Word problem of Linear inequalities Questions in Gujarati

(B) વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,આપણી પાસે $x + 4 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x \geq -4$.
આપેલ અસમતા $x + 2 > \sqrt{x + 4}$.
જો $x + 2 < 0$ (એટલે કે $x < -2$),તો અસમતા સંતોષાતી નથી કારણ કે ડાબી બાજુ ઋણ છે અને જમણી બાજુ અ-ઋણ છે.
તેથી,આપણી પાસે $x + 2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $x \geq -2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(x + 2)^2 > x + 4$ મળે છે.
$x^2 + 4x + 4 > x + 4$.
$x^2 + 3x > 0$.
$x(x + 3) > 0$.
આ અસમતા $x > 0$ અથવા $x < -3$ હોય ત્યારે સાચી પડે છે.
આને $x \geq -2$ શરત સાથે જોડતા,આપણને $x > 0$ મળે છે.

(B) કિસ્સો $I$: જ્યારે $x + 2 \ge 0$ એટલે કે $x \ge -2,$
આપેલ અસમતા ${x^2} - (x + 2) + x > 0 \implies {x^2} - 2 > 0 \implies |x| > \sqrt{2}$ બને છે.
આનો અર્થ $x < -\sqrt{2}$ અથવા $x > \sqrt{2}$ થાય છે.
$x \ge -2$ હોવાથી,આ કિસ્સા માટે ઉકેલ ગણ $[ -2, -\sqrt{2} ) \cup (\sqrt{2}, \infty )$ છે.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $x + 2 < 0$ એટલે કે $x < -2,$
આપેલ અસમતા ${x^2} + (x + 2) + x > 0 \implies {x^2} + 2x + 2 > 0$ બને છે.
અહીં વિવેચક $D = 2^2 - 4(1)(2) = -4 < 0$ અને ${x^2}$ નો સહગુણક ધન હોવાથી,${x^2} + 2x + 2$ હંમેશા ધન રહે છે.
તેથી,આ કિસ્સા માટે ઉકેલ ગણ $( -\infty, -2)$ છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,કુલ ઉકેલ ગણ $( -\infty, -\sqrt{2} ) \cup (\sqrt{2}, \infty )$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: પ્રથમ અસમતા ઉકેલો: $5x + 2 < 3x + 8 \implies 2x < 6 \implies x < 3$.
પગલું $2$: બીજી અસમતા ઉકેલો: $\frac{x + 2}{x - 1} < 4 \implies \frac{x + 2}{x - 1} - 4 < 0 \implies \frac{x + 2 - 4(x - 1)}{x - 1} < 0 \implies \frac{-3x + 6}{x - 1} < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{3x - 6}{x - 1} > 0 \implies \frac{x - 2}{x - 1} > 0$ મળે છે.
સાઇન સ્કીમ (વેવી કર્વ મેથડ) નો ઉપયોગ કરતા,ઉકેલ $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ છે.
પગલું $3$: $x < 3$ અને $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ નો છેદગણ શોધો.
છેદગણ $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$ છે.

(C) આપેલ અસમતા: $\frac{2x}{2x^2 + 5x + 2} > \frac{1}{x + 1}$
છેદના અવયવ પાડતા: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} > \frac{1}{x + 1}$
બંને બાજુથી $\frac{1}{x + 1}$ બાદ કરતા: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} - \frac{1}{x + 1} > 0$
સામાન્ય છેદ લેતા: $\frac{2x(x + 1) - (2x + 1)(x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{2x^2 + 2x - (2x^2 + 5x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$\frac{-3x - 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતા ઉલટાવતા: $\frac{3x + 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} < 0$
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,અસમતા $x \in (-2, -1) \cup (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2})$ માટે સાચી છે.

(B) $10^{n - 2} > 81n$ અસમતા માટે $n$ ની કિંમતો ચકાસતા:
$n = 1$ માટે: $0.1 > 81$ (ખોટું)
$n = 2$ માટે: $1 > 162$ (ખોટું)
$n = 3$ માટે: $10 > 243$ (ખોટું)
$n = 4$ માટે: $100 > 324$ (ખોટું)
$n = 5$ માટે: $1000 > 405$ (સાચું)
$n = 6$ માટે: $10000 > 486$ (સાચું)
આમ,$n \geq 5$ માટે અસમતા સાચી છે,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) સમીકરણ $|x + y| = 4$ એ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $x + y = 4$ અને $x + y = -4$.
બિંદુ $(a, a)$ આ બે રેખાઓની વચ્ચે આવેલું હોય તે માટે,તેણે અસમતા $-4 < a + a < 4$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આનું સાદું રૂપ $-4 < 2a < 4$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $-2 < a < 2$ મળે છે.
આ $|a| < 2$ ને સમાન છે.

(D) આપેલ છે $2\sin^2 x + 3\sin x - 2 > 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2\sin^2 x + 4\sin x - \sin x - 2 > 0$.
$2\sin x(\sin x + 2) - 1(\sin x + 2) > 0$.
$(\sin x + 2)(2\sin x - 1) > 0$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $\sin x + 2 > 0$ હોવાથી,$2\sin x - 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\sin x > 1/2$.
$x$ માટે યોગ્ય વિસ્તારમાં,$\sin x > 1/2$ નો અર્થ છે $x > \pi/6$.
આપેલ છે $x^2 - x - 2 < 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x + 1) < 0$.
આ અસમતા $x \in (-1, 2)$ માટે સાચી છે.
બંને શરતોને જોડતા: $x > \pi/6$ અને $-1 < x < 2$.
$\pi/6 \approx 0.523$ હોવાથી,છેદગણ $x \in (\pi/6, 2)$ મળે છે.

