Mix Examples-Conic Sections Questions in Gujarati

(D) આપેલ ગણ $A = \{(x, y) : x^2 + y^2 = 5^2\}$ છે,જે કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$B = \{(x, y) : x^2 + 9y^2 = 144\}$ છે. $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{12^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ થાય છે. આ ઉપવલય (ellipse) દર્શાવે છે જેની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 12$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 4$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $5$ છે અને ઉપવલયની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $4$ અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $12$ છે,તેથી વર્તુળ ઉપવલયને ચાર ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
આમ,$A \cap B$ માં ચાર બિંદુઓ છે.

(A) ધારો કે વક્રો $C_1: ax^2 + by^2 = 1$ અને $C_2: a'x^2 + b'y^2 = 1$ છે.
$C_1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2ax + 2by \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{ax}{by}$.
$C_2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2a'x + 2b'y \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{a'x}{b'y}$.
લંબરૂપે છેદવા માટે,છેદબિંદુ $(x, y)$ આગળ ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ:
$(-\frac{ax}{by}) \times (-\frac{a'x}{b'y}) = -1$
$\frac{aa'x^2}{bb'y^2} = -1$
બંને મૂળ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a - a')x^2 + (b - b')y^2 = 0$,જે આપે છે $\frac{x^2}{y^2} = \frac{b' - b}{a - a'}$.
આ કિંમત ગુણાકારની શરતમાં મૂકતા:
$\frac{aa'}{bb'} \times \frac{b' - b}{a - a'} = -1$
$aa'(b' - b) = -bb'(a - a')$
$aa'b' - aa'b = -bba' + bb'a$
$aa'b' - bb'a = aa'b - bba'$
$aa'bb'$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{b'} = \frac{1}{a'} - \frac{1}{a}$
ગોઠવતા $\frac{1}{a} - \frac{1}{a'} = \frac{1}{b} - \frac{1}{b'}$ મળે છે.

(B) પ્રથમ વક્ર માટે,$x = t^2 + 1$ અને $y = 2t$. $t = \frac{y}{2}$ ને $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x = (\frac{y}{2})^2 + 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 = 4(x - 1)$ થાય છે.
બીજા વક્ર માટે,$x = 2s$ અને $y = \frac{2}{s}$. તેમનો ગુણાકાર કરતા $xy = (2s)(\frac{2}{s}) = 4$ મળે છે,એટલે કે $xy = 4$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = \frac{4}{x}$ ને $y^2 = 4x - 4$ માં મૂકતા:
$(\frac{4}{x})^2 = 4x - 4$
$\frac{16}{x^2} = 4(x - 1)$
$4 = x^2(x - 1)$
$x^3 - x^2 - 4 = 0$.
$x = 2$ મૂકતા,$8 - 4 - 4 = 0$ મળે છે,જે સાચું છે.
જો $x = 2$ હોય,તો $y = \frac{4}{2} = 2$.
આમ,છેદબિંદુ $(2, 2)$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ છે,જેને $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{81}{25}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ મળે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm a e_1, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$,તેથી $a = 4$.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$4e = 3$,જે $e = \frac{3}{4}$ આપે છે.
ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - (\frac{3}{4})^2) = 16(1 - \frac{9}{16}) = 16(\frac{7}{16}) = 7$.

(D) ઉપવલય $5x^2 + 9y^2 = 45$ માટે,$45$ વડે ભાગતા $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ મળે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
અતિવલય $5x^2 - 4y^2 = 45$ માટે,$45$ વડે ભાગતા $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{45/4} = 1$ મળે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = \frac{45}{4}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{45/4}{9}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$ee' = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$.

(D) પરવલય $y^2 = 2px$ ની નાભિ $S = (p/2, 0)$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -p/2$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(p/2, 0)$ છે અને તે નિયામિકાને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = p$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - p/2)^2 + y^2 = p^2$ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 2px$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને છેદબિંદુઓ $\left( \frac{p}{2}, p \right)$ અને $\left( \frac{p}{2}, -p \right)$ મળે છે.

(D) ધારો કે પરવલય ${y^2} = 8x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે.
આ રેખા અતિવલય $xy = -1$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,આપણે $x = \frac{-1}{y}$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$y = m(\frac{-1}{y}) + \frac{2}{m}$
$y^2 = -m + \frac{2y}{m}$
$my^2 - 2y + m^2 = 0$.
રેખા સ્પર્શક હોય તે માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (-2)^2 - 4(m)(m^2) = 0$
$4 - 4m^3 = 0$
$m^3 = 1 \implies m = 1$.
$m = 1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = (1)x + \frac{2}{1}$
$y = x + 2$.

(C) આપેલ ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $R \equiv (\sqrt{2} \cos \theta, \sin \theta)$ છે.
$R$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A \equiv (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$ માં અને $y$-અક્ષને $B \equiv (0, \csc \theta)$ માં છેદે છે.
ધારો કે $Q(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}}$ અને $k = \frac{\csc \theta}{2}$ થાય.
આથી $\cos \theta = \frac{1}{h\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2k}$ મળે.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{1}{h\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ છે.

