Mix Examples-Conic Sections Questions in Hindi

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=7$ है।
उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \frac{3}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ को $\frac{x^{2}}{(12/5)^2} - \frac{y^{2}}{(\sqrt{\alpha}/5)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{\alpha}{25}$ है।
उत्केंद्रता $e_2 = \frac{\sqrt{144+\alpha}}{12}$ है।
नाभियाँ $(\pm \frac{\sqrt{144+\alpha}}{5}, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$\frac{\sqrt{144+\alpha}}{5} = 3 \Rightarrow \alpha = 81$ है।
अतः,$b^2 = \frac{81}{25}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \cdot (81/25)}{12/5} = \frac{27}{10}$ है।

(D) $C_{1}: \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{4m^{2} + 9}$ है।
$C_{2}: \frac{x^{2}}{42} - \frac{y^{2}}{143} = 1$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{42m^{2} - 143}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,$4m^{2} + 9 = 42m^{2} - 143$.
$38m^{2} = 152$ $\Rightarrow m^{2} = 4$ $\Rightarrow m = \pm 2$.
$m = 2$ के लिए,अचर पद $c^{2} = 4(4) + 9 = 25$,इसलिए $c = \pm 5$.
स्पर्शरेखा $T$ चौथे चतुर्थांश से नहीं गुजरती है,इसलिए हम $y = 2x + 5$ लेते हैं।
$C_{1}$ पर स्पर्श बिंदु $(x_{1}, y_{1})$,$\frac{xx_{1}}{4} + \frac{yy_{1}}{9} = 1$ द्वारा दिया जाता है। $2x - y = -5$ की तुलना $\frac{x_{1}}{4}x + \frac{y_{1}}{9}y = 1$ से करने पर,हमें $\frac{x_{1}/4}{2} = \frac{y_{1}/9}{-1} = \frac{1}{-5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x_{1} = -8/5$.
$C_{2}$ पर स्पर्श बिंदु $(x_{2}, y_{2})$,$\frac{xx_{2}}{42} - \frac{yy_{2}}{143} = 1$ द्वारा दिया जाता है। $2x - y = -5$ की तुलना $\frac{x_{2}}{42}x - \frac{y_{2}}{143}y = 1$ से करने पर,हमें $\frac{x_{2}/42}{2} = \frac{-y_{2}/143}{-1} = \frac{1}{-5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x_{2} = -84/5$.
अंत में,$|2x_{1} + x_{2}| = |2(-8/5) - 84/5| = |-16/5 - 84/5| = |-100/5| = 20$.

(B) अतिपरवलय $H$ समीकरण $\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{49} = 1$ द्वारा दिया गया है। इसके शीर्ष $(0, \pm 8)$ हैं।
चूंकि दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ बिंदु $(0, \pm 8)$ से गुजरता है,इसलिए $b^2 = 64$,यानी $b = 8$ है।
अतिपरवलय $H$ की उत्केंद्रता $e_H = \sqrt{1 + \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{113}{64}} = \frac{\sqrt{113}}{8}$ है।
दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता $e_E = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{64}}$ है।
दिया गया है कि $e_E \times e_H = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sqrt{1 - \frac{a^2}{64}} \times \frac{\sqrt{113}}{8} = \frac{1}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - \frac{a^2}{64}) \times \frac{113}{64} = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - \frac{a^2}{64} = \frac{16}{113}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a^2}{64} = 1 - \frac{16}{113} = \frac{97}{113}$,जिससे $a^2 = \frac{64 \times 97}{113}$ मिलता है।
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2a^2}{b} = \frac{2}{8} \times \frac{64 \times 97}{113} = \frac{1552}{113}$ है।
इसलिए,$113l = 1552$।

(B) अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।
परवलय के लिए,नाभि $(ae, 0)$ है और नियता $x = -ae$ है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $2ae$ है। परवलय के लिए यह दूरी $2p$ है,इसलिए $p = ae$ है।
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4p = 4ae$ है।
$H$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a}$ है।
दिया गया है $4ae = e \times \frac{2b^{2}}{a}$,जिससे $b^{2} = 2a^{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ $H$ पर स्थित है,$\frac{8}{a^{2}} - \frac{8}{b^{2}} = 1$ है। $b^{2} = 2a^{2}$ रखने पर,$a^{2} = 4$ और $b^{2} = 8$ प्राप्त होता है।
अतः $e = \sqrt{3}$ है।
परवलय का समीकरण $y^{2} = 4(ae)x = 8\sqrt{3}x$ है।
बिंदु $(3\sqrt{3}, -6\sqrt{2})$ की जाँच करने पर,$y^{2} = 72$ और $8\sqrt{3}x = 72$ प्राप्त होता है। अतः यह बिंदु परवलय पर स्थित है।

(D) अतिपरवलय $H: x^{2} - y^{2} = 1$ के लिए,$e_{H} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
दिया है $e_{E} = \frac{1}{e_{H}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $e_{E}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,हमारे पास $\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow a^{2} = 2b^{2}$.
रेखा $y = mx + K$,$H: x^{2} - y^{2} = 1$ की स्पर्शरेखा है यदि $K^{2} = a_{H}^{2}m^{2} - b_{H}^{2} = 1(\frac{5}{2}) - 1 = \frac{3}{2}$.
रेखा $y = mx + K$,$E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्शरेखा है यदि $K^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$.
$K^{2} = \frac{3}{2} = a^{2}(\frac{5}{2}) + b^{2}$ को बराबर करने पर.
$a^{2} = 2b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{3}{2} = (2b^{2})(\frac{5}{2}) + b^{2} = 5b^{2} + b^{2} = 6b^{2}$.
अतः,$b^{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ और $a^{2} = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$4(a^{2} + b^{2}) = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.

