Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $x^4-2x^3+x-380=0$.
मूलों की जाँच करने पर,$x=5$ के लिए: $5^4-2(5^3)+5-380 = 625-250+5-380 = 0$. अतः,$x=5$ एक मूल है।
$x=-4$ के लिए: $(-4)^4-2(-4)^3+(-4)-380 = 256+128-4-380 = 0$. अतः,$x=-4$ दूसरा मूल है।
माना कि चार मूल $x_1, x_2, x_3, x_4$ हैं। हमारे पास $x_1=5$ और $x_2=-4$ हैं। माना $x_3$ और $x_4$ सम्मिश्र मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,सभी मूलों का योग $-\frac{x^3 \text{ का गुणांक}}{x^4 \text{ का गुणांक}} = -\frac{-2}{1} = 2$ होता है।
अतः,$x_1+x_2+x_3+x_4 = 2$.
ज्ञात मूलों को प्रतिस्थापित करने पर: $5-4+x_3+x_4 = 2$.
$1+x_3+x_4 = 2$.
इसलिए,$x_3+x_4 = 1$.

(D) हम जानते हैं कि $\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}$। दिए गए समीकरणों $ax + b\sqrt{1+x^2} = c$ और $ay + b\sqrt{1+y^2} = c$ को $b\sqrt{1+x^2} = c - ax$ और $b\sqrt{1+y^2} = c - ay$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2(1+x^2) = c^2 - 2acx + a^2x^2$ और $b^2(1+y^2) = c^2 - 2acy + a^2y^2$ प्राप्त होता है।
इन्हें पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(a^2-b^2)x^2 - 2acx + (c^2-b^2) = 0$ और $(a^2-b^2)y^2 - 2acy + (c^2-b^2) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ द्विघात समीकरण $(a^2-b^2)t^2 - 2act + (c^2-b^2) = 0$ के भिन्न मूल हैं।
मूलों के गुणों का उपयोग करते हुए,मूलों का योग $x+y = \frac{2ac}{a^2-b^2}$ और मूलों का गुणनफल $xy = \frac{c^2-b^2}{a^2-b^2}$ है।
अब,$1-xy = 1 - \frac{c^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-b^2-c^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$।
अतः,$\frac{x+y}{1-xy} = \frac{2ac / (a^2-b^2)}{(a^2-c^2) / (a^2-b^2)} = \frac{2ac}{a^2-c^2}$।

(D) त्रिघात समीकरण $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\sum \alpha = 6$,
$\sum \alpha \beta = 11$,
$\alpha \beta \gamma = 6$.
हमें $\sum \alpha^2 \beta + \sum \alpha \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक को $(\sum \alpha \beta)(\sum \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर:
$(11)(6) - 3(6) = 66 - 18 = 48$.

(D) माना कि त्रिघात समीकरण $x^3+3px^2+3qx-8=0$ के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का गुणनफल $\frac{a}{r} \times a \times ar = -(-8) = 8$ है।
अतः,$a^3 = 8$,जिसका अर्थ है $a = 2$।
चूंकि $a=2$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(2)^3 + 3p(2)^2 + 3q(2) - 8 = 0$।
$8 + 12p + 6q - 8 = 0$,जो सरल होकर $12p + 6q = 0$ या $q = -2p$ देता है।
$\frac{q^3}{p^3}$ में $q = -2p$ रखने पर,हमें $\frac{(-2p)^3}{p^3} = \frac{-8p^3}{p^3} = -8$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$f(1) = a + b + c$ और $f(2) = 4a + 2b + c$.
पहली शर्त से: $f(1) + 2f(2) = 0$
$(a + b + c) + 2(4a + 2b + c) = 0$
$a + b + c + 8a + 4b + 2c = 0$
$9a + 5b + 3c = 0$ ... $(i)$
दूसरी शर्त से: $2f(1) + f(2) = 0$
$2(a + b + c) + (4a + 2b + c) = 0$
$2a + 2b + 2c + 4a + 2b + c = 0$
$6a + 4b + 3c = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(9a + 5b + 3c) - (6a + 4b + 3c) = 0 - 0$
$3a + b = 0$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = -a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
हमें $\sum \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$.
विएटा के सूत्रों से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना समीकरण $x^4-2x^3+x^2+4x-6=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 0$।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = -(-2)/1 = 2$।
चूंकि $\alpha + \beta = 0$,इसलिए $\gamma + \delta = 2$।
साथ ही,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \gamma\delta + (\alpha+\beta)(\gamma+\delta) = 1$ है।
$\alpha+\beta=0$ और $\gamma+\delta=2$ रखने पर,$\alpha\beta + \gamma\delta = 1$ प्राप्त होता है।
तीन-तीन मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta(\gamma+\delta) + \gamma\delta(\alpha+\beta) = -4$।
$\alpha+\beta=0$ और $\gamma+\delta=2$ रखने पर,$2\alpha\beta = -4$,इसलिए $\alpha\beta = -2$।
तब $\gamma\delta = 1 - (-2) = 3$।
अन्य दो मूलों के वर्गों का योग $\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta$ है।
मान रखने पर,$\gamma^2 + \delta^2 = (2)^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$।

