यदि PQ अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^ | vedclass

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Question

(D) माना $P(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ और $Q(a \sec 	heta, -b 	an 	heta)$ द्वि-कोटि के अंतिम बिंदु हैं।$O(0, 0)$ अतिपरवलय का केंद्र है।द्वि-कोट

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$e > 2/\sqrt{3}$

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(D) माना $P(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ और $Q(a \sec 	heta, -b 	an 	heta)$ द्वि-कोटि के अंतिम बिंदु हैं।$O(0, 0)$ अतिपरवलय का केंद्र है।द्वि-कोटि की लंबाई $PQ = 2b 	an 	heta$ है।चूँकि $	riangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,$OP = OQ = PQ$ होगा।$OP^2 = (a \sec 	heta)^2 + (b 	an 	heta)^2 = a^2 \sec^2 	heta + b^2 	an^2 	heta$।साथ ही,$PQ^2 = (2b 	an 	heta)^2 = 4b^2 	an^2 	heta$।$OP^2 = PQ^2$ को बराबर करने पर,$a^2 \sec^2 	heta + b^2 	an^2 	heta = 4b^2 	an^2 	heta$।$a^2 \sec^2 	heta = 3b^2 	an^2 	heta$।$a^2 \frac{1}{\cos^2 	heta} = 3b^2 \frac{\sin^2 	heta}{\cos^2 	heta} \implies a^2 = 3b^2 \sin^2 	heta$।$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$a^2 = 3a^2(e^2 - 1) \sin^2 	heta$।$1 = 3(e^2 - 1) \sin^2 	heta \implies \sin^2 	heta = \frac{1}{3(e^2 - 1)}$।चूँकि $0 $3(e^2 - 1) > 1 \implies e^2 - 1 > 1/3 \implies e^2 > 4/3$।अतः,$e > 2/\sqrt{3}$।

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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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