(B) परवलय $P: y^{2}=4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $(1, 0)$ है। चूँकि $L: y=mx+c$ एक नाभीय जीवा है,यह $(1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = m(1) + c$,जिससे $c = -m$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा $y = m(x-1)$ है।
अतिपरवलय $H: x^{2}-y^{2}=4$ है,अर्थात $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$। यहाँ $a^{2}=4, b^{2}=4$ है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ है।
$c = -m$ प्रतिस्थापित करने पर,$(-m)^{2} = 4m^{2} - 4$,इसलिए $m^{2} = 4m^{2} - 4$,जिसका अर्थ है $3m^{2} = 4$,या $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ($m>0$ होने के कारण)।
तब $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$। रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $M(x_{1}, y_{1})$ और $N(x_{2}, y_{2})$ प्राप्त करने के लिए $y = \frac{2}{\sqrt{3}}(x-1)$ को $y^{2}=4x$ में रखने पर:
$\frac{4}{3}(x-1)^{2} = 4x \implies (x-1)^{2} = 3x \implies x^{2}-2x+1 = 3x \implies x^{2}-5x+1 = 0$।
मूल $x_{1}, x_{2}$ हैं,इसलिए $x_{1}+x_{2}=5$ और $x_{1}x_{2}=1$ है।
$y$-निर्देशांक $y_{i} = \frac{2}{\sqrt{3}}(x_{i}-1)$ हैं।
चतुर्भुज $OMFN$ का क्षेत्रफल $\triangle OMF$ और $\triangle ONF$ के क्षेत्रफलों का योग है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{F} y_{1} - x_{F} y_{2}| = \frac{1}{2} |x_{F}| |y_{1}-y_{2}|$।
यहाँ $x_{F} = 2\sqrt{2}$ ($H$ की नाभि $(ae, 0) = (2\sqrt{2}, 0)$ है)।
$|y_{1}-y_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} |x_{1}-x_{2}| = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{25-4} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) (2\sqrt{7}) = 2\sqrt{14}$।

(C) परवलय $x^2=4ky$ है। नाभिलंब $BC$ रेखा $y=k$ है। $B$ और $C$ के निर्देशांक $(-2k, k)$ और $(2k, k)$ हैं।
चूंकि $BD=DE=EC$ और $BC=4k$,इसलिए $DE = \frac{4k}{3}$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $P$,$DE$ का मध्यबिंदु $(0, k)$ है।
दीर्घवृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ पर परवलय को स्पर्श करता है। माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ है।
यह $O(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{0}{a^2} + \frac{(-k)^2}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = k^2$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $BC$ (रेखा $y=k$) को $D$ और $E$ पर काटता है। $y=k$ रखने पर,$\frac{x^2}{a^2} = 1$,जिससे $x = \pm a$ मिलता है।
अतः,$D = (-a, k)$ और $E = (a, k)$। $DE = 2a = \frac{4k}{3}$ होने के कारण,$a = \frac{2k}{3}$ है।
चूंकि $a < b$,उत्केंद्रता $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ है।
अतः,$e = \frac{\sqrt{5}}{3}$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ $F_1 = (ae, 0)$ और $F_2 = (-ae, 0)$ हैं।
परवलय $x^2 = 4(y + b)$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(\pm 2, 1-b)$ हैं।
वर्ग के लिए,$2ae = 4 \Rightarrow ae = 2$ और $|1-b| = 4$ है।
$b=3$ लेने पर,$a^2 e^2 = a^2 - b^2$ $\Rightarrow 4 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$।

(B) दिया गया समीकरण $(y-ax-b)(bx^2+ay^2-ab)=0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $y-ax-b=0$ या $bx^2+ay^2-ab=0$ है।
$1$. $y=ax+b$ एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $a$ और $y$-अंतःखंड $b$ है।
$2$. $bx^2+ay^2=ab$ को $\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है (यह मानते हुए कि $a, b \neq 0$)।
यदि $a > 0$ और $b < 0$ है,तो समीकरण $\frac{x^2}{a} - \frac{y^2}{|b|} = 1$ हो जाता है,जो क्षैतिज रूप से खुलने वाले अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है।
यदि $a < 0$ और $b > 0$ है,तो समीकरण $-\frac{x^2}{|a|} + \frac{y^2}{b} = 1$ हो जाता है,जो लंबवत रूप से खुलने वाले अतिपरवलय को दर्शाता है।
दी गई आकृतियों को देखने पर,चित्र $2$ एक रेखा के साथ क्षैतिज रूप से खुलने वाले अतिपरवलय को दर्शाता है,जो उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ $a > 0$ और $b < 0$ है। अतः,चित्र $2$ सही निरूपण है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 24x$ है,इसलिए $4a = 24$,जिससे $a = 6$ प्राप्त होता है।
इस परवलय की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{6}{m}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए जीवा $AB$ का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
अतिपरवलय $xy = 2$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,जो $xh + yk = 2hk$ है।
रेखा $AB$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें बिंदु पथ $x^2 = -3y$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $4x = 3$ है।

(D) परवलय $y^2=3x$ के लिए,$P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $2y \frac{dy}{dx} = 3$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2y}$।
चूंकि स्पर्शरेखा रेखा $x+2y=1$ (ढाल $= -1/2$) के समानांतर है,हमारे पास $\frac{3}{2y_1} = -1/2$ है,जिससे $y_1 = -3$ प्राप्त होता है। $y^2=3x$ में मान रखने पर,$x_1 = 3$ मिलता है। अतः,$P = (3, -3)$।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ के लिए,$(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$ है।
$Q$ और $R$ पर स्पर्शरेखाएं रेखा $x-y=2$ (ढाल $= 1$) के लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल $-1$ है। अतः,$-\frac{x}{4y} = -1$,जिसका अर्थ है $x = 4y$।
$x=4y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $\frac{(4y)^2}{4} + y^2 = 1 \Rightarrow 4y^2 + y^2 = 1 \Rightarrow 5y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$।
तब $x = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$। अतः $Q = (\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ और $R = (-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_P(y_Q - y_R) + x_Q(y_R - y_P) + x_R(y_P - y_Q)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(\frac{1}{\sqrt{5}} - (-\frac{1}{\sqrt{5}})) + \frac{4}{\sqrt{5}}(-\frac{1}{\sqrt{5}} - (-3)) + (-\frac{4}{\sqrt{5}})(-3 - \frac{1}{\sqrt{5}})| = 3\sqrt{5}$.

