Relation between roots and coefficients Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण: $8x^3 - 42x^2 + 63x - 27 = 0$ . . . $(i)$
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $(i)$ के मूल हैं,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = \frac{27}{8}$ है।
$\beta, \gamma, \alpha$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,अतः $\gamma^2 = \beta \alpha$ है।
अतः,$\gamma \cdot \gamma^2 = \frac{27}{8} \implies \gamma^3 = \frac{27}{8} \implies \gamma = \frac{3}{2}$।
मूलों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$।
$\alpha + \beta = \frac{21}{4} - \frac{3}{2} = \frac{15}{4}$ और $\alpha \beta = \frac{9}{4}$ है,इसलिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $4t^2 - 15t + 9 = 0$ के मूल हैं,जिसे हल करने पर $t = \frac{3}{4}$ या $t = 3$ प्राप्त होता है।
$\beta < \gamma < \alpha$ के अनुसार,$\beta = \frac{3}{4}, \gamma = \frac{3}{2}, \alpha = 3$ है।
व्यंजक $\frac{3}{2}x^2 + 3x + 3$ का चरम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$ सूत्र से:
$\frac{4(\frac{3}{2})(3) - (3)^2}{4(\frac{3}{2})} = \frac{18 - 9}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $4x^3-3x^2+2x-1=0$ के मूल हैं।
अतः,$4\alpha^3=3\alpha^2-2\alpha+1$,$4\beta^3=3\beta^2-2\beta+1$ और $4\gamma^3=3\gamma^2-2\gamma+1$।
योग करने पर: $4(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) = 3(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) - 2(\alpha+\beta+\gamma) + 3$।
विएटा के सूत्रों के अनुसार: $\alpha+\beta+\gamma = \frac{3}{4}$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{1}{2}$।
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\frac{3}{4})^2 - 2(\frac{1}{2}) = \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}$।
मान रखने पर: $4(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) = 3(-\frac{7}{16}) - 2(\frac{3}{4}) + 3 = \frac{3}{16}$।
अतः,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = \frac{3}{64}$।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-3x^2+3x+1=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = -1$
हमें $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$ है।
अतः $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2(\alpha\beta^2\gamma + \beta\gamma^2\alpha + \gamma\alpha^2\beta)$ है।
दूसरे पद से $\alpha\beta\gamma$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\beta+\alpha+\gamma)$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (3)^2 - 2(-1)(3) = 9 + 6 = 15$।

(A) दिया गया समीकरण $18x^3-15x^2-4x+4=0$ है।
माना मूल $\alpha, \alpha, \gamma$ हैं जहाँ $\alpha > \gamma$ है।
विएटा के सूत्रों से:
$2\alpha + \gamma = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ $(i)$
$\alpha^2 + 2\alpha\gamma = -\frac{2}{9}$ (ii)
$\alpha^2\gamma = -\frac{2}{9}$ (iii)
(ii) और (iii) से,$\alpha^2 + 2\alpha\gamma = \alpha^2\gamma$।
चूँकि $\alpha \neq 0$,अतः $\alpha + 2\gamma = \alpha\gamma$।
$(i)$ से,$\gamma = \frac{5}{6} - 2\alpha$।
$\alpha + 2\gamma = \alpha\gamma$ में मान रखने पर:
$\alpha + 2(\frac{5}{6} - 2\alpha) = \alpha(\frac{5}{6} - 2\alpha)$
$12\alpha^2 - 23\alpha + 10 = 0$
$(3\alpha - 2)(4\alpha - 5) = 0$।
अतः,$\alpha = \frac{2}{3}$ या $\alpha = \frac{5}{4}$।
यदि $\alpha = \frac{2}{3}$,तो $\gamma = -\frac{1}{2}$।
चूँकि $\alpha > \gamma$,अतः $\alpha + \beta^2 + \gamma^3 = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{1}{8} = \frac{71}{72}$।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $2x^3+x^2-13x+6=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{1}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -\frac{13}{2}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{6}{2} = -3$
हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$
यहाँ $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{13}{2}) = \frac{1}{4} + 13 = \frac{53}{4}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = (-\frac{1}{2})(\frac{53}{4} + \frac{26}{4}) - 9$
$= (-\frac{1}{2})(\frac{79}{4}) - 9$
$= -\frac{79}{8} - \frac{72}{8} = -\frac{151}{8}$.

