ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 8$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોના સમીકરણો કયા છે?

એક ઉપવલય અને એક અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ સમાન છે,નાભિઓ સમાન છે અને એકની ગૌણ અક્ષ એ બીજાની અનુબદ્ધ અક્ષ સમાન છે. જો $e_1$ અને $e_2$ તેમની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e_1^{-2} + e_2^{-2}$ ની કિંમત શોધો.

લંબચોરસ અતિવલય $xy = a^2$ ની જીવા $PQ$ એ $x$-અક્ષને $A$ બિંદુમાં મળે છે. જો $C(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોય અને $O$ એ ઉગમબિંદુ હોય,તો $\Delta ACO$ કેવો ત્રિકોણ છે?

ધારો કે $P$ એ પરવલય $y^2 = 12x$ અને અતિવલય $8x^2 - y^2 = 8$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. જો $S$ અને $S'$ એ અતિવલયના નાભિઓ દર્શાવતા હોય,જ્યાં $S$ એ ધન $x$-અક્ષ પર આવેલું હોય,તો $P$ એ $SS'$ ને કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે?

એક વર્તુળનો વિચાર કરો જેનું કેન્દ્ર પરવલય $y^2 = 2px$ ના નાભિ પર આવેલું છે અને તે પરવલયની નિયામિકાને સ્પર્શે છે. તો,વર્તુળ અને પરવલયનું છેદબિંદુ કયું છે?

$PQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની $P$ આગળની અભિલંબ જીવા છે,જ્યાં $A$ એ પરવલયનું શિરોબિંદુ છે. $P$ માંથી $AQ$ ને સમાંતર એક રેખા દોરવામાં આવે છે જે $x$-અક્ષને $R$ માં મળે છે. તો $AR$ ની લંબાઈ કેટલી થાય?