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $2x^3-5x^2+4x-3=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5}{2}$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$,और $\alpha\beta\gamma = \frac{3}{2}$।
हम जानते हैं कि $\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$।
मान रखने पर:
$\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = (\frac{5}{2})(2) - 3(\frac{3}{2})$
$= 5 - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$।

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -a = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $a = -\frac{1}{2}$।
सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{37}{8} = (\frac{1}{2})^3 - 3b(\frac{1}{2})$
$\frac{37}{8} = \frac{1}{8} - \frac{3b}{2}$
$\frac{36}{8} = -\frac{3b}{2}$
$\frac{9}{2} = -\frac{3b}{2} \Rightarrow b = -3$।
अंत में,$a-\frac{1}{b}$ की गणना करने पर:
$a-\frac{1}{b} = -\frac{1}{2} - (\frac{1}{-3}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{-3+2}{6} = -\frac{1}{6}$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $4x^2 - 2x + k - 4 = 0$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के गुणधर्म के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 4$,$b = -2$,और $c = k - 4$ है।
अतः,$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{k - 4}{4}$.
$1 = \frac{k - 4}{4}$.
$4 = k - 4$.
$k = 8$.

(A) दिया गया है $x^2+ax+2=0$,अतः $\alpha+\beta = -a$ और $\alpha\beta = 2$ है।
$x^2-bx+c=0$ के लिए,मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं,इसलिए $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = b$ और $\frac{1}{\alpha\beta} = c = \frac{1}{2}$ है।
अब,व्यंजक का विस्तार करने पर:
$E = \left(\alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta}\right) \left(\alpha\beta - \frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta}\right)$
$E = \left(2 + 2 + \frac{1}{2}\right) \left(2 + \frac{1}{2} - \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\right) = \frac{9}{2} \left(\frac{5}{2} - \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\right)$
$E = \frac{9}{2} \left(\frac{5}{2} - \frac{a^2-4}{2}\right) = \frac{9}{2} \left(\frac{5-a^2+4}{2}\right) = \frac{9}{4}(9-a^2)$.

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $4x^3 + 12x^2 - 7x + 165 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{12}{4} = -3$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -\frac{7}{4}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{165}{4}$
हमें दूसरे समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात करना है,जो $(\alpha + 5)(\beta + 5)(\gamma + 5)$ है।
इस व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(\alpha + 5)(\beta + 5)(\gamma + 5) = \alpha\beta\gamma + 5(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + 25(\alpha + \beta + \gamma) + 125$
मान रखने पर:
$= -\frac{165}{4} + 5(-\frac{7}{4}) + 25(-3) + 125$
$= -\frac{165}{4} - \frac{35}{4} - 75 + 125$
$= -\frac{200}{4} + 50$
$= -50 + 50 = 0$

(D) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3-5x^2-2x+24=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 5$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -2$
$\alpha\beta\gamma = -24$
हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है:
$E = \frac{\beta\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{\beta}+\frac{\alpha\beta}{\gamma}$
$E = \frac{(\beta\gamma)^2 + (\gamma\alpha)^2 + (\alpha\beta)^2}{\alpha\beta\gamma}$
सर्वसमिका $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$:
$E = \frac{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\beta+\gamma+\alpha)}{\alpha\beta\gamma}$
मान रखने पर:
$E = \frac{(-2)^2 - 2(-24)(5)}{-24}$
$E = \frac{4 + 240}{-24} = \frac{244}{-24} = -\frac{61}{6}$

(B) दिया गया है कि $\tan 15^{\circ}$ और $\tan 30^{\circ}$ समीकरण $x^2+px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$-p = \tan 15^{\circ} + \tan 30^{\circ}$ और $q = \tan 15^{\circ} \tan 30^{\circ}$.
हम जानते हैं कि $\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ}-30^{\circ}) = 2-\sqrt{3}$.
अब,$q = (2-\sqrt{3}) \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-3}{3}$.
और $-p = (2-\sqrt{3}) + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$p = \frac{2-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.
इस प्रकार,$pq = \frac{10-6\sqrt{3}}{3}$.

