Linear inequalities for Single Line Questions in Gujarati

(B) આપેલ અસમતા: $5x - 3 < 3x + 1$
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા: $5x < 3x + 4$
બંને બાજુથી $3x$ બાદ કરતા: $2x < 4$
$2$ વડે ભાગતા: $x < 2$
જ્યારે $x$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,ત્યારે ઉકેલ ગણ $2$ થી નાની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in (-\infty, 2)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $4x + 3 < 6x + 7$
બંને બાજુથી $6x$ બાદ કરતા: $4x - 6x + 3 < 7$
$-2x + 3 < 7$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $-2x < 4$
$-2$ વડે ભાગતા (યાદ રાખો કે ઋણ સંખ્યા વડે ભાગતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાય છે): $x > -2$
આમ,ઉકેલ ગણ $(-2, \infty)$ છે.

(N/A) આપણી પાસે $\frac{5-2x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ છે.
છેદ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$2(5-2x) \leq x - 30$
$10 - 4x \leq x - 30$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$10 - 5x \leq -30$
બંને બાજુથી $10$ બાદ કરતા:
$-5x \leq -40$
$-5$ વડે ભાગતા (ઋણ સંખ્યા વડે ભાગતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલવી):
$x \geq 8$
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in [8, \infty)$ છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $7x + 3 < 5x + 9$
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા: $2x + 3 < 9$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $2x < 6$
$2$ વડે ભાગતા: $x < 3$
ઉકેલ ગણ એ $3$ કરતા નાની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. સંખ્યા રેખા પર તેનું આલેખન $3$ થી શરૂ થતું કિરણ છે (જ્યાં $3$ પર ખુલ્લું વર્તુળ છે જે દર્શાવે છે કે $3$ નો સમાવેશ થતો નથી) જે ડાબી બાજુએ ઋણ અનંત તરફ જાય છે.

(N/A) આપણી પાસે $\frac{3x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ છે.
છેદ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$2(3x-4) \geq (x+1) - 4$
$6x - 8 \geq x - 3$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$5x - 8 \geq -3$
બંને બાજુ $8$ ઉમેરતા:
$5x \geq 5$
$5$ વડે ભાગતા:
$x \geq 1$.
ઉકેલ ગણ $[1, \infty)$ છે. આલેખમાં $1$ પર ઘાટું ટપકું કરીને જમણી બાજુ કિરણ દોરવામાં આવે છે.

(A) આપેલ અસમતા $-12x > 30$ છે.
બંને બાજુ $-12$ વડે ભાગતા,અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$x < \frac{30}{-12}$
$x < -2.5$
$-2.5$ થી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $....., -5, -4, -3$ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{....., -5, -4, -3\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $3x + 8 > 2$ છે.
બંને બાજુથી $8$ બાદ કરતા:
$3x + 8 - 8 > 2 - 8$
$3x > -6$
બંને બાજુને $3$ વડે ભાગતા:
$\frac{3x}{3} > \frac{-6}{3}$
$x > -2$
જ્યારે $x$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,ત્યારે ઉકેલ ગણ એ $-2$ થી મોટી તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(-2, \infty)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $3(2-x) \geq 2-2x$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$6 - 3x \geq 2 - 2x$
બંને બાજુ $3x$ ઉમેરતા:
$6 \geq 2 + x$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$4 \geq x$ અથવા $x \leq 4$
આમ,આપેલ અસમતાનો ઉકેલ ગણ $(-\infty, 4]$ છે.

(N/A) $3x + 2y = 6$ નો આલેખ આકૃતિમાં તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે.
આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલો $I$ અને $II$ માં વિભાજિત કરે છે. આપણે રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ પસંદ કરીએ,જેમ કે $(0, 0)$,જે અર્ધ-સમતલ $I$ માં આવેલું છે અને તપાસીએ કે તે આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરે છે કે નહીં:
$3(0) + 2(0) > 6$
$0 > 6$,જે અસત્ય છે.
તેથી,અર્ધ-સમતલ $I$ એ ઉકેલ પ્રદેશ નથી. અસમતા કડક $(>)$ હોવાથી,રેખા પરના બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી. આમ,છાયાંકિત અર્ધ-સમતલ $II$ એ અસમતાનો ઉકેલ પ્રદેશ છે.