(B) $\theta$ એ લઘુકોણ હોવાથી,$0 < \theta < 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$0 < \sin\theta < 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $0 < \frac{p - 6}{8 - p} < 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{p - 6}{8 - p} \ge 0$. છેદ $8 - p$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $p < 8$. આમ,$p - 6 \ge 0$,જે $p \ge 6$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{p - 6}{8 - p} < 1$. $8 - p > 0$ હોવાથી,$p - 6 < 8 - p$,જેનું સાદું રૂપ $2p < 14$ અથવા $p < 7$ થાય છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $6 \le p < 7$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = ||x - 2| - |3 - x||$.
ત્રિકોણ અસમતા દ્વારા,$||x - 2| - |3 - x|| \leq |(x - 2) - (3 - x)| = |2x - 5|$.
વધુ ચોક્કસ રીતે,$||x - 2| - |3 - x||$ એ $x$ થી $2$ અને $3$ ના અંતરનો તફાવત દર્શાવે છે.
$x < 2$ માટે,$f(x) = 1$.
$2 \leq x \leq 3$ માટે,$f(x) = |2x - 5|$,જેનો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
$x > 3$ માટે,$f(x) = 1$.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
સમીકરણ $f(x) = 2 - a$ નો ઉકેલ મળે તે માટે $0 \leq 2 - a \leq 1$ હોવું જોઈએ.
આથી $1 \leq a \leq 2$.
$a$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $1$ અને $2$ છે.
તેમનો સરવાળો $1 + 2 = 3$ થાય.

(B) $f(x)$ ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક $0$ કરતા નાનો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $k = [t]+1$. તેથી $\frac{|k|+a}{|k|+1-a} \leq 0$.
$a < 0$ હોવાથી,$1-a > 0$ થાય.
અપૂર્ણાંક $\leq 0$ થાય તે માટે અંશ $\leq 0$ હોવો જોઈએ (કારણ કે છેદ હંમેશા ધન છે).
$|k| + a \leq 0 \implies |k| \leq -a$.
$-a > 0$ હોવાથી,આનો અર્થ $a \leq k \leq -a$ થાય.
$k = [t]+1$ મૂકતા,આપણને $a \leq [t]+1 \leq -a$ મળે.
બધી બાજુથી $1$ બાદ કરતા,$a-1 \leq [t] \leq -a-1$.
$a \notin I$ હોવાથી,$t$ નો વિસ્તાર $[[a], [-a])$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અસમતા $10^{n-2} > 91n$ ચકાસવા માટે આપણે $n$ ના મૂલ્યો તપાસીએ:
$n=1$ માટે: $10^{-1} = 0.1$,$91(1) = 91$. $0.1 > 91$ અસત્ય છે.
$n=2$ માટે: $10^{0} = 1$,$91(2) = 182$. $1 > 182$ અસત્ય છે.
$n=3$ માટે: $10^{1} = 10$,$91(3) = 273$. $10 > 273$ અસત્ય છે.
$n=4$ માટે: $10^{2} = 100$,$91(4) = 364$. $100 > 364$ અસત્ય છે.
$n=5$ માટે: $10^{3} = 1000$,$91(5) = 455$. $1000 > 455$ સત્ય છે.
$n=6$ માટે: $10^{4} = 10000$,$91(6) = 546$. $10000 > 546$ સત્ય છે.
ઘાતાંકીય વિધેય $10^{n-2}$ એ સુરેખ વિધેય $91n$ કરતા ઝડપથી વધતું હોવાથી,આ અસમતા તમામ $n \ge 5$ માટે સાચી રહેશે.
તેથી,મૂલ્યોનો ગણ $\left\{ 5, 6, 7, 8, \dots \right\}$ છે.

(D) ધારો કે $t = |x|$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $t \ge 0$ મળે. અસમતા $\frac{1 - t}{2 - t} \ge 0$ બને છે.
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{t - 1}{t - 2} \ge 0$ મળે છે.
$t$ માટે વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $t = 1$ અને $t = 2$ છે.
અસમતા $t \in [0, 1] \cup (2, \infty)$ માટે સાચી છે.
$t = |x|$ પાછું મૂકતા,આપણને $|x| \in [0, 1] \cup (2, \infty)$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $0 \le |x| \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.
કિસ્સો $2$: $|x| > 2 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
આ બંનેને જોડતા,ઉકેલ $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ મળે છે.

(D) આપેલ અસમતા $\frac{x^4 - 4x^3 + 3x^2}{(x^2 - 4)(x^2 - 7x + 10)} \ge 0$ છે.
અંશના અવયવો પાડતા: $x^2(x - 1)(x - 3)$.
છેદના અવયવો પાડતા: $(x + 2)(x - 2)^2(x - 5)$.
અસમતા આ મુજબ બને છે: $\frac{x^2(x - 1)(x - 3)}{(x + 2)(x - 2)^2(x - 5)} \ge 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -2, 0, 1, 2, 3, 5$ છે.
નોંધો કે $x \neq -2, 2, 5$ કારણ કે તે છેદને શૂન્ય બનાવે છે.
$x = 0$ માટે,પદાવલિ $0$ થાય છે,જે અસમતાનું સમાધાન કરે છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$x > 5$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$3 < x < 5$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$2 < x < 3$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$1 < x < 2$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$0 < x < 1$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$-2 < x < 0$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$x < -2$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
આ અંતરાલોને જોડતા અને $x=0$ નો સમાવેશ કરતા,આપણને $( - \infty, -2 ) \cup \{0\} \cup [1, 2) \cup (2, 3] \cup (5, \infty)$ મળે છે.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{x - 5}{(x + 7)(x - 2)} > 0$.
અંતરાલ શોધવા માટે વેવી-કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -7, 2, 5$ મળે છે.
અંતરાલ ચકાસતા,ઉકેલ ગણ $x \in (-7, 2) \cup (5, \infty)$ મળે છે.
$(-7, 2)$ અંતરાલમાં પૂર્ણાંક કિંમતો $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ છે.
આમ,ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $\alpha = -6$ છે.
$\alpha = -6$ માટે વિકલ્પ $(D)$ ચકાસતા: $(-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$.
તેથી,$\alpha = -6$ વિકલ્પ $(D)$ સંતોષે છે.