(D) ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $Q(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ એ બેવડી કોટિના અંત્યબિંદુઓ છે.
$O(0, 0)$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે.
બેવડી કોટિની લંબાઈ $PQ = 2b \tan \theta$ છે.
$\triangle OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$OP = OQ = PQ$ થાય.
$OP^2 = (a \sec \theta)^2 + (b \tan \theta)^2 = a^2 \sec^2 \theta + b^2 \tan^2 \theta$.
વળી,$PQ^2 = (2b \tan \theta)^2 = 4b^2 \tan^2 \theta$.
$OP^2 = PQ^2$ ને સરખાવતા,$a^2 \sec^2 \theta + b^2 \tan^2 \theta = 4b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 \sec^2 \theta = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 \frac{1}{\cos^2 \theta} = 3b^2 \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \implies a^2 = 3b^2 \sin^2 \theta$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2 = 3a^2(e^2 - 1) \sin^2 \theta$.
$1 = 3(e^2 - 1) \sin^2 \theta \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{3(e^2 - 1)}$.
$0 < \sin^2 \theta < 1$ હોવાથી,$0 < \frac{1}{3(e^2 - 1)} < 1$.
$3(e^2 - 1) > 1 \implies e^2 - 1 > 1/3 \implies e^2 > 4/3$.
આમ,$e > 2/\sqrt{3}$.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ અને અતિવલય $x^2 - y^2 = 1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
આમાંથી, $x = 1$ એ બિંદુ $P\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ ની નજીક છે.
તેથી, જરૂરી ઉપવલયની નિયામિકા $x = 1$ છે.
ધારો કે $Q(x, y)$ એ ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ, નાભિ $P$ થી અંતર $QP = e \times (\text{\text{નિયામિકાથી અંતર}})$.
$QP = \sqrt{(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2}$ અને નિયામિકા $x = 1$ થી અંતર $|x - 1|$ છે.
$e = 1/2$ આપેલ હોવાથી, $\sqrt{(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2} = \frac{1}{2} |x - 1|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}(x - 1)^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{(x - 1/3)^2}{1/9} + \frac{(y - 1)^2}{1/12} = 1$.

(A) પરવલય $y^2 = 8x$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $c^2 = a^2m^2 - b^2$ ની શરત મુજબ $c^2 = m^2 - 3$ થાય.
$\frac{4}{m^2} = m^2 - 3$ લેતા,$m^4 - 3m^2 - 4 = 0$ મળે.
આથી $m^2 = 4$,એટલે કે $m = \pm 2$.
આ કિંમતો મૂકતા,સામાન્ય સ્પર્શકો $2x \pm y + 1 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2|x| + 3|y| = 6$ છે.
આ સમીકરણ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષે સંમિત સમબાજુ ચતુષ્કોણ દર્શાવે છે.
અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y=0$ લેતા $2|x|=6$ મળે,તેથી $|x|=3$,એટલે કે $x = \pm 3$.
$x=0$ લેતા $3|y|=6$ મળે,તેથી $|y|=2$,એટલે કે $y = \pm 2$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $(3, 0), (-3, 0), (0, 2)$ અને $(0, -2)$ છે.
વિકર્ણોની લંબાઈ $d_1 = 3 - (-3) = 6$ અને $d_2 = 2 - (-2) = 4$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ ચોરસ એકમ.

(A) પગલું $1$: સ્તંભ-$II$ ની પદાવલીઓનું વિશ્લેષણ કરો.
$P$: રેખા $hx + ky = 1$ એ $x^2 + y^2 = 4$ (ત્રિજ્યા $r=2$) ને સ્પર્શે છે. ઉગમબિંદુથી રેખાનું અંતર $1/\sqrt{h^2 + k^2} = 2 \implies h^2 + k^2 = 1/4$. આ એક વર્તુળ છે.
$Q$: $|z + 2| - |z - 2| = \pm 3$. આ અતિવલય દર્શાવે છે.
$R$: ઉત્કેન્દ્રતા $e \in [1, \infty)$ માં પરવલય $(e=1)$ અને અતિવલય $(e>1)$ બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
$S$: $Re(z+1)^2 = |z|^2 + 1$. સાદું રૂપ આપતા $x = y^2$ મળે છે,જે પરવલય છે.
પગલું $2$: સ્તંભ-$I$ સાથે જોડો.
$A$ (વર્તુળ) $\to P$.
$B$ (પરવલય) $\to S, R$.
$C$ (અતિવલય) $\to Q, R$.
આમ,$A \to (P), B \to (R, S), C \to (Q, R)$.

(C) ધારો કે $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ છે. $PQ$ એ દ્વિ-કોટિ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(at^2, -2at)$ થાય.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $9y^2 = 4ax$ છે.