(A) दिया गया समीकरण $x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = -1$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -1$
$(i)$ $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma} = \frac{1}{-1} = -1$. अतः,$(i)$ $\rightarrow$ $A$.
(ii) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$: चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ मूल हैं,$\alpha^3 = -\alpha^2 - \alpha - 1$,$\beta^3 = -\beta^2 - \beta - 1$,$\gamma^3 = -\gamma^2 - \gamma - 1$.
योग करने पर: $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - (\alpha + \beta + \gamma) - 3$.
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
अतः,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(-1) - (-1) - 3 = 1 + 1 - 3 = -1$. अतः,(ii) $\rightarrow$ $A$.
(iii) $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$: मूल समीकरण को $x$ से गुणा करने पर: $x^4 + x^3 + x^2 + x = 0$.
मूलों के लिए योग करने पर: $(\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4) + (\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) + (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + (\alpha + \beta + \gamma) = 0$.
$(\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4) + (-1) + (-1) + (-1) = 0 \Rightarrow \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 = 3$. अतः,(iii) $\rightarrow$ $D$.
(iv) $(\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2 = 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = 2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4$. अतः,(iv) $\rightarrow$ $B$.
सही मिलान $(i)$ $\rightarrow$ $A$,(ii) $\rightarrow$ $A$,(iii) $\rightarrow$ $D$,(iv) $\rightarrow$ $B$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+x^2+x+r=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = -1$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 1$
$\alpha\beta\gamma = -r$
हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$
ध्यान दें कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-1)^2 - 2(1) = 1-2 = -1$.
मान रखने पर:
$5 - 3(-r) = (-1)(-1 - 1)$
$5 + 3r = (-1)(-2)$
$5 + 3r = 2$
$3r = -3$
$r = -1$

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-9 x^2+k=0$ है,जहाँ मूल $\alpha, \beta, 2 \beta$ हैं।
विएटा के सूत्रों का उपयोग करने पर:
मूलों का योग: $\alpha + \beta + 2 \beta = 9 \implies \alpha + 3 \beta = 9$ $(i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha \beta + \beta(2 \beta) + 2 \beta(\alpha) = 0$ (चूंकि $x$ का गुणांक $0$ है)
$\alpha \beta + 2 \beta^2 + 2 \alpha \beta = 0 \implies 3 \alpha \beta + 2 \beta^2 = 0$
$\beta(3 \alpha + 2 \beta) = 0$
चूंकि $k \neq 0$,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta \cdot 2 \beta = -k \neq 0$,इसलिए $\beta \neq 0$।
अतः,$3 \alpha + 2 \beta = 0 \implies \alpha = -\frac{2 \beta}{3}$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{2 \beta}{3} + 3 \beta = 9$
$\frac{-2 \beta + 9 \beta}{3} = 9$
$\frac{7 \beta}{3} = 9 \implies 7 \beta = 27$
इसलिए,$14 \beta = 2 \times (7 \beta) = 2 \times 27 = 54$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-9x^2+23x-15=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए:
$\alpha+\beta+\gamma = 9$ ... $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 23$ ... (ii)
$\alpha\beta\gamma = 15$ ... (iii)
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण के मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^3 = 9\alpha^2-23\alpha+15$,$\beta^3 = 9\beta^2-23\beta+15$,$\gamma^3 = 9\gamma^2-23\gamma+15$
तीनों को जोड़ने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 9(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) - 23(\alpha+\beta+\gamma) + 45$
हम जानते हैं कि $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 9^2 - 2(23) = 35$.
मान रखने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 9(35) - 23(9) + 45 = 315 - 207 + 45 = 153$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-x+1=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -1$
$\alpha\beta\gamma = -1$
मान लीजिए $y = \frac{1+x}{1-x}$,जिससे $x = \frac{y-1}{y+1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^3-y^2+7y+1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के मूल $\frac{1+\alpha}{1-\alpha}, \frac{1+\beta}{1-\beta}, \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ हैं।
अतः,मूलों का योग $y_1+y_2+y_3 = -(\frac{-1}{1}) = 1$ है।