(N/A) પ્રથમ,અનુરૂપ સમીકરણ $3x - 6 = 0$ ધ્યાનમાં લો,જેનું સાદું રૂપ $x = 2$ થાય છે.
આલેખમાં $x = 2$ રેખા દોરો. અસમતા $\geq$ હોવાથી,$x = 2$ રેખા ઉકેલ પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ છે (ઘાટી રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે).
ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ,જેમ કે $(0, 0)$ લો.
અસમતા $3x - 6 \geq 0$ માં $(0, 0)$ મૂકતા,$3(0) - 6 \geq 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-6 \geq 0$ થાય છે.
$-6 \geq 0$ અસત્ય હોવાથી,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ઉકેલ પ્રદેશમાં નથી.
તેથી,ઉકેલ પ્રદેશ $x = 2$ રેખાની જમણી બાજુનો અર્ધ-તલ છે,જેમાં રેખા પોતે પણ સમાવિષ્ટ છે.

(N/A) $y = 2$ નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ચાલો નીચેના અર્ધતલ $I$ માં એક બિંદુ $(0, 0)$ પસંદ કરીએ અને આપેલ અસમતામાં $y = 0$ મૂકીએ:
$0 < 2$,જે સત્ય છે.
આમ,ઉકેલ પ્રદેશ એ $y = 2$ રેખાની નીચેનો છાયાંકિત ભાગ છે. તેથી,રેખાની નીચેના દરેક બિંદુ (રેખા પરના તમામ બિંદુઓને બાદ કરતાં,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે) આપેલ અસમતાનો ઉકેલ દર્શાવે છે.

(N/A) નીચેની આકૃતિમાં $x+y=5$ નું આલેખન તૂટક રેખા તરીકે દર્શાવેલ છે.
આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલો,$I$ અને $II$ માં વિભાજિત કરે છે.
કોઈ એક અર્ધ-સમતલમાં આવેલ એક બિંદુ (જે રેખા પર ન હોય) પસંદ કરો,જેથી જાણી શકાય કે તે બિંદુ આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરે છે કે નહીં.
આપણે $(0,0)$ બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ.
અહીં જોઈ શકાય છે કે,
$0+0 < 5$ અથવા $0 < 5$,જે સત્ય છે.
તેથી,અર્ધ-સમતલ $I$ એ આપેલ અસમતાનો ઉકેલ પ્રદેશ છે.
વધુમાં,તે સ્પષ્ટ છે કે રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ આપેલ ચુસ્ત અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી.
આમ,આપેલ અસમતાનો ઉકેલ પ્રદેશ એ રેખા પરના બિંદુઓને બાદ કરતાં છાયાંકિત અર્ધ-સમતલ $I$ છે.

(N/A) $2x + y = 6$ રેખાનું આલેખન આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલો,$I$ અને $II$ માં વિભાજિત કરે છે.
કોઈ એક અર્ધ-સમતલમાં આવેલું હોય તેવું એક બિંદુ (જે રેખા પર ન હોય) પસંદ કરો,જેથી જાણી શકાય કે તે બિંદુ આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરે છે કે નહીં.
આપણે બિંદુ $(0, 0)$ પસંદ કરીએ છીએ.
અહીં જોવા મળે છે કે,
$2(0) + 0 \geq 6$ અથવા $0 \geq 6$,જે અસત્ય છે.
તેથી,અર્ધ-સમતલ $I$ એ આપેલ અસમતાનો ઉકેલ પ્રદેશ નથી. ઉપરાંત,તે સ્પષ્ટ છે કે રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરે છે.
આમ,આપેલ અસમતાનો ઉકેલ પ્રદેશ એ રેખા પરના બિંદુઓ સહિતનો છાયાંકિત અર્ધ-સમતલ $II$ છે.

