मान लीजिए $\alpha, \beta$ द्विघात समीकरण $x^2 + px + p^3 = 0$ $(p \neq 0)$ के मूल हैं। यदि $(\alpha, \beta)$ परवलय $y^2 = x$ पर एक बिंदु है,तो द्विघात समीकरण के मूल हैं:

वक्रों $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $T$ चौथे चतुर्थांश से होकर नहीं गुजरती है। यदि $T$,$C_{1}$ को $(x_{1}, y_{1})$ पर और $C_{2}$ को $(x_{2}, y_{2})$ पर स्पर्श करती है,तो $|2x_{1} + x_{2}|$ का मान $......$ है।

$AB$ परवलय $y^2 = 4ax$ की एक जीवा है जिसका एक अंत्यबिंदु $A$ परवलय का शीर्ष है। $BC$,$AB$ पर लंबवत खींचा गया है जो परवलय के अक्ष को $C$ पर मिलता है। परवलय के अक्ष पर $BC$ का प्रक्षेप क्या है?

वृत्त $x^2+y^2=2$ और परवलय $y^2=8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $P, Q$ बिंदुओं पर और परवलय को $R, S$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। तो चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $y = \sqrt{3}x$ वक्र $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ को $A$,$B$,$C$ और $D$ पर काटती है,तो $OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD$ का मान ज्ञात कीजिए,(जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।

एक दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और एक नाभि बिंदु $P\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ पर स्थित है। इसकी एक नियता, वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ की बिंदु $P$ के निकटतम उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए: