L'Hospital's rule and Limit of Indeterminate Form Questions in Gujarati

(B) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {3x - a} - \sqrt {x + a} }}{{x - a}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {3x - a} - \sqrt {x + a} }}{{x - a}} \times \frac{{\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a} }}{{\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a} }}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(3x - a) - (x + a)}}{{(x - a)(\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a})}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{2x - 2a}}{{(x - a)(\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a})}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{2(x - a)}}{{(x - a)(\sqrt {3x - a} + \sqrt {x + a})}}$
$= \frac{2}{{\sqrt {3a - a} + \sqrt {a + a}}} = \frac{2}{{\sqrt {2a} + \sqrt {2a}}} = \frac{2}{{2\sqrt {2a}}} = \frac{1}{{\sqrt {2a}}}$
વૈકલ્પિક રીતે,$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt {3x - a} - \sqrt {x + a})}}{{\frac{d}{{dx}}(x - a)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{3}{{2\sqrt {3x - a} }} - \frac{1}{{2\sqrt {x + a} }}}}{1}$
$= \frac{3}{{2\sqrt {2a} }} - \frac{1}{{2\sqrt {2a} }} = \frac{2}{{2\sqrt {2a} }} = \frac{1}{{\sqrt {2a}}}$

(A) $L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\log x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{d}{dx}(\log x)}}{{\frac{d}{dx}(x - 1)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{x}}}{1}$
$= \frac{1}{1} = 1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી $L'\text{Hospital's rule}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log \cos x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\log \cos x)}}{{\frac{d}{{dx}}(x)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\cos x}} \cdot (-\sin x)}}{1}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (-\tan x)$
$= -\tan(0) = 0$

(B) આપેલ લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt {f(x)} - 3}}{{\sqrt x - 3}}$ છે.
કારણ કે $f(9) = 9$,તેથી $x \to 9$ લેતા પદ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.
$L'\text{Hospital's rule}$ નો ઉપયોગ કરીને અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)} - 3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x} - 3)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{f'(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$.
$f(9) = 9$ અને $f'(9) = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{f'(9) \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.

(B) $L$'$H$ôpital's rule નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({2^x} - 1)}}{{\frac{d}{{dx}}({{(1 + x)}^{1/2}} - 1)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x}\ln 2}}{{\frac{1}{2}{{(1 + x)}^{ - 1/2}}}}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{{{2^0}\ln 2}}{{\frac{1}{2}{{(1 + 0)}^{ - 1/2}}}} = \frac{{1 \cdot \ln 2}}{{\frac{1}{2}}} = 2\ln 2 = \ln({2^2}) = \ln 4$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \times \frac{\sin x}{x} \right)$
$= \left( \mathop {\lim }\limits_{\sin x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right)$
$= 1 \times 1 = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^{\sin x} - 1)}{\frac{d}{dx}(x)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot e^{\sin x}}{1} = \cos(0) \cdot e^{\sin(0)} = 1 \cdot e^0 = 1$.

(B) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \sin x} - \sqrt {1 - \sin x} }}{x}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ કારણ કે તે $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
અંશ: $\frac{d}{dx}(\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}) = \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}} + \frac{\cos x}{2\sqrt{1-\sin x}}$
છેદ: $\frac{d}{dx}(x) = 1$
$x \to 0$ માટે લક્ષ લેતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}} + \frac{\cos x}{2\sqrt{1-\sin x}} \right) = \frac{1}{2(1)} + \frac{1}{2(1)} = 1.$

(A) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\alpha - \pi /4}}$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)$.
લિમિટમાં કિંમત મૂકતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{\sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)}{\alpha - \frac{\pi}{4}}$.
પ્રમાણિત લિમિટ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \tan x \log \sin x$.
આ $\infty \times 0$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે પદાવલિને $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\log \sin x}{\cot x}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
$L'\text{Hospital's rule}$ લાગુ પાડતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\frac{d}{dx}(\log \sin x)}{\frac{d}{dx}(\cot x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\frac{1}{\sin x} \cos x}{-\csc^2 x}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\cot x}{-\csc^2 x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (-\cos x \sin x)$.
જેમ $x \to \frac{\pi }{2}$,તેમ $\cos x \to 0$ અને $\sin x \to 1$.
તેથી,$L = -(0 \times 1) = 0$.

