Finding unknown using limit Questions in Gujarati

(D) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{[(a - n)nx - \tan x]\sin nx}{x^2} = 0$
આ પદને આ રીતે લખી શકાય: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{(a - n)nx - \tan x}{x} \cdot \frac{\sin nx}{x} \right) = 0$
બીજા પદમાં $n$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( ((a - n)n - \frac{\tan x}{x}) \cdot n \cdot \frac{\sin nx}{nx} \right) = 0$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin nx}{nx} = 1$,તેથી સમીકરણ:
$n((a - n)n - 1) = 0$
$n \neq 0$ હોવાથી,$(a - n)n - 1 = 0$
$(a - n)n = 1$
$a - n = \frac{1}{n}$
$a = n + \frac{1}{n}$

(C) આપેલ છે $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} - \alpha x - \beta \right) = 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x^2 + 1 - (\alpha x + \beta)(x + 1)}{x + 1} = \frac{x^2(1 - \alpha) - x(\alpha + \beta) + (1 - \beta)}{x + 1}$.
જ્યારે $x \to \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ $0$ થવા માટે,અંશની ઘાત છેદની ઘાત કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ:
$1 - \alpha = 0 \implies \alpha = 1$.
તે જ રીતે,$x$ નો સહગુણક પણ $0$ હોવો જોઈએ:
$-(\alpha + \beta) = 0 \implies \alpha + \beta = 0$.
$\alpha = 1$ મુકતા:
$1 + \beta = 0 \implies \beta = -1$.
આમ,$\alpha = 1$ અને $\beta = -1$ મળે છે.

(A) આપેલ સંબંધ $a_{n+1} = \frac{4 + 3a_n}{3 + 2a_n}$ છે.
જ્યારે $n \to \infty$ હોય ત્યારે $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ લેતા,આપણને $a = \frac{4 + 3a}{3 + 2a}$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$a(3 + 2a) = 4 + 3a \Rightarrow 3a + 2a^2 = 4 + 3a$.
તેથી,$2a^2 = 4 \Rightarrow a^2 = 2$.
આમ,$a = \pm \sqrt{2}$.
$a_1 = 1$ હોવાથી અને તમામ પદો ધન હોવાથી,$a = \sqrt{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + a\cos x) - b\sin x}}{{{x^3}}} = 1$.
$\cos x$ અને $\sin x$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + a(1 - \frac{x^2}{2} + \dots)) - b(x - \frac{x^3}{6} + \dots)}}{{{x^3}}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + a - b) + x^3(\frac{b}{6} - \frac{a}{2}) + \dots}}{{{x^3}}} = 1$
લિમિટ અસ્તિત્વ ધરાવે અને $1$ થાય તે માટે $x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ:
$1 + a - b = 0 \implies b - a = 1$
અને $x^3$ નો સહગુણક $1$ હોવો જોઈએ:
$\frac{b}{6} - \frac{a}{2} = 1 \implies b - 3a = 6$
સમીકરણો ઉકેલતા: $a = -\frac{5}{2}$ અને $b = -\frac{3}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\lim_{x \to 5} \frac{(f(x))^2 - 9}{\sqrt{|x - 5|}} = 0$.
ધારો કે $L = \lim_{x \to 5} f(x)$.
જો $L^2 - 9 \neq 0$ હોય,તો લક્ષ $\infty$ થાય.
આપેલ લક્ષ $0$ હોવાથી,અંશ $x \to 5$ માટે $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$L^2 - 9 = 0$,એટલે કે $L^2 = 9$.
$f$ નો સહપ્રદેશ $[0, \infty)$ હોવાથી,$L = 3$ મળે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ છે.
આપણે $L = \lim_{x \to \alpha} \frac{1 - \cos(ax^2 + bx + c)}{(x - \alpha)^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \to \alpha} \frac{2 \sin^2(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{(x - \alpha)^2}$.
$(\frac{a(x - \beta)}{2})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = 2 \lim_{x \to \alpha} \left[ \frac{\sin(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2}} \right]^2 \cdot \frac{a^2(x - \beta)^2}{4}$.
જેમ $x \to \alpha$ થાય,તેમ કૌંસમાં રહેલું પદ $1$ ને અનુલક્ષે છે.
$L = 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{4} = \frac{a^2}{2}(\alpha - \beta)^2$.