(D) આપેલ અસમતાઓ $|x - y| \leq 2$ અને $|x + y| \leq 2$ છે.
આને $-2 \leq x - y \leq 2$ અને $-2 \leq x + y \leq 2$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ રેખાઓ $x - y = 2$,$x - y = -2$,$x + y = 2$,અને $x + y = -2$ દ્વારા સીમિત પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$) $x - y = 2$ અને $x + y = 2$ થી $(2, 0)$ મળે છે.
$2$) $x + y = 2$ અને $x - y = -2$ થી $(0, 2)$ મળે છે.
$3$) $x - y = -2$ અને $x + y = -2$ થી $(-2, 0)$ મળે છે.
$4$) $x + y = -2$ અને $x - y = 2$ થી $(0, -2)$ મળે છે.
ક્રમિક શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (દા.ત.,$(2, 0)$ અને $(0, 2)$) $\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
બધી બાજુઓ $2\sqrt{2}$ સમાન હોવાથી અને વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોવાથી,આ પ્રદેશ એક ચોરસ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ ચોરસ એકમ છે.
આમ,આ પ્રદેશ $2\sqrt{2}$ એકમ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો ચોરસ છે.

(C) ધારો કે વિદ્યાર્થીએ વાર્ષિક પરીક્ષામાં મેળવેલ ગુણ $x$ છે.
ત્રણ પરીક્ષાઓની સરેરાશ $\frac{62 + 48 + x}{3}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સરેરાશ ઓછામાં ઓછી $60$ હોવી જોઈએ,તેથી આપણી પાસે અસમતા છે:
$\frac{62 + 48 + x}{3} \geq 60$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$110 + x \geq 180$
બંને બાજુથી $110$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$x \geq 70$
આમ,સરેરાશ ઓછામાં ઓછા $60$ ગુણ મેળવવા માટે વિદ્યાર્થીએ ન્યૂનતમ $70$ ગુણ મેળવવા આવશ્યક છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં નાની સંખ્યા $x$ છે,તેથી બીજી સંખ્યા $x+2$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x > 10$ $(1)$
$x + (x + 2) < 40$ $(2)$
$(2)$ ને ઉકેલતા:
$2x + 2 < 40$
$2x < 38$
$x < 19$ $(3)$
$(1)$ અને $(3)$ પરથી,$10 < x < 19$.
$x$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $11, 13, 15, 17$ છે.
આમ,જોડીઓ $(x, x+2)$ નીચે મુજબ છે:
$(11, 13), (13, 15), (15, 17), (17, 19)$.

(A) ધારો કે રવિએ ત્રીજી એકમ કસોટીમાં મેળવેલા ગુણ $x$ છે.
વિદ્યાર્થીની સરેરાશ ઓછામાં ઓછી $60$ હોવી જોઈએ,તેથી:
$\frac{70+75+x}{3} \geq 60$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$145+x \geq 180$
બંને બાજુથી $145$ બાદ કરતા:
$x \geq 180-145$
$x \geq 35$
આમ,સરેરાશ ઓછામાં ઓછા $60$ ગુણ મેળવવા માટે વિદ્યાર્થીએ ઓછામાં ઓછા $35$ ગુણ મેળવવા આવશ્યક છે.

(A) ધારો કે સુનિતાએ પાંચમી પરીક્ષામાં મેળવેલા ગુણ $x$ છે.
કોર્સમાં ગ્રેડ $A$ મેળવવા માટે,તેણે પાંચ પરીક્ષાઓમાં સરેરાશ $90$ કે તેથી વધુ ગુણ મેળવવા જોઈએ.
તેથી,અસમતા નીચે મુજબ છે:
$\frac{87+92+94+95+x}{5} \geq 90$
$\Rightarrow \frac{368+x}{5} \geq 90$
$\Rightarrow 368+x \geq 450$
$\Rightarrow x \geq 450-368$
$\Rightarrow x \geq 82$
આમ,ગ્રેડ $A$ મેળવવા માટે સુનિતાએ પાંચમી પરીક્ષામાં ઓછામાં ઓછા $82$ ગુણ મેળવવા જોઈએ.

(A) ધારો કે $x$ એ બે ક્રમિક એકી ધન પૂર્ણાંકોમાં નાની સંખ્યા છે. તો બીજી સંખ્યા $x+2$ થશે.
બંને સંખ્યાઓ $10$ થી નાની હોવાથી:
$x+2 < 10$
$\Rightarrow x < 8$ ... $(i)$
વળી,બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો $11$ થી વધુ છે:
$x + (x+2) > 11$
$\Rightarrow 2x + 2 > 11$
$\Rightarrow 2x > 9$
$\Rightarrow x > 4.5$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$4.5 < x < 8$.
$x$ એ એકી ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $5$ અને $7$ છે.
જો $x = 5$ હોય,તો જોડી $(5, 7)$ મળે.
જો $x = 7$ હોય,તો જોડી $(7, 9)$ મળે.
આમ,જરૂરી જોડીઓ $(5, 7)$ અને $(7, 9)$ છે.