(B) दिया गया है कि $x^2-3x+2$,$P(x) = x^4-ax^2+b$ का एक गुणनखंड है।
भाजक का गुणनखंड करने पर: $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$।
चूंकि $(x-1)$ और $(x-2)$ गुणनखंड हैं,इसलिए $P(1) = 0$ और $P(2) = 0$ होगा।
$x=1$ के लिए: $(1)^4 - a(1)^2 + b = 0 \implies 1 - a + b = 0 \implies -a + b = -1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ के लिए: $(2)^4 - a(2)^2 + b = 0 \implies 16 - 4a + b = 0 \implies -4a + b = -16$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर: $(-a+b) - (-4a+b) = -1 - (-16) \implies 3a = 15 \implies a = 5$।
$a=5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $-5 + b = -1 \implies b = 4$।
अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $a=5$ और $b=4$ हैं।
समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^2 - (5+4)x + (5 \times 4) = 0 \implies x^2 - 9x + 20 = 0$।

(B) दिया गया समीकरण $2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$ है। चूँकि $2$ और $3$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
$x = 2$ के लिए:
$2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0$
$16 + 4m - 26 + n = 0$
$4m + n = 10$ --- $(i)$
$x = 3$ के लिए:
$2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0$
$54 + 9m - 39 + n = 0$
$9m + n = -15$ --- $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10$
$5m = -25 \Rightarrow m = -5$
$m = -5$ को $(i)$ में रखने पर:
$4(-5) + n = 10$
$-20 + n = 10 \Rightarrow n = 30$
अतः,$m = -5$ और $n = 30$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^4+x^3-4x^2+x-1=0$.
मूलों के वर्गों का योग: $\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2\sum x_ix_j = (-1)^2 - 2(-4) = 1+8 = 9$.
भिन्न मूलों का गुणनफल: $1$.
अनुपात: $9:1$.

(C) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3 - px^2 + px - 1 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha + \beta + \gamma = p$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p$
$\alpha\beta\gamma = 1$
यह दिया गया है कि $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ मूलों वाला समीकरण मूल समीकरण के समान है,इसलिए इन मूलों का योग भी $p$ होना चाहिए:
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = p$
हम जानते हैं कि $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$।
मान रखने पर:
$p^2 = p + 2(p)$
$p^2 = 3p$
चूंकि $p$ शून्येतर है,$p$ से विभाजित करने पर:
$p = 3$.

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+px^2+qx+r=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
हम जानते हैं कि $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) + \alpha\beta\gamma$।
मान रखने पर:
$(-p)(q) = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) + (-r)$
$-pq = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) - r$
अतः,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = r-pq$।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+p_1 x^2+p_2 x+p_3=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$p_1 = -(\alpha+\beta+\gamma) = -S_1 = -10$.
$p_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2 - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)}{2} = \frac{S_1^2 - S_2}{2} = \frac{100-38}{2} = 31$.
सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ का उपयोग करने पर:
$S_3 - 3(-p_3) = S_1(S_2 - p_2)$.
$-1840 + 3p_3 = 10(38 - 31)$.
$-1840 + 3p_3 = 10(7) = 70$.
$3p_3 = 1910$.
$p_3 = \frac{1910}{3}$.

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = q$
$\alpha \beta \gamma = -r$
बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3 \alpha \beta \gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha)$
साथ ही,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) = (-p)^2 - 2q = p^2-2q$.
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-r) = (-p)(p^2-2q-q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 3r = -p(p^2-3q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -p^3+3pq-3r$
अतः,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3pq-3r-p^3$.