(C) આપેલ છે $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}} - (ax + b)} \right) = 2$.
લિમિટની અંદરના પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{{{x^3} + 1 - (ax + b)({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^3} + 1 - (a{x^3} + ax + b{x^2} + b)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^3}(1 - a) - b{x^2} - ax + (1 - b)}}{{{x^2} + 1}}$.
લિમિટનું મૂલ્ય શાંત $(2)$ મળે તે માટે $x^3$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $1 - a = 0 \implies a = 1$.
હવે પદાવલિ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - b{x^2} - x + (1 - b)}}{{{x^2} + 1}} = 2$ બને છે.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - b - \frac{1}{x} + \frac{{1 - b}}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 2$.
જ્યારે $x \to \infty$,ત્યારે આ $-b = 2$ થાય છે,તેથી $b = -2$.
આમ,$a = 1$ અને $b = -2$.

(A) આપેલ લક્ષ $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} (\frac{\sin 3x}{x^3} + \frac{a}{x^2} + b) = 0$.
પદોને જોડતા: $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x + ax + bx^3}{x^3} = 0$.
$\sin 3x$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \dots = 3x - \frac{27x^3}{6} + O(x^5)$.
આને પદમાં મૂકતા: $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{3x - \frac{27}{6}x^3 + ax + bx^3}{x^3} = 0$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $3 + a = 0 \Rightarrow a = -3$.
હવે,પદ આ મુજબ બને છે: $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{27}{6}x^3 + bx^3}{x^3} = -\frac{27}{6} + b = 0$.
$b$ માટે ઉકેલતા: $b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\sin ^{ - 1}}\left( {k\left( {\frac{{x - 1 - \ln x}}{{(x - 1)\ln x}}} \right)} \right)$.
પ્રથમ, $\sin^{-1}$ વિધેયની અંદરની મર્યાદાની ગણતરી કરો:
$L_{in} = k \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{x - 1 - \ln x}}{{(x - 1)\ln x}}} \right)$.
ધારો કે $x = 1 + h$, જ્યાં $h \to 0$:
$L_{in} = k \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{h - \ln(1 + h)}}{{h \ln(1 + h)}}} \right)$.
ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $\ln(1 + h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_{in} = k \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{h - (h - \frac{h^2}{2} + \dots)}}{{h(h - \frac{h^2}{2} + \dots)}}} \right) = k \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{\frac{h^2}{2}}}{{h^2}}} \right) = \frac{k}{2}$.
$\sin^{-1}\left( \frac{k}{2} \right)$ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે, દલીલ $-1 \le \frac{k}{2} \le 1$ સંતોષવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $-2 \le k \le 2$.
આ શ્રેણીમાં પૂર્ણાંકો $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
આમ, પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $5$ છે.

(A) આપણે $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \dots} \right) - ax}}{{{x^2}}} = l$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - a} \right)x - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \dots}}{{{x^2}}} = l$
લક્ષ શાંત સંખ્યા $l$ હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$1 - a = 0 \implies a = 1$.
$a = 1$ મૂકતા,આપણને $l = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{{{x^3}}}{3}}}{{{x^2}}} = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$a + l = 1 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left\{ {\ln \left( {{x^2} + 5x} \right) - 2\ln \left( {cx + 1} \right)} \right\} = -2$.
$\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln \left( \frac{x^2 + 5x}{(cx + 1)^2} \right) = -2$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x^2 + 5x}{c^2x^2 + 2cx + 1} = e^{-2}$.
જ્યારે $x \to \infty$ હોય ત્યારે અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{c^2} = \frac{1}{e^2}$.
તેથી,$c^2 = e^2$,જેનો અર્થ છે કે $c = e$.

(D) આપેલ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$.
અહીં $a{x^2} + bx + c = \frac{1}{2}(2x - 1)^2 = 2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$a = 2, b = -2, c = \frac{1}{2}$.
હવે,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)(x - \frac{1}{2})}}{{x - 2}}$ ની ગણતરી કરતા,
$= (2 + 2)(2 - \frac{1}{2}) = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan (x - 2)({x^2} + (a - 2)x - 2a)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 7$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: ${x^2} + (a - 2)x - 2a = (x - 2)(x + a)$
આને લક્ષમાં મૂકતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan (x - 2)(x - 2)(x + a)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 7$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan (x - 2)}}{{(x - 2)}} \times (x + a) = 7$
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\tan \theta }}{\theta } = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 \times (2 + a) = 7$
તેથી,$a = 7 - 2 = 5$.

(B) $\sin x$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots) - 3x + \frac{x^3}{2}}{2x^n}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{40} - 3x + \frac{x^3}{2}}{2x^n}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{40}}{2x^n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^5}{80x^n}$
સીમા શાંત અને શૂન્યતર રહે તે માટે,છેદમાં $x$ ની ઘાત અંશમાં $x$ ની ઘાત જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$n = 5$.