(A) ધારો કે $x$ એ બે ક્રમિક બેકી ધન પૂર્ણાંકોમાં નાની સંખ્યા છે.
તેથી,બીજી સંખ્યા $x + 2$ છે.
બંને સંખ્યાઓ $5$ કરતા મોટી હોવાથી,$x > 5$ $(1)$.
વળી,બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો $23$ કરતા ઓછો છે,તેથી $x + (x + 2) < 23$.
$2x + 2 < 23$
$2x < 21$
$x < 10.5$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને $5 < x < 10.5$ મળે છે.
$x$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$x$ ની કિંમતો $6, 8$ અને $10$ હોઈ શકે.
આમ,જરૂરી શક્ય જોડીઓ $(6, 8), (8, 10)$ અને $(10, 12)$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની સૌથી ટૂંકી બાજુની લંબાઈ $x \, cm$ છે.
તો,સૌથી લાંબી બાજુની લંબાઈ $3x \, cm$ થાય.
ત્રીજી બાજુની લંબાઈ $(3x - 2) \, cm$ થાય.
ત્રિકોણની પરિમિતિ ઓછામાં ઓછી $61 \, cm$ હોવાથી:
$x + 3x + (3x - 2) \geq 61$
$\Rightarrow 7x - 2 \geq 61$
$\Rightarrow 7x \geq 63$
$\Rightarrow x \geq 9$
આમ,સૌથી ટૂંકી બાજુની ન્યૂનતમ લંબાઈ $9 \, cm$ છે.

(N/A) ધારો કે સૌથી ટૂંકા ટુકડાની લંબાઈ $x \, cm$ છે. તો,બીજા અને ત્રીજા ટુકડાની લંબાઈ અનુક્રમે $(x+3) \, cm$ અને $2x \, cm$ છે.
ત્રણેય લંબાઈ $91 \, cm$ ના એક જ બોર્ડમાંથી કાપવામાં આવતી હોવાથી:
$x + (x+3) + 2x \leq 91$
$4x + 3 \leq 91$
$4x \leq 88$
$x \leq 22$ ...... $(1)$
વળી,ત્રીજો ટુકડો બીજા ટુકડા કરતાં ઓછામાં ઓછો $5 \, cm$ લાંબો છે:
$2x \geq (x+3) + 5$
$2x \geq x + 8$
$x \geq 8$ ...... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$8 \leq x \leq 22$
આમ,સૌથી ટૂંકા બોર્ડની સંભવિત લંબાઈ $8 \, cm$ કે તેથી વધુ પરંતુ $22 \, cm$ કે તેથી ઓછી છે.

(A) આપેલ છે કે સેલ્સિયસમાં તાપમાન $C$ એ $30 < C < 35$ છે.
રૂપાંતરણ સૂત્ર $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$30 < \frac{5}{9}(F - 32) < 35$
આખી અસમતાને $\frac{9}{5}$ વડે ગુણતા:
$\frac{9}{5} \times 30 < F - 32 < \frac{9}{5} \times 35$
$54 < F - 32 < 63$
અસમતાના દરેક ભાગમાં $32$ ઉમેરતા:
$54 + 32 < F < 63 + 32$
$86 < F < 95$
આમ,ફેરનહીટમાં તાપમાનનો જરૂરી વિસ્તાર $86^{\circ} \text{F}$ અને $95^{\circ} \text{F}$ ની વચ્ચે છે.

ધારો કે $30 \%$ એસિડનું $x \text{ લિટર}$ દ્રાવણ ઉમેરવામાં આવે છે.
પરિણામી મિશ્રણનું કુલ કદ $(x + 600) \text{ લિટર}$ છે.
મિશ્રણમાં એસિડનું પ્રમાણ $0.30x + 0.12(600)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,એસિડનું પ્રમાણ $15 \%$ અને $18 \%$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ:
$0.15(x + 600) < 0.30x + 0.12(600) < 0.18(x + 600)$
પ્રથમ અસમતા ઉકેલતા:
$0.15x + 90 < 0.30x + 72$
$18 < 0.15x$
$x > \frac{18}{0.15} = 120$
બીજી અસમતા ઉકેલતા:
$0.30x + 72 < 0.18x + 108$
$0.12x < 36$
$x < \frac{36}{0.12} = 300$
આમ,$30 \%$ એસિડના દ્રાવણનું પ્રમાણ $120 \text{ લિટર}$ થી વધુ અને $300 \text{ લિટર}$ થી ઓછું હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે તાપમાન $F$ એ $68\,^{\circ} F$ અને $77\,^{\circ} F$ ની વચ્ચે છે,તેથી અસમતા:
$68 < F < 77$
સૂત્ર $F = \frac{9}{5} C + 32$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$68 < \frac{9}{5} C + 32 < 77$
બધા પદોમાંથી $32$ બાદ કરતા:
$68 - 32 < \frac{9}{5} C < 77 - 32$
$36 < \frac{9}{5} C < 45$
બધી બાજુ $\frac{5}{9}$ વડે ગુણતા:
$36 \times \frac{5}{9} < C < 45 \times \frac{5}{9}$
$20 < C < 25$
આમ,સેલ્સિયસમાં તાપમાનની જરૂરી શ્રેણી $20\,^{\circ} C$ અને $25\,^{\circ} C$ ની વચ્ચે છે.