(A) આપણે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} (\sec \theta - \tan \theta )$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} \left( \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} \right)$.
જ્યારે $\theta \to \pi /2$,ત્યારે આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
નિત્યસમ $1 - \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ અને $\cos \theta = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} \frac{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)} = 0$.

(C) $L-Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x - x}}{{3x - \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\tan 2x - x)}}{{\frac{d}{{dx}}(3x - \sin x)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sec^2 2x - 1}}{{3 - \cos x}}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{{2\sec^2(0) - 1}}{{3 - \cos(0)}} = \frac{{2(1)^2 - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{2 - 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos C - \cos D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{D-C}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos ax - \cos bx}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 \sin \left( \frac{ax+bx}{2} \right) \sin \left( \frac{bx-ax}{2} \right)}}{{{x^2}}}$
$= 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin \left( \frac{a+b}{2}x \right)}{x} \right) \left( \frac{\sin \left( \frac{b-a}{2}x \right)}{x} \right)$
$= 2 \cdot \left( \frac{a+b}{2} \right) \cdot \left( \frac{b-a}{2} \right) = 2 \cdot \frac{b^2 - a^2}{4} = \frac{b^2 - a^2}{2}$
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos ax - \cos bx}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-a \sin ax + b \sin bx}}{{2x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-a^2 \cos ax + b^2 \cos bx}}{2} = \frac{-a^2(1) + b^2(1)}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$

(A) આપણે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x \log (\sin x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
જ્યારે $x \to 0^+$,ત્યારે $\sin x \to 0^+$,તેથી $\log(\sin x) \to -\infty$.
આ $0 \times (-\infty)$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે પદને $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\log(\sin x)}{1/x}$ તરીકે લખી શકીએ.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x}{-1/x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -x^2 \cot x$.
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -x \cdot (x \cot x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -x \cdot \frac{x}{\tan x}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$,તેથી $L = 0 \cdot 1 = 0$.

(A) અમે $\sin x$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$
આને લિમિટના પદમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots) - x + \frac{x^3}{6}}{x^5}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{120} - \dots}{x^5}$
$= \frac{1}{120}$.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{x} - \frac{{\log (1 + x)}}{{{x^2}}}} \right]$.
પદોને એક અપૂર્ણાંકમાં ભેગા કરો:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{x - \log (1 + x)}{{x^2}}} \right]$.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(x - \log (1 + x))}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{2x}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1+x-1}{1+x}}{2x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{2x(1+x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2(1+x)}$.
$x = 0$ મૂકતા:
$\frac{1}{2(1+0)} = \frac{1}{2}$.

(D) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{\sin x - \sin \alpha }}{{x - \alpha }}$.
જ્યારે $x \to \alpha$ હોય ત્યારે આ $\frac{0}{0}$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
$L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin x - \sin \alpha) = \cos x$
$\frac{d}{dx}(x - \alpha) = 1$
આમ,લક્ષની કિંમત:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{\cos x}{1} = \cos \alpha $ થાય.

(C) આપેલ લક્ષ: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2x - \pi}{\cos x}$.
અહીં સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\frac{d}{dx}(2x - \pi)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2}{-\sin x}$
$x = \pi /2$ મુકતા:
$L = \frac{2}{-\sin(\pi /2)} = \frac{2}{-1} = -2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $\sin x$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots) - x}{x^3}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots}{x^3}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (-\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \dots)$
$= -\frac{1}{6}$
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-હોસ્પિટલના નિયમનો ત્રણ વાર ઉપયોગ કરતા સમાન પરિણામ મળે છે.

(B) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}\sin x}}$.
જ્યારે $x \to 0$ હોય ત્યારે આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L'\text{Hospital's rule}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અંશનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(x\cos x - \sin x) = -x\sin x$.
છેદનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(x^2\sin x) = 2x\sin x + x^2\cos x$.
તેથી,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2\sin x + x\cos x}$ બને છે.
ફરીથી $L'\text{Hospital's rule}$ વાપરતા:
અંશનું વિકલન: $-\cos x$.
છેદનું વિકલન: $3\cos x - x\sin x$.
લક્ષની કિંમત: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-\cos x}{3\cos x - x\sin x} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$.