(D) આપેલ છે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)\{ {x^2} + (k - 2)x - 2k\} }}{{{x^2} - 4x + 4}} = 5$
અંશ અને છેદના અવયવ પાડતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)\{ x(x - 2) + k(x - 2) \} }}{{{(x - 2)^2}}} = 5$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)(x + k)(x - 2)}}{{{(x - 2)^2}}} = 5$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\tan \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} \times (x + k) = 5$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\tan h}}{h} = 1$,તેથી:
$1 \times (2 + k) = 5$
$2 + k = 5$
$k = 3$

(B) પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ મેળવો:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x-1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x+1)(x^2+1) = (1+1)(1^2+1) = 2 \times 2 = 4$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવો:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{{{x^3} - {k^3}}}{{{x^2} - {k^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{(x-k)(x^2+xk+k^2)}{(x-k)(x+k)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{x^2+xk+k^2}{x+k} = \frac{k^2+k^2+k^2}{k+k} = \frac{3k^2}{2k} = \frac{3k}{2}$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$4 = \frac{3k}{2}$ $\Rightarrow 3k = 8$ $\Rightarrow k = \frac{8}{3}$.

(D) લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,$x = 1$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$1^2 - a(1) + b = 0$,જે સૂચવે છે કે $1 - a + b = 0$,અથવા $b = a - 1$.
$L'Hopital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{d/dx(x^2 - ax + b)}{d/dx(x - 1)} = 3$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x - a) = 3$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $2 - a = 3$ મળે છે,તેથી $a = -1$.
કારણ કે $b = a - 1$,તેથી $b = -1 - 1 = -2$.
તેથી,$a + b = -1 + (-2) = -3$.

(C) આપેલ છે કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x^{2}-1}=\pi.$
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $\pi$ જેટલું શાંત મૂલ્ય હોય,તો અંશ $x \to 1$ થાય ત્યારે $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ કારણ કે છેદ $x^2 - 1$ એ $0$ ને અનુલક્ષે છે.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (f(x) - 2) = 0.$
આનો અર્થ એ થાય કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2 = 0.$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2 = 2$,તેથી આપણને મળે છે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) - 2 = 0.$
આમ,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2.$

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+x^{2}+\ldots+x^{n}-n}{x-1}=820$
અંશને દરેક પદમાંથી $1$ બાદ કરીને ફરીથી લખતા: $\lim_{x \rightarrow 1} \left(\frac{x-1}{x-1} + \frac{x^{2}-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^{n}-1}{x-1}\right) = 820$
પ્રમાણિત લક્ષ સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} = na^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે $x \rightarrow 1$ હોય ત્યારે દરેક પદ $k$ બને છે: $\sum_{k=1}^{n} k = 820$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2} = 820$ છે.
$\Rightarrow n(n+1) = 1640$
$\Rightarrow n^{2}+n-1640 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $n(n+1) = 40 \times 41$ મળે છે.
કારણ કે $n \in N$,તેથી $n = 40$.

(A) આપેલ સમીકરણ $p(x) = x^{2} - x - 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 2)(x + 1) = 0$ મળે,તેથી બીજ $x = 2$ અને $x = -1$ છે.
$\alpha$ એ ધન બીજ હોવાથી,$\alpha = 2$.
લિમિટના પદમાં $\alpha = 2$ મૂકતા,$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x + 2 - 4} = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{1 - \cos(x^{2} - x - 2)}}{x - 2}$ મળે.
નિત્યસમ $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^{2}(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2 \sin^{2}(\frac{x^{2} - x - 2}{2})}}{x - 2}$ બને છે.
$x \rightarrow 2^{+}$ હોવાથી,$\sin(\frac{x^{2} - x - 2}{2})$ ધન છે,તેથી $\sqrt{\sin^{2}(\theta)} = \sin(\theta)$.
આનું સાદું રૂપ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{x - 2}$ થાય છે.
લિમિટ $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,$\frac{x + 1}{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \sqrt{2} \cdot \frac{\sin(\frac{(x - 2)(x + 1)}{2})}{\frac{(x - 2)(x + 1)}{2}} \cdot \frac{x + 1}{2} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{2 + 1}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax-(e^{4x}-1)}{ax(e^{4x}-1)} = b$ છે.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $x=0$ આગળ તેનું સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવું જોઈએ.
વિસ્તરણ $e^{4x} = 1 + 4x + \frac{(4x)^2}{2!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax - (1 + 4x + 8x^2 + \dots - 1)}{ax(4x + 8x^2 + \dots)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a-4)x - 8x^2}{4ax^2 + 8ax^3}$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,અંશમાં $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $a-4 = 0$,જે $a = 4$ આપે છે.
હવે,$a=4$ ને લક્ષમાં મૂકતા:
$b = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x^2}{4(4)x^2 + 8(4)x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x^2}{16x^2 + 32x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8}{16 + 32x} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$.
આમ,$a = 4$ અને $b = -\frac{1}{2}$.
છેલ્લે,$a - 2b = 4 - 2(-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$.

