી $y = 1$. બિંદુ: $(3, 1)$.
જો $x \ge 4$: પ્રાકૃતિક સંખ્યા $y \ge 1$ માટે $x + y < 5$ શક્ય નથી.
આવા કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3 + 2 + 1 = 6$ છે.

(C) આપેલ છે $S = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 7x + 6 \leq 0 \text{ અને } x^2 - 3x > 0\}$ ...$(i)$
પ્રથમ,અસમતા $x^2 - 7x + 6 \leq 0$ ઉકેલો:
$(x - 6)(x - 1) \leq 0$
આથી $x \in [1, 6]$.
ત્યારબાદ,અસમતા $x^2 - 3x > 0$ ઉકેલો:
$x(x - 3) > 0$
આથી $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
હવે,આ બે અંતરાલોનો છેદગણ મેળવો:
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in [1, 6] \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty))\}$
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in (3, 6] \cap \mathbb{Z}\}$
$S = \{4, 5, 6\}$.
આમ,ગણ $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $|x|+|y|=|x-3|+|y-2|$.
કિસ્સો $I$: $0 \leq x < 3$ અને $0 \leq y < 2$.
આ વિસ્તારમાં,$|x|=x$,$|y|=y$,$|x-3|=-(x-3)$,અને $|y-2|=-(y-2)$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x+y = -(x-3) - (y-2)$.
$x+y = -x+3-y+2$.
$2x+2y = 5$.
$x+y = 5/2$.
કિસ્સો $II$: $x \geq 3$ અને $y \geq 2$.
આ વિસ્તારમાં,$|x|=x$,$|y|=y$,$|x-3|=x-3$,અને $|y-2|=y-2$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x+y = (x-3) + (y-2)$.
$x+y = x+y-5$.
$0 = -5$,જે અશક્ય છે.
તેથી,શરત $x+y = 5/2$ એ $0 \leq x < 3$ અને $0 \leq y < 2$ માટે સાચી છે.

(A) આપણી પાસે અસમતાઓ છે:
$x^2-4x+3 > 0$ અને $x^2-2x-8 \leq 0$
પ્રથમ,$x^2-4x+3 > 0$ ઉકેલો:
$(x-3)(x-1) > 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
આગળ,$x^2-2x-8 \leq 0$ ઉકેલો:
$(x-4)(x+2) \leq 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in [-2, 4]$.
અંતે,બંને ગણનો છેદગણ મેળવો:
$x \in ((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) \cap [-2, 4]$
$x \in [-2, 1) \cup (3, 4]$

(C) આપેલ અસમતા $\frac{\sqrt{12-x-x^2}}{x+10} \leq \frac{\sqrt{12-x-x^2}}{2x+9}$ છે.
પ્રથમ,વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $12-x-x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x^2+x-12 \leq 0$,તેથી $(x+4)(x-3) \leq 0$,જે $x \in [-4, 3]$ આપે છે.
ઉપરાંત,છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $x \neq -10$ અને $x \neq -4.5$.
કિસ્સો $1$: જો $12-x-x^2 = 0$,તો $x = -4$ અથવા $x = 3$. બંને અસમતા $0 \leq 0$ નું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $2$: જો $12-x-x^2 > 0$,તો આપણે $\sqrt{12-x-x^2}$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{1}{x+10} \leq \frac{1}{2x+9} \implies \frac{x-1}{(x+10)(2x+9)} \leq 0$.
$x \in (-4, 3)$ માટે ચિહ્ન યોજનાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(-4, 1]$ મળે છે.
કિસ્સો $1$ અને $2$ ને જોડતા,$x \in [-4, 1] \cup \{3\}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $m = n+4$. $n \in \mathbb{N}$ હોવાથી,$n \geq 1$,તેથી $m \geq 5$.
આપેલ અસમતા $2^m + 12 \geq km$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $k \leq \frac{2^m + 12}{m}$ બધા $m \geq 5$ માટે.
સૌથી મોટા પૂર્ણાંક $k$ શોધવા માટે,આપણે $m \in \{5, 6, 7, \dots\}$ માટે વિધેય $f(m) = \frac{2^m + 12}{m}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી પડશે.
$m = 5$ માટે: $f(5) = \frac{2^5 + 12}{5} = \frac{32 + 12}{5} = \frac{44}{5} = 8.8$.
$m = 6$ માટે: $f(6) = \frac{2^6 + 12}{6} = \frac{64 + 12}{6} = \frac{76}{6} \approx 12.66$.
$m = 7$ માટે: $f(7) = \frac{2^7 + 12}{7} = \frac{128 + 12}{7} = \frac{140}{7} = 20$.
જેમ $m$ વધે છે,તેમ $m \geq 5$ માટે $f(m)$ વધે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $m = 5$ પર $8.8$ છે.
$k \leq f(m)$ હોવાથી,$k$ એ $f(m)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કરતા નાનો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$k \leq 8.8$.
સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $k = 8$ છે.

