Mix Examples-Conic Sections Questions in Hindi

(B) आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ पर एक बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(ct, c/t)$ होते हैं।
बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{t^2}$ है।
अतः,बिंदु $t$ पर अभिलंब की ढाल $m_N = t^2$ है।
बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{c}{t} = t^2(x - ct)$ है,जो सरल होकर $y = t^2x - c t^3 + \frac{c}{t}$ बनता है।
चूंकि यह अभिलंब वक्र को पुनः $t_1$ पर मिलता है,इसलिए बिंदु $(ct_1, c/t_1)$ अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$\frac{c}{t_1} = t^2(ct_1) - ct^3 + \frac{c}{t}$
$c$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{t_1} = t^2 t_1 - t^3 + \frac{1}{t}$
$\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t} = t^2 t_1 - t^3$
$\frac{t - t_1}{t t_1} = -t^2(t - t_1)$
चूंकि $t \neq t_1$,इसलिए $(t - t_1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{t t_1} = -t^2$
$1 = -t^3 t_1$
$t^3 t_1 = -1$.

(B) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 16$,इसलिए $a = 3$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ है,जिससे $e = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{5}{3}, 0) = (\pm 5, 0)$ हैं।
माना वृत्त का केंद्र नाभि $(5, 0)$ है।
वृत्त के अतिपरवलय को स्पर्श करने और उसका कोई भी भाग बाहर न होने के लिए,इसे अतिपरवलय के शीर्ष को स्पर्श करना होगा।
अतिपरवलय का शीर्ष $(a, 0) = (3, 0)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,नाभि $(5, 0)$ और शीर्ष $(3, 0)$ के बीच की दूरी है,जो $r = |5 - 3| = 2$ है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $2$ है।

(D) के निर्देशांक $(x, l)$ मानिए। चूँकि $AB$ एक द्वि-कोटि है,$B$ के निर्देशांक $(x, -l)$ होंगे।
$\Delta AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है,अतः भुजा की लंबाई $OA = OB = AB = 2l$ होगी।
$\Delta OMA$ में (जहाँ $M$,$x$-अक्ष पर $AB$ का मध्यबिंदु है),$OM = x$ और $AM = l$ है।
$\angle AOM = 30^\circ$ होने के कारण,$\tan(30^\circ) = \frac{l}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिससे $x = l\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A(x, l)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{3l^2}{a^2} - \frac{l^2}{b^2} = 1$ होगा।
$l^2 \left( \frac{3b^2 - a^2}{a^2b^2} \right) = 1$। चूँकि $l^2 > 0$,इसलिए $3b^2 - a^2 > 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$।
संबंध $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$e^2 > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(C) माना $R$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ हैं। चूँकि $QR$ एक नाभिलंब जीवा है,$Q$ के निर्देशांक $(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ होंगे।
कोटियों का अंतर $y_R - y_Q = 2at - (-\frac{2a}{t}) = 2a(t + \frac{1}{t})$ है।
इस अंतर का मापांक $d = 2a|t + \frac{1}{t}|$ है।
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_P(y_R - y_Q) + x_R(y_Q - y_P) + x_Q(y_P - y_R)|$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \frac{1}{2} |0 + at^2(-\frac{2a}{t} - 0) + \frac{a}{t^2}(0 - 2at)| = a^2|t + \frac{1}{t}|$.
अतः,$|t + \frac{1}{t}| = \frac{A}{a^2}$.
$d$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$d = 2a(\frac{A}{a^2}) = \frac{2A}{a}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 24y + 128 = 0$ है। $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $x^2 + (y - 12)^2 = 16$ प्राप्त होता है। वृत्त का केंद्र $C(0, 12)$ है और इसकी त्रिज्या $r = 4$ है।
परवलय $y^2 = 4x$ पर एक बिंदु $P(t^2, 2t)$ मानिए।
केंद्र $C(0, 12)$ और बिंदु $P(t^2, 2t)$ के बीच की दूरी तब न्यूनतम होती है जब $P$ पर परवलय का अभिलंब केंद्र $C$ से होकर गुजरता है।
$P(t^2, 2t)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ है।
अतः,$P$ पर अभिलंब की ढाल $-t$ है।
रेखाखंड $CP$ की ढाल $\frac{2t - 12}{t^2 - 0} = \frac{2t - 12}{t^2}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-t = \frac{2t - 12}{t^2}$ $\Rightarrow -t^3 = 2t - 12$ $\Rightarrow t^3 + 2t - 12 = 0$।
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$t = 2$ के लिए: $2^3 + 2(2) - 12 = 8 + 4 - 12 = 0$। अतः,$t = 2$ एक हल है।
$t = 2$ के लिए,बिंदु $P$ का मान $(t^2, 2t) = (2^2, 2(2)) = (4, 4)$ है।
इस प्रकार,परवलय पर वृत्त के सबसे निकट स्थित बिंदु $(4, 4)$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ का शीर्ष $(0,0)$ है। नाभिलंब की लंबाई $4a$ है।
वृत्त का व्यास $\frac{3}{4} \times 4a = 3a$ है। अतः,त्रिज्या $r = \frac{3a}{2}$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = \frac{9a^2}{4}$ या $4(x^2 + y^2) = 9a^2$ है।
$y^2 = 4ax$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $4(x^2 + 4ax) = 9a^2$,जो $4x^2 + 16ax - 9a^2 = 0$ में सरल होता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{a}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{a}{2}$ के लिए,$y^2 = 2a^2$,अतः $y = \pm \sqrt{2}a$।
बिंदु $P(\frac{a}{2}, \sqrt{2}a)$ और $Q(\frac{a}{2}, -\sqrt{2}a)$ हैं। जीवा $PQ$ की लंबाई $2\sqrt{2}a$ है।
नाभिलंब $L_1L_2$,$x = a$ पर है,जहाँ $L_1(a, 2a)$ और $L_2(a, -2a)$ हैं। लंबाई $L_1L_2 = 4a$ है।
समलंब चतुर्भुज $PL_1L_2Q$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (PQ + L_1L_2) \times \text{ऊंचाई}$।
ऊंचाई $a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}a + 4a) \times \frac{a}{2} = \left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)a^2$।

(A) दिए गए समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ (दीर्घवृत्त) और $4x^2 - y^2 = 4$ (अतिपरवलय) हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(4x^2 + 9y^2) + k(4x^2 - y^2) = 36 + 4k$ प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वक्रों का परिवार है।
वृत्त के लिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए।
$4 + 4k = 9 - k$ $\Rightarrow 5k = 5$ $\Rightarrow k = 1$.
$k = 1$ रखने पर: $8x^2 + 8y^2 = 40 \Rightarrow x^2 + y^2 = 5$.