(C) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x \sin ^{2} x}=10$.
$\sin x \approx x$ હોવાથી,પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x^{3}}=10$ બને છે.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\dots$
$\log _{e}(1+x) = x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots$
$e^{-x} = 1-x+\frac{x^{2}}{2}-\dots$
કિંમતો મુકતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\alpha x(1+x+\frac{x^{2}}{2}) - \beta(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}) + \gamma x^{2}(1-x)}{x^{3}} = 10$
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{x(\alpha-\beta) + x^{2}(\alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma) + x^{3}(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma)}{x^{3}} = 10$
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે $x$ અને $x^{2}$ ના સહગુણકો $0$ હોવા જોઈએ:
$1) \alpha-\beta = 0 \Rightarrow \alpha = \beta$
$2) \alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -\frac{3\alpha}{2}$
$3) \frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma = 10$
$\alpha, \beta, \gamma$ ની કિંમતો મુકતા:
$\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{3}-(-\frac{3\alpha}{2}) = 10$ $\Rightarrow \frac{10\alpha}{6} = 10$ $\Rightarrow \alpha = 6$.
તેથી,$\alpha = 6, \beta = 6, \gamma = -9$.
$\alpha+\beta+\gamma = 6+6-9 = 3$.

(C) આપેલ લક્ષ $\lim \limits_{x \rightarrow 7} \frac{18-[1-x]}{[x]-3a}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$x \rightarrow 7^-$ માટે,$[x] = 6$ અને $[1-x] = [1 - (7-h)] = [-6+h] = -6$ (જ્યાં $h > 0$ ખૂબ નાની સંખ્યા છે).
$L.H.L. = \lim \limits_{x \rightarrow 7^-} \frac{18 - (-6)}{6 - 3a} = \frac{24}{6 - 3a}$.
$x \rightarrow 7^+$ માટે,$[x] = 7$ અને $[1-x] = [1 - (7+h)] = [-6-h] = -7$.
$R.H.L. = \lim \limits_{x \rightarrow 7^+} \frac{18 - (-7)}{7 - 3a} = \frac{25}{7 - 3a}$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવાથી,$L.H.L. = R.H.L.$
$\frac{24}{6 - 3a} = \frac{25}{7 - 3a}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$24(7 - 3a) = 25(6 - 3a)$
$168 - 72a = 150 - 75a$
$75a - 72a = 150 - 168$
$3a = -18$
$a = -6$.

(C) આપેલ છે $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(3 x^{2}-4 x+1\right)-x^{2}+1}{2 x^{3}-7 x^{2}+a x+b}=-2$.
સીમા શાંત હોવાથી અને અંશ $x \rightarrow 1$ માટે $0$ થાય છે,તેથી છેદ પણ $0$ થવો જોઈએ.
$2(1)^3 - 7(1)^2 + a(1) + b = 0 \implies a + b - 5 = 0 \dots (1)$.
$L'H\hat{o}pital$ નિયમ લાગુ પાડતા:
$\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\cos \left(3 x^{2}-4 x+1\right)(6 x-4) - 2x}{6x^2 - 14x + a} = -2$.
સીમા શાંત હોવા માટે,છેદ $x=1$ આગળ $0$ થવો જોઈએ:
$6(1)^2 - 14(1) + a = 0 \implies a - 8 = 0 \implies a = 8$.
$(1)$ માં $a=8$ મૂકતા:
$8 + b - 5 = 0 \implies b = -3$.
તેથી,$(a - b) = 8 - (-3) = 11$.

(C) આપેલ છે કે $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}-n-1}+n \alpha+\beta\right)=0$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$n$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\sqrt{n^{2}-n-1} = n\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}} = n - \frac{1}{2} + O(\frac{1}{n})$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા: $\lim _{n \rightarrow \infty} (n - \frac{1}{2} + n\alpha + \beta) = 0$.
$n$ ના પદોને અલગ કરતા: $\lim _{n \rightarrow \infty} (n(1+\alpha) + (\beta - \frac{1}{2})) = 0$.
તેથી,$1+\alpha = 0 \implies \alpha = -1$ અને $\beta - \frac{1}{2} = 0 \implies \beta = \frac{1}{2}$.
આમ,$8(\alpha+\beta) = 8(-1 + \frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2}) = -4$.