(N/A) અસમતા $3x + 4y \leq 12$ ને આલેખની રીતે ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંબંધિત સમીકરણ $3x + 4y = 12$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
રેખા $3x + 4y = 12$ ના અંતઃખંડો શોધો:
જો $x = 0$,તો $4y = 12 \implies y = 3$. તેથી,બિંદુ $(0, 3)$ છે.
જો $y = 0$,તો $3x = 12 \implies x = 4$. તેથી,બિંદુ $(4, 0)$ છે.
$(0, 3)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા દોરો. અસમતા $\leq$ હોવાથી,રેખા ઘાટી (solid) દોરવામાં આવશે.
ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,અસમતા $3x + 4y \leq 12$ માં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ની કિંમત મૂકો:
$3(0) + 4(0) = 0 \leq 12$,જે સત્ય છે.
તેથી,ઉકેલ પ્રદેશ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ધરાવતું અર્ધ-સમતલ છે,જે રેખા $3x + 4y = 12$ ની નીચેનો છાયાંકિત ભાગ છે.

$y+8=2x$ રેખાનું આલેખન આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલોમાં વિભાજિત કરે છે.
ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,આપણે રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ. ચાલો બિંદુ $(0,0)$ પસંદ કરીએ.
અસમતા $y+8 \geq 2x$ માં $(0,0)$ મૂકતા:
$0+8 \geq 2(0)$
$8 \geq 0$
$8 \geq 0$ એ સાચું વિધાન હોવાથી,ઉકેલ પ્રદેશ એ અર્ધ-સમતલ છે જેમાં બિંદુ $(0,0)$ નો સમાવેશ થાય છે.
અસમતા $\geq$ હોવાથી,રેખા $y+8=2x$ નો ઉકેલ પ્રદેશમાં સમાવેશ થાય છે. આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ ઉકેલ ગણ દર્શાવે છે.

(N/A) $x-y=2$ રેખાનું આલેખન આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલોમાં વિભાજિત કરે છે.
ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,આપણે રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ,જેમ કે $(0,0)$.
અસમતા $x-y \leq 2$ માં $(0,0)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0-0 \leq 2 \implies 0 \leq 2$,જે સત્ય છે.
અસમતા બિંદુ $(0,0)$ માટે સાચી હોવાથી,ઉકેલ પ્રદેશ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ધરાવતું અર્ધ-સમતલ છે.
અસમતા $\leq$ હોવાથી,રેખા $x-y=2$ ઉકેલ પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ છે (જેને ઘટ્ટ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે).
આમ,ઉકેલ પ્રદેશ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છાયાંકિત ભાગ છે.

(N/A) $2x - 3y = 6$ નું આલેખન નીચેની આકૃતિમાં તૂટક રેખા તરીકે દર્શાવેલ છે.
આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલોમાં વિભાજિત કરે છે.
આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,એક બિંદુ (જે રેખા પર ન હોય) પસંદ કરો જે કોઈ એક અર્ધ-સમતલમાં આવેલું હોય.
અમે $(0, 0)$ બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ.
અહીં જોવા મળે છે કે,
$2(0) - 3(0) > 6$ અથવા $0 > 6$,જે અસત્ય છે.
તેથી,ઉપરનું અર્ધ-સમતલ એ આપેલ અસમતાનો ઉકેલ પ્રદેશ નથી. ઉપરાંત,તે સ્પષ્ટ છે કે રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી કારણ કે અસમતા સખત $(>)$ છે.
આમ,આપેલ અસમતાનો ઉકેલ પ્રદેશ એ અર્ધ-સમતલ છે જેમાં $(0, 0)$ બિંદુનો સમાવેશ થતો નથી અને રેખા પણ બાકાત છે.
ઉકેલ પ્રદેશ આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(N/A) રેખા $-3x + 2y = -6$ નું આલેખન આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલોમાં વિભાજિત કરે છે.
ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,આપણે રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ,જેમ કે $(0, 0)$.
અસમતામાં $(0, 0)$ મૂકતા:
$-3(0) + 2(0) \geq -6$
$0 \geq -6$,જે સત્ય છે.
કારણ કે બિંદુ $(0, 0)$ અસમતાનું સમાધાન કરે છે,તેથી ઉકેલ પ્રદેશ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ધરાવતું અર્ધ-સમતલ છે.
અસમતા $\geq$ હોવાથી,રેખા પોતે પણ ઉકેલ પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ છે. આકૃતિમાં છાયાંકિત પ્રદેશ ઉકેલ ગણ દર્શાવે છે.