(A) माना $(x_1, y_1)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
तब $y_1^2 = 4ax_1$ और $x_1y_1 = c^2$।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4a$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
इस प्रकार,$\tan \phi = \frac{2a}{y_1}$।
अतिपरवलय $xy = c^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $y + x \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।
इस प्रकार,$\tan \theta = -\frac{y_1}{x_1}$।
अब,$\frac{\tan \theta}{\tan \phi} = \frac{-y_1/x_1}{2a/y_1} = -\frac{y_1^2}{2ax_1}$।
$y_1^2 = 4ax_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\tan \theta}{\tan \phi} = -\frac{4ax_1}{2ax_1} = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = -2 \tan \phi$,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1}(-2 \tan \phi)$।

(C) $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ हैं। $P$ पर स्पर्श रेखा $ty = x + at^2$ है,इसलिए इसकी ढाल $m_1 = \frac{1}{t}$ है।
$P$ पर अभिलंब $y = -tx + 2at + at^3$ है। $y=0$ रखने पर,हमें $G(a(t^2+2), 0)$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा अक्ष को $T(-at^2, 0)$ पर मिलती है।
वृत्त $P(at^2, 2at)$,$T(-at^2, 0)$ और $G(a(t^2+2), 0)$ से गुजरता है।
वृत्त का केंद्र $TG$ का मध्य बिंदु $(a, 0)$ है और त्रिज्या $R = a(t^2+1)$ है।
त्रिज्या $SP$ की ढाल $m_{SP} = \frac{2t}{t^2-1}$ है।
वृत्त की $P$ पर स्पर्श रेखा त्रिज्या $SP$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = \frac{1-t^2}{2t}$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = t$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}t$।

(B) दिए गए अतिपरवलय एक-दूसरे के संयुग्मी हैं। अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ $(\pm ae_1, 0)$ हैं,जहाँ $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ की नाभियाँ $(0, \pm be_2)$ हैं,जहाँ $e_2 = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ है।
इन चार नाभियों द्वारा निर्मित चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्णों की लंबाई $2ae_1$ और $2be_2$ है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times (2ae_1) \times (2be_2) = 2abe_1e_2$ होता है।
यहाँ $e_1 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}$ और $e_2 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,क्षेत्रफल $= 2ab \times \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} \times \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b} = 2(a^2 + b^2)$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि दो निश्चित रेखाएं निर्देशांक अक्ष $OX$ और $OY$ हैं। मान लीजिए छड़ $AB$ है जिसकी लंबाई $L = 20$ है।
मान लीजिए $P$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $AP = 8$ और $PB = 20 - 8 = 12$ हो।
मान लीजिए $\angle OAB = \theta$ है। तब $P(x, y)$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = PB \cos \theta = 12 \cos \theta$
$y = AP \sin \theta = 8 \sin \theta$
अतः,$\cos \theta = \frac{x}{12}$ और $\sin \theta = \frac{y}{8}$ है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{12^2} + \frac{y^2}{8^2} = 1$
यह दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a = 12$ और $b = 8$ है।
चूँकि $a > b$ है,उत्केंद्रता $e$ इस प्रकार होगी:
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{8^2}{12^2} = 1 - \frac{64}{144} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$।
इसलिए,$e = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$।

(D) दिया गया परवलय $y = \frac{x^2}{4} - 2$ है,अतः $4y = x^2 - 8$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$4 \frac{dy}{dx} = 2x$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$।
माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{x_1}{2}$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{2}{x_1}$ है।
रेखा $A(10, -1)$ और $P(x_1, y_1)$ से गुजरती है,इसलिए इसकी ढाल $\frac{y_1 + 1}{x_1 - 10}$ है।
चूंकि यह रेखा अभिलंब है,$\frac{y_1 + 1}{x_1 - 10} = -\frac{2}{x_1}$।
$x_1(y_1 + 1) = -2(x_1 - 10) \Rightarrow x_1y_1 + 3x_1 = 20$।
$y_1 = \frac{x_1^2}{4} - 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$x_1(\frac{x_1^2}{4} - 2) + 3x_1 = 20 \Rightarrow x_1^3 + 4x_1 - 80 = 0$।
यहाँ $x_1 = 4$ एक हल है।
$x_1 = 4$ के लिए,$y_1 = 2$ है। अतः $P = (4, 2)$।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ है।
$(10, -1)$ से गुजरने वाली और $-\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y + 1 = -\frac{1}{2}(x - 10)$ है।
$2y + 2 = -x + 10 \Rightarrow x + 2y = 8$।

(C) माना द्विघात बहुपद $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। अग्रणी गुणांक $a = 1$ और अचर पद $c = 3$ दिया गया है,इसलिए $f(x) = x^2 + bx + 3$ है।
चूंकि वक्र रेखा $x = 1$ के परितः सममित है,इसलिए शीर्ष का $x$-निर्देशांक $h = -b/(2a) = 1$ है। अतः,$-b/2 = 1$,जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बहुपद $f(x) = x^2 - 2x + 3$ है।
शीर्ष $(h, k)$ में $h = 1$ है। शीर्ष का $y$-निर्देशांक $k = f(1) = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$ है।
अतः,शीर्ष $(1, 2)$ है।