(C) આપેલ છે $\beta = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x - (e^{3x} - 1)}{\alpha x(e^{3x} - 1)}$.
$e^{3x} = 1 + 3x + \frac{(3x)^2}{2!} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x - (1 + 3x + \frac{9x^2}{2} + \dots - 1)}{\alpha x(3x + \frac{9x^2}{2} + \dots)}$
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{(\alpha - 3)x - \frac{9}{2}x^2 - \dots}{3\alpha x^2 + \dots}$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,અંશમાં $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $\alpha - 3 = 0$,જે $\alpha = 3$ આપે છે.
$\alpha = 3$ મૂકતા:
$\beta = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{9}{2}x^2}{3(3)x^2} = \frac{-9/2}{9} = -\frac{1}{2}$.
અંતે,$\alpha + \beta = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(C) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$.
$\sin x \approx x$ હોવાથી,લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x^{3}}=\frac{2}{3}$ બને છે.
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા: $\alpha(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots) + \beta(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots) + \gamma(x-\frac{x^3}{6}+\dots) = \frac{2}{3}x^3$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે $x^0, x^1, x^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$x^0: \alpha + \beta = 0 \implies \beta = -\alpha$.
$x^1: \alpha - \beta + \gamma = 0 \implies 2\alpha + \gamma = 0 \implies \gamma = -2\alpha$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{\alpha}{6} - \frac{\beta}{6} - \frac{\gamma}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
$\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = -2$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(B) આપેલ છે કે $ax^2 + bx + 1 = a(x - \alpha)(x - \beta)$,તેથી $\alpha\beta = \frac{1}{a}$.
વળી,$x^2 + bx + a = a(1 - \alpha x)(1 - \beta x)$.
લક્ષની ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે $L = \frac{1}{2\alpha} (\frac{1}{\beta} - \frac{1}{\alpha})$.
તેથી,$\frac{1}{k} = \frac{1}{2\alpha}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2\alpha$.

(C) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a x}-\cos (b x)-\frac{c x e^{-c x}}{2}}{1-\cos (2 x)}=17$.
$x \to 0$ માટે $e^{ax}$,$\cos(bx)$,$e^{-cx}$ અને $1 - \cos(2x)$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + ax + \frac{a^2x^2}{2}) - (1 - \frac{b^2x^2}{2}) - \frac{cx}{2}(1 - cx)}{2x^2} = 17$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a - \frac{c}{2})x + x^2(\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2})}{2x^2} = 17$
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$a - \frac{c}{2} = 0 \implies c = 2a$
$c = 2a$ ને લક્ષમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{(2a)^2}{2}}{2} = 17$
$\frac{a^2 + b^2 + 4a^2}{4} = 17$
$5a^2 + b^2 = 68$

(C) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3+\alpha \sin x+\beta \cos x+\log _e(1-x)}{3 \tan ^2 x}=\frac{1}{3}$.
$\sin x$,$\cos x$,અને $\log _e(1-x)$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$
$\log _e(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$
અંશમાં કિંમતો મૂકતા:
$3 + \alpha(x - \frac{x^3}{6}) + \beta(1 - \frac{x^2}{2}) + (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}) = (3+\beta) + (\alpha-1)x - (\frac{\beta+1}{2})x^2 + \dots$
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે $x^0$ અને $x^1$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3+\beta = 0 \Rightarrow \beta = -3$
$\alpha-1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$
હવે,$2\alpha - \beta = 2(1) - (-3) = 2 + 3 = 5$.