(A) ધારો કે $x$ લિટર $2 \%$ બોરિક એસિડનું દ્રાવણ ઉમેરવાનું છે.
મિશ્રણનું કુલ કદ $= (x + 640)$ લિટર.
મિશ્રણમાં બોરિક એસિડનું પ્રમાણ $= (0.02x + 0.08 \times 640) = (0.02x + 51.2)$ લિટર.
પરિણામી મિશ્રણની સાંદ્રતા $4 \%$ અને $6 \%$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
શરત $1$: $\frac{0.02x + 51.2}{x + 640} > 0.04$
$0.02x + 51.2 > 0.04x + 25.6$
$25.6 > 0.02x \Rightarrow x < 1280$.
શરત $2$: $\frac{0.02x + 51.2}{x + 640} < 0.06$
$0.02x + 51.2 < 0.06x + 38.4$
$12.8 < 0.04x \Rightarrow x > 320$.
આમ,ઉમેરવામાં આવતા $2 \%$ દ્રાવણનું પ્રમાણ $320$ લિટર અને $1280$ લિટરની વચ્ચે હોવું જોઈએ.

(N/A) ધારો કે દ્રાવણમાં $x$ લિટર પાણી ઉમેરવામાં આવે છે.
મિશ્રણનું કુલ કદ $(1125 + x)$ લિટર થાય છે.
એસિડનું પ્રમાણ $1125$ લિટરના $45 \%$ જેટલું અચળ રહે છે,જે $0.45 \times 1125 = 506.25$ લિટર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવા મિશ્રણમાં એસિડનું પ્રમાણ $25 \%$ અને $30 \%$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
તેથી,$25 \% < \frac{506.25}{1125 + x} \times 100 < 30 \%$.
પ્રથમ,અસમતા $\frac{506.25}{1125 + x} < 0.30$ ધ્યાનમાં લો:
$506.25 < 0.30(1125 + x)$
$506.25 < 337.5 + 0.3x$
$168.75 < 0.3x$
$x > \frac{168.75}{0.3} = 562.5$.
આગળ,અસમતા $\frac{506.25}{1125 + x} > 0.25$ ધ્યાનમાં લો:
$506.25 > 0.25(1125 + x)$
$506.25 > 281.25 + 0.25x$
$225 > 0.25x$
$x < \frac{225}{0.25} = 900$.
તેથી,ઉમેરવામાં આવતા પાણીનું પ્રમાણ $562.5$ લિટર અને $900$ લિટરની વચ્ચે હોવું જોઈએ,એટલે કે $562.5 < x < 900$.

(A) $12$ વર્ષના બાળકોના જૂથ માટે,$CA = 12$ વર્ષ આપેલ છે.
$IQ$ માટેનું સૂત્ર $IQ = \frac{MA}{12} \times 100$ છે.
અસમતા $80 \leq IQ \leq 140$ માં $IQ$ ની કિંમત મૂકતા:
$80 \leq \frac{MA}{12} \times 100 \leq 140$
$MA$ શોધવા માટે,સમગ્ર અસમતાને $\frac{12}{100}$ વડે ગુણતા:
$80 \times \frac{12}{100} \leq MA \leq 140 \times \frac{12}{100}$
$9.6 \leq MA \leq 16.8$
આમ,$12$ વર્ષના બાળકોના જૂથની માનસિક ઉંમરનો વિસ્તાર $9.6 \leq MA \leq 16.8$ છે.

(77) ધારો કે રવિએ પાંચમી પરીક્ષામાં મેળવેલા ગુણ $x$ છે.
પાંચ પરીક્ષાઓના કુલ ગુણ $94 + 73 + 72 + 84 + x = 323 + x$ છે.
પાંચ પરીક્ષાઓની સરેરાશ $\frac{323 + x}{5}$ છે.
ગ્રેડ $'B'$ ની શરત મુજબ,સરેરાશ ઓછામાં ઓછી $80$ અને $90$ થી ઓછી હોવી જોઈએ:
$80 \le \frac{323 + x}{5} < 90$.
અસમતાને $5$ વડે ગુણતા:
$400 \le 323 + x < 450$.
બધા ભાગમાંથી $323$ બાદ કરતા:
$400 - 323 \le x < 450 - 323$.
$77 \le x < 127$.
પરીક્ષામાં મહત્તમ ગુણ $100$ હોવાથી,જરૂરી ન્યૂનતમ ગુણ $77$ છે.