(B) ધારો કે $L_1(x, y) = x+2y-5$ અને $L_2(x, y) = 3x-4y+5$. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માટે $L_1(0,0) = -5$ અને $L_2(0,0) = 5$ મળે છે. બંનેના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવાથી,ઉગમબિંદુ રેખાઓની વચ્ચે છે.
બિંદુ $P = ((\alpha-1)^2, \alpha)$ ઉગમબિંદુવાળા પ્રદેશમાં હોય તે માટે $L_1(P) < 0$ અને $L_2(P) > 0$ હોવું જોઈએ.
શરત $1$: $(\alpha-1)^2 + 2\alpha - 5 < 0$ $\Rightarrow \alpha^2 - 4 < 0$ $\Rightarrow -2 < \alpha < 2$.
શરત $2$: $3(\alpha-1)^2 - 4\alpha + 5 > 0$ $\Rightarrow 3\alpha^2 - 10\alpha + 8 > 0$ $\Rightarrow \alpha < \frac{4}{3}$ અથવા $\alpha > 2$.
બંને શરતોને જોડતા: $\alpha \in (-2, \frac{4}{3})$.
$\alpha \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,શક્ય કિંમતો $\alpha \in \{-1, 0, 1\}$ છે.
આમ,કુલ $3$ બિંદુઓ મળે છે.

(D) આપેલ અસમતા $\sqrt{x+2} > \sqrt{8-x^2}$ છે.
પ્રથમ,વિધેયનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ:
$x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ $(i)$
$8-x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq 8$ $\Rightarrow x \in [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને જોડતા,પ્રદેશ $x \in [-2, 2\sqrt{2}]$ મળે છે.
હવે,અસમતાની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x+2 > 8-x^2$
$x^2 + x - 6 > 0$
$(x+3)(x-2) > 0$
આ અસમતા $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$ $(iii)$ માટે સાચી છે.
પ્રદેશ $[-2, 2\sqrt{2}]$ અને ઉકેલ $(iii)$ નો છેદગણ લેતા:
$x \in (2, 2\sqrt{2}]$.
આ અંતરાલમાં $x$ ની મહત્તમ કિંમત $2\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ અસમતા: $3^x + 3^{1-x} - 4 < 0$.
$3^{1-x} = \frac{3}{3^x}$ મૂકતા: $3^x + \frac{3}{3^x} - 4 < 0$.
આખી અસમતાને $3^x$ વડે ગુણતા (કારણ કે $3^x > 0$ દરેક $x \in R$ માટે): $(3^x)^2 - 4(3^x) + 3 < 0$.
ધારો કે $y = 3^x$. તેથી અસમતા $y^2 - 4y + 3 < 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(y - 1)(y - 3) < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 < y < 3$.
$y = 3^x$ પાછું મૂકતા,આપણને $1 < 3^x < 3$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3^0 = 1$ અને $3^1 = 3$,તેથી $3^0 < 3^x < 3^1$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$0 < x < 1$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(0, 1)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $|x-1|+|x+1| < 4$ છે.
આપણે વિધેય $f(x) = |x-1|+|x+1|$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $x < -1$. તો $f(x) = -(x-1) - (x+1) = -2x$.
$-2x < 4 \Rightarrow x > -2$. તેથી,$x \in (-2, -1)$.
કિસ્સો $2$: $-1 \leq x \leq 1$. તો $f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$.
$2 < 4$ એ $x \in [-1, 1]$ માટે હંમેશા સાચું છે.
કિસ્સો $3$: $x > 1$. તો $f(x) = (x-1) + (x+1) = 2x$.
$2x < 4 \Rightarrow x < 2$. તેથી,$x \in (1, 2)$.
બધા કિસ્સાઓને જોડતા,ઉકેલ ગણ $(-2, -1) \cup [-1, 1] \cup (1, 2) = (-2, 2)$ મળે છે.