(C) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^{1/2}} - {{(1 - x)}^{1/2}}}}{x}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંમેયીકરણની રીત અથવા $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
રીત $1$: સંમેયીકરણ
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ પદ $\frac{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}}$ વડે ગુણતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x) - (1 - x)}}{{x({{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x({{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}} = \frac{2}{{1 + 1}} = 1$.
રીત $2$: $L$-Hospital નો નિયમ
આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({{(1 + x)}^{1/2}} - {{(1 - x)}^{1/2}})}}{{\frac{d}{{dx}}(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{2}{{(1 + x)}^{ - 1/2}} - ( - \frac{1}{2}{{(1 - x)}^{ - 1/2}})}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(B) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }}{{{{\sin }^{ - 1}}x}}$.
અહીં સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} )}}{{\frac{d}{{dx}}({{\sin }^{ - 1}}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}$
$x = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{1} = 1$.

(B) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{\sqrt 2 \cos x - 1}}{{\cot x - 1}}$.
આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે $L$-Hospital નો નિયમ વાપરીએ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{\frac{d}{{dx}}(\sqrt 2 \cos x - 1)}}{{\frac{d}{{dx}}(\cot x - 1)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{-\sqrt 2 \sin x}}{{-\csc^2 x}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \sqrt 2 \sin x \sin^2 x = \sqrt 2 \sin^3 x$
$x = \pi /4$ મૂકતા:
$L = \sqrt 2 \left( \frac{1}{{\sqrt 2 }} \right)^3 = \sqrt 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos x - \cos a}}{{\cot x - \cot a}}$
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\frac{d}{dx}(\cos x - \cos a) = -\sin x$
છેદ: $\frac{d}{dx}(\cot x - \cot a) = -\csc^2 x$
આમ,લક્ષ આ મુજબ થશે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{-\sin x}{-\csc^2 x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{\sin x}{\frac{1}{\sin^2 x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sin^3 x$
$x \to a$ તરીકે લક્ષની કિંમત મુકતા: $\sin^3 a$.

(B) ધારો કે $y = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log y = x \log x$ મળે.
હવે,$x \to 0^+$ માટે લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \log y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} x \log x = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\log x}{1/x}$.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} (-x) = 0$.
કારણ કે $\log y \to 0$,તેથી $y \to e^0 = 1$.
આમ,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} x^x = 1$.

(A) આપણે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
${e^{{x^2}}}$ અને $\cos x$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
${e^{{x^2}}} = 1 + {x^2} + \frac{{{x^4}}}{{2!}} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \dots$
લિમિટમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + {x^2} + \frac{{{x^4}}}{2} + \dots) - (1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} - \dots)}}{{{x^2}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + \frac{{{x^2}}}{2} + O({x^4})}}{{{x^2}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + \frac{1}{2} + O({x^2})) = \frac{3}{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x{e^{{x^2}}} + \sin x}}{{2x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {e^{{x^2}}} + \frac{{\sin x}}{{2x}} \right)$
$= 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) આપણે લક્ષ્યની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{x^{-1} - a^{-1}}{x - a}$.
પગલું $1$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો.
$\frac{x^{-1} - a^{-1}}{x - a} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}{x - a} = \frac{\frac{a - x}{ax}}{x - a}$.
પગલું $2$: અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપો.
$\frac{-(x - a)}{ax(x - a)} = -\frac{1}{ax}$ (જ્યાં $x \neq a$).
પગલું $3$: $x \to a$ લેતા.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (-\frac{1}{ax}) = -\frac{1}{a(a)} = -\frac{1}{a^2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{\frac{d}{dx}(x^{-1} - a^{-1})}{\frac{d}{dx}(x - a)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{-x^{-2}}{1} = -\frac{1}{a^2}$.