(C) $|x| + |y| = 1$ સમીકરણ એ $(1, 0)$,$(0, 1)$,$(-1, 0)$,અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ દર્શાવે છે.
આ ચોરસના વિકર્ણો અક્ષો પર છે જેની લંબાઈ $d_1 = 2$ અને $d_2 = 2$ છે.
પરસ્પર લંબ વિકર્ણો ધરાવતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,બિંદુ $(2t^2, 4t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt = x + 2t^2$ છે.
આ રેખા અતિવલય $xy = -1$ નો પણ સ્પર્શક છે. $x = \frac{yt - 2t^2}{1}$ ને $xy = -1$ માં મૂકતા,આપણને $y(\frac{yt - 2t^2}{1}) = -1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $ty^2 - 2t^2y + 1 = 0$ થાય છે.
રેખા સ્પર્શક હોય તે માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = (-2t^2)^2 - 4(t)(1) = 0$
$4t^4 - 4t = 0$
$4t(t^3 - 1) = 0$
અહીં $t \neq 0$ હોવાથી (કારણ કે $t=0$ લેતા $x=0$ મળે,જે $xy=-1$ નો સ્પર્શક નથી),$t^3 = 1$,તેથી $t = 1$.
$t = 1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $yt = x + 2t^2$ માં મૂકતા,આપણને $y(1) = x + 2(1)^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 2$ થાય છે.

(C) ધારો કે નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $L(x_1, y_1)$ અને $L'(x_2, y_2)$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ થાય.
પરવલયની અક્ષ એ નાભિલંબને લંબ હોય છે અને તેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અક્ષ માટે બે શક્ય દિશાઓ મળે છે.
આમ,આપેલા નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ વડે બરાબર $2$ પરવલયો દોરી શકાય છે.

(A) ધારો કે $P(h, k)$ એ ગતિ કરતું બિંદુ છે જેનો બિંદુપથ શોધવાનો છે.
આપેલ શરત મુજબ,$P$ નું ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી અંતર તેના $y$-અક્ષથી અંતર કરતાં બમણું છે.
$P(h, k)$ નું $O(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{h^2 + k^2}$ છે.
$P(h, k)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $|h|$ છે.
તેથી,$\sqrt{h^2 + k^2} = 2|h|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$h^2 + k^2 = 4h^2$
$k^2 = 3h^2$
$3h^2 - k^2 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3x^2 - y^2 = 0$ મળે છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4x$ નો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx + \frac{1}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
તે વર્તુળ $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ (કેન્દ્ર $(3, 0)$,ત્રિજ્યા $3$) ને સ્પર્શે જો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય:
$3 = \left| \frac{m(3) - 0 + \frac{1}{m}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9(m^2 + 1) = (3m + \frac{1}{m})^2$
$9m^2 + 9 = 9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2}$
$3 = \frac{1}{m^2}$ $\Rightarrow m^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
$X$-અક્ષની ઉપરના સ્પર્શક માટે,આપણે ધન ઢાળ $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ લઈએ છીએ:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$
$\sqrt{3}y = x + 3$

(B) ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ નાભિકેન્દ્ર $S = (-1, 1)$ અને નિયામિકા $L: x - y + 3 = 0$ છે.
ધારો કે $PM$ એ $P(x, y)$ માંથી નિયામિકા $x - y + 3 = 0$ પરનો લંબ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$SP = e \cdot PM$,જ્યાં $e = 1/2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$SP^{2} = e^{2} \cdot PM^{2}$.
$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = (1/2)^{2} \cdot \left( \frac{x - y + 3}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} \right)^{2}$
$(x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 2y + 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{(x - y + 3)^{2}}{2}$
$8(x^{2} + y^{2} + 2x - 2y + 2) = (x - y + 3)^{2}$
$8x^{2} + 8y^{2} + 16x - 16y + 16 = x^{2} + y^{2} + 9 - 2xy + 6x - 6y$
$7x^{2} + 7y^{2} + 2xy + 10x - 10y + 7 = 0$
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $7x^{2} + 7y^{2} + 2xy + 10x - 10y + 7 = 0$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$B$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પર હોવાથી,$y^2 = 4ax$ મળે.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y}{x}$ છે.
$BC \perp AB$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{x}{y}$ થાય.
બિંદુ $(x, y)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $(Y - y) = -\frac{x}{y}(X - x)$ છે.
પરવલયની અક્ષ પર (જ્યાં $Y = 0$) બિંદુ $C$ શોધવા માટે,$Y = 0$ મૂકતા:
$-y = -\frac{x}{y}(X - x) \implies y^2 = x(X - x) \implies 4ax = x(X - x) \implies 4a = X - x$.
આમ,અક્ષ પર $BC$ નો પ્રક્ષેપ $DC = X - x = 4a$ થાય.