(C) दिया गया है कि $x^3+x^2+2x+3=0$ के मूल $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -1$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$
$\alpha\beta\gamma = -3$
मान लीजिए $f(x)=0$ के मूल $S_1 = \alpha+\beta$,$S_2 = \beta+\gamma$,$S_3 = \gamma+\alpha$ हैं।
ध्यान दें कि $S_1 = -1-\gamma$,$S_2 = -1-\alpha$,$S_3 = -1-\beta$ है।
$f(x)$ के मूलों का योग $S_1+S_2+S_3 = 2(\alpha+\beta+\gamma) = 2(-1) = -2$ है।
दो मूलों के गुणनफल का योग $S_1S_2+S_2S_3+S_3S_1 = 3 + 2(\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 3 + 2(-1) + 2 = 3$ है।
मूलों का गुणनफल $S_1S_2S_3 = -(1 + (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) + \alpha\beta\gamma) = -(1 - 1 + 2 - 3) = 1$ है।
अतः,$f(x) = x^3 - (-2)x^2 + 3x - 1 = x^3+2x^2+3x-1$.

(D) दिया गया समीकरण $x^3-5x+4=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
$x^3+px^2+qx+r=0$ से तुलना करने पर,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 0$,सर्वसमिका के अनुसार $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3\alpha\beta\gamma$ होता है।
यहाँ,मूलों का गुणनफल $\alpha\beta\gamma = -4$ है।
अतः,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3(-4) = -12$।
इसलिए,$(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)^2 = (-12)^2 = 144$।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+x^2+x+2=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से,$\alpha+\beta+\gamma = -1$.
माना $y = \frac{\alpha+\beta-2\gamma}{\gamma}$.
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = -1$,इसलिए $\alpha+\beta = -1-\gamma$.
इसे $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{-1-\gamma-2\gamma}{\gamma} = \frac{-1-3\gamma}{\gamma} = -3 - \frac{1}{\gamma}$.
अतः,$\frac{1}{\gamma} = -y-3$,जिसका अर्थ है $\gamma = -\frac{1}{y+3}$.
चूंकि $\gamma$ समीकरण $x^3+x^2+x+2=0$ का मूल है,$x = -\frac{1}{y+3}$ रखने पर:
$(-\frac{1}{y+3})^3 + (-\frac{1}{y+3})^2 + (-\frac{1}{y+3}) + 2 = 0$.
$-(y+3)^3$ से गुणा करने पर:
$1 - (y+3) + (y+3)^2 - 2(y+3)^3 = 0$.
$1 - y - 3 + y^2 + 6y + 9 - 2(y^3 + 9y^2 + 27y + 27) = 0$.
$-2y^3 - 17y^2 - 49y - 47 = 0$.
$2y^3 + 17y^2 + 49y + 47 = 0$.
इस समीकरण के मूलों का गुणनफल $-\frac{d}{a} = -\frac{47}{2}$ है।