(C) આપણે લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (1 - \sin x)\tan x$ ની કિંમત મેળવવાની છે.
પદને આ રીતે લખતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (1 - \sin x) \frac{\sin x}{\cos x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos x}$.
જ્યારે $x \to \frac{\pi }{2}$,ત્યારે આ પદ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ ધારણ કરે છે,જે અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\frac{d}{dx}(\sin x - \sin^2 x)}{\frac{d}{dx}(\cos x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{\cos x - 2\sin x \cos x}{-\sin x}$.
$x = \frac{\pi }{2}$ મુકતા:
$\frac{\cos(\frac{\pi }{2}) - 2\sin(\frac{\pi }{2})\cos(\frac{\pi }{2})}{-\sin(\frac{\pi }{2})} = \frac{0 - 2(1)(0)}{-1} = 0$.

(C) $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x + \log (1 - x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \frac{1}{{1 - x}}}}{{2x}}$
ફરીથી $L$-Hospital નો નિયમ વાપરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \sin x - \frac{1}{{{{(1 - x)}^2}}}}}{2} = \frac{{ - 0 - 1}}{2} = - \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right\}^{1/x}}$.
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ મળે છે.
તેથી,$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + \tan x}}{{1 - \tan x}}} \right)^{1/x}}$.
આ $1^\infty$ સ્વરૂપ છે,તેથી $L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1)}$.
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x})} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,તેથી $L = e^{2 \times 1 \times \frac{1}{1 - 0}} = e^2$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\tan x}} - {e^x}}}{{\tan x - x}}$.
અંશમાંથી $e^x$ સામાન્ય લેતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{\tan x - x}} - 1)}}{{\tan x - x}}$.
લક્ષના ગુણધર્મ $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \tan x - x$:
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $u = \tan x - x \to 0$.
તેથી,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^x} \times \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = {e^0} \times 1 = 1 \times 1 = 1$.

(D) ધારો કે $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} + {b^x} + {c^x}}}{3}} \right)^{2/x}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{x} \ln \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\ln y = 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \ln \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)}{\frac{d}{dx} (x)}$.
$\ln y = 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{a^x + b^x + c^x} \cdot \frac{a^x \ln a + b^x \ln b + c^x \ln c}{3}$.
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $a^x, b^x, c^x \to 1$:
$\ln y = 2 \cdot \frac{1}{3} (\ln a + \ln b + \ln c) = \frac{2}{3} \ln(abc) = \ln((abc)^{2/3})$.
તેથી,$y = (abc)^{2/3}$.

(A) આપણે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } x^m (\log x)^n$ લક્ષની કિંમત મેળવીએ.
આ $0 \times \infty$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે પદને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{(\log x)^n}{x^{-m}}$ તરીકે લખી શકીએ,જે $\frac{\infty}{\infty}$ સ્વરૂપ છે.
$L'\text{Hospital's rule}$ નો $n$ વખત ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું વારંવાર વિકલન કરતા.
$n$ વખત વિકલન કર્યા પછી,અંશ અચળ $n!$ બની જશે અને છેદમાં $x$ ની ઘાત રહેશે.
પરિણામે,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{n! \cdot (-1)^n}{(-m)^n x^{-m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{n! \cdot (-1)^n x^m}{(-m)^n}$ મળે.
અહીં $m > 0$ હોવાથી,જ્યારે $x \to 0^+$,ત્યારે $x^m \to 0$ થાય.
તેથી,લક્ષની કિંમત $0$ છે.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{\log x}{x^n}$ જ્યાં $n > 0$.
જ્યારે $x \to \infty$ હોય ત્યારે આ $\frac{\infty}{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી આપણે $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\frac{d}{dx}(x^n)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{n x^{n-1}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{n x^n}$
જેમ $x \to \infty$,તેમ $n > 0$ માટે $x^n \to \infty$,તેથી આ પદ $0$ ને અનુલક્ષે છે.

(A) આપેલ લક્ષ $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\log (x - a)}}{{\log ({e^x} - {e^a})}}$ છે.
જ્યારે $x \to a^+$,ત્યારે આ પદ $\frac{-\infty}{-\infty}$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{\frac{1}{x-a}}{\frac{e^x}{e^x - e^a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{(x-a)e^x}$.
આ હવે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે. ફરીથી $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{e^x}{e^x + (x-a)e^x} = \frac{e^a}{e^a + 0} = 1$.