(B) द्विघात बहुपद $y = ax^2 + bx + c$ के रूप में है। दिया गया अचर पद $c = 3$ और अग्रणी गुणांक $a = 1$ है,इसलिए $f(x) = x^2 + bx + 3$ है।
चूंकि वक्र रेखा $x = 1$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए शीर्ष $x = 1$ पर स्थित है। अतः,अवकलज $f'(x) = 2x + b$ का मान $x = 1$ पर शून्य होना चाहिए।
$2(1) + b = 0 \Rightarrow b = -2$.
अतः,बहुपद $f(x) = x^2 - 2x + 3$ है।
बिंदु $A$ के लिए,$x_1 = 1$,इसलिए $y_1 = f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2$. अतः,$A = (1, 2)$.
बिंदु $B$ के लिए,$y_2 = 11$,इसलिए $11 = x^2 - 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$.
$(x - 4)(x + 2) = 0$. चूंकि $B$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x_2 = 4$. अतः,$B = (4, 11)$.
सदिश $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j}$ और $\vec{OB} = 4\hat{i} + 11\hat{j}$ हैं।
अदिश गुणनफल $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1)(4) + (2)(11) = 4 + 22 = 26$.

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ है।
माना मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा $y = mx$ है।
चूंकि रेखा अतिपरवलय को स्पर्श करती है,केंद्र $(0, 1)$ से रेखा $mx - y = 0$ की लंबवत दूरी अर्ध-अनुप्रस्थ अक्ष $a = 1$ के बराबर होनी चाहिए।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए,$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$।
$1 = \frac{|m(0) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$ $\Rightarrow 1 = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ $\Rightarrow m^2 + 1 = 1$ $\Rightarrow m = 0$।
लेकिन ढाल धनात्मक होनी चाहिए। स्पर्श बिंदु $(a, b)$ के लिए $b = ma$ और $a^2 - (b - 1)^2 = 1$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y - 1}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(a, b)$ पर ढाल $m = \frac{a}{b - 1}$ है। $m = \frac{b}{a}$ होने के कारण,$\frac{b}{a} = \frac{a}{b - 1} \Rightarrow a^2 = b^2 - b$।
$a^2 = b^2 - b$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$(b^2 - b) - (b^2 - 2b + 1) = 1$ $\Rightarrow b - 1 = 1$ $\Rightarrow b = 2$।
अतः $a^2 = 2^2 - 2 = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$।

(D) कथन $A$: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है। निदेशक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 = 9 + 5 = 14$ है। यह सत्य है।
कथन $B$: $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $(a \cos(\theta + \alpha), b \sin(\theta + \alpha))$ हैं। $\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_P y_Q - x_Q y_P| = \frac{1}{2} |ab \cos \theta \sin(\theta + \alpha) - ab \cos(\theta + \alpha) \sin \theta| = \frac{1}{2} ab |\sin \alpha|$ है,जो $\theta$ से स्वतंत्र है। यह सत्य है।
कथन $C$: यह परवलय का एक मानक गुण है। नाभि से स्पर्श रेखा पर खींचे गए लंब का बिंदु पथ शीर्ष पर स्पर्श रेखा होती है। यह सत्य है।
चूंकि सभी कथन सत्य हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया अतिपरवलय: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{3} = 1$. यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3}{9}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। अतः,कथन $(B)$ गलत है।
नाभिलंब की लंबाई $LLR = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 3}{3} = 2$ है। अतः,कथन $(C)$ सही है।
अतिपरवलय पर किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से अनंतस्पर्शी $bx \pm ay = 0$ पर लंबवत दूरियों का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{9 \times 3}{9 + 3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} = 2.25$ होता है।
चूंकि $2.25 > 2$ $(LLR)$,इसलिए कथन $(A)$ गलत है।
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों गलत होने के कारण,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4x$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है,जहाँ $a^2 = 8$ और $b^2 = 2$ है।
$c = \frac{1}{m}$ रखने पर,$\frac{1}{m^2} = 8m^2 + 2$ प्राप्त होता है।
$8m^4 + 2m^2 - 1 = 0$ को हल करने पर,$m^2 = \frac{1}{4}$ मिलता है,अतः $m = \pm \frac{1}{2}$।
$m = \frac{1}{2}$ के लिए,$c = 2$,समीकरण $x - 2y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$m = -\frac{1}{2}$ के लिए,$c = -2$,समीकरण $x + 2y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(D) माना दो अतिपरवलय $H_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $H_2: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ हैं।
$H_1$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ द्वारा दी जाती है।
इस रेखा के $H_2$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,हम $H_2$ को $\frac{x^2}{(-b^2)} - \frac{y^2}{(-a^2)} = 1$ के रूप में लिखते हैं। $\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$ के लिए $y = mx + c$ स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = Am^2 - B$ है।
यहाँ $A = -b^2$ और $B = -a^2$,इसलिए $c^2 = (-b^2)m^2 - (-a^2) = a^2 - b^2m^2$ है।
$c^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$ प्राप्त होता है।
$(a^2 + b^2)m^2 = a^2 + b^2$,जिससे $m^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $m = \pm 1$ है।
$c^2 = a^2m^2 - b^2$ में $m^2 = 1$ रखने पर,हमें $c^2 = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ है।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ हैं।
दिए गए सभी विकल्प इस समूह में शामिल हैं।

(A) किसी भी शांकव के लिए,शीर्ष $V$ अक्ष पर स्थित होता है। नियता $x + y = 10$ है,इसलिए अक्ष का समीकरण $y = x + 1$ है। नियता और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु $Z(4.5, 5.5)$ है। नियता से शीर्ष की दूरी $VZ = \frac{1}{1+e} SZ$ है। दीर्घवृत्त के लिए $e < 1$,परवलय के लिए $e = 1$ और अतिपरवलय के लिए $e > 1$ होने के कारण,$VZ_E > VZ_P > VZ_H$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha > \beta > \gamma$।