(C) चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+x+10=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta+\gamma=0$ है।
अब,$\alpha_1=\frac{\alpha+\beta}{\gamma^2}=\frac{-\gamma}{\gamma^2}=\frac{-1}{\gamma}$ है।
इसी प्रकार,$\beta_1=\frac{-1}{\alpha}$ और $\gamma_1=\frac{-1}{\beta}$ है।
अतः,$\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ उस समीकरण के मूल हैं जो $x = -\frac{1}{y}$ को $x^3+x+10=0$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है।
$(-\frac{1}{y})^3 + (-\frac{1}{y}) + 10 = 0 \implies -\frac{1}{y^3} - \frac{1}{y} + 10 = 0$ है।
$-y^3$ से गुणा करने पर,$10y^3 - y^2 - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ समीकरण $10x^3-x^2-1=0$ के मूल हैं,इसलिए $10\alpha_1^3-\alpha_1^2-1=0$,$10\beta_1^3-\beta_1^2-1=0$,और $10\gamma_1^3-\gamma_1^2-1=0$ है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $10(\alpha_1^3+\beta_1^3+\gamma_1^3) - (\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2) - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$10$ से भाग देने पर: $(\alpha_1^3+\beta_1^3+\gamma_1^3) - \frac{1}{10}(\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2) = \frac{3}{10}$।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से: $\alpha+\beta+\gamma = -p$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$,और $\alpha\beta\gamma = -r$।
माना नए मूल $y_1 = \alpha(\beta+\gamma)$,$y_2 = \beta(\gamma+\alpha)$,और $y_3 = \gamma(\alpha+\beta)$ हैं।
यहाँ $\alpha(\beta+\gamma) = \alpha(\beta+\gamma+\alpha) - \alpha^2 = -p\alpha - \alpha^2$।
समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ से,$\alpha^3+p\alpha^2 = -q\alpha-r$।
$\alpha$ से भाग देने पर,$\alpha^2+p\alpha = -q - \frac{r}{\alpha}$।
अतः,$y_1 = -(-q - \frac{r}{\alpha}) = q + \frac{r}{\alpha}$।
इसी प्रकार,$y_2 = q + \frac{r}{\beta}$ और $y_3 = q + \frac{r}{\gamma}$।
माना $y = q + \frac{r}{x}$,तो $x = \frac{r}{y-q}$।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $(\frac{r}{y-q})^3 + p(\frac{r}{y-q})^2 + q(\frac{r}{y-q}) + r = 0$।
$r$ से भाग देने पर: $\frac{r^2}{(y-q)^3} + \frac{pr}{(y-q)^2} + \frac{q}{y-q} + 1 = 0$।
$r^2 + pr(y-q) + q(y-q)^2 + (y-q)^3 = 0$।
विस्तार करने पर: $y^3 - 2qy^2 + (q^2+pr)y + (r^2-prq) = 0$।
अतः $y$ का गुणांक $q^2+pr$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+4x+1=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से,$\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=4$,और $\alpha\beta\gamma=-1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma=0$,इसलिए $\beta+\gamma=-\alpha$,$\gamma+\alpha=-\beta$,और $\alpha+\beta=-\gamma$ होगा।
नए समीकरण के मूल $y_1 = \frac{\alpha^2}{-\alpha} = -\alpha$,$y_2 = \frac{\beta^2}{-\beta} = -\beta$,और $y_3 = \frac{\gamma^2}{-\gamma} = -\gamma$ हैं।
माना $y = -x$,इसलिए $x = -y$।
मूल समीकरण $x^3+4x+1=0$ में $x = -y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-y)^3 + 4(-y) + 1 = 0$
$-y^3 - 4y + 1 = 0$
$y^3 + 4y - 1 = 0$।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3+4x-1=0$ है।

(A) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3-2x^2+3x-4=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = 4$
हमें $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$:
$(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(3)^2 = (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2) + 2(4)(2)$
$9 = (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2) + 16$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = 9 - 16 = -7$