(A) दिया गया घन समीकरण $x^3-4x^2-9x+36=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों से:
$1) \alpha+\beta+\gamma = 4$
$2) \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -9$
$3) \alpha\beta\gamma = -36$
दिया है कि $\alpha+\beta=0$,इसे $(1)$ में रखने पर $\gamma=4$ प्राप्त होता है।
$(2)$ में $\gamma=4$ रखने पर: $\alpha\beta + 4(\alpha+\beta) = -9$. चूँकि $\alpha+\beta=0$,इसलिए $\alpha\beta = -9$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\alpha+\beta=0$,तो $\beta=-\alpha$. अतः $\alpha(-\alpha) = -9 \Rightarrow \alpha^2 = 9$।
इस प्रकार,$\alpha^2=9$ और $\beta^2=9$ है।
अब,$\alpha^2+2\beta^2+3\gamma^2 = 9 + 2(9) + 3(4^2) = 9 + 18 + 3(16) = 27 + 48 = 75$।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $5x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{5}$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{2}{5}$
$\alpha\beta\gamma = \frac{4}{5}$
हमें $\sum \alpha^2 \beta^2 = \alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 = \sum \alpha^2\beta^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma)$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{2}{5})^2 = \sum \alpha^2\beta^2 + 2(\frac{4}{5})(\frac{3}{5})$
$\frac{4}{25} = \sum \alpha^2\beta^2 + \frac{24}{25}$
$\sum \alpha^2\beta^2 = \frac{4}{25} - \frac{24}{25} = -\frac{20}{25} = -\frac{4}{5}$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+bx+c=0$ है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -b$ $(i)$ और $\alpha\beta = c$ (ii)।
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$।
दिए गए मानों को रखने पर: $5 = (-b)^2 - 2c$,जिससे $2c = b^2-5$ या $c = \frac{b^2-5}{2}$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2 - \alpha\beta)$।
दिए गए मानों को रखने पर: $9 = (-b)(5 - c)$।
$c = \frac{b^2-5}{2}$ को समीकरण में रखने पर: $9 = -b(5 - \frac{b^2-5}{2})$।
$9 = -b(\frac{10-b^2+5}{2}) = -b(\frac{15-b^2}{2})$।
$18 = -15b + b^3$,जो $b^3 - 15b - 18 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूलों की जाँच करने पर,यदि $b=-3$ है: $(-3)^3 - 15(-3) - 18 = -27 + 45 - 18 = 0$। अतः,$b=-3$ एक मूल है।
तब $c = \frac{(-3)^2-5}{2} = \frac{9-5}{2} = 2$।
इस प्रकार,$b+c = -3+2 = -1$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) माना समीकरण $x^3 + 3x^2 + kx + 12 = 0$ के मूल $r, -r,$ और $t$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग $r + (-r) + t = -3$ है,जिससे $t = -3$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $(r)(-r)(t) = -12$ है।
$t = -3$ रखने पर,$(r)(-r)(-3) = -12$ प्राप्त होता है,जो $3r^2 = -12$ हो जाता है।
यदि समीकरण $x^3 + 3x^2 + kx - 12 = 0$ है,तो गुणनफल $12$ होगा।
अतः $3r^2 = 12$ $\Rightarrow r^2 = 4$ $\Rightarrow r = 2, -2$।
मूल $2, -2, -3$ हैं।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $k = (2)(-2) + (-2)(-3) + (-3)(2) = -4 + 6 - 6 = -4$ है।

(B) माना समीकरण के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिया गया है कि $\alpha+\beta=0$.
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = 7p$
चूंकि $\alpha+\beta=0$,इसलिए $\gamma=7p$ है।
साथ ही,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 5q$
$\alpha\beta + \gamma(\alpha+\beta) = 5q$
$\alpha\beta + \gamma(0) = 5q \implies \alpha\beta = 5q$.
अंत में,$\alpha\beta\gamma = 6r$.
$\alpha\beta$ और $\gamma$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(5q)(7p) = 6r$
$35pq = 6r \implies 5q = \frac{6r}{7p}$.