(D) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $hx - ky = h^2 - k^2$ है।
इसे $y = mx + c$ के रूप में लिखने पर,$y = \frac{h}{k}x - \frac{h^2 - k^2}{k}$ प्राप्त होता है।
यह रेखा परवलय $x^2 = 4by$ की स्पर्श रेखा है,जिसके लिए शर्त $c = -bm^2$ है।
यहाँ $m = \frac{h}{k}$ और $c = -\frac{h^2 - k^2}{k}$ है।
अतः,$-\frac{h^2 - k^2}{k} = -b\left(\frac{h}{k}\right)^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,बिंदुपथ $y(x^2 - y^2) = bx^2$ है,जो $b$ पर निर्भर है लेकिन $a$ से स्वतंत्र है।

(D) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए $m$ प्रवणता वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{8} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है,जहाँ $a^2 = 32$ और $b^2 = 8$ है।
$c = \frac{2}{m}$ को शर्त में रखने पर: $(\frac{2}{m})^2 = 32m^2 + 8$.
$\frac{4}{m^2} = 32m^2 + 8$.
$4$ से भाग देने पर: $\frac{1}{m^2} = 8m^2 + 2$.
$8m^4 + 2m^2 - 1 = 0$.
$t = m^2$ लेने पर,$8t^2 + 2t - 1 = 0$.
$(4t - 1)(2t + 1) = 0$.
चूंकि $m^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = \frac{1}{2}$ या $m = -\frac{1}{2}$ है।
प्रवणताओं का गुणनफल $(\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - 2)^2}{3^2} + \frac{(y + 2)^2}{2^2} = 1$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$ है।
दोनों वक्र बिंदु $(2, 0)$ पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $0$ है।

(B) शांकव $y = x^2 - x + 3$ एक परवलय है,इसलिए इसकी उत्केंद्रता $e_1 = 1$ है।
शांकव $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3a^4} = 1$ एक दीर्घवृत्त है,इसलिए इसकी उत्केंद्रता $e_2$ के लिए $0 < e_2 < 1$ होता है।
शांकव $a^2x^2 - 3a^4y^2 = 1$ एक अतिपरवलय है,इसलिए इसकी उत्केंद्रता $e_3$ के लिए $e_3 > 1$ होता है।
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $e_2 < 1 < e_3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $e_2 < e_1 < e_3$।

(C) माना $X = x - 1$ और $Y = y - 2$ है। समीकरण $X^2 = 4Y$ और $X^2 + \frac{Y^2}{2} = 1$ हो जाते हैं।
परवलय $X^2 = 4Y$ के लिए $m$ प्रवणता वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $Y = mX - m^2$ है।
दीर्घवृत्त $X^2 + \frac{Y^2}{2} = 1$ के लिए $m$ प्रवणता वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $Y = mX \pm \sqrt{m^2 + 2}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के लिए,$-m^2 = \pm \sqrt{m^2 + 2}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$m^4 = m^2 + 2$,अर्थात $m^4 - m^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$m^2 = t$ रखने पर,$t^2 - t - 2 = 0$,जिससे $(t - 2)(t + 1) = 0$ मिलता है।
अतः $m^2 = 2$ है। इसलिए $m_1^2 + m_2^2 = 2 + 2 = 4$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{xb^2}{ya^2}$.
अतिपरवलय $\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2} = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{2x}{l^2} - \frac{2y}{m^2} \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{xm^2}{yl^2}$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा:
$(-\frac{xb^2}{ya^2}) \times (\frac{xm^2}{yl^2}) = -1 \Rightarrow \frac{x^2}{y^2} = \frac{a^2 l^2}{b^2 m^2}$.
दोनों वक्र समीकरणों को घटाने पर: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - (\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2}) = 0$.
$x^2(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{l^2}) + y^2(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{m^2}) = 0 \Rightarrow \frac{x^2}{y^2} = \frac{(m^2 + b^2)a^2 l^2}{b^2 m^2 (l^2 - a^2)}$.
$\frac{x^2}{y^2}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{a^2 l^2}{b^2 m^2} = \frac{(m^2 + b^2)a^2 l^2}{b^2 m^2 (l^2 - a^2)} \Rightarrow 1 = \frac{m^2 + b^2}{l^2 - a^2}$.
अतः,$l^2 - a^2 = m^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = l^2 - m^2$.

(C) रेखा $y = \sqrt{3}x$ पर स्थित किसी भी बिंदु को ध्रुवीय रूप में $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,निर्देशांक $\left(\frac{r}{2}, \frac{r\sqrt{3}}{2}\right)$ होंगे।
इन मानों को वक्र के समीकरण $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ में रखने पर:
$\left(\frac{r}{2}\right)^4 + a\left(\frac{r}{2}\right)^2\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right) + b\left(\frac{r}{2}\right)\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right) + c\left(\frac{r}{2}\right) + d\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right) + 6 = 0$
$\frac{r^4}{16} + \frac{a\sqrt{3}r^3}{8} + \frac{b\sqrt{3}r^2}{4} + \frac{r(c + d\sqrt{3})}{2} + 6 = 0$
$16$ से गुणा करने पर:
$r^4 + (2a\sqrt{3})r^3 + (4b\sqrt{3})r^2 + 8(c + d\sqrt{3})r + 96 = 0$
यह $r$ में चतुर्थ घात का समीकरण है,जिसके मूल $r_1, r_2, r_3, r_4$ मूलबिंदु से दूरियाँ $OA, OB, OC, OD$ दर्शाते हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल अचर पद और मुख्य गुणांक का अनुपात होता है:
$OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD = r_1 r_2 r_3 r_4 = \frac{96}{1} = 96$.