(C) दिया गया है कि $1, 2, 3, 4$ समीकरण $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल हैं।
अतः,हम बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$((x-1)(x-4))((x-2)(x-3)) = (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
माना $y = x^2-5x$. तब व्यंजक $(y+4)(y+6) = y^2+10y+24$ हो जाता है।
$y = x^2-5x$ वापस रखने पर:
$(x^2-5x)^2 + 10(x^2-5x) + 24 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24$
$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$.
$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ के साथ गुणांकों की तुलना करने पर:
$a = -10, b = 35, c = -50, d = 24$.
अब,$a+2b+c$ की गणना करने पर:
$a+2b+c = -10 + 2(35) - 50 = -10 + 70 - 50 = 10$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं।
$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
माना $p x^2+q x+r=0$ के मूल $\gamma = \frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}-1$ और $\delta = \frac{1-\beta}{\beta} = \frac{1}{\beta}-1$ हैं।
तब $\alpha = \frac{1}{1+\gamma}$ और $\beta = \frac{1}{1+\delta}$.
चूंकि $\alpha$,$a x^2+b x+c=0$ का एक मूल है,इसलिए $a(\frac{1}{1+x})^2 + b(\frac{1}{1+x}) + c = 0$.
$a + b(1+x) + c(1+x)^2 = 0$.
$a + b + bx + c(1 + 2x + x^2) = 0$.
$c x^2 + (b+2c)x + (a+b+c) = 0$.
इसे $p x^2+q x+r=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $r = a+b+c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+2x^2-3x-1=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,हमारे पास है:
$\alpha+\beta+\gamma = -2$ $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3$ $(ii)$
$\alpha\beta\gamma = 1$ $(iii)$
हमें $\alpha^{-2}+\beta^{-2}+\gamma^{-2} = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{\beta^2\gamma^2+\alpha^2\gamma^2+\alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,सर्वसमिका $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ का उपयोग करके $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ का मान ज्ञात करें।
मान रखने पर:
$(-3)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2(1)(-2)$
$9 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 - 4$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = 9+4 = 13$।
अब,$\alpha^{-2}+\beta^{-2}+\gamma^{-2} = \frac{13}{(1)^2} = 13$।

(A) माना समीकरण $x^3+p x^2-q x+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -q$
$\alpha \beta \gamma = -r$
दिया गया है कि दो मूलों का योग शून्य है,माना $\alpha + \beta = 0$,जिसका अर्थ है $\beta = -\alpha$।
पहले संबंध में $\alpha + \beta = 0$ रखने पर:
$0 + \gamma = -p \implies \gamma = -p$।
तीसरे संबंध में $\gamma = -p$ रखने पर:
$\alpha \beta (-p) = -r \implies \alpha \beta p = r$।
अब,दूसरे संबंध में $\beta = -\alpha$ रखने पर:
$\alpha(-\alpha) + \gamma(\alpha + \beta) = -q$
$-\alpha^2 + \gamma(0) = -q
-\alpha^2 = -q
\alpha^2 = q$।
चूंकि $\alpha \beta = \alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = -q$,इसलिए $\alpha \beta = -q$।
$\alpha \beta p = r$ से,हमें $(-q)p = r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-pq = r$,या $pq = -r$।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+0x^2+4x+1=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -1$
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 0$,हम लिख सकते हैं:
$\alpha+\beta = -\gamma$
$\beta+\gamma = -\alpha$
$\gamma+\alpha = -\beta$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(\alpha+\beta)^{-1}+(\beta+\gamma)^{-1}+(\gamma+\alpha)^{-1} = \frac{1}{-\gamma} + \frac{1}{-\alpha} + \frac{1}{-\beta}$
$= -\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right) = -\left(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{4}{-1}\right) = 4$