(N/A) રેખા $3y - 5x = 30$ નો આલેખ તૂટક રેખા તરીકે દોરવામાં આવે છે કારણ કે અસમતા ચુસ્ત $( < )$ છે.
આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલોમાં વિભાજિત કરે છે.
ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,આપણે રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ,જેમ કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ લઈએ છીએ.
અસમતામાં $(0, 0)$ મૂકતા:
$3(0) - 5(0) < 30$
$0 < 30$
કારણ કે $0 < 30$ એ સાચું વિધાન છે,તેથી ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ધરાવતું અર્ધ-સમતલ એ ઉકેલ પ્રદેશ છે.
આમ,ઉકેલ પ્રદેશ એ ઉગમબિંદુ ધરાવતું અર્ધ-સમતલ છે,જેમાં રેખા $3y - 5x = 30$ નો સમાવેશ થતો નથી.

(N/A) આકૃતિમાં $y = -2$ નું આલેખન તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલોમાં વિભાજિત કરે છે.
કોઈ એક અર્ધ-સમતલમાં આવેલ બિંદુ (જે રેખા પર ન હોય) પસંદ કરો,જેથી જાણી શકાય કે તે બિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરે છે કે નહીં.
આપણે બિંદુ $(0, 0)$ પસંદ કરીએ છીએ.
અહીં $0 < -2$ મળે છે,જે અસત્ય છે.
વધુમાં,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી.
તેથી,રેખા $y = -2$ ની નીચેના તમામ બિંદુઓ (રેખા પરના બિંદુઓને બાદ કરતાં) આપેલ અસમતાનો ઉકેલ દર્શાવે છે.
ઉકેલ પ્રદેશ આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

આકૃતિમાં $x = -3$ નું આલેખન તૂટક રેખા તરીકે દર્શાવેલ છે. આ રેખા $xy$-સમતલને બે અર્ધ-સમતલોમાં વિભાજિત કરે છે.
કોઈ એક અર્ધ-સમતલમાં આવેલ બિંદુ (જે રેખા પર ન હોય) પસંદ કરો,જેથી જાણી શકાય કે તે બિંદુ આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરે છે કે નહીં.
આપણે બિંદુ $(0, 0)$ પસંદ કરીએ છીએ.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $0 > -3$,જે સત્ય છે.
વધુમાં,તે સ્પષ્ટ છે કે રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી.
તેથી,રેખા $x = -3$ ની જમણી બાજુના તમામ બિંદુઓ (રેખા પરના બિંદુઓને બાદ કરતાં) આપેલ અસમતાનો ઉકેલ દર્શાવે છે.
ઉકેલ પ્રદેશ આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખા $8x + 3y = 100$ નો આલેખ દોરીએ છીએ.
અંતઃખંડ શોધવા માટે,જો $x = 0$ હોય,તો $3y = 100 \implies y = 33.33$. જો $y = 0$ હોય,તો $8x = 100 \implies x = 12.5$.
અસમતા $8x + 3y \leq 100$ એ રેખાની નીચેનો છાયાંકિત પ્રદેશ દર્શાવે છે,જેમાં રેખા $8x + 3y = 100$ પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.
કારણ કે $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે,તેથી ઉકેલ પ્રથમ ચરણ (first quadrant) પૂરતો મર્યાદિત છે.
આમ,પ્રથમ ચરણમાં છાયાંકિત પ્રદેશનું દરેક બિંદુ,જેમાં રેખા અને અક્ષો પરના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે,તે આપેલી અસમતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ દર્શાવે છે.