(C) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x - b \log _e(1+x) + c x e^{-x}}{x^2 \sin x} = 1$.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$,$\log _e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$,$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \dots$,અને $\sin x \approx x$.
પદાવલિ બને છે $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{a x^2(1+x+\dots) - b(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) + c x(1 - x + \frac{x^2}{2} - \dots)}{x^3} = 1$.
$x$ ની ઘાત મુજબ પદોને ગોઠવતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(c-b)x + (a + \frac{b}{2} - c)x^2 + (a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2})x^3 + \dots}{x^3} = 1$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $1$ હોય તે માટે $x$ અને $x^2$ ના સહગુણકો $0$ હોવા જોઈએ:
$c - b = 0 \implies c = b$.
$a + \frac{b}{2} - c = 0 \implies a + \frac{b}{2} - b = 0 \implies a = \frac{b}{2}$.
$x^3$ નો સહગુણક $1$ હોવો જોઈએ: $a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2} = 1$.
$a = \frac{b}{2}$ અને $c = b$ મુકતા: $\frac{b}{2} - \frac{b}{3} + \frac{b}{2} = 1 \implies b - \frac{b}{3} = 1 \implies \frac{2b}{3} = 1 \implies b = \frac{3}{2}$.
આમ,$c = \frac{3}{2}$ અને $a = \frac{3}{4}$.
તેથી $16(a^2 + b^2 + c^2) = 16((\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2) = 16(\frac{9}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}) = 9 + 36 + 36 = 81$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + x - 2 = 0$ ના બીજ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$ છે. $a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$.
તેથી,$\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{17} + 1}{4}$.
લક્ષની કિંમત શોધતા,આપણને $L = 153 + 17\sqrt{17}$ મળે છે.
અહીં $\alpha = 153$ અને $\beta = 17$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 153 + 17 = 170$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin (\beta x)}{\alpha x-\sin x}=1$.
$\sin(x)$ અને $\sin(\beta x)$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\beta x - \frac{\beta^3 x^3}{6} + \dots)}{\alpha x - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)} = 1$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{(\alpha - 1)x + \frac{x^3}{6} - \dots} = 1$
સીમાનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,છેદમાં $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
$\alpha = 1$ મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\beta x^3 - \frac{\beta^3 x^5}{6} + \dots}{\frac{x^3}{6} - \dots} = 1$
અંશ અને છેદને $x^3$ વડે ભાગતા:
$\frac{\beta}{1/6} = 1$ $\Rightarrow 6\beta = 1$ $\Rightarrow \beta = \frac{1}{6}$.
તેથી,$6(\alpha + \beta) = 6(1 + \frac{1}{6}) = 7$.

(B) આપેલ સમીકરણ $((1+a)^{1/3}-1)x^2 + ((1+a)^{1/2}-1)x + ((1+a)^{1/6}-1) = 0$ છે.
ધારો કે $1+a = t^6$. જેમ $a \rightarrow 0^{+}$,તેમ $t \rightarrow 1^{+}$.
સમીકરણ $(t^2-1)x^2 + (t^3-1)x + (t-1) = 0$ બને છે.
$(t-1)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a > 0$ હોવાથી $t \neq 1$):
$(t+1)x^2 + (t^2+t+1)x + 1 = 0$.
$t \rightarrow 1$ લેતા:
$(1+1)x^2 + (1^2+1+1)x + 1 = 0$.
$2x^2 + 3x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2x+1)(x+1) = 0$.
આમ,બીજ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = -1$ છે.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a x+\sin (x-1)+a}{x+\sin (x-1)-1}\right\}^{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}$.
$\frac{1-x}{1-\sqrt{x}} = 1+\sqrt{x}$ હોવાથી,લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a(x-1)+\sin(x-1)}{(x-1)+\sin(x-1)}\right\}^{1+\sqrt{x}} = \frac{1}{4}$ થાય.
$x-1 = h$ લેતા,જ્યારે $x \rightarrow 1$,ત્યારે $h \rightarrow 0$. પદાવલિ $\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{-ah+\sin h}{h+\sin h}\right\}^{1+\sqrt{1+h}} = \frac{1}{4}$ બને છે.
અંશ અને છેદને $h$ વડે ભાગતા,$\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{-a+\frac{\sin h}{h}}{1+\frac{\sin h}{h}}\right\}^{1+\sqrt{1+h}} = \frac{1}{4}$ મળે.
$h=0$ મુકતા,$\left(\frac{1-a}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ મળે.
આથી $\frac{1-a}{2} = \frac{1}{2}$ અથવા $\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}$ થાય.
જો $\frac{1-a}{2} = \frac{1}{2}$,તો $a=0$. જો $\frac{1-a}{2} = -\frac{1}{2}$,તો $a=2$.
$a=2$ માટે આધાર ઋણ બને છે,તેથી $a=0$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ લક્ષ $1^\infty$ સ્વરૂપનું છે. આપણે સૂત્ર $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)(f(x)-1)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin (\sin k x)+\cos x+x)^{\frac{2}{x}}= e ^6$,તેથી:
$e^{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{x}(\sin (\sin k x)+\cos x+x-1)} = e^6$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{x}(\sin (\sin k x) + (\cos x - 1) + x) = 6$.
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0^{+}} \left[ 2 \cdot \frac{\sin(\sin kx)}{\sin kx} \cdot \frac{\sin kx}{kx} \cdot k + 2 \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot x + 2 \cdot \frac{x}{x} \right] = 6$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 \cdot 1 \cdot k) + 2(-\frac{1}{2} \cdot 0) + 2(1) = 6$.
$2k + 2 = 6$ $\Rightarrow 2k = 4$ $\Rightarrow k = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $f(x) - 6f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{35}{3x} - \frac{5}{2} \quad (1)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા:
$f\left(\frac{1}{x}\right) - 6f(x) = \frac{35x}{3} - \frac{5}{2} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $6$ વડે ગુણતા:
$6f\left(\frac{1}{x}\right) - 36f(x) = 70x - 15 \quad (3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$-35f(x) = \frac{35}{3x} - \frac{35}{2} + 70x$
$f(x) = -\frac{1}{3x} - 2x + \frac{1}{2}$
$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{\alpha x} - \frac{1}{3x} - 2x + \frac{1}{2}\right) = \beta$
અહીં $\alpha = 3$ અને $\beta = 1/2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta = 3 + 2(1/2) = 4$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}}{\sin(2x) - \beta x} = 3$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,જ્યારે $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે અંશ $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ.
$\lim _{x \rightarrow 0} (x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}) = 0 + (\gamma-1)(1) = \gamma-1$ હોવાથી,$\gamma-1 = 0$ લેતા $\gamma = 1$ મળે.
હવે પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\alpha x + O(x^3)) + 0(e^{x^2}-1)}{(2x - \frac{8x^3}{6} + O(x^5)) - \beta x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{(2-\beta)x - \frac{4}{3}x^3} = 3$ બને છે.
લક્ષ શૂન્યતર હોય તે માટે,છેદમાં $x$ ની ઘાત અંશ જેટલી જ હોવી જોઈએ. તેથી,$x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $2-\beta = 0$,જે $\beta = 2$ આપે છે.
હવે લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{-\frac{4}{3}x^3} = -\frac{3\alpha}{4} = 3$ છે.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા,$\alpha = -4$ મળે છે.
અંતે,$\beta + \gamma - \alpha = 2 + 1 - (-4) = 7$.

