Mix Examples-Conic Sections Questions in Gujarati

(B) લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ પરના બિંદુના પ્રચલિત યામ $(ct, c/t)$ છે.
બિંદુ $t$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{t^2}$ છે.
તેથી,બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_N = t^2$ થાય.
બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{c}{t} = t^2(x - ct)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = t^2x - c t^3 + \frac{c}{t}$ થાય.
આ અભિલંબ વક્રને ફરીથી $t_1$ બિંદુએ મળે છે,તેથી બિંદુ $(ct_1, c/t_1)$ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\frac{c}{t_1} = t^2(ct_1) - ct^3 + \frac{c}{t}$
$c$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{t_1} = t^2 t_1 - t^3 + \frac{1}{t}$
$\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t} = t^2 t_1 - t^3$
$\frac{t - t_1}{t t_1} = -t^2(t - t_1)$
અહીં $t \neq t_1$ હોવાથી,$(t - t_1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{t t_1} = -t^2$
$1 = -t^3 t_1$
$t^3 t_1 = -1$.

(B) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 16$,તેથી $a = 3$ અને $b = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ દ્વારા મળે છે,જે $e = \frac{5}{3}$ આપે છે.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{5}{3}, 0) = (\pm 5, 0)$ છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર નાભિ $(5, 0)$ છે.
વર્તુળ અતિવલયને સ્પર્શે અને તેનો કોઈ ભાગ બહાર ન રહે તે માટે,તેણે અતિવલયના શિરોબિંદુને સ્પર્શવું જોઈએ.
અતિવલયનું શિરોબિંદુ $(a, 0) = (3, 0)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ નાભિ $(5, 0)$ અને શિરોબિંદુ $(3, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $r = |5 - 3| = 2$ છે.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ છે.

(D) ના યામ $(x, l)$ લો. $AB$ બેવડી કોટિ હોવાથી,$B$ ના યામ $(x, -l)$ થશે.
$\Delta AOB$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $OA = OB = AB = 2l$ થાય.
$\Delta OMA$ માં (જ્યાં $M$ એ $x$-અક્ષ પર $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે),$OM = x$ અને $AM = l$ છે.
$\angle AOM = 30^\circ$ હોવાથી,$\tan(30^\circ) = \frac{l}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $x = l\sqrt{3}$.
$A(x, l)$ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર હોવાથી,$\frac{3l^2}{a^2} - \frac{l^2}{b^2} = 1$ મળે.
$l^2 \left( \frac{3b^2 - a^2}{a^2b^2} \right) = 1$. $l^2 > 0$ હોવાથી,$3b^2 - a^2 > 0$ એટલે કે $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.
સંબંધ $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$e^2 > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ મળે.
તેથી,$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $R$ ના યામ $(at^2, 2at)$ છે. $QR$ નાભિસ્થ જીવા હોવાથી,$Q$ ના યામ $(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ થશે.
યામોનો તફાવત $y_R - y_Q = 2at - (-\frac{2a}{t}) = 2a(t + \frac{1}{t})$ છે.
આ તફાવતનું માનાંક $d = 2a|t + \frac{1}{t}|$ છે.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_P(y_R - y_Q) + x_R(y_Q - y_P) + x_Q(y_P - y_R)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = \frac{1}{2} |0 + at^2(-\frac{2a}{t} - 0) + \frac{a}{t^2}(0 - 2at)| = a^2|t + \frac{1}{t}|$.
તેથી,$|t + \frac{1}{t}| = \frac{A}{a^2}$.
$d$ ના સૂત્રમાં કિંમત મુકતા:
$d = 2a(\frac{A}{a^2}) = \frac{2A}{a}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 24y + 128 = 0$ છે. $y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $x^2 + (y - 12)^2 = 16$ મળે છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(0, 12)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
પરવલય $y^2 = 4x$ પરનું બિંદુ $P(t^2, 2t)$ ધારો.
કેન્દ્ર $C(0, 12)$ અને બિંદુ $P(t^2, 2t)$ વચ્ચેનું અંતર ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે $P$ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થાય.
$P(t^2, 2t)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ છે.
તેથી,$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-t$ છે.
રેખાખંડ $CP$ નો ઢાળ $\frac{2t - 12}{t^2 - 0} = \frac{2t - 12}{t^2}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $-t = \frac{2t - 12}{t^2}$ $\Rightarrow -t^3 = 2t - 12$ $\Rightarrow t^3 + 2t - 12 = 0$.
પૂર્ણાંક ઉકેલો ચકાસતા,$t = 2$ માટે: $2^3 + 2(2) - 12 = 8 + 4 - 12 = 0$. તેથી,$t = 2$ એ ઉકેલ છે.
$t = 2$ માટે,બિંદુ $P$ એ $(t^2, 2t) = (2^2, 2(2)) = (4, 4)$ છે.
આમ,પરવલય પરનું વર્તુળની સૌથી નજીકનું બિંદુ $(4, 4)$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ નું શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે. નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $\frac{3}{4} \times 4a = 3a$ છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{3a}{2}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = \frac{9a^2}{4}$ અથવા $4(x^2 + y^2) = 9a^2$ છે.
$y^2 = 4ax$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $4(x^2 + 4ax) = 9a^2$,જેનું સાદું રૂપ $4x^2 + 16ax - 9a^2 = 0$ થાય છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{a}{2}$ મળે છે.
$x = \frac{a}{2}$ માટે,$y^2 = 2a^2$,તેથી $y = \pm \sqrt{2}a$.
બિંદુઓ $P(\frac{a}{2}, \sqrt{2}a)$ અને $Q(\frac{a}{2}, -\sqrt{2}a)$ છે. જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $2\sqrt{2}a$ છે.
નાભિલંબ $L_1L_2$ એ $x = a$ પર છે,જ્યાં $L_1(a, 2a)$ અને $L_2(a, -2a)$ છે. લંબાઈ $L_1L_2 = 4a$ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $PL_1L_2Q$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (PQ + L_1L_2) \times \text{ઊંચાઈ}$.
ઊંચાઈ $a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}a + 4a) \times \frac{a}{2} = \left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)a^2$.