(A) અહીં આપણને સંયુક્ત અસમતા આપેલી છે: $-8 \leq 5x - 3 < 7$.
સૌ પ્રથમ,અસમતાના દરેક ભાગમાં $3$ ઉમેરતા:
$-8 + 3 \leq 5x - 3 + 3 < 7 + 3$
$-5 \leq 5x < 10$.
હવે,દરેક ભાગને $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{-5}{5} \leq \frac{5x}{5} < \frac{10}{5}$
$-1 \leq x < 2$.
આમ,અંતરાલ સ્વરૂપમાં ઉકેલ $[-1, 2)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $2 \leq 3x - 4 \leq 5$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $4$ ઉમેરતા:
$2 + 4 \leq 3x - 4 + 4 \leq 5 + 4$
જેનું સાદુંરૂપ આપતા:
$6 \leq 3x \leq 9$
દરેક ભાગને $3$ વડે ભાગતા:
$\frac{6}{3} \leq \frac{3x}{3} \leq \frac{9}{3}$
પરિણામ મળે છે:
$2 \leq x \leq 3$
આમ,આપેલ અસમતાનો ઉકેલ ગણ $[2, 3]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $-12 < 4 - \frac{3x}{-5} \leq 2$
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $-12 < 4 + \frac{3x}{5} \leq 2$
બધા ભાગમાંથી $4$ બાદ કરતા: $-12 - 4 < \frac{3x}{5} \leq 2 - 4$
$-16 < \frac{3x}{5} \leq -2$
બધા ભાગને $5$ વડે ગુણતા: $-80 < 3x \leq -10$
બધા ભાગને $3$ વડે ભાગતા: $-\frac{80}{3} < x \leq -\frac{10}{3}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left(\frac{-80}{3}, \frac{-10}{3}\right]$ છે.

(N/A) પ્રથમ,પ્રથમ અસમતા ઉકેલો:
$5(2x - 7) - 3(2x + 3) \leq 0$
$10x - 35 - 6x - 9 \leq 0$
$4x - 44 \leq 0$
$4x \leq 44$
$x \leq 11$ ..... $(1)$
ત્યારબાદ,બીજી અસમતા ઉકેલો:
$2x + 19 \leq 6x + 47$
$19 - 47 \leq 6x - 2x$
$-28 \leq 4x$
$-7 \leq x$ ..... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને જોડતા,ઉકેલ ગણ $[-7, 11]$ મળે છે.
સંખ્યા રેખા પર ઉકેલને $-7$ અને $11$ ની વચ્ચેના અંતરાલને છાયાંકિત કરીને દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં અંતિમ બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{5-3x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખી અસમતાને $6$ વડે ગુણતા:
$2(5-3x) \leq x - 30$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$10 - 6x \leq x - 30$.
$x$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$10 + 30 \leq x + 6x$.
$40 \leq 7x$.
$7$ વડે ભાગતા:
$x \geq \frac{40}{7}$.
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in [\frac{40}{7}, \infty)$ છે.

(B) પગલું $1$: અનુરૂપ સમીકરણ $4x - y = 0$ ધ્યાનમાં લો,જે $y = 4x$ તરીકે સરળ બને છે.
પગલું $2$: અસમતા ચુસ્ત $(>)$ હોવાથી $y = 4x$ રેખાને તૂટક રેખા તરીકે દોરો.
પગલું $3$: રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ ચકાસો,જેમ કે $(1, 0)$.
પગલું $4$: $(1, 0)$ ને અસમતામાં મૂકતા: $4(1) - 0 = 4 > 0$. આ સાચું છે.
પગલું $5$: બિંદુ $(1, 0)$ અસમતાનું સમાધાન કરતું હોવાથી,ઉકેલ પ્રદેશ એ $y = 4x$ રેખાની નીચેનો અર્ધ-તલ છે.