(C) अतिपरवलय $2x^2 - 2y^2 = 1$ के लिए,इसे $\frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 1/2$ और $b^2 = 1/2$ है।
उत्केन्द्रता $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $e_E$,$e_H$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $e_E = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि दीर्घवृत्त और अतिपरवलय लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं,वे सहनाभि (confocal) हैं।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त के लिए,$ae_E = 1$. $e_E = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होने के कारण,$a \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$,इसलिए $a = \sqrt{2}$.
$e_E^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} = 1 - \frac{b^2}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $b^2 = 1$.
नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
नाभिलंब की लंबाई का वर्ग $(\sqrt{2})^2 = 2$ है।

(A) चूंकि बिंदु $P(3, \alpha)$ परवलय $y^2=12x$ पर स्थित है,इसलिए $\alpha^2 = 12(3) = 36$,जिससे $\alpha = \pm 6$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$ है। बिंदु $(3, \alpha)$ पर ढाल $m_1 = \frac{6}{\alpha}$ है।
रेखा $2x+2y=3$ की ढाल $m_2 = -1$ है। स्पर्शरेखा लंबवत है,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$,जिससे $\alpha = 6$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ है।
बिंदु $Q$ का मान $(5, 8)$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{9x}{5} + \frac{36y}{8} = 45$ अर्थात $2x + 5y - 50 = 0$ है।
बिंदु $(6, -4)$ से रेखा की दूरी $d = \frac{|2(6) + 5(-4) - 50|}{\sqrt{29}} = \frac{58}{\sqrt{29}}$ है।
दूरी का वर्ग $d^2 = \frac{3364}{29} = 116$ है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=9$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ है।
$e_1 e_2 = 1$ दिया गया है,इसलिए $e_2 = \frac{4}{5}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $(\pm 5, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a=5$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$e_2^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{16}{25} = 1 - \frac{b^2}{25}$ $\Rightarrow b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ है।
$y=2$ रखने पर,$\frac{x^2}{25} + \frac{4}{9} = 1$ $\Rightarrow x^2 = \frac{125}{9}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{5 \sqrt{5}}{3}$ प्राप्त होता है।
जीवा की लंबाई $\frac{5 \sqrt{5}}{3} - (-\frac{5 \sqrt{5}}{3}) = \frac{10 \sqrt{5}}{3}$ है।

(A) $y^2=3x^2$ को दोनों शांकव समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर.
प्रथम शांकव के लिए: $x^2+3x^2=4b$ $\Rightarrow 4x^2=4b$ $\Rightarrow x^2=b$.
द्वितीय शांकव के लिए: $\frac{x^2}{16}+\frac{3x^2}{b^2}=1 \Rightarrow \frac{b}{16}+\frac{3}{b}=1$.
$16b$ से गुणा करने पर,$b^2+48=16b \Rightarrow b^2-16b+48=0$.
गुणनखंड करने पर $(b-12)(b-4)=0$,अतः $b=12$ या $b=4$.
यदि $b=4$ है,तो शांकव $x^2+y^2=16$ और $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1$ हो जाते हैं,जो संपाती हैं। अतः,$b=12$.
$b=12$ के लिए,$x^2=12 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$ और $y^2=3(12)=36 \Rightarrow y = \pm 6$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\pm 2\sqrt{3}, \pm 6)$ हैं।
आयत के शीर्ष $(\pm 2\sqrt{3}, \pm 6)$ हैं,अतः इसकी चौड़ाई $4\sqrt{3}$ और ऊँचाई $12$ है।
क्षेत्रफल $= (4\sqrt{3}) \times 12 = 48\sqrt{3}$.
अभीष्ट मान $3\sqrt{3} \times (48\sqrt{3}) = 3 \times 48 \times 3 = 432$ है।

(C) अतिपरवलय $x^2 - y^2 \operatorname{cosec}^2 \theta = 5$ को $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \sin^2 \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \sin^2 \theta}$ है।
दीर्घवृत्त $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta + y^2 = 5$ को $\frac{x^2}{5 \sin^2 \theta} + \frac{y^2}{5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी उत्केंद्रता $e_c = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta$ है।
दिया गया है कि $e_h = \sqrt{7} e_c$,इसलिए:
$\sqrt{1 + \sin^2 \theta} = \sqrt{7} \cos \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + \sin^2 \theta = 7 \cos^2 \theta = 7(1 - \sin^2 \theta)$.
$8 \sin^2 \theta = 6 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4}$.
चूंकि $0 < \theta < \pi / 2$,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का मान $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
दिया गया है $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $e^2 = \frac{1}{2}$।
अतः,$1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \sqrt{14}$ है।
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ से,$b^2 = \frac{a^2}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे नाभिलंब के सूत्र में रखने पर: $\frac{2(a^2/2)}{a} = \sqrt{14} \Rightarrow a = \sqrt{14}$।
तब $b^2 = \frac{14}{2} = 7$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_H$ का मान $e_H^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ रखने पर,$e_H^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(C, B, D) $1.$ $x^2+y^2=9$ और $y^2=8x$ को हल करने पर,हमें $x=1$ प्राप्त होता है,अतः $y=\pm 2\sqrt{2}$। बिंदु $P(1, 2\sqrt{2})$ और $Q(1, -2\sqrt{2})$ हैं।
$P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा $x+2\sqrt{2}y=9$ है,जो $x$-अक्ष को $R(9, 0)$ पर काटती है।
$P$ पर परवलय की स्पर्श रेखा $2\sqrt{2}y=4(x+1)$ है,जो $x$-अक्ष को $S(-1, 0)$ पर काटती है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= 18\sqrt{2}$ और $\triangle PQS$ का क्षेत्रफल $= 2\sqrt{2}$ है। अनुपात $1:9$ है (विकल्पों के अनुसार $C$ चुना गया है)।
$2.$ $\triangle PRS$ के परिवृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x+2\sqrt{2}y-9=0$ प्राप्त होता है। इसकी त्रिज्या $\sqrt{16+2+9} = 3\sqrt{3}$ है।
$3.$ $\triangle PQR$ के लिए,भुजाएँ $4\sqrt{2}, 6\sqrt{2}, 6\sqrt{2}$ हैं। अर्ध-परिमाप $s=8\sqrt{2}$ और क्षेत्रफल $\Delta=18\sqrt{2}$ है। अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = 2.25$ है,जो विकल्प $D$ के निकट है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $b^2 = a^2(1 - e^2)$ $\Rightarrow 1 = 4(1 - e^2)$ $\Rightarrow e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{3}, 0)$ हैं।
चूंकि $P$ और $Q$ नाभिलंब के अंतिम बिंदु हैं और $y < 0$ है,इसलिए $x = \pm \sqrt{3}$ है। दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $3 + 4y^2 = 4 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ और $Q = (-\sqrt{3}, -\frac{1}{2})$ हैं।
नाभिलंब $PQ$ की लंबाई $2\sqrt{3}$ है।
परवलय के लिए,नाभिलंब की लंबाई $4a' = 2\sqrt{3} \Rightarrow a' = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$PQ$ का मध्य बिंदु $R = (0, -\frac{1}{2})$ है। परवलय का शीर्ष $(0, y_v)$ है,जहाँ $y_v = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
स्थिति $1$: शीर्ष $(0, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ है। समीकरण $x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: शीर्ष $(0, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ है। समीकरण $x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही समीकरण $B$ और $C$ हैं।