(A) આપેલ સમીકરણો $4x^2 + 9y^2 = 36$ (ઉપવલય) અને $4x^2 - y^2 = 4$ (અતિવલય) છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(4x^2 + 9y^2) + k(4x^2 - y^2) = 36 + 4k$ એ છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વક્રોનું કુળ દર્શાવે છે.
વર્તુળ માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ.
$4 + 4k = 9 - k$ $\Rightarrow 5k = 5$ $\Rightarrow k = 1$.
$k = 1$ મુકતા: $8x^2 + 8y^2 = 40 \Rightarrow x^2 + y^2 = 5$.

(A) ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ છેદબિંદુ છે.
તેથી $y_1^2 = 4ax_1$ અને $x_1y_1 = c^2$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4a$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
આમ,$\tan \phi = \frac{2a}{y_1}$.
અતિવલય $xy = c^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
આમ,$\tan \theta = -\frac{y_1}{x_1}$.
હવે,$\frac{\tan \theta}{\tan \phi} = \frac{-y_1/x_1}{2a/y_1} = -\frac{y_1^2}{2ax_1}$.
$y_1^2 = 4ax_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{\tan \theta}{\tan \phi} = -\frac{4ax_1}{2ax_1} = -2$ મળે છે.
તેથી,$\tan \theta = -2 \tan \phi$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1}(-2 \tan \phi)$.

(C) $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{t}$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. $y=0$ લેતા,આપણને $G(a(t^2+2), 0)$ મળે છે.
સ્પર્શક અક્ષને $T(-at^2, 0)$ માં મળે છે.
વર્તુળ $P(at^2, 2at)$,$T(-at^2, 0)$ અને $G(a(t^2+2), 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $TG$ નું મધ્યબિંદુ $(a, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = a(t^2+1)$ છે.
ત્રિજ્યા $SP$ નો ઢાળ $m_{SP} = \frac{2t}{t^2-1}$ છે.
વર્તુળનો $P$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $SP$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = \frac{1-t^2}{2t}$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = t$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}t$.

(B) આપેલ અતિવલયો એકબીજાના સંયુગ્મી છે. અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નાભિઓ $(\pm ae_1, 0)$ છે,જ્યાં $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ ની નાભિઓ $(0, \pm be_2)$ છે,જ્યાં $e_2 = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$.
આ ચાર નાભિઓ દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણોની લંબાઈ $2ae_1$ અને $2be_2$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times (2ae_1) \times (2be_2) = 2abe_1e_2$ છે.
અહીં $e_1 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}$ અને $e_2 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,ક્ષેત્રફળ $= 2ab \times \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} \times \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b} = 2(a^2 + b^2)$ મળે છે.