(B) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \left[ {x\tan x - \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\sec x} \right]$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \left[ {x \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\pi}{2} \frac{1}{\cos x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2x \sin x - \pi}{2 \cos x}$
જ્યારે $x \to \pi/2$ હોય ત્યારે આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\frac{d}{dx}(2x \sin x - \pi)}{\frac{d}{dx}(2 \cos x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{2 \sin x + 2x \cos x}{-2 \sin x}$
$x = \pi/2$ મુકતા:
$L = \frac{2 \sin(\pi/2) + 2(\pi/2) \cos(\pi/2)}{-2 \sin(\pi/2)} = \frac{2(1) + \pi(0)}{-2(1)} = \frac{2}{-2} = -1$

(D) ધારો કે $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{e^x} - \log (1 + x)}}{{{x^2}}}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L'\text{Hospital's rule}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}(x{e^x} - \log (1 + x))}}{{\frac{d}{{dx}}({x^2})}}$
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} + x{e^x} - \frac{1}{{1 + x}}}}{{2x}}$.
ફરીથી,આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે,તેથી ફરીથી $L'\text{Hospital's rule}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({e^x} + x{e^x} - \frac{1}{{1 + x}})}}{{\frac{d}{{dx}}(2x)}}$
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} + {e^x} + x{e^x} + \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}}}{2}$
$x = 0$ મૂકતા:
$y = \frac{{{e^0} + {e^0} + 0 \cdot {e^0} + \frac{1}{{{{(1 + 0)}^2}}}}}{2} = \frac{{1 + 1 + 0 + 1}}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) ધારો કે $y = \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - x^2 - 18}{x - 3}$.
$x = 3$ મૂકતા,આપણને $\frac{27 - 9 - 18}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y = \lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 2x}{1}$
$x = 3$ મૂકતા:
$y = 3(3)^2 - 2(3) = 27 - 6 = 21$.

(D) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\tan }^{ - 1}}x}}{x}$.
$x = 0$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}$ અને $\frac{d}{dx}(x) = 1$.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{1+x^2}$.
$x \to 0$ લેતા,આપણને $\frac{1}{1+0^2} = 1$ મળે છે.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\cos x - \log (1 + x)}}{{{x^2}}}$,જે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
$L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - x\sin x - \frac{1}{{1 + x}}}}{{2x}}$.
આ હજુ પણ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે. ફરીથી $L'Hospital$ નો નિયમ વાપરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-\sin x - (\sin x + x\cos x) + \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}}}{2}$.
$x \to 0$ લેતા:
$= \frac{{-\sin(0) - (\sin(0) + 0 \cdot \cos(0)) + \frac{1}{{{{(1 + 0)}^2}}}}}{2} = \frac{{0 - 0 + 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ લક્ષ $x \to 1$ માટે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
$L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(1 + \log x - x)}{\frac{d}{dx}(1 - 2x + x^2)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{-2 + 2x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1 - x}{x(-2 + 2x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{-(x - 1)}{2x(x - 1)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{-1}{2x} = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^{ - 1}}x - {{\tan }^{ - 1}}x}}{{{x^3}}}$,જે $\left( \frac{0}{0} \right)$ સ્વરૂપમાં છે.
$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \frac{1}{{1 + {x^2}}}}}{{3{x^2}}}$,જે હજુ પણ $\left( \frac{0}{0} \right)$ સ્વરૂપમાં છે.
ફરીથી $L'\text{Hospital}$ નો નિયમ વાપરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}} \left( (1 - {x^2})^{-1/2} - (1 + {x^2})^{-1} \right)}}{{6x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-\frac{1}{2}(1 - {x^2})^{-3/2}(-2x) - (-1)(1 + {x^2})^{-2}(2x)}}{{6x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 - {x^2})^{-3/2} + 2x(1 + {x^2})^{-2}}}{{6x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{6} \left[ (1 - {x^2})^{-3/2} + 2(1 + {x^2})^{-2} \right]$
$= \frac{1}{6} [1 + 2] = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યારે $x \to 0$.
$L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\cos x}} \cdot (-\sin x)}}{{2x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-\tan x}}{{2x}}$
ફરીથી $L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{-\sec^2 x}}{2}$
$= \frac{{-1^2}}{2} = -\frac{1}{2}$.

