एक दीर्घवृत्त और एक अतिपरवलय का केंद्र मूलबिंदु पर समान है,नाभियाँ समान हैं और एक की लघु अक्ष दूसरे की संयुग्मी अक्ष के समान है। यदि $e_1$ और $e_2$ उनकी उत्केंद्रताएँ हैं,तो $e_1^{-2} + e_2^{-2}$ का मान क्या होगा?

यदि $e$ और $e^{\prime}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ,अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ की नाभियों के समान हैं,तो $b^2 = \dots$

यदि अतिपरवलय $xy = -1$ की एक स्पर्श रेखा परवलय $y^2 = 8x$ की भी स्पर्श रेखा है,तो उस स्पर्श रेखा का समीकरण है

एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ के शीर्षों से होकर गुजरता है। दीर्घवृत्त $E$ के दीर्घ और लघु अक्ष,अतिपरवलय $H$ के अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों के साथ संपाती हैं। यदि $E$ और $H$ की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है,और $l$ दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है,तो $113l$ का मान $....$ है।

मान लीजिए $a, b$ और $\lambda$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $P$ परवलय $y^2 = 4 \lambda x$ के नाभिलंब का एक अंतिम बिंदु है,और मान लीजिए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ बिंदु $P$ से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $P$ पर परवलय और दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या है?