(D) ધારો કે બે નિશ્ચિત રેખાઓ યામ અક્ષો $OX$ અને $OY$ છે. ધારો કે સળિયો $AB$ છે જેની લંબાઈ $L = 20$ છે.
ધારો કે $P$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જેથી $AP = 8$ અને $PB = 20 - 8 = 12$.
ધારો કે $\angle OAB = \theta$. તો $P(x, y)$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = PB \cos \theta = 12 \cos \theta$
$y = AP \sin \theta = 8 \sin \theta$
આમ,$\cos \theta = \frac{x}{12}$ અને $\sin \theta = \frac{y}{8}$.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$\frac{x^2}{12^2} + \frac{y^2}{8^2} = 1$
આ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a = 12$ અને $b = 8$.
અહીં $a > b$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચે મુજબ મળે:
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{8^2}{12^2} = 1 - \frac{64}{144} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$e = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(D) આપેલ પરવલય $y = \frac{x^2}{4} - 2$ છે,તેથી $4y = x^2 - 8$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$4 \frac{dy}{dx} = 2x$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{x_1}{2}$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{2}{x_1}$ છે.
રેખા $A(10, -1)$ અને $P(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $\frac{y_1 + 1}{x_1 - 10}$ છે.
આ રેખા અભિલંબ હોવાથી,$\frac{y_1 + 1}{x_1 - 10} = -\frac{2}{x_1}$.
$x_1(y_1 + 1) = -2(x_1 - 10) \Rightarrow x_1y_1 + 3x_1 = 20$.
$y_1 = \frac{x_1^2}{4} - 2$ મુકતા,$x_1(\frac{x_1^2}{4} - 2) + 3x_1 = 20 \Rightarrow x_1^3 + 4x_1 - 80 = 0$.
અહીં $x_1 = 4$ એ ઉકેલ છે.
$x_1 = 4$ માટે,$y_1 = 2$. તેથી $P = (4, 2)$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ છે.
$(10, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y + 1 = -\frac{1}{2}(x - 10)$ છે.
$2y + 2 = -x + 10 \Rightarrow x + 2y = 8$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = ax^2 + bx + c$ છે. આપેલ છે કે અગ્ર સહગુણક $a = 1$ અને અચળ પદ $c = 3$ છે,તેથી $f(x) = x^2 + bx + 3$.
વક્ર રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષે સંમિત હોવાથી,શિરોબિંદુનો $x$-યામ $h = -b/(2a) = 1$ થાય. આમ,$-b/2 = 1$,જે આપણને $b = -2$ આપે છે.
તેથી,બહુપદી $f(x) = x^2 - 2x + 3$ છે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ માં $h = 1$ છે. શિરોબિંદુનો $y$-યામ $k = f(1) = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$ થાય.
આમ,શિરોબિંદુ $(1, 2)$ છે.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $y = ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપમાં છે. આપેલ અચળ પદ $c = 3$ અને અગ્ર સહગુણક $a = 1$ હોવાથી,$f(x) = x^2 + bx + 3$ મળે.
વક્ર રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,શિરોબિંદુ $x = 1$ પર મળે. તેથી,વિકલિત $f'(x) = 2x + b$ નું મૂલ્ય $x = 1$ પર શૂન્ય થાય.
$2(1) + b = 0 \Rightarrow b = -2$.
તેથી,બહુપદી $f(x) = x^2 - 2x + 3$ છે.
બિંદુ $A$ માટે,$x_1 = 1$,તેથી $y_1 = f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2$. આમ,$A = (1, 2)$.
બિંદુ $B$ માટે,$y_2 = 11$,તેથી $11 = x^2 - 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$.
$(x - 4)(x + 2) = 0$. $B$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x_2 = 4$. આમ,$B = (4, 11)$.
સદિશો $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j}$ અને $\vec{OB} = 4\hat{i} + 11\hat{j}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1)(4) + (2)(11) = 4 + 22 = 26$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી સ્પર્શક રેખા $y = mx$ ધારો.
રેખા અતિવલયને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 1)$ થી રેખા $mx - y = 0$ નું લંબ અંતર અર્ધ-અનુપ્રસ્થ અક્ષ $a = 1$ જેટલું હોવું જોઈએ.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના અંતરના સૂત્ર મુજબ,$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
$1 = \frac{|m(0) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$ $\Rightarrow 1 = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ $\Rightarrow m^2 + 1 = 1$ $\Rightarrow m = 0$.
પરંતુ ઢાળ ધન હોવો જોઈએ. સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ માટે $b = ma$ અને $a^2 - (b - 1)^2 = 1$ થાય.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y - 1}$ મળે.
બિંદુ $(a, b)$ પર ઢાળ $m = \frac{a}{b - 1}$ છે. $m = \frac{b}{a}$ હોવાથી,$\frac{b}{a} = \frac{a}{b - 1} \Rightarrow a^2 = b^2 - b$.
$a^2 = b^2 - b$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મુકતા:
$(b^2 - b) - (b^2 - 2b + 1) = 1$ $\Rightarrow b - 1 = 1$ $\Rightarrow b = 2$.
તેથી $a^2 = 2^2 - 2 = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2}$.
આમ,$\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(D) વિધાન $A$: ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$. નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 = 9 + 5 = 14$ છે. આ સાચું છે.
વિધાન $B$: $P$ અને $Q$ ના યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $(a \cos(\theta + \alpha), b \sin(\theta + \alpha))$ છે. $\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_P y_Q - x_Q y_P| = \frac{1}{2} |ab \cos \theta \sin(\theta + \alpha) - ab \cos(\theta + \alpha) \sin \theta| = \frac{1}{2} ab |\sin \alpha|$ છે,જે $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે. આ સાચું છે.
વિધાન $C$: આ પરવલયનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે. નાભિમાંથી સ્પર્શક પર દોરેલા લંબનો બિંદુપથ એ શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક છે. આ સાચું છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ અતિવલય: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{3} = 1$. અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3}{9}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$. તેથી,વિધાન $(B)$ અસત્ય છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $LLR = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 3}{3} = 2$. તેથી,વિધાન $(C)$ સત્ય છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી અનંતસ્પર્શકો $bx \pm ay = 0$ પરના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $p_1 p_2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{9 \times 3}{9 + 3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} = 2.25$ થાય છે.
કારણ કે $2.25 > 2$ $(LLR)$,વિધાન $(A)$ અસત્ય છે.
તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને અસત્ય હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4x$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ માટે સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે,જ્યાં $a^2 = 8$ અને $b^2 = 2$.
$c = \frac{1}{m}$ મૂકતા,$\frac{1}{m^2} = 8m^2 + 2$ મળે.
$8m^4 + 2m^2 - 1 = 0$ ઉકેલતા,$m^2 = \frac{1}{4}$ મળે,તેથી $m = \pm \frac{1}{2}$.
$m = \frac{1}{2}$ માટે,$c = 2$,સમીકરણ $x - 2y + 4 = 0$ મળે.
$m = -\frac{1}{2}$ માટે,$c = -2$,સમીકરણ $x + 2y + 4 = 0$ મળે.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(D) ધારો કે બે અતિવલયો $H_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $H_2: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ છે.
$H_1$ નો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખા $H_2$ નો સ્પર્શક બને તે માટે,આપણે $H_2$ ને $\frac{x^2}{(-b^2)} - \frac{y^2}{(-a^2)} = 1$ તરીકે લખીએ છીએ. $\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$ ને $y = mx + c$ સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = Am^2 - B$ છે.
અહીં $A = -b^2$ અને $B = -a^2$,તેથી $c^2 = (-b^2)m^2 - (-a^2) = a^2 - b^2m^2$.
$c^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$.
$(a^2 + b^2)m^2 = a^2 + b^2$,જે $m^2 = 1$ આપે છે,તેથી $m = \pm 1$.
$c^2 = a^2m^2 - b^2$ માં $m^2 = 1$ મૂકતા,આપણને $c^2 = a^2 - b^2$ મળે છે,તેથી $c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકો $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ છે.
આપેલા તમામ વિકલ્પો આ સમૂહમાં સમાવિષ્ટ છે.

(A) કોઈપણ શંકુ આકાર માટે,શિરોબિંદુ $V$ એ અક્ષ પર આવેલું હોય છે. નિયામિકા $x + y = 10$ છે,તેથી અક્ષનું સમીકરણ $y = x + 1$ છે. નિયામિકા અને અક્ષનું છેદબિંદુ $Z(4.5, 5.5)$ છે. શિરોબિંદુનું નિયામિકાથી અંતર $VZ = \frac{1}{1+e} SZ$ છે. ઉપવલય માટે $e < 1$,પરવલય માટે $e = 1$ અને અતિવલય માટે $e > 1$ હોવાથી,$VZ_E > VZ_P > VZ_H$ મળે છે. તેથી,$\alpha > \beta > \gamma$.