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ की $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ है।
चूंकि यह रेखा परवलय $x^2 = 4y$ की भी स्पर्श रेखा है,हम $y = mx + c$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $x^2 = 4(mx + c) \Rightarrow x^2 - 4mx - 4c = 0$.
स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$,इसलिए $(-4m)^2 - 4(1)(-4c) = 0$ $\Rightarrow 16m^2 + 16c = 0$ $\Rightarrow c = -m^2$.
इसे वृत्त की स्पर्श रेखा के रूप $c = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-m^2 = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m^4 = 4(1 + m^2) \Rightarrow m^4 - 4m^2 - 4 = 0$.
$m^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $m^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $m^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m^2 = 2 + 2\sqrt{2}$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x^2 = 8y \quad (i)$
$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 \quad (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{8y}{3} + y^2 = 1$
$3y^2 + 8y - 3 = 0$
$(3y - 1)(y + 3) = 0$
अतः,$y = \frac{1}{3}$ या $y = -3$.
चूंकि $x^2 = 8y$,इसलिए $y$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,अतः $y = -3$ संभव नहीं है।
$y = \frac{1}{3}$ के लिए,$x^2 = \frac{8}{3}$,इसलिए $x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{1}{3})$ और $(-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{1}{3})$ हैं।
इन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा $y = \frac{1}{3}$ है,जिसे $3y - 1 = 0$ लिखा जा सकता है।

(B) दिए गए वक्र $C_1: \frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{4} = 1$ और $C_2: y^3 = 16x$ हैं।
$C_1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{\alpha} + \frac{2y}{4} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{\alpha y} = m_1$.
$C_2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2} = m_2$.
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \cdot m_2 = -1$.
प्रवणता के मान रखने पर: $\left( -\frac{4x}{\alpha y} \right) \cdot \left( \frac{16}{3y^2} \right) = -1$.
इसे सरल करने पर $\frac{64x}{3\alpha y^3} = 1 \Rightarrow 3\alpha y^3 = 64x$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $y^3 = 16x$ रखने पर: $3\alpha (16x) = 64x$.
यदि $x \neq 0$ है,तो $48\alpha = 64 \Rightarrow \alpha = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}$।

(A) दिए गए शांकव $x^2 = 6y$ $(i)$ और $2x^2 - 4y^2 = 9$ $(ii)$ हैं।
रेखा $x - y = \frac{3}{2}$ $(iii)$ पर विचार करें,जिसका अर्थ है $x = y + \frac{3}{2}$।
$x = y + \frac{3}{2}$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(y + \frac{3}{2})^2 = 6y \implies y^2 + 3y + \frac{9}{4} = 6y \implies y^2 - 3y + \frac{9}{4} = 0 \implies (y - \frac{3}{2})^2 = 0$। अतः,$y = \frac{3}{2}$ और $x = 3$।
चूंकि केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, \frac{3}{2})$ है,इसलिए रेखा परवलय की स्पर्श रेखा है।
$x = y + \frac{3}{2}$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(y + \frac{3}{2})^2 - 4y^2 = 9 \implies 2(y^2 + 3y + \frac{9}{4}) - 4y^2 = 9 \implies 2y^2 + 6y + \frac{9}{2} - 4y^2 = 9 \implies -2y^2 + 6y - \frac{9}{2} = 0 \implies 4y^2 - 12y + 9 = 0 \implies (2y - 3)^2 = 0$। अतः,$y = \frac{3}{2}$ और $x = 3$।
चूंकि केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, \frac{3}{2})$ है,इसलिए रेखा अतिपरवलय की स्पर्श रेखा है।
अतः,$x - y = \frac{3}{2}$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 16$,अतः $a = 4$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ होती हैं,जहाँ $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}}$ है।
अतः नाभियाँ $(\pm \sqrt{16 - b^2}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ है,जिसे $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{81}{25}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$\sqrt{16 - b^2} = 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16 - b^2 = 9$,जिससे $b^2 = 7$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के लिए $(x_1, y_1)$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$(x_1, y_1) = \left( 2, \frac{3}{2} \right)$,$a^2 = 16$,और $b^2 = 3$ रखने पर:
$\frac{16x}{2} - \frac{3y}{3/2} = 16 - 3$
$8x - 2y = 13$
$2y = 8x - 13 \Rightarrow y = 4x - \frac{13}{2}$।
रेखा $y = mx + c$ परवलय $y^2 = 4Ax$ को स्पर्श करती है यदि $c = \frac{A}{m}$ हो।
यहाँ $m = 4$ और $c = -\frac{13}{2}$ है।
$-\frac{13}{2} = \frac{A}{4} \Rightarrow A = -26$।
अतः,परवलय का समीकरण $y^2 = 4(-26)x = -104x$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है ....$(i)$
इसे अतिपरवलय $xy = 2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(mx + \frac{1}{m}) = 2$
$mx^2 + \frac{x}{m} - 2 = 0$
रेखा के स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए:
$D = b^2 - 4ac = (\frac{1}{m})^2 - 4(m)(-2) = 0$
$\frac{1}{m^2} + 8m = 0$
$1 + 8m^3 = 0$
$m^3 = -\frac{1}{8}$
$m = -\frac{1}{2}$
$m = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y = -\frac{1}{2}x - 2$
$2y = -x - 4$
$x + 2y + 4 = 0$

