$C$ उस वृत्त का केंद्र है जिसका केंद्र $(0, 1)$ और त्रिज्या इकाई है। $P$ परवलय $y = ax^2$ है। $a$ के उन मानों का समुच्चय जिनके लिए वे मूल बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु पर मिलते हैं,है

मान लीजिए $e_1$ और $e_2$ क्रमशः दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रताएँ हैं। यदि $b < 5$ और $e_1 e_2 = 1$ है,तो उस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या होगी जिसके अक्ष निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं और जो चारों नाभियों (दो दीर्घवृत्त की और दो अतिपरवलय की) से होकर गुजरता है?

आयताकार अतिपरवलय $xy = a^2$ की जीवा $PQ$,$x$-अक्ष को $A$ पर मिलती है। यदि $C(h, k)$ जीवा $PQ$ का मध्य-बिंदु है और $O$ मूल-बिंदु है,तो $\Delta ACO$ है:

वृत्त $x^2+y^2=9$ और परवलय $y^2=8x$ पर विचार करें। वे क्रमशः प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $P$ और $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष को $R$ पर काटती हैं और $P$ और $Q$ पर परवलय की स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष को $S$ पर काटती हैं।
$1.$ त्रिभुज $PQS$ और $PQR$ के क्षेत्रफलों का अनुपात है
$(A)$ $1:\sqrt{2}$ $(B)$ $1:2$ $(C)$ $1:4$ $(D)$ $1:8$
$2.$ त्रिभुज $PRS$ के परिवृत्त की त्रिज्या है
$(A)$ $5$ $(B)$ $3\sqrt{3}$ $(C)$ $3\sqrt{2}$ $(D)$ $2\sqrt{3}$
$3.$ त्रिभुज $PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या है
$(A)$ $4$ $(B)$ $3$ $(C)$ $8/3$ $(D)$ $2$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

मान लीजिए $e_1$ और $e_2$ समीकरण $x^2 - ax + 2 = 0$ के दो भिन्न मूल हैं।  मान लीजिए समुच्चय $S_1 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ और } e_2 \text{ अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं} \} = (\alpha, \beta),$ और  $S_2 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ और } e_2 \text{ क्रमशः दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं} \} = (\gamma, \infty)।$ तो $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P\ (3, 4)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं,जो दीर्घवृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। $A$ और $B$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।