उन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु क्या हैं जिनके प्राचलिक समीकरण $x = t^2 + 1, y = 2t$ और $x = 2s, y = \frac{2}{s}$ हैं?

परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा नियता को $U$ पर और नाभिलंब को $V$ पर मिलती है। तो $\triangle SUV$ (जहाँ $S$ नाभि है) :

एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ के शीर्षों से होकर गुजरता है। दीर्घवृत्त $E$ के दीर्घ और लघु अक्ष,अतिपरवलय $H$ के अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों के साथ संपाती हैं। यदि $E$ और $H$ की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है,और $l$ दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है,तो $113l$ का मान $....$ है।

मान लीजिए कि $T_1$ और $T_2$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ और परवलय $P: y^2=12x$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $T_1$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_1$ और $A_2$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_4$ और $A_3$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है।
$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।
$(C)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-3,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।
$(D)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-6,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{8} = 1$ और परवलय $y^2 = 8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल क्या है?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ की नाभियाँ $(f_1, 0)$ और $(f_2, 0)$ हैं,जहाँ $f_1 > 0$ और $f_2 < 0$ है। मान लीजिए $P_1$ और $P_2$ दो परवलय हैं जिनका शीर्ष $(0,0)$ है और नाभियाँ क्रमशः $(f_1, 0)$ और $(2f_2, 0)$ हैं। मान लीजिए $T_1$,$P_1$ की एक स्पर्श रेखा है जो $(2f_2, 0)$ से गुजरती है और $T_2$,$P_2$ की एक स्पर्श रेखा है जो $(f_1, 0)$ से गुजरती है। यदि $m_1$,$T_1$ की ढाल है और $m_2$,$T_2$ की ढाल है,तो $(\frac{1}{m_1^2} + m_2^2)$ का मान क्या है?