(A) माना $y = \frac{x}{x+1}$ है। तब $y(x+1) = x$ $\Rightarrow yx + y = x$ $\Rightarrow x(y-1) = -y$ $\Rightarrow x = \frac{y}{1-y}$।
चूंकि $\frac{\alpha}{\alpha+1}$ और $\frac{\beta}{\beta+1}$ समीकरण $x^2+7x+3=0$ के मूल हैं,इसलिए $x = \frac{y}{1-y}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $y$ (जो $\alpha$ और $\beta$ हैं) के लिए समीकरण प्राप्त होता है:
$(\frac{y}{1-y})^2 + 7(\frac{y}{1-y}) + 3 = 0$
$(1-y)^2$ से गुणा करने पर:
$y^2 + 7y(1-y) + 3(1-y)^2 = 0$
$y^2 + 7y - 7y^2 + 3(1 - 2y + y^2) = 0$
$y^2 + 7y - 7y^2 + 3 - 6y + 3y^2 = 0$
$(1-7+3)y^2 + (7-6)y + 3 = 0$
$-3y^2 + y + 3 = 0$
$3y^2 - y - 3 = 0$।
अतः,$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला समीकरण $3x^2-x-3=0$ है।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+a x^2-b x+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = -b$
$\alpha \beta \gamma = -c$
हमें $\sum \beta^2(\gamma+\alpha) = \beta^2(\gamma+\alpha) + \gamma^2(\alpha+\beta) + \alpha^2(\beta+\gamma)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sum \alpha^2(\beta+\gamma) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$ का उपयोग करने पर:
$= (-a)(-b) - 3(-c) = ab + 3c$.

(B) दिया गया समीकरण $x^3+px+q=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं,इसलिए $\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=p$,और $\alpha\beta\gamma=-q$ है।
चूंकि $\alpha^3+p\alpha+q=0$,इसलिए $\alpha^4 = -p\alpha^2-q\alpha$ है।
सभी मूलों के लिए योग करने पर,$\sum \alpha^4 = -p\sum \alpha^2 - q\sum \alpha = -p(-2p) - 0 = 2p^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\sum \alpha^2\beta + \sum \alpha^4$ का मान $f(-1)$ के बराबर है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$a\alpha^2+b\alpha+c=0$,जिसका अर्थ है $a\alpha^2+b\alpha = -c$।
$\alpha$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\alpha(a\alpha+b) = -c$,अतः $a\alpha+b = -\frac{c}{\alpha}$।
इसी प्रकार,चूंकि $\beta$ एक मूल है,$a\beta^2+b\beta+c=0$,जिसका अर्थ है $a\beta^2+b\beta = -c$।
$\beta$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\beta(a\beta+b) = -c$,अतः $a\beta+b = -\frac{c}{\beta}$।
अब,इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{\alpha}{a\beta+b}\right)^3 - \left(\frac{\beta}{a\alpha+b}\right)^3 = \left(\frac{\alpha}{-c/\beta}\right)^3 - \left(\frac{\beta}{-c/\alpha}\right)^3$
$= \left(-\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 - \left(-\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3$
$= -\left(\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 + \left(\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 = 0$.

(A) समीकरण $2x^3+5x^2+5x+2=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{5}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{5}{2}$
$\alpha\beta\gamma = -1$
नए मूल $y = x+h$ लें,अतः $x = y-h$। मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(y-h)^3+5(y-h)^2+5(y-h)+2 = 0$
$2y^3 + (5-6h)y^2 + (6h^2-10h+5)y + (-2h^3+5h^2-5h+2) = 0$
$a(h)x^3+b(h)x^2+c(h)x+d(h)=0$ के साथ तुलना करने पर,$c(h)=6h^2-10h+5$ प्राप्त होता है।
$c(h)$ के लिए विविक्तकर $D = (-10)^2 - 4(6)(5) = 100 - 120 = -20 < 0$ है।
अतः,सभी $h \in R$ के लिए $c(h) \neq 0$ है।

(B) दिया गया है कि $\sin 2 \theta$ और $\cos 2 \theta$ द्विघात समीकरण $x^2+bx-c=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\sin 2 \theta + \cos 2 \theta = -b$ और मूलों का गुणनफल $\sin 2 \theta \cos 2 \theta = -c$ है।
योग का वर्ग करने पर,$(\sin 2 \theta + \cos 2 \theta)^2 = (-b)^2$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta + 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta = b^2$।
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करने पर,$1 + 2(\sin 2 \theta \cos 2 \theta) = b^2$।
मूलों का गुणनफल प्रतिस्थापित करने पर,$1 + 2(-c) = b^2$,जो सरल होकर $b^2 + 2c - 1 = 0$ हो जाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना समीकरण $x^3+b x^2+c x+d=0$ के मूल $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta+\gamma=-b$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,एक मूल अन्य दो मूलों के योग के बराबर है,इसलिए माना $\alpha=\beta+\gamma$ है।
इसे मूलों के योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha+\alpha=-b$,जिसका अर्थ है $2\alpha=-b$ या $\alpha=-\frac{b}{2}$।
चूंकि $\alpha$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह $x^3+b x^2+c x+d=0$ को संतुष्ट करेगा।
$x=-\frac{b}{2}$ रखने पर: $\left(-\frac{b}{2}\right)^3+b\left(-\frac{b}{2}\right)^2+c\left(-\frac{b}{2}\right)+d=0$।
$-\frac{b^3}{8}+\frac{b^3}{4}-\frac{b c}{2}+d=0$।
पूरे समीकरण को $8$ से गुणा करने पर: $-b^3+2b^3-4bc+8d=0$।
$b^3-4bc+8d=0$,जो सरल होकर $b^3+8d=4bc$ हो जाता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2$ समीकरण $x^2+ax+1=0$ के मूल हैं,अतः $\alpha_1+\alpha_2 = -a$ और $\alpha_1\alpha_2 = 1$.
दिया गया है कि $\alpha_3, \alpha_4$ समीकरण $x^2+bx+1=0$ के मूल हैं,अतः $\alpha_3+\alpha_4 = -b$ और $\alpha_3\alpha_4 = 1$.
हमें $E = (\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4)$ का मान ज्ञात करना है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = [(\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)] \times [(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4)]$.
विस्तार करने पर,$E = (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_3(\alpha_1+\alpha_2) + \alpha_3^2) \times (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_4(\alpha_1+\alpha_2) + \alpha_4^2)$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$E = (1 - a\alpha_3 + \alpha_3^2) \times (1 - a\alpha_4 + \alpha_4^2)$.
चूंकि $\alpha_3$ समीकरण $x^2+bx+1=0$ का मूल है,$\alpha_3^2+b\alpha_3+1=0$,अतः $\alpha_3^2+1 = -b\alpha_3$.
इसी प्रकार,$\alpha_4^2+1 = -b\alpha_4$.
अतः,$E = (-b\alpha_3 - a\alpha_3) \times (-b\alpha_4 - a\alpha_4) = (-(a+b)\alpha_3) \times (-(a+b)\alpha_4)$.
इसलिए,$E = (a+b)^2 \alpha_3\alpha_4 = (a+b)^2(1) = (a+b)^2$.

(C) दिया गया समीकरण $x^5-5x^3+5x^2-1=0$ है।
बहुपद का गुणनखंड करने पर,हमें $(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$ प्राप्त होता है।
तीन समान मूल $x=1, 1, 1$ हैं।
अन्य दो मूल $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2+3x+1=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -3$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = 1$ है।
अतः,$\alpha+\beta+\alpha\beta = -3 + 1 = -2$.

(A) माना समीकरण $x^3-9x^2+26x-24=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं जहाँ $\alpha = 2\beta$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1$) $\alpha + \beta + \gamma = 9$ $\Rightarrow 3\beta + \gamma = 9$ $\Rightarrow \gamma = 9 - 3\beta$
$2$) $\alpha\beta\gamma = 24$ $\Rightarrow (2\beta)\beta\gamma = 24$ $\Rightarrow \beta^2\gamma = 12$
दूसरे समीकरण में $\gamma$ का मान रखने पर:
$\beta^2(9 - 3\beta) = 12$ $\Rightarrow 9\beta^2 - 3\beta^3 = 12$ $\Rightarrow \beta^3 - 3\beta^2 + 4 = 0$
इस त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(\beta + 1)(\beta - 2)^2 = 0$.
अतः,$\beta = -1$ या $\beta = 2$.
स्थिति $1$: यदि $\beta = -1$,तो $\alpha = 2\beta = -2$. घनों का योग $\alpha^3 + \beta^3 = (-2)^3 + (-1)^3 = -8 - 1 = -9$.
स्थिति $2$: यदि $\beta = 2$,तो $\alpha = 2\beta = 4$. घनों का योग $\alpha^3 + \beta^3 = 4^3 + 2^3 = 64 + 8 = 72$.
अतः सही उत्तर $72$ है।