(D) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $hx - ky = h^2 - k^2$ છે.
આને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$y = \frac{h}{k}x - \frac{h^2 - k^2}{k}$ મળે.
આ રેખા પરવલય $x^2 = 4by$ ને સ્પર્શે છે,જેની શરત $c = -bm^2$ છે.
અહીં $m = \frac{h}{k}$ અને $c = -\frac{h^2 - k^2}{k}$ છે.
તેથી,$-\frac{h^2 - k^2}{k} = -b\left(\frac{h}{k}\right)^2$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $y(x^2 - y^2) = bx^2$ છે,જે $b$ પર આધારિત છે પરંતુ $a$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) પરવલય $y^2 = 8x$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{8} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે,જ્યાં $a^2 = 32$ અને $b^2 = 8$ છે.
$c = \frac{2}{m}$ ને શરતમાં મૂકતા: $(\frac{2}{m})^2 = 32m^2 + 8$.
$\frac{4}{m^2} = 32m^2 + 8$.
$4$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{m^2} = 8m^2 + 2$.
$8m^4 + 2m^2 - 1 = 0$.
$t = m^2$ લેતા,$8t^2 + 2t - 1 = 0$.
$(4t - 1)(2t + 1) = 0$.
$m^2$ ધન હોવાથી,$m^2 = \frac{1}{4}$ મળે.
તેથી,$m = \frac{1}{2}$ અથવા $m = -\frac{1}{2}$.
ઢાળનો ગુણાકાર $(\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - 2)^2}{3^2} + \frac{(y + 2)^2}{2^2} = 1$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$ છે.
બંને વક્રો $(2, 0)$ બિંદુએ એકબીજાને સ્પર્શે છે.
તેથી,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $0$ છે.

(B) શંકુ $y = x^2 - x + 3$ એ પરવલય છે,તેથી તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = 1$ છે.
શંકુ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3a^4} = 1$ એ ઉપવલય છે,તેથી તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ માટે $0 < e_2 < 1$ થાય છે.
શંકુ $a^2x^2 - 3a^4y^2 = 1$ એ અતિવલય છે,તેથી તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_3$ માટે $e_3 > 1$ થાય છે.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $e_2 < 1 < e_3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $e_2 < e_1 < e_3$.

(C) ધારો કે $X = x - 1$ અને $Y = y - 2$. સમીકરણો $X^2 = 4Y$ અને $X^2 + \frac{Y^2}{2} = 1$ બને છે.
પરવલય $X^2 = 4Y$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y = mX - m^2$ છે.
ઉપવલય $X^2 + \frac{Y^2}{2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y = mX \pm \sqrt{m^2 + 2}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,$-m^2 = \pm \sqrt{m^2 + 2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$m^4 = m^2 + 2$,એટલે કે $m^4 - m^2 - 2 = 0$.
$m^2 = t$ લેતા,$t^2 - t - 2 = 0$,તેથી $(t - 2)(t + 1) = 0$.
$m^2 = 2$ મળે છે. તેથી $m_1^2 + m_2^2 = 2 + 2 = 4$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{xb^2}{ya^2}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2} = 1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $\frac{2x}{l^2} - \frac{2y}{m^2} \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{xm^2}{yl^2}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$(-\frac{xb^2}{ya^2}) \times (\frac{xm^2}{yl^2}) = -1 \Rightarrow \frac{x^2}{y^2} = \frac{a^2 l^2}{b^2 m^2}$.
બંને વક્રોના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - (\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2}) = 0$.
$x^2(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{l^2}) + y^2(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{m^2}) = 0 \Rightarrow \frac{x^2}{y^2} = \frac{(m^2 + b^2)a^2 l^2}{b^2 m^2 (l^2 - a^2)}$.
$\frac{x^2}{y^2}$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{a^2 l^2}{b^2 m^2} = \frac{(m^2 + b^2)a^2 l^2}{b^2 m^2 (l^2 - a^2)} \Rightarrow 1 = \frac{m^2 + b^2}{l^2 - a^2}$.
તેથી,$l^2 - a^2 = m^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = l^2 - m^2$.

(C) રેખા $y = \sqrt{3}x$ પરના કોઈપણ બિંદુને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ છે.
તેથી,યામ $\left(\frac{r}{2}, \frac{r\sqrt{3}}{2}\right)$ થશે.
આ કિંમતોને વક્રના સમીકરણ $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{r}{2}\right)^4 + a\left(\frac{r}{2}\right)^2\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right) + b\left(\frac{r}{2}\right)\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right) + c\left(\frac{r}{2}\right) + d\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right) + 6 = 0$
$\frac{r^4}{16} + \frac{a\sqrt{3}r^3}{8} + \frac{b\sqrt{3}r^2}{4} + \frac{r(c + d\sqrt{3})}{2} + 6 = 0$
$16$ વડે ગુણતા:
$r^4 + (2a\sqrt{3})r^3 + (4b\sqrt{3})r^2 + 8(c + d\sqrt{3})r + 96 = 0$
આ $r$ માં ચતુર્થ ઘાતનું સમીકરણ છે,જેના બીજ $r_1, r_2, r_3, r_4$ એ ઉગમબિંદુથી અંતર $OA, OB, OC, OD$ દર્શાવે છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર અચળ પદ અને મુખ્ય સહગુણકનો ગુણોત્તર છે:
$OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD = r_1 r_2 r_3 r_4 = \frac{96}{1} = 96$.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ છે.
આ રેખા પરવલય $x^2 = 4y$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,આપણે $y = mx + c$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીએ: $x^2 = 4(mx + c) \Rightarrow x^2 - 4mx - 4c = 0$.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$,તેથી $(-4m)^2 - 4(1)(-4c) = 0$ $\Rightarrow 16m^2 + 16c = 0$ $\Rightarrow c = -m^2$.
આને વર્તુળના સ્પર્શકના સ્વરૂપ $c = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-m^2 = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m^4 = 4(1 + m^2) \Rightarrow m^4 - 4m^2 - 4 = 0$.
$m^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
$m^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $m^2 = 2 + 2\sqrt{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x^2 = 8y \quad (i)$
$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 \quad (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{8y}{3} + y^2 = 1$
$3y^2 + 8y - 3 = 0$
$(3y - 1)(y + 3) = 0$
તેથી,$y = \frac{1}{3}$ અથવા $y = -3$.
$x^2 = 8y$ હોવાથી,$y$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y = -3$ શક્ય નથી.
$y = \frac{1}{3}$ માટે,$x^2 = \frac{8}{3}$,તેથી $x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
છેદબિંદુઓ $(\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{1}{3})$ અને $(-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{1}{3})$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $y = \frac{1}{3}$ છે,એટલે કે $3y - 1 = 0$.