(B) ધારો કે મોહને ત્રીજી કસોટીમાં મેળવેલા ગુણ $x$ છે.
પ્રથમ બે કસોટીઓમાં મેળવેલા ગુણ $62$ અને $48$ છે.
ત્રણ કસોટીઓની સરેરાશ $\frac{62 + 48 + x}{3}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે સરેરાશ ઓછામાં ઓછી $60$ હોય,તેથી આપણે અસમતા બનાવીએ:
$\frac{62 + 48 + x}{3} \geq 60$
$110 + x \geq 180$
$x \geq 180 - 110$
$x \geq 70$
આમ,તેણે ત્રીજી કસોટીમાં મેળવવાના ન્યૂનતમ ગુણ $70$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની સૌથી ટૂંકી બાજુ $x \text{ cm}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, સૌથી લાંબી બાજુ $2x \text{ cm}$ છે અને ત્રીજી બાજુ $(x + 3) \text{ cm}$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની ત્રણેય બાજુઓનો સરવાળો છે:
$P = x + 2x + (x + 3) = 4x + 3$.
આપેલ છે કે પરિમિતિ ઓછામાં ઓછી $51 \text{ cm}$ છે, તેથી અસમતા:
$4x + 3 \geq 51$.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$4x \geq 48$.
$4$ વડે ભાગતા:
$x \geq 12$.
આમ, સૌથી ટૂંકી બાજુની ન્યૂનતમ લંબાઈ $12 \text{ cm}$ છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક એકી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $x$ અને $x + 2$ છે.
આપેલ છે કે બંને સંખ્યાઓ $18$ કરતા નાની છે,તેથી $x + 2 < 18$,જેનો અર્થ છે કે $x < 16$.
વળી,તેમનો સરવાળો $20$ કરતા વધારે છે,તેથી $x + (x + 2) > 20$.
$2x + 2 > 20$
$2x > 18$
$x > 9$.
$x$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી અને $9 < x < 16$ હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $11, 13, 15$ છે.
જો $x = 11$ હોય,તો જોડી $(11, 13)$ મળે.
જો $x = 13$ હોય,તો જોડી $(13, 15)$ મળે.
જો $x = 15$ હોય,તો જોડી $(15, 17)$ મળે.
આમ,માંગેલી જોડીઓ $(11, 13), (13, 15), (15, 17)$ છે.

(A) સેલ્સિયસમાં તાપમાનનો વિસ્તાર $30 < C < 35$ આપેલ છે.
રૂપાંતરણ સૂત્ર $F = \frac{9}{5} C + 32$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C = 30$ માટે,$F = \frac{9}{5}(30) + 32 = 54 + 32 = 86^{\circ} F$.
$C = 35$ માટે,$F = \frac{9}{5}(35) + 32 = 63 + 32 = 95^{\circ} F$.
આમ,ફેરનહીટમાં તાપમાનનો વિસ્તાર $86^{\circ} F$ અને $95^{\circ} F$ ની વચ્ચે છે.

(A) આપેલ અસમતા $\frac{|x-1|}{x+2} < 1$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x+2 > 0$,એટલે કે $x > -2$,તો $|x-1| < x+2$.
જો $x \ge 1$,તો $x-1 < x+2 \implies -1 < 2$,જે તમામ $x \ge 1$ માટે સત્ય છે.
જો $-2 < x < 1$,તો $-(x-1) < x+2 \implies -x+1 < x+2 \implies 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2}$.
તેથી,$x > -2$ માટે,ઉકેલ $x > -\frac{1}{2}$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $x+2 < 0$,એટલે કે $x < -2$,તો $|x-1| > x+2$.
કારણ કે $x < -2$,$x-1$ ઋણ છે,તેથી $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$1-x > x+2 \implies 2x < -1 \implies x < -\frac{1}{2}$.
આપણે $x < -2$ ધાર્યું હોવાથી,ઉકેલ $x < -2$ છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,ઉકેલ ગણ $(-\infty, -2) \cup (-\frac{1}{2}, \infty)$ મળે છે.

(D) પ્રથમ અસમતા માટે: $\frac{x}{2x+1} - \frac{1}{4} \geq 0 \implies \frac{2x-1}{4(2x+1)} \geq 0$. નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ છે. અંતરાલ ચકાસતા,$x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup [\frac{1}{2}, \infty)$ મળે છે.
બીજી અસમતા માટે: $\frac{6x}{4x-1} - \frac{1}{2} < 0 \implies \frac{8x+1}{2(4x-1)} < 0$. નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -\frac{1}{8}$ અને $x = \frac{1}{4}$ છે. અંતરાલ ચકાસતા,$x \in (-\frac{1}{8}, \frac{1}{4})$ મળે છે.
બંને અસમતાઓ વચ્ચે કોઈ સામાન્ય ઉકેલ ન હોવાથી,ઉકેલ ગણ $\emptyset$ (ખાલી ગણ) છે.

(B) કિસ્સો $1$: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. અસમતા $\frac{x+2-x}{x} < 2 \implies \frac{2}{x} < 2 \implies \frac{2-2x}{x} < 0 \implies \frac{1-x}{x} < 0$ બને છે. આ $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ માટે સાચું છે. $x \ge -2$ અને $x \neq 0$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $x \in [-2, 0) \cup (1, \infty)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $x+2 < 0 \implies x < -2$. અસમતા $\frac{-(x+2)-x}{x} < 2 \implies \frac{-2x-2}{x} < 2 \implies \frac{-2x-2-2x}{x} < 0 \implies \frac{-4x-2}{x} < 0 \implies \frac{2x+1}{x} > 0$ બને છે. આ $x \in (-\infty, -1/2) \cup (0, \infty)$ માટે સાચું છે. $x < -2$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $x \in (-\infty, -2)$ મળે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,ઉકેલ $(-\infty, -2) \cup [-2, 0) \cup (1, \infty)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ થાય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = |x-1|+|x-2|+|x-3|$.
કિસ્સો $1$: $x < 1$,$f(x) = -3x+6$. $-3x+6 \geq 6$ લેતા,$-3x \geq 0$,તેથી $x \leq 0$.
કિસ્સો $2$: $1 \leq x < 2$,$f(x) = -x+4$. $-x+4 \geq 6$ લેતા,$-x \geq 2$,તેથી $x \leq -2$ (આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $3$: $2 \leq x < 3$,$f(x) = x$. $x \geq 6$ (આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $4$: $x \geq 3$,$f(x) = 3x-6$. $3x-6 \geq 6$ લેતા,$3x \geq 12$,તેથી $x \geq 4$.
પરિણામોને જોડતા,ઉકેલ $x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$ મળે છે.

ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા $30 \%$ એસિડના દ્રાવણના લિટરની સંખ્યા $x$ છે.
મિશ્રણનું કુલ કદ $(600 + x) \text{ litres}$ થશે.
મિશ્રણમાં એસિડનું પ્રમાણ $(0.12 \times 600 + 0.30 \times x) = (72 + 0.3x) \text{ litres}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,એસિડનું પ્રમાણ કુલ કદના $15 \%$ થી વધુ અને $18 \%$ થી ઓછું હોવું જોઈએ:
$0.15(600 + x) < 72 + 0.3x < 0.18(600 + x)$.
પ્રથમ અસમતા ઉકેલતા: $90 + 0.15x < 72 + 0.3x \implies 18 < 0.15x \implies x > 120$.
બીજી અસમતા ઉકેલતા: $72 + 0.3x < 108 + 0.18x \implies 0.12x < 36 \implies x < 300$.
આમ,ઉમેરવામાં આવતા $30 \%$ એસિડના દ્રાવણનું પ્રમાણ $120 \text{ litres}$ થી વધુ અને $300 \text{ litres}$ થી ઓછું હોવું જોઈએ.

(B) ફેરનહીટમાં તાપમાનનો ગાળો $86 < F < 95$ આપેલ છે.
સૂત્ર $F = \frac{9}{5} C + 32$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$86 < \frac{9}{5} C + 32 < 95$
બધા પદોમાંથી $32$ બાદ કરતા:
$86 - 32 < \frac{9}{5} C < 95 - 32$
$54 < \frac{9}{5} C < 63$
$\frac{5}{9}$ વડે ગુણતા:
$54 \times \frac{5}{9} < C < 63 \times \frac{5}{9}$
$30 < C < 35$
આમ,સેલ્સિયસમાં તાપમાનનો ગાળો $30^{\circ} C$ અને $35^{\circ} C$ ની વચ્ચે છે.

(N/A) નફો કે નુકસાન ન થાય તે માટે,આવક ખર્ચની બરાબર હોવી જોઈએ,એટલે કે $R(x) = C(x)$.
આપેલ વિધેયોને મૂકતા: $3x = 500 + \frac{5}{2}x$.
બંને બાજુથી $\frac{5}{2}x$ બાદ કરતા: $3x - 2.5x = 500$.
$0.5x = 500$.
$x = \frac{500}{0.5} = 1000$.
આમ,નફો કે નુકસાન ન થાય તે માટે $1000$ વસ્તુઓ વેચવી જોઈએ.
નફો ત્યારે થાય છે જ્યારે $R(x) > C(x)$,જેનો અર્થ છે $3x > 500 + 2.5x$,અથવા $0.5x > 500$,જેનો અર્થ છે $x > 1000$. તેથી,જો $1000$ થી વધુ વસ્તુઓ વેચવામાં આવે તો નફો થાય છે.

ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા એસિડની માત્રા $x \text{ લિટર}$ છે.
શરૂઆતમાં એસિડની માત્રા $40 \% \text{ of } 1120 = 448 \text{ લિટર}$ છે.
શરૂઆતમાં પાણીની માત્રા $1120 - 448 = 672 \text{ લિટર}$ છે.
$x \text{ લિટર}$ એસિડ ઉમેર્યા પછી,કુલ કદ $(1120 + x) \text{ લિટર}$ થાય છે.
પાણીની માત્રા $672 \text{ લિટર}$ રહે છે.
નવા મિશ્રણમાં પાણીની ટકાવારી $\frac{672}{1120 + x} \times 100$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $40 < \frac{672}{1120 + x} \times 100 < 50$.
$100$ વડે ભાગતા: $0.4 < \frac{672}{1120 + x} < 0.5$.
પ્રથમ અસમતા લેતા: $0.4 < \frac{672}{1120 + x} \implies 1120 + x < 1680 \implies x < 560$.
બીજી અસમતા લેતા: $\frac{672}{1120 + x} < 0.5 \implies 1120 + x > 1344 \implies x > 224$.
આમ,ઉમેરવા માટેના એસિડની માત્રા $224 \text{ લિટર}$ અને $560 \text{ લિટર}$ ની વચ્ચે છે.

(N/A) આપેલ સૂત્ર $I.Q. = \frac{MA}{CA} \times 100$ અને $CA = 16$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$75 < \frac{MA}{16} \times 100 < 125$ મળે.
આખી અસમતાને $100$ વડે ભાગતા: $0.75 < \frac{MA}{16} < 1.25$.
$16$ વડે ગુણતા: $0.75 \times 16 < MA < 1.25 \times 16$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $12 < MA < 20$.
આમ,તેમની માનસિક ઉંમરનો વિસ્તાર $12$ અને $20$ વર્ષની વચ્ચે છે.