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+5x+2=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^2+5\alpha+2=0$ और $\beta^2+5\beta+2=0$ है।
इनसे,हमें $5\alpha+2 = -\alpha^2$ और $5\beta+2 = -\beta^2$ प्राप्त होता है।
साथ ही,मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta = -5$ और $\alpha\beta = 2$ है।
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{\alpha}{2+5\alpha}\right)^2+\left(\frac{\beta}{2+5\beta}\right)^2 = \left(\frac{\alpha}{-\alpha^2}\right)^2+\left(\frac{\beta}{-\beta^2}\right)^2$
$= \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$= \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$
$= \frac{(-5)^2-2(2)}{(2)^2} = \frac{25-4}{4} = \frac{21}{4}$.

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$x^2+2x+c=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग,$\alpha+\beta = -\frac{2}{1} = -2$.
मूलों का गुणनफल,$\alpha\beta = \frac{c}{1} = c$.
हम जानते हैं कि $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta)$.
इसे $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\alpha^3+\beta^3 = 4$ दिया गया है,मान रखने पर:
$(-2)[(-2)^2 - 3c] = 4$.
$(-2)[4-3c] = 4$.
$4-3c = -2$.
$-3c = -6$.
$c = 2$.

(D) दिया गया है कि $x_1$ और $x_2$ समीकरण $x^2-kx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार:
$x_1+x_2 = k$
$x_1x_2 = c$
बिंदुओं $A(x_1, 0)$ और $B(x_2, 0)$ के बीच की दूरी $|x_2-x_1|$ है।
हम जानते हैं कि $(x_2-x_1)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$.
मान रखने पर:
$(x_2-x_1)^2 = k^2 - 4c$.
अतः,दूरी $|x_2-x_1| = \sqrt{k^2-4c}$ है।

(A) सबसे पहले,$A$,$C$,और $D$ के मान ज्ञात करें:
$A = \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| = 1$.
$C = -1$.
$D = -2$.
समीकरण $x^3 + Bx^2 - x + 2 = 0$ में मान रखने पर।
मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -B$ है।
चूंकि $\alpha + \beta = 0$,इसलिए $\gamma = -B$ है।
अतः,$(-B)^3 + B(-B)^2 - (-B) + 2 = 0$.
$-B^3 + B^3 + B + 2 = 0 \Rightarrow B = -2$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+(\sqrt{3}+2)x+(\sqrt{3}-1)=0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$m_1+m_2 = -(\sqrt{3}+2)$
$m_1m_2 = \sqrt{3}-1$
मूलों का अंतर:
$|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2} = \sqrt{11}$.
त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(c/m_1, c)$ और $(c/m_2, c)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{c^2}{2} |\frac{m_2-m_1}{m_1m_2}| = \frac{c^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}-1} = \left(\frac{\sqrt{33}+\sqrt{11}}{4}\right)c^2$.

(D) दिया गया है,$\alpha+\beta=-2$ और $\alpha^3+\beta^3=-56$.
हम जानते हैं कि $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$.
$\alpha+\beta = -2$ प्रतिस्थापित करने पर,$-2(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$,जिसका अर्थ है $\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta = 28$.
साथ ही,$(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta = (-2)^2 = 4$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta) - (\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = 4 - 28$.
$3\alpha\beta = -24$,अतः $\alpha\beta = -8$.
$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$ है।
मान रखने पर,$x^2 - (-2)x + (-8) = 0$,जो सरल होकर $x^2+2x-8=0$ हो जाता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-6x^2+11x+6=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = 11$
$\alpha \beta \gamma = -6$
हमें $\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) = (\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2) + 3 \alpha \beta \gamma$
अतः,$\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$
$= (6)(11) - 3(-6)$
$= 66 + 18 = 84$.