(C) બિંદુ $P(3, 4)$ માટે ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ના સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ $\frac{3x}{9} + \frac{4y}{4} = 1$ એટલે કે $x + 3y = 3$ મળે.
સ્પર્શ બિંદુઓ $A(3, 0)$ અને $B(-9/5, 8/5)$ છે.
લંબકેન્દ્ર $R$ એ વેધનું છેદબિંદુ છે. $PB$ નો ઢાળ $\frac{4 - 8/5}{3 - (-9/5)} = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $A$ માંથી પસાર થતા વેધનો ઢાળ $-2$ થાય. તેનું સમીકરણ $2x + y = 6$ છે.
$PA$ એ શિરોલંબ રેખા છે,તેથી $B$ માંથી પસાર થતો વેધ સમક્ષિતિજ રેખા $y = 8/5$ થશે.
આ બંને રેખાઓનો ઉકેલ મેળવતા $R = \left( \frac{11}{5}, \frac{8}{5} \right)$ મળે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
આકૃતિ પરથી,એક સ્પર્શક $P(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને ઉપવલયને $A(3, 0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
ધારો કે બીજા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. તે $P(3, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4 = 3m + c$,એટલે કે $c = 4 - 3m$.
રેખા $y = mx + c$ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
$c = 4 - 3m$,$a^2 = 9$,અને $b^2 = 4$ મૂકતા:
$(4 - 3m)^2 = 9m^2 + 4$
$16 - 24m + 9m^2 = 9m^2 + 4$
$24m = 12 \implies m = \frac{1}{2}$.
તેથી $c = 4 - 3(\frac{1}{2}) = 4 - 1.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$.
સ્પર્શક $y = mx + c$ માટે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ એ $\left( -\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c} \right)$ દ્વારા મળે છે.
$x_1 = -\frac{9 \times (1/2)}{5/2} = -\frac{9}{5}$.
$y_1 = \frac{4}{5/2} = \frac{8}{5}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $A(3, 0)$ અને $B\left( -\frac{9}{5}, \frac{8}{5} \right)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $x^2 - 5x + 6 = 0$ અને $y^2 - 6y + 5 = 0$ છે.
તેને ઉકેલતા,આપણને $x = 2, 3$ અને $y = 1, 5$ મળે છે.
સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $(2, 1), (3, 1), (3, 5),$ અને $(2, 5)$ છે.
વિકર્ણ $d_1$ એ $(2, 1)$ અને $(3, 5)$ ને જોડે છે. તેનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{5 - 1}{3 - 2}(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 4(x - 2)$ $\Rightarrow y = 4x - 7$ છે.
વિકર્ણ $d_2$ એ $(3, 1)$ અને $(2, 5)$ ને જોડે છે. તેનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{5 - 1}{2 - 3}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = -4(x - 3)$ $\Rightarrow 4x + y = 13$ છે.
આમ,વિકર્ણોના સમીકરણો $4x + y = 13$ અને $y = 4x - 7$ છે.

(B) વર્તૂળ $(x-4)^2 + y^2 = 16$ નું કેન્દ્ર $(4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બિંદુ $P(3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{3} - \frac{y \tan \theta}{2} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(4, 0)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $4$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|\frac{4 \sec \theta}{3} - 1|}{\sqrt{\frac{\sec^2 \theta}{9} + \frac{\tan^2 \theta}{4}}} = 4$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\sec \theta = -3/2$ અને $\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,માંગેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ $2x - \sqrt{5}y + 4 = 0$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
આ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો તે $c^2 = a^2m^2 + b^2$ શરતનું પાલન કરે,જ્યાં $c = \frac{1}{m}$,$a^2 = 4$,અને $b^2 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{m})^2 = 4m^2 + 3$.
ધારો કે $m^2 = t$,તો $\frac{1}{t} = 4t + 3$,જેનો અર્થ છે $4t^2 + 3t - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(4t - 1)(t + 1) = 0$.
$t = m^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $t = \frac{1}{4}$,એટલે કે $m = \pm \frac{1}{2}$.
$m = \frac{1}{2}$ માટે,સ્પર્શક $y = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow x - 2y + 4 = 0$ મળે.
$m = -\frac{1}{2}$ માટે,સ્પર્શક $y = -\frac{1}{2}x - 2 \Rightarrow x + 2y + 4 = 0$ મળે.