(N/A) અસમતાનો પ્રથમ ભાગ ધ્યાનમાં લો: $\frac{4}{x+1} \leq 3$.
$x > 0$ હોવાથી,$x+1 > 0$ થાય,તેથી અસમતાની નિશાની બદલ્યા વગર $(x+1)$ વડે ગુણતા:
$4 \leq 3(x+1)$
$4 \leq 3x + 3$
$1 \leq 3x$
$x \geq \frac{1}{3} \quad (i)$
અસમતાનો બીજો ભાગ ધ્યાનમાં લો: $3 \leq \frac{6}{x+1}$.
$x+1 > 0$ હોવાથી:
$3(x+1) \leq 6$
$3x + 3 \leq 6$
$3x \leq 3$
$x \leq 1 \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને જોડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{3} \leq x \leq 1$
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in [\frac{1}{3}, 1]$ છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $\frac{1}{|x|-3} \leq \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $|x|-3 > 0$,તો $|x| > 3$. બંને બાજુ $2(|x|-3)$ વડે ગુણતા,આપણને $2 \leq |x|-3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $|x| \geq 5$. કારણ કે $|x| \geq 5$ એ $|x| > 3$ નું પાલન કરે છે,આ કિસ્સા માટે ઉકેલ $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $|x|-3 < 0$,તો $|x| < 3$. બંને બાજુ $2(|x|-3)$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની બદલાય છે: $2 \geq |x|-3$,જેનો અર્થ છે $|x| \leq 5$. કારણ કે આપણે $|x| < 3$ નું પાલન કરવું જરૂરી છે,આ કિસ્સા માટે ઉકેલ $x \in (-3, 3)$ છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,અંતિમ ઉકેલ $x \in (-\infty, -5] \cup (-3, 3) \cup [5, \infty)$ છે.

(NONE) આપણી પાસે $4x + 3 \geq 2x + 17$ છે.
$\therefore 4x - 2x \geq 17 - 3$
$\therefore 2x \geq 14$
$\therefore x \geq 7$
$...(i)$
હવે,$3x - 5 < -2$ છે.
$\therefore 3x < -2 + 5$
$\therefore 3x < 3$
$\therefore x < 1$
$...(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણે $x$ ની એવી કિંમતો શોધવાની છે જે $x \geq 7$ અને $x < 1$ બંનેનું એકસાથે પાલન કરે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ એવી નથી જે $7$ થી મોટી અથવા તેના જેટલી હોય અને $1$ થી નાની હોય,તેથી ઉકેલગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\emptyset$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) નફો = આવક - ખર્ચ
$P(x) = R(x) - C(x)$
$P(x) = 43x - (26000 + 30x)$
$P(x) = 43x - 26000 - 30x$
$P(x) = 13x - 26000$
નફો મેળવવા માટે,$P(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$13x - 26000 > 0$
$13x > 26000$
$x > 2000$
તેથી,નફો મેળવવા માટે કંપનીએ $2000$ કરતા વધુ કેસેટનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ.

(N/A) ધારો કે ત્રીજું $pH$ માપન $x$ છે.
ત્રણ માપનોની સરેરાશ $8.2$ અને $8.5$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
$\therefore 8.2 < \frac{8.48 + 8.35 + x}{3} < 8.5$
આખી અસમતાને $3$ વડે ગુણતા:
$\therefore 3 \times 8.2 < 16.83 + x < 8.5 \times 3$
$\therefore 24.6 < 16.83 + x < 25.5$
બધા ભાગમાંથી $16.83$ બાદ કરતા:
$\therefore 24.6 - 16.83 < x < 25.5 - 16.83$
$\therefore 7.77 < x < 8.67$
આમ,ત્રીજું $pH$ માપન $(7.77, 8.67)$ ની રેન્જમાં હોવું જોઈએ.

(N/A) ધારો કે $460 \text{ L}$ ના $9 \%$ એસિડના દ્રાવણમાં $x \text{ L}$ જેટલું $3 \%$ એસિડનું દ્રાવણ ઉમેરવામાં આવે છે.
મિશ્રણનો કુલ જથ્થો $= (460 + x) \text{ L}$.
મિશ્રણમાં કુલ એસિડનું પ્રમાણ $= 460 \times \frac{9}{100} + x \times \frac{3}{100}$.
આપેલ છે કે પરિણામી મિશ્રણમાં એસિડનું પ્રમાણ $5 \%$ થી વધુ અને $7 \%$ થી ઓછું હોવું જોઈએ.
$\therefore 5 \% \text{ of } (460 + x) < \left( 460 \times \frac{9}{100} + \frac{3x}{100} \right) < 7 \% \text{ of } (460 + x)$.
$\therefore 5(460 + x) < 4140 + 3x < 7(460 + x)$.
$\therefore 2300 + 5x < 4140 + 3x < 3220 + 7x$.
હવે,$2300 + 5x < 4140 + 3x$ ઉકેલતા:
$2x < 1840 \implies x < 920 \quad \dots(i)$.
$4140 + 3x < 3220 + 7x$ ઉકેલતા:
$4x > 920 \implies x > 230 \quad \dots(ii)$.
આમ,$3 \%$ એસિડના દ્રાવણનું પ્રમાણ $230 \text{ L}$ થી વધુ અને $920 \text{ L}$ થી ઓછું હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે તાપમાન $C$ એ $40^{\circ} C$ અને $45^{\circ} C$ ની વચ્ચે છે,તેથી અસમતા: $40 < C < 45$.
રૂપાંતરણ સૂત્ર $F = \frac{9}{5} C + 32$ છે.
ફેરનહીટમાં વિસ્તાર શોધવા માટે,$C = \frac{5}{9}(F - 32)$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$40 < \frac{5}{9}(F - 32) < 45$.
આખી અસમતાને $\frac{9}{5}$ વડે ગુણતા:
$40 \times \frac{9}{5} < F - 32 < 45 \times \frac{9}{5}$.
$72 < F - 32 < 81$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $32$ ઉમેરતા:
$72 + 32 < F < 81 + 32$.
$104 < F < 113$.
આમ,ફેરનહીટમાં તાપમાનનો વિસ્તાર $104^{\circ} F$ અને $113^{\circ} F$ ની વચ્ચે છે.