(B) આપેલ વક્રો $C_1: \frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને $C_2: y^3 = 16x$ છે.
$C_1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{\alpha} + \frac{2y}{4} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{\alpha y} = m_1$.
$C_2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2} = m_2$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $\left( -\frac{4x}{\alpha y} \right) \cdot \left( \frac{16}{3y^2} \right) = -1$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $\frac{64x}{3\alpha y^3} = 1 \Rightarrow 3\alpha y^3 = 64x$ મળે.
સમીકરણમાં $y^3 = 16x$ મૂકતા: $3\alpha (16x) = 64x$.
જો $x \neq 0$ હોય,તો $48\alpha = 64 \Rightarrow \alpha = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}$.

(A) આપેલ શંકુઓ $x^2 = 6y$ $(i)$ અને $2x^2 - 4y^2 = 9$ $(ii)$ છે.
રેખા $x - y = \frac{3}{2}$ $(iii)$ ધ્યાનમાં લો,જેનો અર્થ છે $x = y + \frac{3}{2}$.
$x = y + \frac{3}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $(y + \frac{3}{2})^2 = 6y \implies y^2 + 3y + \frac{9}{4} = 6y \implies y^2 - 3y + \frac{9}{4} = 0 \implies (y - \frac{3}{2})^2 = 0$. આમ,$y = \frac{3}{2}$ અને $x = 3$.
માત્ર એક જ છેદબિંદુ $(3, \frac{3}{2})$ હોવાથી,રેખા પરવલયને સ્પર્શે છે.
$x = y + \frac{3}{2}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $2(y + \frac{3}{2})^2 - 4y^2 = 9 \implies 2(y^2 + 3y + \frac{9}{4}) - 4y^2 = 9 \implies 2y^2 + 6y + \frac{9}{2} - 4y^2 = 9 \implies -2y^2 + 6y - \frac{9}{2} = 0 \implies 4y^2 - 12y + 9 = 0 \implies (2y - 3)^2 = 0$. આમ,$y = \frac{3}{2}$ અને $x = 3$.
માત્ર એક જ છેદબિંદુ $(3, \frac{3}{2})$ હોવાથી,રેખા અતિવલયને સ્પર્શે છે.
તેથી,$x - y = \frac{3}{2}$ એ સામાન્ય સ્પર્શક છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 16$,તેથી $a = 4$.
ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે,જ્યાં $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}}$.
તેથી નાભિઓ $(\pm \sqrt{16 - b^2}, 0)$ થાય.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ છે,જેને $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{81}{25}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ છે.
અતિવલયના નાભિઓ $(\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
બંનેના નાભિઓ સમાન હોવાથી,$\sqrt{16 - b^2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16 - b^2 = 9$,તેથી $b^2 = 7$.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 3$ મળે.
ઉપવલય માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = \left( 2, \frac{3}{2} \right)$,$a^2 = 16$,અને $b^2 = 3$ મૂકતા:
$\frac{16x}{2} - \frac{3y}{3/2} = 16 - 3$
$8x - 2y = 13$
$2y = 8x - 13 \Rightarrow y = 4x - \frac{13}{2}$.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4Ax$ ને સ્પર્શે જો $c = \frac{A}{m}$ હોય.
અહીં $m = 4$ અને $c = -\frac{13}{2}$ છે.
$-\frac{13}{2} = \frac{A}{4} \Rightarrow A = -26$.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4(-26)x = -104x$ થાય.

(C) પરવલય $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે ....$(i)$
આ કિંમતને અતિવલય $xy = 2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(mx + \frac{1}{m}) = 2$
$mx^2 + \frac{x}{m} - 2 = 0$
રેખા સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ:
$D = b^2 - 4ac = (\frac{1}{m})^2 - 4(m)(-2) = 0$
$\frac{1}{m^2} + 8m = 0$
$1 + 8m^3 = 0$
$m^3 = -\frac{1}{8}$
$m = -\frac{1}{2}$
$m = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y = -\frac{1}{2}x - 2$
$2y = -x - 4$
$x + 2y + 4 = 0$

