यदि परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $P$ पर अभिलंब वक्र को पुनः बिंदु $Q$ पर मिलता है,और यदि $PQ$ तथा $Q$ पर अभिलंब $x$-अक्ष के साथ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ कोण बनाते हैं,तो $\tan \alpha (\tan \alpha + \tan \beta)$ का मान क्या है?

परवलय $y^2 = 4x$ और अतिपरवलय $xy = 2$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण है

$y^{2}=4x$ और $x^{2}+y^{2}=12$ के बीच उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर कोण है

स्तंभ $1, 2$ और $3$ में क्रमशः शांकव,स्पर्श रेखाओं के समीकरण और स्पर्श बिंदु दिए गए हैं।
(तालिका के लिए अंग्रेजी संस्करण देखें)
$(1)$ एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) पर $(\sqrt{3}, 1/2)$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{3}x+2y=4$ है। कौन सा संयोजन सही है?
$(2)$ यदि एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) की स्पर्श रेखा $y=x+8$ है और इसका स्पर्श बिंदु $(8, 16)$ है,तो कौन सा संयोजन सही है?
$(3)$ $a=\sqrt{2}$ के लिए,यदि एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) पर $(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा खींची जाती है,तो कौन सा संयोजन सही है?

बिंदु $P\ (3, 4)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं,जो दीर्घवृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। $A$ और $B$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ और दीर्घवृत्त $E : 3x^2 + 4y^2 = 12$ इस प्रकार हैं कि $H$ के नाभिलंब की लंबाई $E$ के नाभिलंब की लंबाई के बराबर है। यदि $e_H$ और $e_E$ क्रमशः $H$ और $E$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $12(e_H^2 + e_E^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।