(D) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \beta } \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}$
જ્યારે $\alpha \to \beta$ હોય ત્યારે આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{d}{d\alpha} (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$
$\frac{d}{d\alpha} (\alpha^2 - \beta^2) = 2\alpha$
હવે,$\alpha \to \beta$ લેતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \beta } \frac{{\sin 2\alpha }}{{2\alpha }} = \frac{{\sin 2\beta }}{{2\beta }}$.

(B) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \cos \pi x}}{{{{\tan }^2}\pi x}}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{-\pi \sin \pi x}}{{2 \tan \pi x \cdot \sec^2 \pi x \cdot \pi}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{-\sin \pi x}}{{2 \tan \pi x \cdot \sec^2 \pi x}}$
$\tan \pi x = \frac{\sin \pi x}{\cos \pi x}$ હોવાથી:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{-\cos^3 \pi x}}{2}$
$x = 1$ મુકતા:
$L = \frac{{-\cos^3 \pi}}{2} = \frac{{-(-1)^3}}{2} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log _e}(1 + x)}{{3^x - 1}}$
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપમાં છે.
$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[\log _e(1 + x)]}{\frac{d}{dx}[3^x - 1]} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{3^x \log _e 3}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{\frac{1}{1 + 0}}{3^0 \log _e 3} = \frac{1}{1 \cdot \log _e 3} = \frac{1}{\log _e 3}$
$\frac{1}{\log _a b} = \log _b a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \log _3 e$.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{xf(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$.
અંશમાં $2f(2)$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{xf(2) - 2f(2) + 2f(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ \frac{f(2)(x - 2)}{x - 2} - 2\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \right]$
$L = f(2) - 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$
$L = f(2) - 2f'(2)$
આપેલ છે કે $f(2) = 4$ અને $f'(2) = 4$:
$L = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4$.

(A) આપણને લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n} - [x]}}{{[x]}}$ આપેલ છે.
આને $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{{\log {x^n}}}{{[x]}} - \frac{{[x]}}{{[x]}} \right)$ તરીકે લખી શકાય.
જેમ $x \to \infty,$ $[x] \approx x$ થાય.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n}}}{{[x]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{n \log x}}{x} = 0.$
આમ,અંતિમ જવાબ $0 - 1 = -1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{f(x)} + 1)$ અને $(\sqrt{x} + 1)$ વડે ગુણતા:
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt{f(x)} - 1)(\sqrt{f(x)} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - 1}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$
$f(1) = 1$ હોવાથી,$f(x) - 1$ ને $f(x) - f(1)$ તરીકે લખી શકાય:
$y = \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1} \right)$
$y = f'(1) \times \frac{\sqrt{1} + 1}{\sqrt{f(1)} + 1} = 2 \times \frac{2}{1 + 1} = 2 \times 1 = 2$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} f'(x)}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f'(x) \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}} = \frac{f'(1) \sqrt{1}}{\sqrt{f(1)}} = \frac{2 \times 1}{1} = 2$.

(A) ધારો કે $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^x} - {9^x}}}{{x({4^x} + {9^x})}}$. આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
$L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4^x \ln 4 - 9^x \ln 9}{(4^x + 9^x) + x(4^x \ln 4 + 9^x \ln 9)}$
$x = 0$ મુકતા:
$y = \frac{\ln 4 - \ln 9}{2} = \frac{\ln(4/9)}{2} = \frac{\ln((2/3)^2)}{2} = \ln \left( \frac{2}{3} \right)$.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{e^x} - 1}}$.
રીત $1$: પ્રમાણિત લક્ષનો ઉપયોગ કરતા.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{e^x} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\frac{a^x - 1}{x} - \frac{b^x - 1}{x}}{\frac{e^x - 1}{x}} \right)$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{k^x - 1}{x} = \ln k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\ln a - \ln b}{\ln e} = \ln \left( \frac{a}{b} \right)$.
રીત $2$: $L-Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા.
આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a^x \ln a - b^x \ln b}{e^x} = \frac{a^0 \ln a - b^0 \ln b}{e^0} = \ln a - \ln b = \ln \left( \frac{a}{b} \right)$.