(D) પ્રથમ વક્ર એ $x^2 + y^2 = 2^2$ વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
બીજો વક્ર એ ઉપવલય $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{2} = 1$ છે જ્યાં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 2$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
$a^2 = 1$ અને $b^2 = 2$ મૂકતા,આપણને $y = mx \pm \sqrt{m^2 + 2}$ મળે,જેને $mx - y \pm \sqrt{m^2 + 2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|m(0) - 0 \pm \sqrt{m^2 + 2}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{m^2 + 2}{m^2 + 1} = 4$ મળે.
$m^2 + 2 = 4m^2 + 4$.
$3m^2 = -2$,જે $m^2 = -2/3$ આપે છે.
વાસ્તવિક સ્પર્શકો માટે $m^2$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આ બે વક્રો માટે કોઈ વાસ્તવિક સામાન્ય સ્પર્શક નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
અહીં,$a^2 = 16$,$b^2 = 3$,$x_1 = 2$,અને $y_1 = \frac{3}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{16x}{2} - \frac{3y}{3/2} = 16 - 3$.
$8x - 2y = 13$,જેનું સાદું રૂપ $2y = 8x - 13$ અથવા $y = 4x - \frac{13}{2}$ થાય છે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4Ax$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c = \frac{A}{m}$ છે.
અહીં,$m = 4$ અને $c = -\frac{13}{2}$ છે.
તેથી,$-\frac{13}{2} = \frac{A}{4} \implies A = -26$.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4Ax = 4(-26)x = -104x$ છે.

(D) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ છે.
$\frac{1}{25}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{144/25} - \frac{y^2}{81/25} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{81}{25}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ છે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a^2 = 16$,તેથી $a = 4$ છે.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae', 0) = (\pm 4e', 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$4e' = 3$,તેથી $e' = \frac{3}{4}$ છે.
ઉપવલય માટે,$e'^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{b^2}{16}$ મળે.
$\frac{9}{16} = 1 - \frac{b^2}{16} \Rightarrow \frac{b^2}{16} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ છે.
તેથી,$b^2 = 7$.

(C) ધારો કે વક્રો $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $C_2: x^2 - y^2 = c^2$ છે.
$C_1$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $y'_1 = -\frac{b^2x}{a^2y}$.
$C_2$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $y'_2 = \frac{x}{y}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,છેદબિંદુ $(x, y)$ આગળ તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$y'_1 \times y'_2 = -1$
$(-\frac{b^2x}{a^2y}) \times (\frac{x}{y}) = -1$
$\frac{b^2x^2}{a^2y^2} = 1 \implies b^2x^2 = a^2y^2$.
$C_2$ પરથી,$y^2 = x^2 - c^2$. આ કિંમત ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$b^2x^2 = a^2(x^2 - c^2) \implies x^2(a^2 - b^2) = a^2c^2$.
$C_1$ પરથી,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 - c^2}{b^2} = 1$ ઉકેલતા $x^2 = \frac{a^2(b^2 + c^2)}{a^2 + b^2}$ મળે.
બંને $x^2$ ની કિંમતો સરખાવતા:
$\frac{a^2c^2}{a^2 - b^2} = \frac{a^2(b^2 + c^2)}{a^2 + b^2}$
$c^2(a^2 + b^2) = (b^2 + c^2)(a^2 - b^2)$
$a^2c^2 + b^2c^2 = a^2b^2 - b^4 + a^2c^2 - b^2c^2$
$2b^2c^2 = a^2b^2 - b^4$
$b^2$ વડે ભાગતા:
$2c^2 = a^2 - b^2$.