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+3x+k=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta = -3$ और $\alpha\beta = k$ है।
दूसरे समीकरण $4x^2+px+18=0$ के लिए,मूल $\alpha+\frac{1}{\alpha}$ और $\beta+\frac{1}{\beta}$ हैं।
मूलों का योग $(\alpha+\frac{1}{\alpha}) + (\beta+\frac{1}{\beta}) = -3(1+\frac{1}{k}) = -\frac{p}{4}$ है।
मूलों का गुणनफल $(\alpha+\frac{1}{\alpha})(\beta+\frac{1}{\beta}) = k + 2 + \frac{1}{k} = 4.5$ है।
अतः $k + \frac{1}{k} = 2.5 = \frac{5}{2}$,जो $2k^2-5k+2=0$ देता है। $k=2$ के लिए $x^2-5x+6=0$ सही है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-2 \sqrt{3} x+4=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta = 2 \sqrt{3}$ और $\alpha \beta = 4$ है।
सबसे पहले,$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2 \sqrt{3})^2 - 2(4) = 12 - 8 = 4$ की गणना करें।
अब,हम सर्वसमिका $\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2)^3 + (\beta^2)^3 = (\alpha^2+\beta^2)((\alpha^2+\beta^2)^2 - 3\alpha^2\beta^2)$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $\alpha^6+\beta^6 = (4)((4)^2 - 3(4)^2) = 4(16 - 3(16)) = 4(16 - 48) = 4(-32) = -128$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $\tan \theta$ और $\cot \theta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,मूलों का योग $\tan \theta + \cot \theta = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\tan \theta \cdot \cot \theta = \frac{c}{a}$ है।
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,इसलिए $\frac{c}{a} = 1$,जिसका अर्थ है $c = a$।
अब,$\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$।
इसे मूलों के योग के बराबर रखने पर: $\frac{2}{\sin 2\theta} = -\frac{b}{a}$।
चूंकि $a = c$,$a$ को $c$ से प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{\sin 2\theta} = -\frac{b}{c}$।
अतः,$\sin 2\theta = -\frac{2c}{b}$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + ax - c = 0$ है।
चूंकि $\sin 2\theta$ और $\cos 2\theta$ समीकरण के मूल हैं,इसलिए:
मूलों का योग: $\sin 2\theta + \cos 2\theta = -a$
मूलों का गुणनफल: $\sin 2\theta \cdot \cos 2\theta = -c$
मूलों के योग का वर्ग करने पर:
$(\sin 2\theta + \cos 2\theta)^2 = (-a)^2$
$\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta + 2 \sin 2\theta \cos 2\theta = a^2$
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 + 2(\sin 2\theta \cos 2\theta) = a^2$
मूलों के गुणनफल $-c$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + 2(-c) = a^2$
$1 - 2c = a^2$
$a^2 + 2c - 1 = 0$

(D) दिया गया है $f(n) = A(-2)^n + B(-3)^n$.
समीकरण $f(n) + a f(n-1) + b f(n-2) = 0$ में $f(n)$ का मान रखने पर:
$A(-2)^n + B(-3)^n + a(A(-2)^{n-1} + B(-3)^{n-1}) + b(A(-2)^{n-2} + B(-3)^{n-2}) = 0$.
$A$ और $B$ वाले पदों को समूहबद्ध करने पर:
$A(-2)^{n-2} [(-2)^2 + a(-2) + b] + B(-3)^{n-2} [(-3)^2 + a(-3) + b] = 0$.
$A(-2)^{n-2} [4 - 2a + b] + B(-3)^{n-2} [9 - 3a + b] = 0$.
चूंकि यह सभी $A, B$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$4 - 2a + b = 0 \implies b - 2a = -4$.
$9 - 3a + b = 0 \implies b - 3a = -9$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(b - 2a) - (b - 3a) = -4 - (-9) \implies a = 5$.
$a=5$ को $b - 2a = -4$ में रखने पर:
$b - 10 = -4 \implies b = 6$.
अंत में,$(a+b)(b-a) = (5+6)(6-5) = 11 \times 1 = 11$.

(D) माना समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिए गए समीकरण $x^2-(a-2)x-(a-1)=0$ से,$\alpha+\beta = a-2$ और $\alpha\beta = 1-a$ प्राप्त होता है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ है।
मान रखने पर,$\alpha^2+\beta^2 = (a-2)^2 - 2(1-a)$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$\alpha^2+\beta^2 = a^2-4a+4-2+2a = a^2-2a+2$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$\alpha^2+\beta^2 = (a-1)^2+1$ प्राप्त होता है।
योग को न्यूनतम होने के लिए,$(a-1)^2 = 0$ होना चाहिए,जो $a=1$ पर होता है।

(C) माना समीकरण $x^2-(a-2)x-(a+1)=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = a-2$ और $\alpha\beta = -(a+1)$ प्राप्त होता है।
मूलों के वर्गों का योग $S = \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S = (a-2)^2 - 2(-(a+1)) = (a-2)^2 + 2(a+1)$।
इसका विस्तार करने पर,$S = a^2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं: $S = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a-1)^2 + 5$।
चूंकि $(a-1)^2 \ge 0$,इसलिए $S$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $(a-1)^2 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $a = 1$।