(A) $(p)$ रेखा $hx+ky=1$ वृत्त $x^2+y^2=4$ को स्पर्श करती है यदि मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $2$ के बराबर हो।
$\frac{|h(0)+k(0)-1|}{\sqrt{h^2+k^2}}=2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}=2 \Rightarrow h^2+k^2=\frac{1}{4}$। यह एक वृत्त है।
$(q)$ $|z+2|-|z-2|=\pm 3$। यह दो स्थिर बिंदुओं $(\pm 2, 0)$ से दूरियों का अंतर अचर $3$ दर्शाता है। चूँकि $3 < 4$ है,यह एक अतिपरवलय है।
$(r)$ $x=\sqrt{3}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right), y=\frac{2 t}{1+t^2}$। माना $t=\tan \theta$। तब $x=\sqrt{3}\cos 2\theta$ और $y=\sin 2\theta$। अतः,$\frac{x^2}{3}+y^2=1$,जो एक दीर्घवृत्त है।
$(s)$ परवलय के लिए उत्केंद्रता $e=1$ और अतिपरवलय के लिए $e>1$ होती है। अतः,$1 \leq e < \infty$ परवलय और अतिपरवलय दोनों को समाहित करता है।
$(t)$ माना $z=x+iy$। $\operatorname{Re}(z+1)^2 = \operatorname{Re}((x+1+iy)^2) = (x+1)^2-y^2$। दिया है कि $(x+1)^2-y^2 = x^2+y^2+1 \Rightarrow x^2+2x+1-y^2 = x^2+y^2+1 \Rightarrow 2x = 2y^2 \Rightarrow x=y^2$। यह एक परवलय है।
सुमेलन: $A-p, B-s, t, C-r, D-q, s$।

(C) $1.$ सही विकल्प $A \left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$। यहाँ $a^2=9, b^2=8$। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
शीर्ष $(0,0)$ और नाभि $F_2(1,0)$ वाले परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $y^2=4x$ रखने पर: $\frac{x^2}{9} + \frac{4x}{8} = 1 \Rightarrow 2x^2 + 9x - 18 = 0 \Rightarrow (2x-3)(x+6)=0$। चूँकि $x>0$,इसलिए $x=\frac{3}{2}$। तब $y^2 = 4(\frac{3}{2}) = 6$,अतः $y = \pm \sqrt{6}$। इस प्रकार $M = (\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ और $N = (\frac{3}{2}, -\sqrt{6})$।
$\triangle F_1 M N$ में,$M$ से $F_1 N$ पर शीर्षलंब की ढाल $m_1 = \frac{\sqrt{6} - 0}{3/2 - (-1)} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$। शीर्षलंब की ढाल $m_{alt} = -\frac{1}{-2\sqrt{6}/5} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$।
$M$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y - \sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2})$। लंबकेंद्र $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $y=0$ रखने पर: $-\sqrt{6} = \frac{5}{2\sqrt{6}}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow -12 = 5x - 7.5 \Rightarrow 5x = -4.5 \Rightarrow x = -\frac{9}{10}$।
$2.$ $M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा $\frac{x}{6} + \frac{y\sqrt{6}}{8} = 1$ है। $y=0$ के लिए $x=6$,अतः $R(6,0)$।
$M(\frac{3}{2}, \sqrt{6})$ पर परवलय का अभिलंब: स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2}{\sqrt{6}}$ है,अतः अभिलंब की ढाल $-\frac{\sqrt{6}}{2}$ है। समीकरण: $y - \sqrt{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2}(x - \frac{3}{2})$। $y=0$ के लिए $x = \frac{7}{2}$। अतः $Q(\frac{7}{2}, 0)$।
क्षेत्रफल $\triangle MQR = \frac{1}{2} \times |6 - 3.5| \times \sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$।
चतुर्भुज $MF_1NF_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$।
अनुपात $= \frac{5\sqrt{6}/4}{2\sqrt{6}} = \frac{5}{8}$।

(A) परवलय $y^2 = 12x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{3}{m}$ है।
इस रेखा के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,इसे $c^2 = a^2m^2 + b^2$ शर्त को पूरा करना होगा,जहाँ $c = \frac{3}{m}$,$a^2 = 6$,और $b^2 = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{3}{m})^2 = 6m^2 + 3 \implies \frac{9}{m^2} = 6m^2 + 3 \implies 3 = 2m^4 + m^2 \implies 2m^4 + m^2 - 3 = 0$ है।
मान लीजिए $u = m^2$,तो $2u^2 + u - 3 = 0 \implies (2u + 3)(u - 1) = 0$ है। चूँकि $u = m^2 > 0$,इसलिए $m^2 = 1$,जिसका अर्थ है $m = \pm 1$ है।
स्पर्श रेखाएँ $y = x + 3$ और $y = -x - 3$ हैं। दोनों $x$-अक्ष पर $(-3, 0)$ पर मिलती हैं। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
$T_1: y = x + 3$ के लिए,$P$ पर स्पर्श बिंदु $A_1(3, 6)$ है और $E$ पर $A_2(-2, 1)$ है।
$T_2: y = -x - 3$ के लिए,$P$ पर स्पर्श बिंदु $A_4(3, -6)$ है और $E$ पर $A_3(-2, -1)$ है।
चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएँ $A_1 A_4$ (लंबाई $6 - (-6) = 12$) और $A_2 A_3$ (लंबाई $1 - (-1) = 2$) हैं। ऊँचाई $x = 3$ और $x = -2$ के बीच की दूरी है,जो $3 - (-2) = 5$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (12 + 2) \times 5 = \frac{1}{2} \times 14 \times 5 = 35$ वर्ग इकाई है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