(C) ધારો કે બે વક્રો $C_1: x^2 - y^2 = 5$ અને $C_2: \frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = x^2 - 5$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{18} + \frac{x^2 - 5}{8} = 1
\Rightarrow 4x^2 + 9(x^2 - 5) = 72
\Rightarrow 13x^2 = 117
\Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
જો $x^2 = 9$ હોય,તો $y^2 = 9 - 5 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
હવે,$C_1$ નું વિકલન કરતા: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
બિંદુ $(3, 2)$ આગળ,$m_1 = \frac{3}{2}$.
$C_2$ નું વિકલન કરતા: $\frac{2x}{18} + \frac{2y}{8} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}$.
બિંદુ $(3, 2)$ આગળ,$m_2 = -\frac{4(3)}{9(2)} = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3}$.
અહીં $m_1 \times m_2 = (\frac{3}{2}) \times (-\frac{2}{3}) = -1$ હોવાથી,વક્રો $\frac{\pi}{2}$ ના ખૂણે છેદે છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + p^3 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = p^3$ છે.
કારણ કે $(\alpha, \beta)$ એ પરવલય $y^2 = x$ પર આવેલું છે,તેથી $\beta^2 = \alpha$ થાય.
બીજના ગુણાકારમાં $\alpha = \beta^2$ મૂકતા: $\beta^2 \cdot \beta = p^3$ $\Rightarrow \beta^3 = p^3$ $\Rightarrow \beta = p$.
હવે,બીજના સરવાળાના સમીકરણમાં $\beta = p$ અને $\alpha = p^2$ મૂકતા: $p^2 + p = -p$.
આથી $p^2 + 2p = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $p(p + 2) = 0$ થાય.
$p \neq 0$ હોવાથી,$p = -2$ મળે.
$p = -2$ કિંમત મૂકતા: $\beta = p = -2$ અને $\alpha = p^2 = (-2)^2 = 4$.
આમ,બીજ $4$ અને $-2$ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી આ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબનો પાદ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{b \cos \theta}{a \sin \theta}$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{k}{h}$ છે.
લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} = 1$ ના આધારે સાદું રૂપ આપતા બિંદુપથ $(x^2 + y^2)^2 = a^2x^2 + b^2y^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બે સ્પર્શકો બિંદુઓ $t_1$ અને $t_2$ પર છે.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$t_1 t_2 = -1$ થાય.
બિંદુ $t$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે.
અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા,$x = -at^2$ મળે.
તેથી,છેદબિંદુઓ $P_1 = (-at_1^2, 0)$ અને $P_2 = (-at_2^2, 0)$ છે.
પરવલયનું નાભિ $S$ એ $(a, 0)$ છે.
અંતર $SP_1 = a(1 + t_1^2)$ અને $SP_2 = a(1 + t_2^2)$ થાય.
આપણે $\frac{1}{SP_1} + \frac{1}{SP_2} = \frac{1}{a(1 + t_1^2)} + \frac{1}{a(1 + t_2^2)}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$t_2 = -\frac{1}{t_1}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{a(1 + t_1^2)} + \frac{t_1^2}{a(t_1^2 + 1)} = \frac{1 + t_1^2}{a(1 + t_1^2)} = \frac{1}{a}$ મળે છે.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4x$ પર બિંદુ $P(t^2, 2t)$ છે.
બિંદુ $P(t^2, 2t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + t^2$ છે.
સ્પર્શકનો $x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા,$x = -t^2$ મળે. આમ,સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(-t^2, 0)$ માં છેદે છે.
બિંદુ $P$ નો કોટિ $PN = 2t$ છે,જ્યાં $N$ એ $P$ નો $x$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $N(t^2, 0)$ છે.
સ્પર્શક,$P$ નો કોટિ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ $\triangle APN$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $AN = |t^2 - (-t^2)| = 2t^2$ અને વેધ $PN = 2t$ છે.
$\triangle APN$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2t^2) \times (2t) = 2t^3$.
આપેલ છે કે $t^2 \in [1, 4]$,તેથી $t \in [1, 2]$ (પ્રથમ ચરણ માટે $t > 0$ લેતા).
આમ,$A = 2t^3 = 2(t^2)^{3/2}$.
$t^2 \in [1, 4]$ હોવાથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $t^2 = 4$ માટે મળે છે.
$A_{max} = 2(4)^{3/2} = 2(8) = 16$.

(B) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ છે. નાભિઓ $(\pm ae_1, 0)$ છે.
ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ છે જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ છે. નાભિઓ $(\pm Ae_2, 0)$ છે.
સમાન નાભિઓ હોવાથી,$ae_1 = Ae_2$.
આપેલ છે કે ઉપવલયની ગૌણ અક્ષ $(2b)$ એ અતિવલયની અનુબદ્ધ અક્ષ $(2B)$ સમાન છે,તેથી $b = B$,એટલે કે $b^2 = B^2$.
ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e_1^2)$.
અતિવલય માટે,$B^2 = A^2(e_2^2 - 1)$.
$b^2$ અને $B^2$ ને સરખાવતા,$a^2(1 - e_1^2) = A^2(e_2^2 - 1)$.
$ae_1 = Ae_2$ હોવાથી,$A = \frac{ae_1}{e_2}$.
સમીકરણમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $a^2 - a^2e_1^2 = (\frac{ae_1}{e_2})^2(e_2^2 - 1) = a^2e_1^2 - \frac{a^2e_1^2}{e_2^2}$.
$a^2$ વડે ભાગતા: $1 - e_1^2 = e_1^2 - \frac{e_1^2}{e_2^2}$.
$1 = 2e_1^2 - \frac{e_1^2}{e_2^2}$.
$e_1^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{e_1^2} = 2 - \frac{1}{e_2^2}$.
તેથી,$e_1^{-2} + e_2^{-2} = 2$.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
$P(t_1)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m_1 = -t_1 = \tan \alpha$ છે.
$Q(t_2)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = -t_2 = \tan \beta$ છે.
$t_1$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_2$ આગળ મળે તે માટેનો સંબંધ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ છે.
$t_1$ વડે ગુણતા,આપણને $t_1 t_2 = -t_1^2 - 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t_1^2 + t_1 t_2 = -2$.
$t_1 = -\tan \alpha$ અને $t_2 = -\tan \beta$ મૂકતા:
$(-\tan \alpha)^2 + (-\tan \alpha)(-\tan \beta) = -2$
$\tan^2 \alpha + \tan \alpha \tan \beta = -2$
$\tan \alpha (\tan \alpha + \tan \beta) = -2$.

(C) ધારો કે $PF_1 = y$ અને $PF_2 = x$. ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$x + y = 2a$,જ્યાં $2a$ એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ છે. આપેલ છે કે $2a = 17$,તેથી $x + y = 17$.
વર્તુળ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ છે,તેથી $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ થાય.
ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times x \times y = 30$,તેથી $xy = 60$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $F_1F_2 = \sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (17)^2 - 2(60) = 289 - 120 = 169$.
તેથી,$F_1F_2 = \sqrt{169} = 13$.

