मान लीजिए $A, B, C$ सम्मिश्र संख्याओं के तीन समुच्चय हैं जो $A = \{z : \text{Im}(z) \ge 1\}$,$B = \{z : |z - 2 - i| = 3\}$,और $C = \{z : \text{Re}((1 - i)z) = \sqrt{2}\}$ द्वारा परिभाषित हैं। यदि $z$,$A \cap B \cap C$ में कोई बिंदु है,तो $|z + 1 - i|^2 + |z - 5 - i|^2$ का मान किसके बीच स्थित है?

$|z|^{2}+|z-3|^{2}+|z-i|^{2}$ का मान न्यूनतम तब होता है जब $z$ बराबर है

यदि एक नियमित अष्टभुज के आठ शीर्ष सम्मिश्र संख्याओं $z_j = \frac{1}{x_j - 2i}$ $(j = 1, 2, \dots, 8)$ द्वारा दिए गए हैं,जहाँ $x_j$,$x^8 - 1 = 0$ के मूल हैं,तो अष्टभुज के परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_{10}$ धनात्मक मान वाले कोण (रेडियन में) हैं,इस प्रकार कि $\theta_1+\theta_2+\ldots+\theta_{10}=2 \pi$ है। सम्मिश्र संख्याओं $z_1=e^{i \theta_1}, z_k=z_{k-1} e^{i \theta_k}$ को परिभाषित करें,जहाँ $k=2,3, \ldots, 10$ और $i=\sqrt{-1}$ है। नीचे दिए गए कथनों $P$ और $Q$ पर विचार करें:
$P: |z_2-z_1|+|z_3-z_2|+\ldots+|z_{10}-z_9|+|z_1-z_{10}| \leq 2 \pi$
$Q: |z_2^2-z_1^2|+|z_3^2-z_2^2|+\ldots+|z_{10}^2-z_9^2|+|z_1^2-z_{10}^2| \leq 4 \pi$
तब,

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) जिसके शीर्ष सम्मिश्र संख्याओं $0, z$,और $z e^{i \alpha}$ $(0 < \alpha < \pi)$ द्वारा निरूपित बिंदु हैं,क्या होगा?

यदि $P(x, y)$ आर्गंड समतल में $z = x + iy$ को दर्शाता है जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ और $i = \sqrt{-1}$ है,और $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$ है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?