छायांकित क्षेत्र में स्थित $z$ का बिंदु पथ किसके द्वारा सबसे अच्छी तरह दर्शाया गया है?

मान लीजिए $A, B, C$ सम्मिश्र संख्याओं के तीन समुच्चय हैं जिन्हें नीचे परिभाषित किया गया है:
$A = \{z : \operatorname{Im}(z) \geq 1\}$
$B = \{z : |z - 2 - i| = 3\}$
$C = \{z : \operatorname{Re}((1 - i)z) = \sqrt{2}\}$
$1.$ समुच्चय $A \cap B \cap C$ में अवयवों की संख्या है:
$(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) \infty$
$2.$ मान लीजिए $z, A \cap B \cap C$ में कोई बिंदु है। तब,$|z + 1 - i|^2 + |z - 5 - i|^2$ किसके बीच स्थित है:
$(A) 25 \text{ और } 29, (B) 30 \text{ और } 34, (C) 35 \text{ और } 39, (D) 40 \text{ और } 44$
$3.$ मान लीजिए $z, A \cap B \cap C$ में कोई बिंदु है और $w$ कोई ऐसा बिंदु है जो $|w - 2 - i| < 3$ को संतुष्ट करता है। तब,$|z| - |w| + 3$ किसके बीच स्थित है:
$(A) -6 \text{ और } 3, (B) -3 \text{ और } 6, (C) -6 \text{ और } 6, (D) -3 \text{ और } 9$

सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए $|z - 1| = |z + 1| = |z - i|$ हो।

यदि $w = \frac{z}{z - \frac{1}{3}i}$ और $|w| = 1$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है,तो $z$ स्थित है

एक कण $P$ बिंदु $z_0 = 1 + 2i$ से शुरू होता है,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। यह पहले मूल बिंदु से क्षैतिज रूप से $5$ इकाई दूर और फिर मूल बिंदु से लंबवत $3$ इकाई दूर जाकर बिंदु $z_1$ पर पहुँचता है। $z_1$ से कण सदिश $\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में $\sqrt{2}$ इकाई चलता है और फिर मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त पर वामावर्त (anticlockwise) दिशा में $\frac{\pi}{2}$ कोण से घूमकर बिंदु $z_2$ पर पहुँचता है। बिंदु $z_2$ क्या है?

मान लीजिए $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z-6|=5$ और $|z+2-6i|=5$ है। तो $z^{3}+3z^{2}-15z+141$ का मान ज्ञात कीजिए।