$20$ એકમ લંબાઈનો એક સળિયો તેના છેડાઓ કાટખૂણે રહેલી બે નિશ્ચિત સીધી રેખાઓ પર ગતિ કરે છે. સળિયા પર એક છેડાથી $8$ એકમ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ દ્વારા બનતા શંકુ આકારની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

$\lambda$ ના એવા મૂલ્યો,જેના માટે બિંદુ $(\lambda, \lambda-2)$ એ ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ ની અંદર અને પરવલય $y^2=x$ ની બહાર આવેલું હોય,તે નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

ધારો કે $L$ એ પરવલય $y^{2}=4x-20$ ને બિંદુ $(6,2)$ આગળ સ્પર્શતી રેખા છે. જો $L$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{b}=1$ ને પણ સ્પર્શતી હોય,તો $b$ ની કિંમત ..... થાય.

પરવલય $y^{2}=8 \sqrt{3} x$ અને અતિવલય $4 x^{2}-y^{2}=4$ ને ધન ઢાળ ધરાવતા સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ શું છે?

અતિવલય $H : x^{2} - y^{2} = 1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે જ્યાં $a > b > 0$,ધારો કે $(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે,અને $(2)$ રેખા $y = \sqrt{\frac{5}{2}} x + K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે. તો $4(a^{2} + b^{2})$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $a, b$ અને $\lambda$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $P$ એ પરવલય $y^2 = 4 \lambda x$ ના નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ છે,અને ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એ બિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય છે. જો બિંદુ $P$ આગળ પરવલય અને ઉપવલયના સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?