(C) પરવલય $y^2 = x$ ના બિંદુ $(\alpha, \beta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y\beta = \frac{x + \alpha}{2}$ છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પરવલય પર હોવાથી,$\beta^2 = \alpha$,તેથી સમીકરણ $y\beta = \frac{x + \beta^2}{2}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{1}{2\beta}x + \frac{\beta}{2}$ છે.
અહીં,ઢાળ $m = \frac{1}{2\beta}$ અને અંતઃખંડ $c = \frac{\beta}{2}$ છે.
આ રેખા ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 1$ નો પણ સ્પર્શક છે,જેને $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{\beta}{2})^2 = 1(\frac{1}{2\beta})^2 + \frac{1}{2}$.
$\frac{\beta^2}{4} = \frac{1}{4\beta^2} + \frac{1}{2}$.
$4\beta^2$ વડે ગુણતા: $\beta^4 = 1 + 2\beta^2$.
$\beta^4 - 2\beta^2 - 1 = 0$.
$\beta^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરતા: $\beta^2 = 1 + \sqrt{2}$.
$\alpha = \beta^2$ હોવાથી,$\alpha = \sqrt{2} + 1$ મળે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે,તેથી $a = 3$. સ્પર્શક $y = mx + \frac{3}{m}$ છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $8x^2 - y^2 = 8$ છે,જે $x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 8$ છે.
સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{m^2 - 8}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શકો માટે,$\frac{3}{m} = \pm \sqrt{m^2 - 8}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{9}{m^2} = m^2 - 8 \Rightarrow m^4 - 8m^2 - 9 = 0$.
$(m^2 - 9)(m^2 + 1) = 0$. $m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^2 = 9$,તેથી $m = \pm 3$.
સામાન્ય સ્પર્શકો $y = 3x + 1$ અને $y = -3x - 1$ છે.
આને ઉકેલતા,છેદબિંદુ $P$ એ $(-1/3, 0)$ મળે છે.
અતિવલય $x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$ માટે,$e = \sqrt{1 + 8} = 3$.
નાભિઓ $S(3, 0)$ અને $S'(-3, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ એ $SS'$ ને $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તો $P = \left( \frac{3-3k}{k+1}, 0 \right)$.
$P(-1/3, 0)$ સાથે સરખાવતા,$\frac{3-3k}{k+1} = -\frac{1}{3}$.
$9 - 9k = -k - 1$ $\Rightarrow 8k = 10$ $\Rightarrow k = 5/4$.
આમ,ગુણોત્તર $5 : 4$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 16x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{4}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $a = 4$. તેથી,$y = mx + \frac{4}{m} \dots (i)$.
જો આ રેખા અતિવલય $xy = -4$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો $(i)$ માંથી $y$ ની કિંમત અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા $x(mx + \frac{4}{m}) = -4$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $mx^2 + \frac{4}{m}x + 4 = 0$ અથવા $m^2x^2 + 4x + 4m = 0$ થાય.
રેખા સ્પર્શક હોય તે માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ: $D = (4)^2 - 4(m^2)(4m) = 0$.
$16 - 16m^3 = 0$ $\Rightarrow m^3 = 1$ $\Rightarrow m = 1$.
$m = 1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $y = x + 4$ મળે છે,જેને $x - y + 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ માટે,$a^{2}=18$ અને $b^{2}=4$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1} = \sqrt{1-\frac{4}{18}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ મળે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ માટે,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=4$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2} = \sqrt{1+\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ મળે.
બિંદુ $(e_{1}, e_{2})$ એ $15x^{2}+3y^{2}=k$ પર હોવાથી:
$15(\frac{7}{9}) + 3(\frac{13}{9}) = k$
$\frac{105+39}{9} = k$
$k = \frac{144}{9} = 16$.

(A) આપેલ વક્રો $y^{2}=4ax \dots (i)$ અને $x^{2}=4by \dots (ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,આપણે $(i)$ માં $y = \frac{x^{2}}{4b}$ મૂકીએ છીએ:
$\left(\frac{x^{2}}{4b}\right)^{2} = 4ax \Rightarrow \frac{x^{4}}{16b^{2}} = 4ax \Rightarrow x^{4} = 64ab^{2}x$.
આનાથી $x(x^{3} - 64ab^{2}) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 0$ અથવા $x = 4a^{1/3}b^{2/3}$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4a^{1/3}b^{2/3}, 4a^{2/3}b^{1/3})$ છે.
$(i)$ માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} = \frac{2a}{y}$. $(ii)$ માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{4b} = \frac{x}{2b}$.
$(0,0)$ પર,$(i)$ નો સ્પર્શક શિરોલંબ $(x=0)$ છે અને $(ii)$ નો સ્પર્શક સમક્ષિતિજ $(y=0)$ છે,તેથી ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
$(4a^{1/3}b^{2/3}, 4a^{2/3}b^{1/3})$ પર,ઢાળ $m_{1} = \frac{2a}{4a^{2/3}b^{1/3}} = \frac{1}{2}(\frac{a}{b})^{1/3}$ અને $m_{2} = \frac{4a^{1/3}b^{2/3}}{2b} = 2(\frac{a}{b})^{1/3}$ છે.
ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{2(a/b)^{1/3} - 0.5(a/b)^{1/3}}{1 + 2(a/b)^{1/3} \cdot 0.5(a/b)^{1/3}}| = \frac{1.5(a/b)^{1/3}}{1 + (a/b)^{2/3}} = \frac{3a^{1/3}b^{1/3}}{2(a^{2/3}+b^{2/3})}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3a^{1/3}b^{1/3}}{2(a^{2/3}+b^{2/3})}\right)$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ: $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 10 \Rightarrow \frac{x^{2}}{10} - \frac{y^{2}}{10 \cos^{2} \theta} = 1.$
અતિવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e_{H} = \sqrt{1 + \cos^{2} \theta}.$
ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 5 \Rightarrow \frac{x^{2}}{5 \cos^{2} \theta} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$
ઉપવલય માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e_{E} = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sin \theta.$
આપેલ છે કે $e_{H} = \sqrt{5} e_{E} \Rightarrow \sqrt{1 + \cos^{2} \theta} = \sqrt{5} \sin \theta.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 + \cos^{2} \theta = 5 \sin^{2} \theta = 5(1 - \cos^{2} \theta).$
$6 \cos^{2} \theta = 4 \Rightarrow \cos^{2} \theta = \frac{2}{3}.$
ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(5 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{3}.$