(C) परवलय $y^2 = x$ के बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y\beta = \frac{x + \alpha}{2}$ है।
चूंकि बिंदु $(\alpha, \beta)$ परवलय पर स्थित है,$\beta^2 = \alpha$,अतः समीकरण $y\beta = \frac{x + \beta^2}{2}$ हो जाता है,जिसे $y = \frac{1}{2\beta}x + \frac{\beta}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,ढाल $m = \frac{1}{2\beta}$ और अंतःखंड $c = \frac{\beta}{2}$ है।
यह रेखा दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 1$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसे $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
मान रखने पर: $(\frac{\beta}{2})^2 = 1(\frac{1}{2\beta})^2 + \frac{1}{2}$.
$\frac{\beta^2}{4} = \frac{1}{4\beta^2} + \frac{1}{2}$.
$4\beta^2$ से गुणा करने पर: $\beta^4 = 1 + 2\beta^2$.
$\beta^4 - 2\beta^2 - 1 = 0$.
$\beta^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\beta^2 = 1 + \sqrt{2}$.
चूंकि $\alpha = \beta^2$,इसलिए $\alpha = \sqrt{2} + 1$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है,इसलिए $a = 3$। स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{3}{m}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $8x^2 - y^2 = 8$ है,जिसे $x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$ लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 8$ है।
स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{m^2 - 8}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए,$\frac{3}{m} = \pm \sqrt{m^2 - 8}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{9}{m^2} = m^2 - 8 \Rightarrow m^4 - 8m^2 - 9 = 0$।
$(m^2 - 9)(m^2 + 1) = 0$। चूँकि $m$ वास्तविक है,$m^2 = 9$,इसलिए $m = \pm 3$।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y = 3x + 1$ और $y = -3x - 1$ हैं।
इन्हें हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(-1/3, 0)$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$ के लिए,$e = \sqrt{1 + 8} = 3$।
नाभियाँ $S(3, 0)$ और $S'(-3, 0)$ हैं।
माना $P$,$SS'$ को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो $P = \left( \frac{3-3k}{k+1}, 0 \right)$।
$P(-1/3, 0)$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{3-3k}{k+1} = -\frac{1}{3}$।
$9 - 9k = -k - 1$ $\Rightarrow 8k = 10$ $\Rightarrow k = 5/4$।
अतः,अनुपात $5 : 4$ है।

(D) परवलय $y^2 = 16x$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{4}{m}$ के रूप में होता है,जहाँ $a = 4$ है। अतः,$y = mx + \frac{4}{m} \dots (i)$।
यदि यह रेखा अतिपरवलय $xy = -4$ की भी स्पर्शरेखा है,तो $(i)$ से $y$ का मान अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर $x(mx + \frac{4}{m}) = -4$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $mx^2 + \frac{4}{m}x + 4 = 0$ या $m^2x^2 + 4x + 4m = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा के स्पर्शरेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए: $D = (4)^2 - 4(m^2)(4m) = 0$।
$16 - 16m^3 = 0$ $\Rightarrow m^3 = 1$ $\Rightarrow m = 1$।
$m = 1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $y = x + 4$ प्राप्त होता है,जिसे $x - y + 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ के लिए,$a^{2}=18$ और $b^{2}=4$ है। उत्केंद्रता $e_{1} = \sqrt{1-\frac{4}{18}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ के लिए,$a^{2}=9$ और $b^{2}=4$ है। उत्केंद्रता $e_{2} = \sqrt{1+\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ है।
चूँकि बिंदु $(e_{1}, e_{2})$ समीकरण $15x^{2}+3y^{2}=k$ पर स्थित है,इसलिए:
$15(\frac{7}{9}) + 3(\frac{13}{9}) = k$
$\frac{105+39}{9} = k$
$k = \frac{144}{9} = 16$.

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=4ax \dots (i)$ और $x^{2}=4by \dots (ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हम $(i)$ में $y = \frac{x^{2}}{4b}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{x^{2}}{4b}\right)^{2} = 4ax \Rightarrow \frac{x^{4}}{16b^{2}} = 4ax \Rightarrow x^{4} = 64ab^{2}x$.
इससे $x(x^{3} - 64ab^{2}) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$ या $x = 4a^{1/3}b^{2/3}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4a^{1/3}b^{2/3}, 4a^{2/3}b^{1/3})$ हैं।
$(i)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} = \frac{2a}{y}$। $(ii)$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{4b} = \frac{x}{2b}$।
$(0,0)$ पर,$(i)$ की स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर $(x=0)$ है और $(ii)$ की स्पर्श रेखा क्षैतिज $(y=0)$ है,इसलिए कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
$(4a^{1/3}b^{2/3}, 4a^{2/3}b^{1/3})$ पर,ढाल $m_{1} = \frac{2a}{4a^{2/3}b^{1/3}} = \frac{1}{2}(\frac{a}{b})^{1/3}$ और $m_{2} = \frac{4a^{1/3}b^{2/3}}{2b} = 2(\frac{a}{b})^{1/3}$ है।
कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{2(a/b)^{1/3} - 0.5(a/b)^{1/3}}{1 + 2(a/b)^{1/3} \cdot 0.5(a/b)^{1/3}}| = \frac{1.5(a/b)^{1/3}}{1 + (a/b)^{2/3}} = \frac{3a^{1/3}b^{1/3}}{2(a^{2/3}+b^{2/3})}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3a^{1/3}b^{1/3}}{2(a^{2/3}+b^{2/3})}\right)$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण: $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 10 \Rightarrow \frac{x^{2}}{10} - \frac{y^{2}}{10 \cos^{2} \theta} = 1.$
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_{H} = \sqrt{1 + \cos^{2} \theta}.$
दीर्घवृत्त का समीकरण: $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 5 \Rightarrow \frac{x^{2}}{5 \cos^{2} \theta} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_{E} = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sin \theta.$
दिया है $e_{H} = \sqrt{5} e_{E} \Rightarrow \sqrt{1 + \cos^{2} \theta} = \sqrt{5} \sin \theta.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 + \cos^{2} \theta = 5 \sin^{2} \theta = 5(1 - \cos^{2} \theta).$
$6 \cos^{2} \theta = 4 \Rightarrow \cos^{2} \theta = \frac{2}{3}.$
दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(5 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{3}.$