(D) $(0, 1)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ છે,જે $x^2 + y^2 - 2y = 0$ માં પરિણમે છે.
આપેલ પરવલય $y = ax^2$ માટે,$x^2 = y/a$ ($a \neq 0$ માટે).
વર્તુળના સમીકરણમાં $x^2 = y/a$ મૂકતા:
$y/a + y^2 - 2y = 0$
$y(y + 1/a - 2) = 0$
આથી $y = 0$ (ઉગમબિંદુ) અથવા $y = 2 - 1/a$ મળે છે.
વક્રો ઉગમબિંદુ સિવાયના બિંદુએ મળે તે માટે,$y > 0$ અને $x^2 > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$2 - 1/a > 0$ $\Rightarrow 2 > 1/a$ $\Rightarrow a > 1/2$ (કારણ કે પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે અને ઉગમબિંદુની ઉપર વર્તુળને છેદે તે માટે $a$ ધન હોવું જોઈએ).
આમ,મૂલ્યોનો જરૂરી ગણ $a \in (1/2, \infty)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $T$ ના યામ $(h, k)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $T(h, k)$ માંથી દોરેલી સ્પર્શકની જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $ky = 2a(x + h)$ છે.
જીવા $PQ$ એ નિશ્ચિત બિંદુ $(-a, b)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે $x = -a$ અને $y = b$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$b(k) = 2a(-a + h)$
$bk = 2a(h - a)$
$T$ નો બિંદુપથ શોધવા માટે $(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$by = 2a(x - a)$

(A) ધારો કે $P$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
$P$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{t_1} = \tan \theta_1$ છે,તેથી $\cot \theta_1 = t_1$.
$Q$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{t_2} = \tan \theta_2$ છે,તેથી $\cot \theta_2 = t_2$.
$OP$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - at_1^2x - 2at_1y = 0$ છે.
$OQ$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - at_2^2x - 2at_2y = 0$ છે.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા સામાન્ય જીવા $OR$ નું સમીકરણ $(t_1 + t_2)x + 2y = 0$ મળે છે.
$OR$ નો ઢાળ $\tan \phi = -\frac{t_1 + t_2}{2}$ છે.
આમ,$\cot \theta_1 + \cot \theta_2 = t_1 + t_2 = -2 \tan \phi$.

(D) ધારો કે અતિવલય $xy = c^2$ પરનું સ્પર્શબિંદુ $(ct, c/t)$ છે.
$(ct, c/t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x/t + yt = 2c$ છે,એટલે કે $x + t^2y = 2ct$.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -1/t^2$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી અને સ્પર્શકને લંબ રેખાનો ઢાળ $m' = t^2$ છે.
આ લંબ રેખાનું સમીકરણ $y = t^2x$ છે.
સ્પર્શકના સમીકરણ $x + t^2y = 2ct$ માં $t^2 = y/x$ મૂકતા:
$x + (y/x)y = 2c\sqrt{y/x} \implies x + y^2/x = 2c\sqrt{y/x}$.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2c\sqrt{xy}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x^2 + y^2)^2 = 4c^2xy$ મળે છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરનું બિંદુ $P(at^2, 2at)$ છે.
બિંદુ $P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે.
નિયામિકા $x = -a$ છે. સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = -a$ મૂકતા,$ty = -a + at^2$,તેથી $y = \frac{a(t^2 - 1)}{t}$. આમ,$U = (-a, \frac{a(t^2 - 1)}{t})$.
નાભિલંબ $x = a$ છે. સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = a$ મૂકતા,$ty = a + at^2$,તેથી $y = \frac{a(1 + t^2)}{t}$. આમ,$V = (a, \frac{a(1 + t^2)}{t})$.
નાભિ $S = (a, 0)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક નાભિ $S$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. તેથી,$\angle PSU = 90^\circ$.
આમ,$\triangle SUV$ એ $S$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
આ અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -t$ છે. અભિલંબ અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $m_N = \tan \phi$,એટલે કે $t = -\tan \phi$.
જો અભિલંબ વક્રને બિંદુ $t_1$ આગળ ફરીથી છેદે,તો $t_1 = -t - \frac{2}{t}$.
બિંદુ $t_1$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = \frac{1}{t_1}$ છે.
છેદબિંદુ આગળ અભિલંબ અને સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_N - m_T}{1 + m_N m_T} \right| = \frac{|t|}{2}$ મળે છે.
$t = -\tan \phi$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{\tan \phi}{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left( \frac{\tan \phi}{2} \right)$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{(a^2 + b^2)m^2 + b^2}$ છે.
જો આ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + b^2} = 1$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો તેની સ્પર્શકની શરત $c^2 = A^2m^2 + B^2$ સંતોષાવી જોઈએ,જ્યાં $A^2 = a^2$ અને $B^2 = a^2 + b^2$.
તેથી,$(a^2 + b^2)m^2 + b^2 = a^2m^2 + (a^2 + b^2)$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,$a^2m^2 + b^2m^2 + b^2 = a^2m^2 + a^2 + b^2$,જેનો અર્થ છે કે $b^2m^2 = a^2$.
તેથી,$m^2 = \frac{a^2}{b^2}$,એટલે કે $m = \pm \frac{a}{b}$.
$m = \pm \frac{a}{b}$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \pm \frac{a}{b}x \pm \sqrt{(a^2 + b^2)\frac{a^2}{b^2} + b^2} = \pm \frac{a}{b}x \pm \sqrt{\frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{b^2}}$.
$b$ વડે ગુણતા,આપણને $by = \pm ax \pm \sqrt{a^4 + a^2b^2 + b^4}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$by = ax - \sqrt{a^4 + a^2b^2 + b^4}$ એ સામાન્ય સ્પર્શક છે.