(A) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x+a \cos 4 x-b}{x^4}$ સીમિત છે.
$\cos \theta$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\left(1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} - \dots\right) + a\left(1 - \frac{(4x)^2}{2} + \frac{(4x)^4}{24} - \dots\right) - b}{x^4}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + a - b) - x^2(2 + 8a) + x^4(\frac{2}{3} + \frac{32}{3}a) + \dots}{x^4}$
સીમા સીમિત હોવા માટે,$x^0$ અને $x^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$1 + a - b = 0 \implies b = 1 + a$
$2 + 8a = 0 \implies a = -\frac{1}{4}$
$b$ માટે $a$ ની કિંમત મૂકતા: $b = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
તેથી,$a + b = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $x-1 = h$. જેમ $x \rightarrow 1^{+}$,તેમ $h \rightarrow 0^{+}$.
સીમામાં કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6+\lambda \cos h) - \mu \sin h}{h^3} = -1$.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2!} + \dots$ અને $\sin h = h - \frac{h^3}{3!} + \dots$,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(6 + \lambda(1 - \frac{h^2}{2})) - \mu(h - \frac{h^3}{6})}{h^3} = -1$.
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(6 + \lambda - \mu)h + (\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2})h^3}{h^3} = -1$.
સીમાનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $-1$ હોય તે માટે,$h$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ:
$6 + \lambda - \mu = 0 \implies \mu - \lambda = 6$.
$h^3$ નો સહગુણક $-1$ હોવો જોઈએ:
$\frac{\mu}{6} - \frac{\lambda}{2} = -1 \implies \mu - 3\lambda = -6$.
સમીકરણો ઉકેલતા: $\mu - \lambda = 6$ અને $\mu - 3\lambda = -6$.
બાદબાકી કરતા: $2\lambda = 12 \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ ને $\mu - \lambda = 6$ માં મૂકતા,$\mu = 12$ મળે છે.
તેથી,$\lambda + \mu = 6 + 12 = 18$.

(C) ધારો કે $y = (t+2)^{\frac{1}{42}}$. જેમ $t \rightarrow -1^{+}$,તેમ $y \rightarrow 1^{+}$.
તેથી $(t+2)^{\frac{1}{7}} = y^6$,$(t+2)^{\frac{1}{6}} = y^7$,અને $(t+2)^{\frac{1}{21}} = y^2$.
સમીકરણ $(y^6-1)x^2 + (y^7-1)x + (y^2-1) = 0$ બને છે.
$(y-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{y^6-1}{y-1}x^2 + \frac{y^7-1}{y-1}x + \frac{y^2-1}{y-1} = 0$ મળે છે.
$y \rightarrow 1$ લેતા,આપણને $6x^2 + 7x + 2 = 0$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો $a+b = -\frac{7}{6}$.
આમ,$72(a+b)^2 = 72 \times \left(-\frac{7}{6}\right)^2 = 72 \times \frac{49}{36} = 2 \times 49 = 98$.

