$X$-अक्ष के ऊपर वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ और परवलय $y^2 = 4x$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

यदि $e_1$,$e_2$ और $e_3$ शांकवों $y = x^2 - x + 3$,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3a^4} = 1$ और $a^2x^2 - 3a^4y^2 = 1$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है? (जहाँ $a > 1$)

$0 < \theta < \pi / 2$ के लिए,यदि अतिपरवलय $x^2 - y^2 \operatorname{cosec}^2 \theta = 5$ की उत्केंद्रता,दीर्घवृत्त $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta + y^2 = 5$ की उत्केंद्रता की $\sqrt{7}$ गुनी है,तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए:

परवलय $y^2 = 4x$ पर स्थित वह बिंदु/बिंदुएं जो वृत्त $x^2 + y^2 - 24y + 128 = 0$ के सबसे निकट हैं,हैं:

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ और वृत्त $x^2+y^2=16$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

किसी $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,मान लीजिए कि अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $e_{1}$ और $l_{1}$ हैं,और दीर्घवृत्त $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $e_{2}$ और $l_{2}$ हैं। यदि $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$ है,तो $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta$ का मान . . . . . . है।