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b < 5)$ के लिए,उत्केंद्रता $e_{1}$ समीकरण $b^{2}=25(1-e_{1}^{2})$ को संतुष्ट करती है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_{2}$ समीकरण $b^{2}=16(e_{2}^{2}-1)$ को संतुष्ट करती है।
$b^{2}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $25(1-e_{1}^{2})=16(e_{2}^{2}-1)$ प्राप्त होता है।
दिया है $e_{1}e_{2}=1$,इसलिए $e_{2}=\frac{1}{e_{1}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$25(1-e_{1}^{2})=16(\frac{1}{e_{1}^{2}}-1) = 16(\frac{1-e_{1}^{2}}{e_{1}^{2}})$.
चूंकि $b < 5$,$e_{1} \neq 1$,इसलिए $(1-e_{1}^{2})$ से विभाजित करने पर $25 = \frac{16}{e_{1}^{2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e_{1}^{2}=\frac{16}{25}$,अतः $e_{1}=\frac{4}{5}$.
तब $e_{2}=\frac{1}{e_{1}}=\frac{5}{4}$.
दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae_{1} = 2(5)(\frac{4}{5}) = 8 = \alpha$.
अतिपरवलय की नाभियों के बीच की दूरी $2ae_{2} = 2(4)(\frac{5}{4}) = 10 = \beta$.
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (8, 10)$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2} = 4(x-5)$ है।
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर परवलय $y^{2} = 4a(x-h)$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2a(x+x_{1}) - 4ah$ है।
यहाँ,$a=1$,$h=5$,$x_{1}=6$,और $y_{1}=2$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2y = 2(x+6) - 20$
$2y = 2x + 12 - 20$
$2y = 2x - 8$
$y = x - 4$,जिसे $x - y - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = A^{2}m^{2} + B^{2}$ है।
यहाँ,$m = 1$,$c = -4$,$A^{2} = 2$,और $B^{2} = b$ है।
इस शर्त में मान रखने पर:
$(-4)^{2} = 2(1)^{2} + b$
$16 = 2 + b$
$b = 14$.

(D) मूल बिंदु पर जीवा $PQ$ द्वारा अंतरित कोण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा $x + y = 1$ का उपयोग करके वक्र $x^{2} + 2y^{2} = 2$ के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं।
रेखा का समीकरण $x + y = 1$ है,इसलिए $1 = x + y$ है।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + 2y^{2} = 2(1)^{2}$
$x^{2} + 2y^{2} = 2(x + y)^{2}$
$x^{2} + 2y^{2} = 2(x^{2} + 2xy + y^{2})$
$x^{2} + 2y^{2} = 2x^{2} + 4xy + 2y^{2}$
$x^{2} + 4xy = 0$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है। मान लीजिए ये रेखाएँ $y = m_{1}x$ और $y = m_{2}x$ हैं।
$x(x + 4y) = 0$ से,हमें $x = 0$ (ढाल $m_{1} = \infty$) और $y = -\frac{1}{4}x$ (ढाल $m_{2} = -\frac{1}{4}$) प्राप्त होता है।
इन दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$
चूंकि एक रेखा ऊर्ध्वाधर $(x=0)$ है,इसलिए कोण $\theta$ ऊर्ध्वाधर रेखा और $-\frac{1}{4}$ ढाल वाली रेखा के बीच का कोण है।
रेखा $y = -\frac{1}{4}x$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $\alpha = \tan^{-1}(-\frac{1}{4}) = -\tan^{-1}(\frac{1}{4})$ है।
ऊर्ध्वाधर रेखा $(90^{\circ})$ और इस रेखा के बीच का कोण $\frac{\pi}{2} - (-\tan^{-1}(\frac{1}{4})) = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}(\frac{1}{4})$ है।

(C) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है। अतिपरवलय $x^{2}-y^{2}=4$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_{1}$ के अनुसार $xh-yk=h^{2}-k^{2}$ है।
इसे $y=mx+c$ रूप में लिखने पर,$y=\frac{h}{k}x - \frac{h^{2}-k^{2}}{k}$ प्राप्त होता है।
यह रेखा परवलय $y^{2}=8x$ को स्पर्श करती है (जहाँ $a=2$)। रेखा $y=mx+c$ के परवलय $y^{2}=4ax$ को स्पर्श करने की शर्त $c=\frac{a}{m}$ है।
$m=\frac{h}{k}$ और $c=-\frac{h^{2}-k^{2}}{k}$ रखने पर,$-\frac{h^{2}-k^{2}}{k} = \frac{2}{h/k} = \frac{2k}{h}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$-(h^{2}-k^{2})h = 2k^{2}$,अर्थात $h^{3} = k^{2}(h-2)$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y^{2}(x-2)=x^{3}$ है।

(C) रेखा का समीकरण $y = -2x + k$ है। चूंकि यह अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 3$ $(a^2 = 3, b^2 = 3)$ की स्पर्श रेखा है,स्पर्श रेखा होने की शर्त $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ के अनुसार:
$k = \sqrt{3(-2)^2 - 3} = \sqrt{3(4) - 3} = \sqrt{9} = 3$ (क्योंकि $k > 0$ है)।
अतः,रेखा $y = -2x + 3$ है।
इस रेखा के परवलय $y^2 = \alpha x$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,इसे $c = \frac{\alpha}{4m}$ की शर्त को पूरा करना होगा।
यहाँ,$m = -2$ और $c = 3$ है।
मान रखने पर: $3 = \frac{\alpha}{4(-2)} = \frac{\alpha}{-8}$.
इसलिए,$\alpha = 3 \times (-8) = -24$.