(B) સીમા $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,ડાબી બાજુની સીમા $(LHL)$ એ જમણી બાજુની સીમા $(RHL)$ ની બરાબર હોવી જોઈએ.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (b - ax) = b - 2a$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (a + 2bx) = a + 4b$.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવતી હોવાથી,$b - 2a = a + 4b$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $-2a - a = 4b - b$,જેનું સાદું રૂપ $-3a = 3b$ થાય છે.
બંને બાજુને $3b$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $b \neq 0$),આપણને $\frac{a}{b} = -1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=5$.
અહીં છેદ $x \rightarrow 1$ માટે $0$ થાય છે,તેથી અંશ પણ $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$1^2 - a(1) + b = 0 \Rightarrow b = a - 1$.
$L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x - a}{1} = 5$.
$2(1) - a = 5 \Rightarrow a = -3$.
હવે $b = a - 1 = -3 - 1 = -4$.
તેથી,$a + b = -3 + (-4) = -7$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{7^x-1}{x} = \log 7$,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(x/k)}{x/k} = 1$,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^2/3)}{x^2/3} = 1$,અને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1$.
લક્ષને ફરીથી લખતા:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\frac{7^x-1}{x})^4 \cdot x^4}{(\frac{\tan(x/k)}{x/k} \cdot \frac{x}{k}) \cdot (\frac{\log(1+x^2/3)}{x^2/3} \cdot \frac{x^2}{3}) \cdot (\frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4x)} = 3(\log 7)^3$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\log 7)^4 \cdot x^4}{1 \cdot \frac{x}{k} \cdot 1 \cdot \frac{x^2}{3} \cdot 1 \cdot 4x} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{(\log 7)^4 \cdot x^4}{\frac{4x^4}{3k}} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{3k(\log 7)^4}{4} = 3(\log 7)^3$.
$\frac{k \log 7}{4} = 1$.
$k = \frac{4}{\log 7} = 4(\log 7)^{-1}$.

(C) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-ax+b}{x-1}=7$.
સીમાનું અસ્તિત્વ હોવાથી અને છેદ $x \rightarrow 1$ માટે $0$ થતો હોવાથી,અંશ પણ $x=1$ માટે $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$(1)^2 - a(1) + b = 0$,જેનો અર્થ છે $1 - a + b = 0$,અથવા $a - b = 1 \dots (i)$.
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{d}{dx}(x^2 - ax + b) = 7$.
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} (2x - a) = 7$.
$x=1$ મૂકતા,$2(1) - a = 7$,તેથી $2 - a = 7$,જે $a = -5$ આપે છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = -5$ મૂકતા,$-5 - b = 1$,તેથી $b = -6$.
આમ,$a + b = -5 + (-6) = -11$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1}{x+1}-a x-b\right)=4$.
લક્ષની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+x+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1}\right)=4$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{(1-a)x^2+(1-a-b)x+(1-b)}{x+1}\right)=4$
લક્ષનું મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1-a=0 \Rightarrow a=1$.
હવે,$a=1$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-bx+(1-b)}{x+1}\right)=4$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-b+\frac{1-b}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right)=4$
$-b=4 \Rightarrow b=-4$.
આમ,$a=1$ અને $b=-4$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત લક્ષનું સૂત્ર: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = n a^{n-1}$ છે.
આપેલ પદાવલિ: $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^k-5^k}{x-5} = 500$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $k(5)^{k-1} = 500$.
આપણે $500$ ને $4 \times 125 = 4 \times 5^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$k(5)^{k-1}$ ની સરખામણી $4(5)^3$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $k = 4$ અને $k-1 = 3$,જે સુસંગત છે.
તેથી,$k$ ની કિંમત $4$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$
$\Rightarrow \lim_{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{ax + b}{x + 1} = 1$
$\Rightarrow \lim_{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{a + \frac{b}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1$
$\Rightarrow a = 1$
આપેલ છે કે,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 2$
$\Rightarrow \frac{a(0) + b}{0 + 1} = 2$
$\Rightarrow b = 2$
તેથી,$f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$
તેથી,$f(-2) = \frac{-2 + 2}{-2 + 1} = \frac{0}{-1} = 0$