(B) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-(a-2)x-(a+1)=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = a-2$ और $\alpha\beta = -(a+1)$ है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha^2+\beta^2 = (a-2)^2 - 2(-(a+1)) = (a-2)^2 + 2(a+1)$।
इसे विस्तारित करने पर,$\alpha^2+\beta^2 = a^2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $a^2 - 2a + 6 = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a-1)^2 + 5$।
चूंकि $(a-1)^2 \geq 0$,इसलिए न्यूनतम मान $5$ है,जो $a-1 = 0$ अर्थात $a = 1$ पर प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-6x-2=0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$x^{n}-6x^{n-1}-2x^{n-2}=0$
$\Rightarrow x^{n}-2x^{n-2}=6x^{n-1}$
$x = \alpha$ और $x = \beta$ के लिए:
$\alpha^{n}-2\alpha^{n-2}=6\alpha^{n-1}$
$\beta^{n}-2\beta^{n-2}=6\beta^{n-1}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^{n}-\beta^{n})-2(\alpha^{n-2}-\beta^{n-2})=6(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})$
$a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$a_{n}-2a_{n-2}=6a_{n-1}$
$n=10$ के लिए:
$a_{10}-2a_{8}=6a_{9}$
अतः,$\frac{a_{10}-2a_{8}}{2a_{9}} = \frac{6a_{9}}{2a_{9}} = 3$.

(D) मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}+ax+b=0$ के मूल हैं और $x^{2}-cx+d=0$ के मूल $\alpha^{4}$ और $\beta^{4}$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों से:
$\alpha+\beta=-a, \alpha\beta=b$ ...$(i)$
$\alpha^{4}+\beta^{4}=c, \alpha^{4}\beta^{4}=d$ ...$(ii)$
$(ii)$ से,$c = \alpha^{4}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}-2(\alpha\beta)^{2} = ((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)^{2}-2(\alpha\beta)^{2}$.
$(i)$ को प्रतिस्थापित करने पर: $c = (a^{2}-2b)^{2}-2b^{2} = a^{4}+4b^{2}-4a^{2}b-2b^{2} = a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}$.
अतः,$2b^{2}-c = 2b^{2}-(a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}) = 4a^{2}b-a^{4} = a^{2}(4b-a^{2})$.
दिया गया है $a^{2}>4b$,इसलिए $4b-a^{2} < 0$,जिसका अर्थ है $2b^{2}-c < 0$.
समीकरण $x^{2}-4bx+(2b^{2}-c)=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $2b^{2}-c < 0$ है।
चूंकि मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है,इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा।

(A) दिया गया है कि $p$ और $q$ द्विघात समीकरण $x^{2}+px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $p+q = -p \Rightarrow 2p+q=0$ (समीकरण $1$)
मूलों का गुणनफल: $pq = q$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,$pq - q = 0 \Rightarrow q(p-1) = 0$.
इसका अर्थ है कि या तो $q=0$ या $p=1$.
स्थिति $I$: यदि $q=0$ है,तो समीकरण $1$ से,$2p+0=0 \Rightarrow p=0$.
स्थिति $II$: यदि $p=1$ है,तो समीकरण $1$ से,$2(1)+q=0 \Rightarrow q=-2$.
अतः,$(p, q) = (1, -2)$ दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$ax^{2}+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
नए समीकरण के लिए जिसके मूल $\alpha^{2}$ और $\beta^{2}$ हैं:
मूलों का योग: $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = (-\frac{b}{a})^{2}-2(\frac{c}{a}) = \frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a} = \frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha^{2}\beta^{2} = (\alpha\beta)^{2} = (\frac{c}{a})^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}}$.
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^{2}-(\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^{2}-(\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}})x + \frac{c^{2}}{a^{2}} = 0$.
$a^{2}$ से गुणा करने पर,हमें $a^{2}x^{2}-(b^{2}-2ac)x+c^{2}=0$ प्राप्त होता है।