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b < 5)$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1}$ એ $b^{2}=25(1-e_{1}^{2})$ નું સમાધાન કરે છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2}$ એ $b^{2}=16(e_{2}^{2}-1)$ નું સમાધાન કરે છે.
$b^{2}$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા,આપણને $25(1-e_{1}^{2})=16(e_{2}^{2}-1)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $e_{1}e_{2}=1$,તેથી $e_{2}=\frac{1}{e_{1}}$ મૂકતા:
$25(1-e_{1}^{2})=16(\frac{1}{e_{1}^{2}}-1) = 16(\frac{1-e_{1}^{2}}{e_{1}^{2}})$.
$b < 5$ હોવાથી,$e_{1} \neq 1$,તેથી $(1-e_{1}^{2})$ વડે ભાગતા $25 = \frac{16}{e_{1}^{2}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $e_{1}^{2}=\frac{16}{25}$,તેથી $e_{1}=\frac{4}{5}$.
ત્યારબાદ $e_{2}=\frac{1}{e_{1}}=\frac{5}{4}$.
ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_{1} = 2(5)(\frac{4}{5}) = 8 = \alpha$.
અતિવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_{2} = 2(4)(\frac{5}{4}) = 10 = \beta$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta) = (8, 10)$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4(x-5)$ છે.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ પરવલય $y^{2} = 4a(x-h)$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1} = 2a(x+x_{1}) - 4ah$ છે.
અહીં,$a=1$,$h=5$,$x_{1}=6$,અને $y_{1}=2$ છે. આ કિંમતો મૂકતા:
$2y = 2(x+6) - 20$
$2y = 2x + 12 - 20$
$2y = 2x - 8$
$y = x - 4$,જેને $x - y - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2} = A^{2}m^{2} + B^{2}$ છે.
અહીં,$m = 1$,$c = -4$,$A^{2} = 2$,અને $B^{2} = b$ છે.
આ શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$(-4)^{2} = 2(1)^{2} + b$
$16 = 2 + b$
$b = 14$.

(D) ઉગમબિંદુ આગળ જીવા $PQ$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે રેખા $x + y = 1$ નો ઉપયોગ કરીને વક્ર $x^{2} + 2y^{2} = 2$ ના સમીકરણને સમઘાત બનાવીશું.
રેખાનું સમીકરણ $x + y = 1$ છે,તેથી $1 = x + y$.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} + 2y^{2} = 2(1)^{2}$
$x^{2} + 2y^{2} = 2(x + y)^{2}$
$x^{2} + 2y^{2} = 2(x^{2} + 2xy + y^{2})$
$x^{2} + 2y^{2} = 2x^{2} + 4xy + 2y^{2}$
$x^{2} + 4xy = 0$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. ધારો કે આ રેખાઓ $y = m_{1}x$ અને $y = m_{2}x$ છે.
$x(x + 4y) = 0$ પરથી,આપણને $x = 0$ (ઢાળ $m_{1} = \infty$) અને $y = -\frac{1}{4}x$ (ઢાળ $m_{2} = -\frac{1}{4}$) મળે છે.
આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$
એક રેખા શિરોલંબ $(x=0)$ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ એ શિરોલંબ રેખા અને $-\frac{1}{4}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
રેખા $y = -\frac{1}{4}x$ નો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha = \tan^{-1}(-\frac{1}{4}) = -\tan^{-1}(\frac{1}{4})$ છે.
શિરોલંબ રેખા $(90^{\circ})$ અને આ રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2} - (-\tan^{-1}(\frac{1}{4})) = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}(\frac{1}{4})$ છે.

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. અતિવલય $x^{2}-y^{2}=4$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_{1}$ મુજબ $xh-yk=h^{2}-k^{2}$ થાય.
આને $y=mx+c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$y=\frac{h}{k}x - \frac{h^{2}-k^{2}}{k}$ મળે.
આ રેખા પરવલય $y^{2}=8x$ ને સ્પર્શે છે (જ્યાં $a=2$). રેખા $y=mx+c$ પરવલય $y^{2}=4ax$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c=\frac{a}{m}$ છે.
$m=\frac{h}{k}$ અને $c=-\frac{h^{2}-k^{2}}{k}$ મૂકતા,$-\frac{h^{2}-k^{2}}{k} = \frac{2}{h/k} = \frac{2k}{h}$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$-(h^{2}-k^{2})h = 2k^{2}$,એટલે કે $h^{3} = k^{2}(h-2)$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^{2}(x-2)=x^{3}$ મળે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = -2x + k$ છે. તે અતિવલય $x^2 - y^2 = 3$ $(a^2 = 3, b^2 = 3)$ નો સ્પર્શક હોવાથી,સ્પર્શકની શરત $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ મુજબ:
$k = \sqrt{3(-2)^2 - 3} = \sqrt{3(4) - 3} = \sqrt{9} = 3$ (કારણ કે $k > 0$).
તેથી,રેખા $y = -2x + 3$ છે.
આ રેખા પરવલય $y^2 = \alpha x$ નો સ્પર્શક બને તે માટે,તે $c = \frac{\alpha}{4m}$ ની શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
અહીં,$m = -2$ અને $c = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 = \frac{\alpha}{4(-2)} = \frac{\alpha}{-8}$.
તેથી,$\alpha = 3 \times (-8) = -24$.

(A) અતિવલય $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ માટે,નાભિલંબની લંબાઈ $LR_H = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{a} = \frac{2}{a}$ છે.
ઉપવલય $E : 3x^2 + 4y^2 = 12$ માટે,તેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે. નાભિલંબની લંબાઈ $LR_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(3)}{2} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $LR_H = LR_E$,તેથી $\frac{2}{a} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{2}{3}$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{(2/3)^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ છે. તેથી,$e_H^2 = \frac{13}{4}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ છે. તેથી,$e_E^2 = \frac{1}{4}$.
અંતે,$12(e_H^2 + e_E^2) = 12(\frac{13}{4} + \frac{1}{4}) = 12(\frac{14}{4}) = 3 \times 14 = 42$.