(C) વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,આપણી પાસે $x^2+x-2 \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $(x+2)(x-1) \ge 0$. આમ,$x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.
કિસ્સો $1$: જો $1-x < 0$,એટલે કે $x > 1$,તો અસમતા $\sqrt{x^2+x-2} > 1-x$ હંમેશા સાચી છે કારણ કે ડાબી બાજુ અ-ઋણ છે અને જમણી બાજુ ઋણ છે.
કિસ્સો $2$: જો $1-x \ge 0$,એટલે કે $x \le 1$,તો બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+x-2 > (1-x)^2$.
$x^2+x-2 > 1-2x+x^2$.
$x-2 > 1-2x$ $\Rightarrow 3x > 3$ $\Rightarrow x > 1$.
આને શરત $x \le 1$ સાથે જોડતા,આ કિસ્સામાંથી કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
જોકે,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ ને ધ્યાનમાં લેતા,$x > 1$ માટે અસમતા સાચી છે.
$x \le -2$ તપાસતા: જો $x = -2$,તો $\sqrt{4-2-2} = 0$ અને $1-(-2) = 3$. $0 > 3$ ખોટું છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(1, \infty)$ છે.

(D) ધારો કે છોકરીને મળતા સફરજનની સંખ્યા $g$ છે અને છોકરાને મળતા સફરજનની સંખ્યા $b$ છે. આપણી પાસે $g + b = 11$ છે.
પીજનહોલ સિદ્ધાંત મુજબ,જો આપણે $11$ વસ્તુઓને $2$ જૂથોમાં વહેંચીએ,તો ઓછામાં ઓછા એક જૂથમાં ઓછામાં ઓછા $\lceil 11/2 \rceil = 6$ વસ્તુઓ હોવી જોઈએ.
જો $g < 4$ અને $b < 8$ હોય,તો $g \leq 3$ અને $b \leq 7$ થાય. આ બંનેનો સરવાળો $g + b \leq 10$ થાય છે,જે $g + b = 11$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,$g \geq 4$ અથવા $b \geq 8$ હોવું જ જોઈએ.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|A + B| = |A| + |B|$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $AB \geq 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $|x^2 + x - 9| = |x| + |x^2 - 9|$ છે.
ધારો કે $A = x$ અને $B = x^2 - 9$. તો $A + B = x^2 + x - 9$ થાય.
સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટેની શરત $x(x^2 - 9) \geq 0$ છે.
અવયવ પાડતા,આપણને $x(x - 3)(x + 3) \geq 0$ મળે છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિ (sign scheme) નો ઉપયોગ કરતા,ઉકેલ ગણ $x \in [-3, 0] \cup [3, \infty)$ મળે છે.
આને આપેલ સ્વરૂપ $[\alpha, \beta] \cup [\gamma, \infty)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -3$,$\beta = 0$,અને $\gamma = 3$ મળે છે.
તેથી,$(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) = (-3)^2 + 0^2 + 3^2 = 9 + 0 + 9 = 18$ થાય.