(N/A) પગલું $1$: અનુરૂપ સમીકરણ $5x + 2y = 10$ ધ્યાનમાં લો.
પગલું $2$: રેખાના અંતઃખંડો શોધો. જો $x = 0$ હોય,તો $2y = 10$,તેથી $y = 5$. બિંદુ $(0, 5)$ છે. જો $y = 0$ હોય,તો $5x = 10$,તેથી $x = 2$. બિંદુ $(2, 0)$ છે.
પગલું $3$: $(0, 5)$ અને $(2, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા દોરો. અસમતા $\leq$ હોવાથી,રેખા ઘાટી (solid) દોરવી.
પગલું $4$: ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ચકાસો. અસમતામાં કિંમત મૂકતા: $5(0) + 2(0) \leq 10$,જે $0 \leq 10$ થાય છે. આ વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: વિધાન સત્ય હોવાથી,ઉકેલ પ્રદેશ એ ઉગમબિંદુ ધરાવતું અર્ધતલ છે.

(A) આપેલ અસમતા $4x - 6 \geq 0$ છે.
પ્રથમ,$x$ માટે ઉકેલો:
$4x \geq 6$
$x \geq \frac{6}{4}$
$x \geq 1.5$.
આને દ્વિ-પરિમાણીય સમતલમાં આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે,$x = 1.5$ રેખા દોરો,જે $(1.5, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે.
અસમતા $\geq$ હોવાથી,રેખા પરના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે તે દર્શાવવા માટે ઘાટી રેખાનો ઉપયોગ કરો.
$x = 1.5$ રેખાની જમણી બાજુનો વિસ્તાર છાયાંકિત કરો કારણ કે $1.5$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી તમામ $x$ ની કિંમતો અસમતાનું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ અસમતા: $5y - 3 \leq 12$.
પગલું $1$: અસમતાનું સાદું રૂપ આપો.
$5y \leq 12 + 3$
$5y \leq 15$
$y \leq 3$.
પગલું $2$: કાર્તેઝિયન સમતલમાં $y = 3$ રેખા દોરો. અસમતા $\leq$ હોવાથી,રેખા ઘાટી (solid) હશે.
પગલું $3$: બિંદુ $(0, 0)$ ચકાસો. $0 \leq 3$ સત્ય હોવાથી,ઉકેલનો વિસ્તાર ઉગમબિંદુ ધરાવતું અર્ધ-સમતલ છે.
આમ,ઉકેલ એ $y = 3$ રેખાની નીચેનો વિસ્તાર છે,જેમાં રેખાનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(A) પગલું $1$: અનુરૂપ સમીકરણ $2x + y = 3$ ધ્યાનમાં લો.
પગલું $2$: રેખા દોરવા માટે અંતઃખંડ શોધો. જો $x = 0$ હોય,તો $y = 3$. જો $y = 0$ હોય,તો $x = 1.5$. રેખા $(0, 3)$ અને $(1.5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
પગલું $3$: અસમતા સખત રીતે મોટી $(>)$ હોવાથી,રેખાને તૂટક રેખા તરીકે દોરો જે દર્શાવે છે કે રેખા પરના બિંદુઓ ઉકેલમાં સામેલ નથી.
પગલું $4$: રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ,જેમ કે $(0, 0)$ લો. અસમતામાં કિંમત મૂકતા: $2(0) + 0 > 3$,જે $0 > 3$ થાય છે. આ વિધાન ખોટું છે.
પગલું $5$: બિંદુ $(0, 0)$ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી,તેથી ઉકેલ પ્રદેશ એ અર્ધ-સમતલ છે જેમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થતો નથી. આમ,ઉકેલ $2x + y = 3$ રેખાની ઉપરનો પ્રદેશ છે.

(A) આપેલી અસમતા: $y + 8 > 2x$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સીમા રેખા $y = 2x - 8$ દોરીએ છીએ.
આ રેખા દોરવા માટે,આપણે બે બિંદુઓ શોધીએ છીએ:
જો $x = 0$,તો $y = -8$. બિંદુ: $(0, -8)$.
જો $y = 0$,તો $2x = 8 \implies x = 4$. બિંદુ: $(4, 0)$.
અસમતા સખત $(>)$ હોવાથી,આપણે રેખાને તૂટક રેખા તરીકે દોરીએ છીએ.
હવે,અસમતામાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ચકાસો: $0 + 8 > 2(0) \implies 8 > 0$,જે સત્ય છે.
તેથી,ઉકેલ પ્રદેશ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ધરાવતું અર્ધ-સમતલ છે,જે $y = 2x - 8$ રેખાની ઉપરનો પ્રદેશ છે.