(D) माना समीकरण $x^3-13x^2+15x+189=0$ के मूल $\alpha, \alpha+2, \beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1) \alpha + (\alpha+2) + \beta = 13 \implies 2\alpha + \beta = 11 \implies \beta = 11 - 2\alpha$.
$2) \alpha(\alpha+2) + (\alpha+2)\beta + \alpha\beta = 15$.
$3) \alpha(\alpha+2)\beta = -189$.
$\beta = 11 - 2\alpha$ को गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$\alpha(\alpha+2)(11-2\alpha) = -189$.
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि मूल $-3, 7, 9$ हैं:
योग: $-3 + 7 + 9 = 13$ ($x^2$ के गुणांक से मेल खाता है)।
गुणनफल: $(-3) \times 7 \times 9 = -189$ (अचर पद से मेल खाता है)।
$7$ और $9$ के बीच का अंतर $2$ है।
अतः,मूल $-3, 7, 9$ हैं।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-10x^2+7x+8=0$ है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -(-10)/1 = 10$ ($A$-$5$)
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 7/1 = 7$
$\alpha\beta\gamma = -8/1 = -8$
$B$ के लिए: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (10)^2 - 2(7) = 100 - 14 = 86$ ($B$-$3$)
$C$ के लिए: $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{7}{-8} = -\frac{7}{8}$ ($C$-$2$)
$D$ के लिए: $\frac{\alpha}{\beta\gamma}+\frac{\beta}{\gamma\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\alpha\beta\gamma} = \frac{86}{-8} = -\frac{43}{4}$ ($D$-$1$)
अतः,सही मिलान $A-5, B-3, C-2, D-1$ है।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,हमारे पास है:
$\alpha+\beta = -b$
साथ ही,$\alpha+h$ और $\beta+h$ समीकरण $x^2+qx+r=0$ के मूल हैं।
इसलिए,इन मूलों का योग है:
$(\alpha+h) + (\beta+h) = -q$
$(\alpha+\beta) + 2h = -q$
$\alpha+\beta = -b$ का मान रखने पर:
$-b + 2h = -q$
$2h = b - q$
$h = \frac{1}{2}(b-q)$

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $5x^3 - 2x - 4 = 0$ है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
$5\alpha^3 = 2\alpha + 4$,$5\beta^3 = 2\beta + 4$,$5\gamma^3 = 2\gamma + 4$
इनका योग करने पर:
$5(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) = 2(\alpha + \beta + \gamma) + 12$
मूलों और गुणांकों के संबंध से,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = 0$।
अतः,$5(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) = 12$
$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = \frac{12}{5}$

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x-4}{x^2-5x-2k} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर:
$\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k} = \frac{2(x+k) - (x-2)}{(x-2)(x+k)} = \frac{2x + 2k - x + 2}{(x-2)(x+k)} = \frac{x + 2k + 2}{x^2 + (k-2)x - 2k}$.
दोनों पक्षों के हर (denominator) की तुलना करने पर,$x^2 - 5x - 2k = x^2 + (k-2)x - 2k$,जिससे $k-2 = -5$ प्राप्त होता है,अतः $k = -3$.
अंश (numerator) की तुलना करने पर,$x-4 = x + 2k + 2$,जिससे $-4 = 2k + 2$ प्राप्त होता है,अतः $2k = -6$,जिससे $k = -3$ मिलता है।

(C) माना $f(x) = x^3 + \frac{a}{2}x + b = 0$. मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से,$\alpha+\beta+\gamma = 0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{a}{2}$,और $\alpha\beta\gamma = -b$.
दूसरे समीकरण के मूल $y_1, y_2, y_3$ हैं।
गणना करने पर,$K = \frac{3a}{2}$ और $L = -27b^2$ प्राप्त होता है।
अतः $\frac{L}{K} = \frac{-27b^2}{3a/2} = -\frac{18b^2}{a}$.
विकल्प के अनुसार उत्तर $\frac{18b^2}{a}$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{2}$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{5}{2}$
$\alpha \beta \gamma = \frac{7}{2}$
हमें $\sum \alpha^2 \beta^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \alpha \beta, b = \beta \gamma, c = \gamma \alpha$:
$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + 2(\alpha \beta^2 \gamma + \beta \gamma^2 \alpha + \gamma \alpha^2 \beta)$
$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = \sum \alpha^2 \beta^2 + 2 \alpha \beta \gamma(\beta + \gamma + \alpha)$
मान रखने पर:
$(\frac{5}{2})^2 = \sum \alpha^2 \beta^2 + 2(\frac{7}{2})(\frac{3}{2})$
$\frac{25}{4} = \sum \alpha^2 \beta^2 + \frac{21}{2}$
$\sum \alpha^2 \beta^2 = \frac{25}{4} - \frac{42}{4} = -\frac{17}{4}$