(A) अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $LR_H = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{a} = \frac{2}{a}$ है।
दीर्घवृत्त $E : 3x^2 + 4y^2 = 12$ के लिए,इसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है। नाभिलंब की लंबाई $LR_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(3)}{2} = 3$ है।
दिया गया है कि $LR_H = LR_E$,इसलिए $\frac{2}{a} = 3$,जिसका अर्थ है $a = \frac{2}{3}$।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{(2/3)^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ है। अतः,$e_H^2 = \frac{13}{4}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ है। अतः,$e_E^2 = \frac{1}{4}$।
अंत में,$12(e_H^2 + e_E^2) = 12(\frac{13}{4} + \frac{1}{4}) = 12(\frac{14}{4}) = 3 \times 14 = 42$।

(C) बिंदु $(\alpha, \beta)$ दीर्घवृत्त $25x^{2} + 4y^{2} = 1$ पर स्थित है,अतः $\alpha = \frac{1}{5} \cos \theta$ और $\beta = \frac{1}{2} \sin \theta$ है।
परवलय $y^{2} = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
यह $(\alpha, \beta)$ से गुजरती है,अतः $m^{2}\alpha - m\beta + 1 = 0$ है।
माना ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं जहाँ $m_{1} = 4m_{2}$ है।
समीकरण से $m_{1} + m_{2} = \frac{\beta}{\alpha}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{1}{\alpha}$ है।
$m_{1} = 4m_{2}$ रखने पर,$5m_{2} = \frac{\beta}{\alpha}$ और $4m_{2}^{2} = \frac{1}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
अतः $4\beta^{2} = 25\alpha$ है। $\alpha$ और $\beta$ का मान रखने पर $\sin^{2} \theta = 5 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$1 - \cos^{2} \theta = 5 \cos \theta \Rightarrow \cos^{2} \theta + 5 \cos \theta - 1 = 0$ है।
$\cos \theta = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$ है।
$10\alpha + 5 = \pm \sqrt{29}$,अतः $(10\alpha + 5)^{2} = 29$ है।
$16\beta^{2} + 50 = \pm 10\sqrt{29}$,अतः $(16\beta^{2} + 50)^{2} = 2900$ है।
कुल योग $29 + 2900 = 2929$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है। ढाल $m$ वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$ होता है।
$a^{2}=16$ और $b^{2}=9$ रखने पर,$y=mx \pm \sqrt{16m^{2}+9}$ $(i)$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=12$ है। ढाल $m$ वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm r\sqrt{1+m^{2}}$ होता है।
$r^{2}=12$ रखने पर,$y=mx \pm \sqrt{12(1+m^{2})}$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,$(i)$ और $(ii)$ के अचर पद समान होने चाहिए:
$16m^{2}+9 = 12(1+m^{2})$
$16m^{2}+9 = 12+12m^{2}$
$16m^{2}-12m^{2} = 12-9$
$4m^{2} = 3$
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,$12m^{2} = 9$ प्राप्त होता है।

(C) $|z - (4 + 3i)| = 2$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(4, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
कार्तीय निर्देशांक में,यह $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4$ है।
$|z| + |z - 4| = 6$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(0, 0)$ और $(4, 0)$ पर हैं।
नाभियों से दूरियों का योग $2a = 6$ है,इसलिए $a = 3$। केंद्र $(2, 0)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4$ है,इसलिए $ae = 2$। चूँकि $a = 3$,$e = 2/3$ है।
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - 4/9) = 5$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ है।
वृत्त का केंद्र $(4, 3)$ है। दीर्घवृत्त का उच्चतम बिंदु $(2, \sqrt{5}) \approx (2, 2.236)$ है।
वृत्त का निम्नतम बिंदु $(4, 3 - 2) = (4, 1)$ है।
$(4, 1)$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $\frac{(4 - 2)^2}{9} + \frac{1^2}{5} = \frac{4}{9} + \frac{1}{5} = \frac{29}{45} < 1$।
चूँकि बिंदु $(4, 1)$ दीर्घवृत्त के अंदर है और केंद्र $(4, 3)$ दीर्घवृत्त के बाहर है,इसलिए वृत्त दीर्घवृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(t^{2}, 2t)$ और $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^{2}}, -\frac{2}{t})$ हैं।
चूंकि $PQ$,$R(3, 0)$ पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंतरित करती है,इसलिए $PR$ और $QR$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
$PR$ की प्रवणता $= \frac{2t-0}{t^{2}-3} = \frac{2t}{t^{2}-3}$.
$QR$ की प्रवणता $= \frac{-2/t-0}{1/t^{2}-3} = \frac{-2/t}{(1-3t^{2})/t^{2}} = \frac{-2t}{1-3t^{2}}$.
गुणनफल $-1$ होने के कारण,$\frac{2t}{t^{2}-3} \times \frac{-2t}{1-3t^{2}} = -1$.
$\frac{-4t^{2}}{(t^{2}-3)(1-3t^{2})} = -1 \Rightarrow 4t^{2} = (t^{2}-3)(1-3t^{2}) = t^{2} - 3t^{4} - 3 + 9t^{2} = -3t^{4} + 10t^{2} - 3$.
$3t^{4} - 6t^{2} + 3 = 0 \Rightarrow 3(t^{2}-1)^{2} = 0 \Rightarrow t^{2} = 1$.
अतः,$P$ बिंदु $(1, 2)$ है और $Q$ बिंदु $(1, -2)$ है।
जीवा $PQ$ की लंबाई $4$ है,जो दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है। अतः,$\frac{2b^{2}}{a} = 4 \Rightarrow b^{2} = 2a$.
दीर्घवृत्त की नाभि $(ae, 0)$ है। चूंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है,रेखा $x=1$ को नाभि $(ae, 0)$ से गुजरना चाहिए,इसलिए $ae = 1$.
$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ का उपयोग करते हुए,$b^{2} = 2a$ और $e^{2} = \frac{1}{a^{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2a = a^{2}(1 - \frac{1}{a^{2}}) = a^{2} - 1$.
$a^{2} - 2a - 1 = 0$. $a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a = 1+\sqrt{2}$.
तब $e^{2} = \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{1+2+2\sqrt{2}} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3-2\sqrt{2}$.
अतः,$\frac{1}{e^{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2}$.