(C) $(1)$ बिंदु $(\sqrt{3}, 1/2)$ दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=4$ पर स्थित है,जो $x^2+a^2y^2=a^2$ है जहाँ $a=2$ है। स्पर्श रेखा $\sqrt{3}x+2y=4$ की ढाल $m=-\sqrt{3}/2$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\sqrt{a^2m^2+1}$ है। अतः,$(II)(iv)(R)$ सही संयोजन है।
$(2)$ बिंदु $(8, 16)$ परवलय $y^2=4ax$ पर स्थित है। $y^2=4ax$ के लिए,$16^2=4a(8) \implies 256=32a \implies a=8$ है। स्पर्श रेखा $y=x+8$ की ढाल $m=1$ है। समीकरण $my=m^2x+a \implies y=x+8$ है। स्पर्श बिंदु $(a/m^2, 2a/m) = (8, 16)$ है। अतः,$(III)(i)(P)$ सही संयोजन है।
$(3)$ $a=\sqrt{2}$ के लिए,बिंदु $(-1, 1)$ $x^2+y^2=a^2$ पर स्थित है। $x^2+y^2=2$ पर $(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा $-x+y=2 \implies y=x+2$ है। $y=mx+a\sqrt{m^2+1}$ के साथ तुलना करने पर,$m=1$ और $a\sqrt{m^2+1} = 2$ प्राप्त होता है। स्पर्श बिंदु $(-ma/\sqrt{m^2+1}, a/\sqrt{m^2+1}) = (-1, 1)$ है। अतः,$(I)(ii)(Q)$ सही संयोजन है।

(D) दिया गया अतिपरवलय: $2x^2 - 2y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 1/2, b^2 = 1/2$. उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \frac{1}{e_h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। चूँकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2 = 2b^2$.
दीर्घवृत्त का समीकरण: $x^2 + 2y^2 = 2b^2$.
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखाओं के ढाल का गुणनफल $-1$ होता है।
अतिपरवलय के लिए: $4x - 4y y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.
दीर्घवृत्त के लिए: $2x + 4y y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{2y}$.
गुणनफल: $(\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{2y_0}) = -1 \Rightarrow x_0^2 = 2y_0^2$.
$x_0^2 = 2y_0^2$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $2(2y_0^2) - 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = 1/2$ और $x_0^2 = 1$.
$(x_0^2, y_0^2) = (1, 1/2)$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $1 + 2(1/2) = 2b^2$ $\Rightarrow 2b^2 = 2$ $\Rightarrow b^2 = 1$.
अतः,$a^2 = 2(1) = 2$. समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(A) परवलय $y^2 = 4 \lambda x$ है। नाभिलंब का अंतिम बिंदु $P(\lambda, 2 \lambda)$ है।
परवलय की स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 1$ प्राप्त होती है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{b^2}{2a^2}$ प्राप्त होती है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = 2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{\lambda^2}{a^2} + \frac{4 \lambda^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{b^2}{a^2} = 2$ रखने पर,$a^2 = 3 \lambda^2$ और $b^2 = 6 \lambda^2$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(D) परवलय $y^2=8x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{2}{m}$ है।
वृत्त $x^2+y^2=2$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx-y+\frac{2}{m}=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\left|\frac{2/m}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{2}$ $\Rightarrow m^2=1$ $\Rightarrow m=\pm 1$.
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y=x+2$ और $y=-x-2$ हैं।
वृत्त पर स्पर्श बिंदु $P=(-1, 1)$ और $Q=(-1, -1)$ हैं।
परवलय पर स्पर्श बिंदु $R=(2, 4)$ और $S=(2, -4)$ हैं।
चतुर्भुज $PQRS$ एक समलंब चतुर्भुज है।
$PQ = 2$,$RS = 8$ और ऊँचाई $h = 3$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(2+8) \times 3 = 15$.

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{2}{3}, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं। अतः $f_1 = 2$ और $f_2 = -2$ है।
परवलय $P_1$ का शीर्ष $(0,0)$ और नाभि $(f_1, 0) = (2, 0)$ है,इसलिए इसका समीकरण $y^2 = 8x$ है।
परवलय $P_2$ का शीर्ष $(0,0)$ और नाभि $(2f_2, 0) = (-4, 0)$ है,इसलिए इसका समीकरण $y^2 = -16x$ है।
$P_1$ की स्पर्श रेखा $T_1$,$(-4, 0)$ से गुजरती है। $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = m_1x + \frac{a}{m_1}$ है। यहाँ $a=2$,अतः $y = m_1x + \frac{2}{m_1}$ है।
$(-4, 0)$ रखने पर: $0 = -4m_1 + \frac{2}{m_1}$ $\Rightarrow m_1^2 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{m_1^2} = 2$ है।
$P_2$ की स्पर्श रेखा $T_2$,$(2, 0)$ से गुजरती है। $y^2 = -4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = m_2x - \frac{a}{m_2}$ है। यहाँ $a=4$,अतः $y = m_2x - \frac{4}{m_2}$ है।
$(2, 0)$ रखने पर: $0 = 2m_2 - \frac{4}{m_2} \Rightarrow m_2^2 = 2$ है।
अतः,$\frac{1}{m_1^2} + m_2^2 = 2 + 2 = 4$ है।