(C) બિંદુ $(\alpha, \beta)$ ઉપવલય $25x^{2} + 4y^{2} = 1$ પર છે,તેથી $\alpha = \frac{1}{5} \cos \theta$ અને $\beta = \frac{1}{2} \sin \theta$ લઈ શકાય.
પરવલય $y^{2} = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
તે $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $m^{2}\alpha - m\beta + 1 = 0$.
ધારો કે ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે જ્યાં $m_{1} = 4m_{2}$.
સમીકરણ પરથી $m_{1} + m_{2} = \frac{\beta}{\alpha}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{1}{\alpha}$.
$m_{1} = 4m_{2}$ મૂકતા,$5m_{2} = \frac{\beta}{\alpha}$ અને $4m_{2}^{2} = \frac{1}{\alpha}$.
તેથી $4\beta^{2} = 25\alpha$. $\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમત મૂકતા $\sin^{2} \theta = 5 \cos \theta$.
$1 - \cos^{2} \theta = 5 \cos \theta \Rightarrow \cos^{2} \theta + 5 \cos \theta - 1 = 0$.
$\cos \theta = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.
$10\alpha + 5 = \pm \sqrt{29}$,તેથી $(10\alpha + 5)^{2} = 29$.
$16\beta^{2} + 50 = \pm 10\sqrt{29}$,તેથી $(16\beta^{2} + 50)^{2} = 2900$.
કુલ સરવાળો $29 + 2900 = 2929$ થાય.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ છે. $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$ છે.
$a^{2}=16$ અને $b^{2}=9$ મૂકતા,$y=mx \pm \sqrt{16m^{2}+9}$ $(i)$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=12$ છે. $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm r\sqrt{1+m^{2}}$ છે.
$r^{2}=12$ મૂકતા,$y=mx \pm \sqrt{12(1+m^{2})}$ $(ii)$ મળે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,$(i)$ અને $(ii)$ ના અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ:
$16m^{2}+9 = 12(1+m^{2})$
$16m^{2}+9 = 12+12m^{2}$
$16m^{2}-12m^{2} = 12-9$
$4m^{2} = 3$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,$12m^{2} = 9$ મળે.

(C) $|z - (4 + 3i)| = 2$ એ $(4, 3)$ કેન્દ્ર અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કાર્તેઝિયન યામમાં,આ $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4$ છે.
$|z| + |z - 4| = 6$ એ $(0, 0)$ અને $(4, 0)$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે.
નાભિઓથી અંતરનો સરવાળો $2a = 6$ છે,તેથી $a = 3$. કેન્દ્ર $(2, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4$ છે,તેથી $ae = 2$. $a = 3$ હોવાથી,$e = 2/3$.
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - 4/9) = 5$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, 3)$ છે. ઉપવલયનું સૌથી ઊંચું બિંદુ $(2, \sqrt{5}) \approx (2, 2.236)$ છે.
વર્તુળનું સૌથી નીચું બિંદુ $(4, 3 - 2) = (4, 1)$ છે.
$(4, 1)$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(4 - 2)^2}{9} + \frac{1^2}{5} = \frac{4}{9} + \frac{1}{5} = \frac{29}{45} < 1$.
બિંદુ $(4, 1)$ ઉપવલયની અંદર છે અને કેન્દ્ર $(4, 3)$ ઉપવલયની બહાર છે,તેથી વર્તુળ ઉપવલયને બે બિંદુઓમાં છેદે છે.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(t^{2}, 2t)$ અને $Q$ ના યામ $(\frac{1}{t^{2}}, -\frac{2}{t})$ છે.
$PQ$ એ $R(3, 0)$ આગળ $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $PR$ અને $QR$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$PR$ નો ઢાળ $= \frac{2t-0}{t^{2}-3} = \frac{2t}{t^{2}-3}$.
$QR$ નો ઢાળ $= \frac{-2/t-0}{1/t^{2}-3} = \frac{-2/t}{(1-3t^{2})/t^{2}} = \frac{-2t}{1-3t^{2}}$.
ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,$\frac{2t}{t^{2}-3} \times \frac{-2t}{1-3t^{2}} = -1$.
$\frac{-4t^{2}}{(t^{2}-3)(1-3t^{2})} = -1 \Rightarrow 4t^{2} = (t^{2}-3)(1-3t^{2}) = t^{2} - 3t^{4} - 3 + 9t^{2} = -3t^{4} + 10t^{2} - 3$.
$3t^{4} - 6t^{2} + 3 = 0 \Rightarrow 3(t^{2}-1)^{2} = 0 \Rightarrow t^{2} = 1$.
આમ,$P$ એ $(1, 2)$ અને $Q$ એ $(1, -2)$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $4$ છે,જે ઉપવલય $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ છે. તેથી,$\frac{2b^{2}}{a} = 4 \Rightarrow b^{2} = 2a$.
ઉપવલયની નાભિ $(ae, 0)$ છે. $PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,રેખા $x=1$ એ નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ,તેથી $ae = 1$.
$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,$b^{2} = 2a$ અને $e^{2} = \frac{1}{a^{2}}$ મૂકતા:
$2a = a^{2}(1 - \frac{1}{a^{2}}) = a^{2} - 1$.
$a^{2} - 2a - 1 = 0$. $a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. $a>0$ હોવાથી,$a = 1+\sqrt{2}$.
તેથી $e^{2} = \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{1+2+2\sqrt{2}} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3-2\sqrt{2}$.
તેથી,$\frac{1}{e^{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2}$.