(B) આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે છાયાંકિત પ્રદેશ શિરોલંબ રેખાઓ $x = -2$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે આવેલો છે.
રેખાઓ $x = -2$ અને $x = 2$ ઘાટી (તૂટક નથી) હોવાથી,સીમાવર્તી કિંમતો પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ છે.
તેથી,અસમતા $-2 \leq x \leq 2$ છે.
આને નિરપેક્ષ મૂલ્યના સ્વરૂપમાં $|x| \leq 2$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) રંગીન પ્રદેશ $Y$-અક્ષની ડાબી બાજુએ આવેલો છે.
કાર્તેઝિયન સમતલમાં,$Y$-અક્ષને $x = 0$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$Y$-અક્ષની ડાબી બાજુના બિંદુઓના $x$-યામ $0$ કરતા ઓછા અથવા તેના જેટલા હોય છે.
તેથી,રંગીન પ્રદેશને દર્શાવતી અસમતા $x \leq 0$ છે.

(B) આપેલ અસમતાઓ $x < 5$ અને $x \geq 2$ છે.
આ બંને અસમતાઓને જોડતા,આપણને $2 \leq x < 5$ મળે છે.
અંતરાલ સંકેતમાં,આને $[2, 5)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં ચોરસ કૌંસ સૂચવે છે કે $2$ નો સમાવેશ થાય છે અને કૌંસ સૂચવે છે કે $5$ નો સમાવેશ થતો નથી.

(C) આપેલ અસમતા $x - y \geq 0$ છે,જેને $x \geq y$ અથવા $y \leq x$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આનો આલેખ દોરવા માટે,આપણે પ્રથમ સીમા રેખા $x - y = 0$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જે રેખા $y = x$ છે.
અસમતા $\geq$ (ગ્રેટર ધેન ઓર ઇક્વલ ટુ) હોવાથી,સીમા રેખા $y = x$ ઉકેલ ગણમાં સમાવિષ્ટ હોવી જોઈએ,તેથી આપણે તેને ઘાટી રેખા તરીકે દોરીએ છીએ.
આગળ,આપણે રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ ચકાસીએ છીએ,જેમ કે $(1, 0)$.
અસમતામાં $(1, 0)$ મૂકતા: $1 - 0 = 1$,અને $1 \geq 0$ સાચું છે.
તેથી,બિંદુ $(1, 0)$ ધરાવતો પ્રદેશ એ ઉકેલ ગણ છે.
આ રેખા $y = x$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (જ્યાં $x$ ની કિંમતો $y$ ની કિંમતો કરતા મોટી છે).
વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $C$ માં ઘાટી રેખા $x - y = 0$ અને તેની નીચેનો છાયાંકિત પ્રદેશ દર્શાવેલ છે.

(B) અસમતા $2x + y > 5$ નો ઉકેલ ગણ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સીમા રેખા $2x + y = 5$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
અસમતા સખત $(>)$ હોવાથી,રેખા $2x + y = 5$ પરના બિંદુઓ ઉકેલ ગણમાં સમાવિષ્ટ નથી.
હવે,આપણે અસમતામાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ની કિંમત મૂકીએ:
$2(0) + 0 > 5 \implies 0 > 5$,જે અસત્ય છે.
ઉગમબિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી,તેથી ઉકેલ ગણ એ ઉગમબિંદુ ન ધરાવતું વિવૃત અર્ધતલ છે.

(B) અસમતા $2y - 3x < 5$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશમાં બિંદુ $(x, y)$ આવેલું છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે બિંદુના યામોને પદાવલિ $2y - 3x$ માં મૂકીએ છીએ અને તપાસીએ છીએ કે પરિણામ $5$ કરતા નાનું છે કે નહીં.
બિંદુ $O(0, 0)$ માટે:
$2(0) - 3(0) = 0 - 0 = 0$.
કારણ કે $0 < 5$,બિંદુ $O(0, 0)$ પ્રદેશની અંદર આવેલું છે.
બિંદુ $P(2, -1)$ માટે:
$2(-1) - 3(2) = -2 - 6 = -8$.
કારણ કે $-8 < 5$,બિંદુ $P(2, -1)$ પણ પ્રદેશની અંદર આવેલું છે.
તેથી,બંને બિંદુઓ $O$ અને $P$ પ્રદેશની અંદર છે.