(C) दीर्घवृत्त $E$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,इसलिए नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2\sqrt{3} \Rightarrow ae = \sqrt{3}$ है।
अतिपरवलय $H$ के लिए,नाभियाँ $(\pm Ae', 0)$ हैं,इसलिए नाभियों के बीच की दूरी $2Ae' = 2\sqrt{3} \Rightarrow Ae' = \sqrt{3}$ है।
अतः,$ae = Ae' \Rightarrow \frac{e}{e'} = \frac{A}{a}$ है।
दिया है $\frac{e}{e'} = \frac{1}{3}$,तो $\frac{A}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 3A$ है।
दिया है $a - A = 2$,$a = 3A$ प्रतिस्थापित करने पर $3A - A = 2$ $\Rightarrow 2A = 2$ $\Rightarrow A = 1$ और $a = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $ae = \sqrt{3}$,$3e = \sqrt{3} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। तब $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - \frac{1}{3}) = 9(\frac{2}{3}) = 6$ है।
चूंकि $Ae' = \sqrt{3}$,$1 \cdot e' = \sqrt{3} \Rightarrow e' = \sqrt{3}$ है। तब $B^2 = A^2((e')^2 - 1) = 1(3 - 1) = 2$ है।
$E$ के नाभिलंब की लंबाई $L_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(6)}{3} = 4$ है।
$H$ के नाभिलंब की लंबाई $L_H = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{1} = 4$ है।
उनके नाभिलंबों की लंबाइयों का योग $4 + 4 = 8$ है।

(C) माना वृत्त $C$ का केंद्र $(\alpha, 0)$ है जहाँ $\alpha > 0$ है। चूँकि वृत्त रेखा $x - y + 1 = 0$ को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r$ केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी है:
$r = \left| \frac{\alpha - 0 + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{\alpha + 1}{\sqrt{2}}$
अतः,$r^2 = \frac{(\alpha + 1)^2}{2} \quad \dots(1)$
वृत्त रेखा $3x - 2y + 1 = 0$ पर $L = \frac{4}{\sqrt{13}}$ लंबाई की जीवा काटता है। केंद्र $(\alpha, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d$ है:
$d = \left| \frac{3\alpha - 2(0) + 1}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} \right| = \frac{3\alpha + 1}{\sqrt{13}}$
संबंध $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ का उपयोग करने पर:
$r^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2}{13} + \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13} \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{(\alpha + 1)^2}{2} = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13}$
$13(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 2(9\alpha^2 + 6\alpha + 1 + 4)$
$13\alpha^2 + 26\alpha + 13 = 18\alpha^2 + 12\alpha + 10$
$5\alpha^2 - 14\alpha - 3 = 0$
$(5\alpha + 1)(\alpha - 3) = 0$
चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $\alpha = 3$ है। तब $r^2 = \frac{(3 + 1)^2}{2} = 8$,अतः $r = 2\sqrt{2}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभि $(\alpha, 0) = (3, 0)$ है,इसलिए $ae = 3$ है। अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2r = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{2}$ और $a^2 = 8$ है।
चूँकि $a^2e^2 = 9$ है,इसलिए $8e^2 = 9$,जिससे $e^2 = \frac{9}{8}$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 8(\frac{9}{8} - 1) = 8(\frac{1}{8}) = 1$ है।
इस प्रकार,$2a^2 + 3b^2 = 2(8) + 3(1) = 16 + 3 = 19$ है।

(D) दिया है $x = 3 \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = 3 \left( \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} \right)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x(1 - \sqrt{3} \tan \theta) = 3 \tan \theta + 3\sqrt{3}$ $\Rightarrow x - 3\sqrt{3} = \tan \theta (3 + \sqrt{3}x)$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \dots (1)$.
दिया है $y = 2 \tan \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \left( \frac{\tan \theta + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{\tan \theta}{\sqrt{3}}} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3} \tan \theta + 1}{\sqrt{3} - \tan \theta} \right)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y(\sqrt{3} - \tan \theta) = 2\sqrt{3} \tan \theta + 2 \dots (2)$.
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y \left( \sqrt{3} - \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) = 2\sqrt{3} \left( \frac{x - 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) + 2$.
$y \left( \frac{3\sqrt{3} + 3x - x + 3\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}x} \right) = \frac{2\sqrt{3}x - 18 + 6 + 2\sqrt{3}x}{3 + \sqrt{3}x}$.
$y(2x + 6\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}x - 12 \Rightarrow 2xy + 6\sqrt{3}y = 4\sqrt{3}x - 12$.
$2$ से विभाजित करने पर: $xy - 2\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}y + 6 = 0$.
$xy + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ से तुलना करने पर,$\alpha = -2\sqrt{3}$,$\beta = 3\sqrt{3}$,$\gamma = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (-2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 + (6)^2 = 12 + 27 + 36 = 75$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ के लिए,चूंकि $b < 5$,मुख्य अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है। अतः,$e_1^2 = 1 - \frac{b^2}{25}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$e_2^2 = 1 + \frac{b^2}{16}$ है।
दिया है $e_1 e_2 = 1$,इसलिए $e_1^2 e_2^2 = 1$ है।
$(1 - \frac{b^2}{25})(1 + \frac{b^2}{16}) = 1$ है।
$1 + \frac{b^2}{16} - \frac{b^2}{25} - \frac{b^4}{400} = 1$ है।
$\frac{9b^2}{400} = \frac{b^4}{400} \Rightarrow b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(0, \pm ae_1) = (0, \pm \sqrt{25-9}) = (0, \pm 4)$ हैं।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \sqrt{16+9}, 0) = (\pm 5, 0)$ हैं।
$(\pm 5, 0)$ और $(0, \pm 4)$ से गुजरने वाला दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
इसकी उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।

(B) दिए गए वक्र $C_1: x^2-4y^2=2$ और $C_2: 8x^2+my^2=40$ हैं।
$C_1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 8y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y} = m_1$.
$C_2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $16x + 2my \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{my} = m_2$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय हैं,$m_1 \times m_2 = -1$.
$(\frac{x}{4y}) \times (-\frac{8x}{my}) = -1 \implies \frac{8x^2}{4my^2} = 1 \implies 2x^2 = my^2$.
$C_1$ से,$x^2 = 2 + 4y^2$. इस मान को शर्त में रखने पर: $2(2 + 4y^2) = my^2 \implies 4 + 8y^2 = my^2 \implies (m-8)y^2 = 4$.
वक्र बिंदु $(x, y)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए समीकरणों को हल करने पर: $x^2 - 4y^2 = 2$ और $8x^2 + my^2 = 40$.
पहले समीकरण को $8$ से गुणा करने पर: $8x^2 - 32y^2 = 16$.
दूसरे से घटाने पर: $(m+32)y^2 = 24 \implies y^2 = \frac{24}{m+32}$.
$y^2$ का मान $x^2 = 2 + 4y^2$ में रखने पर: $x^2 = 2 + \frac{96}{m+32} = \frac{2m+160}{m+32}$.
$2x^2 = my^2$ में रखने पर: $2(\frac{2m+160}{m+32}) = m(\frac{24}{m+32}) \implies 4m + 320 = 24m \implies 20m = 320 \implies m = 16$.