(C) અતિવલય $xy = c^2$ પરના બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ લો.
અતિવલયના પ્રાચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$x_1 = ct_1, y_1 = c/t_1$ અને $x_2 = ct_2, y_2 = c/t_2$ મળે.
જીવાનું સમીકરણ $x + t_1 t_2 y = c(t_1 + t_2)$ છે.
અહીં $t_1 = c/x_1$ અને $t_2 = c/x_2$ મૂકતા,આપણને મળે છે કે સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) અતિવલય $xy = a^2$ માટે મધ્યબિંદુ $C(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 2$ થાય છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા,$\frac{x}{h} = 2$ મળે,તેથી $x = 2h$. આમ,બિંદુ $A$ એ $(2h, 0)$ છે.
$\Delta ACO$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$C(h, k)$ અને $A(2h, 0)$ છે.
બાજુ $OC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{h^2 + k^2}$.
બાજુ $AC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(2h - h)^2 + (0 - k)^2} = \sqrt{h^2 + k^2}$.
અહીં $OC = AC$ હોવાથી,$\Delta ACO$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $x^2 + y^2 = 5$ અને $y^2 = 4x$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 4x$ મૂકતા: $x^2 + 4x = 5$.
$x^2 + 4x - 5 = 0$.
$(x + 5)(x - 1) = 0$.
પરવલય $y^2 = 4x$ માટે $x$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ માટે,$y^2 = 4(1) = 4$,તેથી $y = \pm 2$.
છેદબિંદુઓ $P(1, 2)$ અને $Q(1, -2)$ છે.
$PQ$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$.

(C) ધારો કે સ્પર્શ બિંદુ $(x, y)$ છે અને સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = m(X - x)$ છે.
$X$-અંતઃખંડ (જ્યાં $Y=0$) $X = x - \frac{y}{m}$ છે.
$Y$-અંતઃખંડ (જ્યાં $X=0$) $Y = y - mx$ છે.
સ્પર્શ બિંદુ $(x, y)$ એ અક્ષો વચ્ચેના ભાગને દુભાગે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}(x - \frac{y}{m} + 0)$ $\Rightarrow 2x = x - \frac{y}{m}$ $\Rightarrow \frac{y}{m} = -x$.
$m = \frac{dy}{dx}$ મૂકતા,$y \frac{dx}{dy} = -x \Rightarrow \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln y = -\ln x + C \Rightarrow xy = c$.
શંકુ $(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 2 \times 4 = 8$. આમ,સમીકરણ $xy = 8$ છે.
આ એક લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) છે.
$xy = 8$ ના નાભિઓ $(4, 4)$ અને $(-4, -4)$ છે.

(C) ધારો કે $P$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
$PQ$ એ $P$ આગળની અભિલંબ જીવા હોવાથી,આપણી પાસે સંબંધ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t_1t_2 + t_1^2 = -2$.
રેખા $AQ$ નો ઢાળ $m = \frac{2at_2 - 0}{at_2^2 - 0} = \frac{2}{t_2}$ છે.
$P(at_1^2, 2at_1)$ માંથી પસાર થતી અને $AQ$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ:
$y - 2at_1 = \frac{2}{t_2}(x - at_1^2)$.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y = 0$ લેતા:
$-2at_1 = \frac{2}{t_2}(x - at_1^2) \Rightarrow -at_1t_2 = x - at_1^2$.
$x = at_1^2 - at_1t_2$.
$t_1t_2 = -2 - t_1^2$ મૂકતા:
$x = at_1^2 - a(-2 - t_1^2) = at_1^2 + 2a + at_1^2 = 2a + 2at_1^2 = 2(a + at_1^2)$.
$A$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ હોવાથી,$AR$ ની લંબાઈ $|x| = 2(a + at_1^2)$ થાય.
બિંદુ $P(at_1^2, 2at_1)$ નું નાભિ અંતર $a + at_1^2$ છે.
આમ,$AR = 2 \times (P \text{ નું નાભિ અંતર})$.