(B) અસમતા $2x - 3y > -5$ નું સમાધાન કરતા બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક બિંદુ $(x, y)$ ને $2x - 3y$ માં મૂકીએ છીએ અને તપાસીએ છીએ કે પરિણામ $-5$ કરતા મોટું છે કે નહીં:
$1. (1, 1): 2(1) - 3(1) = 2 - 3 = -1$. $-1 > -5$ હોવાથી,આ બિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરે છે.
$2. (-1, 1): 2(-1) - 3(1) = -2 - 3 = -5$. $-5$ એ $-5$ કરતા મોટું નથી,તેથી આ બિંદુ સમાધાન કરતું નથી.
$3. (1, -1): 2(1) - 3(-1) = 2 + 3 = 5$. $5 > -5$ હોવાથી,આ બિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરે છે.
$4. (-1, -1): 2(-1) - 3(-1) = -2 + 3 = 1$. $1 > -5$ હોવાથી,આ બિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરે છે.
$5. (-2, 1): 2(-2) - 3(1) = -4 - 3 = -7$. $-7$ એ $-5$ કરતા મોટું નથી,તેથી આ બિંદુ સમાધાન કરતું નથી.
$6. (2, -1): 2(2) - 3(-1) = 4 + 3 = 7$. $7 > -5$ હોવાથી,આ બિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરે છે.
$7. (-1, 2): 2(-1) - 3(2) = -2 - 6 = -8$. $-8$ એ $-5$ કરતા મોટું નથી,તેથી આ બિંદુ સમાધાન કરતું નથી.
$8. (-2, -1): 2(-2) - 3(-1) = -4 + 3 = -1$. $-1 > -5$ હોવાથી,આ બિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરે છે.
અસમતાનું સમાધાન કરતા બિંદુઓ $(1, 1), (1, -1), (-1, -1), (2, -1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
તેથી,કુલ $5$ બિંદુઓ છે.

(B) આકૃતિ પરથી,છાયાંકિત પ્રદેશ શિરોલંબ રેખાઓ $x = -3$ અને $x = 3$ દ્વારા સીમિત છે.
રેખાઓ $x = -3$ અને $x = 3$ ઘાટી (solid) હોવાથી,આ રેખાઓ પરના બિંદુઓ પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ છે.
તેથી,આ પ્રદેશ એવા તમામ $x$ દર્શાવે છે જેના માટે $-3 \leq x \leq 3$ થાય.
આ અસમતાને નિરપેક્ષ મૂલ્યના સ્વરૂપમાં $|x| \leq 3$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) પ્રથમ અસમતા માટે: $3x + 8 < 17$ $\Rightarrow 3x < 9$ $\Rightarrow x < 3$.
બીજી અસમતા માટે: $2x + 8 \geq 12$ $\Rightarrow 2x \geq 4$ $\Rightarrow x \geq 2$.
આમ,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
સામાન્ય ઉકેલોનો ગણ એ $x < 3$ અને $x \geq 2$ નો છેદગણ છે,જે અંતરાલ $[2, 3)$ છે.
વિધાન $(II)$ માં ગણ $(2, 3)$ આપેલ છે,જેમાં $2$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(B) આપેલ અસમતા: $(8-t)^2 < t^2-3t-10$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $64-16t+t^2 < t^2-3t-10$
બંને બાજુથી $t^2$ બાદ કરતા: $64-16t < -3t-10$
પદોને ગોઠવતા: $64+10 < 16t-3t$
$74 < 13t$
$t > \frac{74}{13}$
આમ,ઉકેલ ગણ $t \in (\frac{74}{13}, \infty)$ છે.