(D) मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्र $y^2 = 6x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 6$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y_1}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m_1 = \frac{3}{y_1}$ है।
वक्र $9x^2 + by^2 = 16$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{9x_1}{by_1}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m_2 = -\frac{9x_1}{by_1}$ है।
चूंकि वक्र समकोण पर काटते हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$,जिसका अर्थ है $(\frac{3}{y_1}) \times (-\frac{9x_1}{by_1}) = -1$,अतः $\frac{27x_1}{by_1^2} = 1$। चूंकि $y_1^2 = 6x_1$,इसलिए $\frac{27x_1}{b(6x_1)} = 1$,जिसे सरल करने पर $\frac{27}{6b} = 1$,अतः $b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र $y^2=6x$ $(i)$ और $9x^2+by^2=16$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$।
$(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{by}$।
चूँकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,उनके स्पर्श रेखाओं की प्रवणता का गुणनफल $-1$ होगा:
$(\frac{3}{y}) \times (-\frac{9x}{by}) = -1$
$\frac{27x}{by^2} = 1 \Rightarrow by^2 = 27x$।
इस समीकरण में $y^2 = 6x$ रखने पर:
$b(6x) = 27x \Rightarrow 6b = 27 \Rightarrow b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$।

(D) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{81}=\frac{1}{25}$ है।
मानक रूप में: $\frac{x^{2}}{144/25} - \frac{y^{2}}{81/25} = 1$.
यहाँ,$a^{2} = \frac{144}{25}$ और $b^{2} = \frac{81}{25}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए,$a^{2} = 16$ है। मान लीजिए इसकी उत्केंद्रता $e'$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm 4e', 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$4e' = 3 \Rightarrow e' = \frac{3}{4}$.
दीर्घवृत्त के लिए $e'^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{3}{4})^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{16} \Rightarrow \frac{9}{16} = 1 - \frac{b^{2}}{16}$.
$\frac{b^{2}}{16} = \frac{7}{16} \Rightarrow b^{2} = 7$.

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (जहाँ $a > b$) के लिए,उत्केंद्रता $e_{1}$ का मान $e_{1}^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_{2}$ का मान $e_{2}^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ होता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = (1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}) + (1 + \frac{b^{2}}{a^{2}})$.
अतः,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 1 + 1 = 2$.

(A) दिया गया परवलय $y^{2}=8x$ है,इसलिए $4a=8 \Rightarrow a=2$ है।
परवलय की कोई भी स्पर्श रेखा $y=mx+\frac{a}{m}$ के रूप में होती है,जो $y=mx+\frac{2}{m}$ या $mx-y+\frac{2}{m}=0$ है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{2}$) की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(0)-(0)+\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}$
$\frac{2}{|m|\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4}{m^{2}(m^{2}+1)}=2 \Rightarrow m^{2}(m^{2}+1)=2$
$m^{4}+m^{2}-2=0$
$(m^{2}+2)(m^{2}-1)=0$
चूंकि $m$ वास्तविक है,इसलिए $m^{2}=1 \Rightarrow m=\pm 1$।
$m=1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y=x+2$ है।
$m=-1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y=-x-2$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ है।
यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=3$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_{1}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ है।
दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ है।
यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=3$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_{2}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ है।
उत्केंद्रताओं के वर्गों का योग $e_{1}^{2}+e_{2}^{2} = (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{7}}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = \frac{8}{4} = 2$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=4$ है।
उत्केंद्रता $e_1$ के लिए $b^2 = a^2(1-e_1^2)$,इसलिए $4 = 16(1-e_1^2)$,जिससे $1-e_1^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $e_1^2 = \frac{3}{4}$,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
नाभियाँ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\pm 2\sqrt{3}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ के लिए,$A^2=a^2$ और $B^2=9$ है।
उत्केंद्रता $e_2$ के लिए $B^2 = A^2(e_2^2-1)$,इसलिए $9 = a^2(e_2^2-1) = a^2 e_2^2 - a^2$।
नाभियाँ $(\pm A e_2, 0) = (\pm a e_2, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$a e_2 = 2\sqrt{3}$,इसलिए $a^2 e_2^2 = 12$।
अतिपरवलय के समीकरण में मान रखने पर: $9 = 12 - a^2$।
अतः,$a^2 = 3$,जिसका अर्थ है $a = \sqrt{3}$।

(C) दिए गए वक्रों के समीकरण हैं:
$y^{2}=4x$ $(i)$
$x^{2}+y^{2}=12$ (ii)
सबसे पहले,$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^{2}+4x=12 \Rightarrow x^{2}+4x-12=0$
$(x+6)(x-2)=0$
चूंकि $y^{2}=4x$,इसलिए $x \ge 0$ होना चाहिए,अतः $x=2$.
$x=2$ के लिए,$y^{2}=8 \Rightarrow y=\pm 2\sqrt{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2\sqrt{2})$ और $(2, -2\sqrt{2})$ हैं।
अब,अवकलन करके ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ ज्ञात करें:
$(i)$ के लिए: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow m_{1} = \frac{2}{y}$.
(ii) के लिए: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_{2} = -\frac{x}{y}$.
बिंदु $(2, 2\sqrt{2})$ पर:
$m_{1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $m_{2} = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 2\sqrt{2}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(A) परवलय $y^2=4x$ के लिए $(t^2, 2t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt = x + t^2$ है,जिसे $y = \frac{1}{t}x + t$ के रूप में लिखा जा सकता है ... $(i)$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2+5y^2=20$ है,या $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$.
दीर्घवृत्त पर बिंदु $(x_1, y_1) = (\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
यहाँ $a^2=5$ और $b^2=4$ है,इसलिए $\frac{5x}{\sqrt{5} \cos \theta} - \frac{4y}{2 \sin \theta} = 5 - 4 = 1$.
$\sqrt{5} \sec \theta \cdot x - 2 \csc \theta \cdot y = 1$.
$y$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $2 \csc \theta \cdot y = \sqrt{5} \sec \theta \cdot x - 1$ $\Rightarrow y = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan \theta \cdot x - \frac{1}{2} \sin \theta$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{t} = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan \theta$ ... $(iii)$
$t = -\frac{1}{2} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = -2t$ ... $(iv)$
$(iv)$ से,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - 4t^2$,इसलिए $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{4t^2}{1-4t^2}$.
$(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{t^2} = \frac{5}{4} \tan^2 \theta = \frac{5}{4} \cdot \frac{4t^2}{1-4t^2} = \frac{5t^2}{1-4t^2}$.
$1 - 4t^2 = 5t^4 \Rightarrow 5t^4 + 4t^2 = 1$.

(A) माना प्रतिच्छेद बिंदु $(x_0, y_0)$ है। परवलय $y^2=4ax$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2a}{y_0}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ है।
चूंकि वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 m_2 = -1$,अतः $\left(\frac{2a}{y_0}\right) \left(-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\right) = -1 \Rightarrow \frac{2b^2 x_0}{a y_0^2} = 1$.
$y_0^2 = 4ax_0$ रखने पर,$\frac{2b^2 x_0}{a(4ax_0)} = 1$ $\Rightarrow \frac{b^2}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 2a^2$.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $a^2 = b^2(1-e^2)$ $\Rightarrow a^2 = 2a^2(1-e^2)$ $\Rightarrow 1 = 2(1-e^2)$ $\Rightarrow 2e^2 = 1$.

(A) बिंदु $(\lambda, \lambda-2)$ दीर्घवृत्त $4x^2+9y^2=36$ के अंदर स्थित है।
दीर्घवृत्त समीकरण में बिंदु रखने पर:
$4\lambda^2 + 9(\lambda-2)^2 < 36$
$4\lambda^2 + 9(\lambda^2 - 4\lambda + 4) < 36$
$13\lambda^2 - 36\lambda < 0$
$\lambda(13\lambda - 36) < 0$
अतः,$0 < \lambda < \frac{36}{13}$ $(i)$.
बिंदु $(\lambda, \lambda-2)$ परवलय $y^2=x$ के बाहर स्थित है।
परवलय की शर्त $y^2 - x > 0$ में बिंदु रखने पर:
$(\lambda-2)^2 - \lambda > 0$
$\lambda^2 - 5\lambda + 4 > 0$
$(\lambda-4)(\lambda-1) > 0$
अतः,$\lambda \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$ (ii).
$(i)$ और (ii) का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$0 < \lambda < 1$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = \frac{25}{4}$ है,इसलिए $r^2 = \frac{25}{4}$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ है,इसलिए $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
रेखा $y = mx + c$ के वृत्त की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = r^2(1 + m^2) = \frac{25}{4}(1 + m^2)$ है।
उसी रेखा के दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2 = 9m^2 + 4$ है।
$c^2$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{25}{4}(1 + m^2) = 9m^2 + 4$
$25 + 25m^2 = 36m^2 + 16$
$11m^2 = 9$
$m^2 = \frac{9}{11}$.

(D) दीर्घवृत्त $3x^2+4y^2=19$ के बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $3x(1) + 4y(2) = 19$ है,जो $3x + 8y = 19$ के रूप में सरल होता है।
इसे $x = \frac{19-8y}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा परवलय $y^2 = kx$ की भी स्पर्श रेखा है,इसलिए हम $x$ का मान परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y^2 = k \left( \frac{19-8y}{3} \right)$
$3y^2 = 19k - 8ky$
$3y^2 + 8ky - 19k = 0$.
चूंकि रेखा स्पर्श रेखा है,इसलिए $y$ में द्विघात समीकरण के मूल समान होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका विविक्तकर $D = 0$ है।
$D = (8k)^2 - 4(3)(-19k) = 0$
$64k^2 + 228k = 0$
$4k(16k + 57) = 0$.
चूंकि $k \neq 0$,इसलिए $16k + 57 = 0$,अतः $k = \frac{-57}{16}$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है,अतः अभिलंब $\frac{4x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 1$ है।
इस अभिलंब की ढाल $m = \frac{4y_1}{3x_1}$ है।
यह रेखा अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ की स्पर्श रेखा है।
रेखा $y = mx + c$ के $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = A^2 m^2 - B^2$ है।
अभिलंब को $y = \frac{4y_1}{3x_1} x - \frac{y_1}{3}$ के रूप में लिखने पर,$m = \frac{4y_1}{3x_1}$ और $c = -\frac{y_1}{3}$ प्राप्त होता है।
शर्त में मान रखने पर: $(-\frac{y_1}{3})^2 = 4(\frac{4y_1}{3x_1})^2 - 3$।
चूंकि $(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{3} = 1$,इसलिए $x_1^2 = \frac{4(3 - y_1^2)}{3}$।
यह मान रखने पर $m^2 = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त: $4x^2 + 9y^2 = 36$,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$e^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ है।
नाभियाँ $(\pm \sqrt{5}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2$ है,इसलिए $a_h = 1$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{b_h^2} = 1$ है।
समनाभी होने के कारण,$a_h^2 + b_h^2 = 5 \implies 1 + b_h^2 = 5 \implies b_h^2 = 4$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - y^2 = 4$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $8x^2 + 8y^2 = 40 \implies x^2 + y^2 = 5$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}}$.
अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1$ को $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $e_2 = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
दिया गया है कि $e_1 \cdot e_2 = 1$,इसलिए $\sqrt{1 - \frac{b^2}{16}} \cdot \frac{5}{4} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - \frac{b^2}{16}) \cdot \frac{25}{16} = 1$.
$1 - \frac{b^2}{16} = \frac{16}{25}$.
$\frac{b^2}{16} = \frac{9}{25}$.
$b^2 = \frac{144}{25}$.