Mix Examples-Conic Sections Questions in Gujarati

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે. અહીં $a^2=16$ અને $b^2$ એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષનો વર્ગ છે. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}$. નાભિ $(\pm 4 \times \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}, 0) = (\pm \sqrt{16-b^2}, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ માટે,તેને $\frac{x^2}{(12/5)^2}-\frac{y^2}{(9/5)^2}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{81}{25}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_2 = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{81/25}{144/25}} = \sqrt{1+\frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$\sqrt{16-b^2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16-b^2 = 9$,તેથી $b^2 = 7$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $S = \frac{x^2}{k-7} + \frac{y^2}{11-k} = 1$.
$k=9$ માટે: $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = 1$,જે $\sqrt{2}$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે. વિધાન $A$ સાચું છે.
$k=10$ માટે: $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{1} = 1$,જે $a^2=3, b^2=1$ વાળું ઉપવલય છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$. વિધાન $B$ સાચું છે.
$k=12$ માટે: $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{1} = 1$,જે $a^2=5, b^2=1$ વાળું અતિવલય છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$. વિધાન $C$ સાચું છે.
$k=13$ માટે: $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{2} = 1$,જે $a^2=6, b^2=2$ વાળું અતિવલય છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$. વિધાન $D$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $a = 2$. તેથી,$y = mx + \frac{2}{m}$.
આ રેખા અતિવલય $xy = -1$ નો પણ સ્પર્શક છે,જેને $y = -\frac{1}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + \frac{2}{m}$ ને $xy = -1$ માં મૂકતા,આપણને $x(mx + \frac{2}{m}) = -1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $mx^2 + \frac{2}{m}x + 1 = 0$ થાય.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = (\frac{2}{m})^2 - 4(m)(1) = 0$.
$\frac{4}{m^2} - 4m = 0 \implies 4 = 4m^3 \implies m^3 = 1 \implies m = 1$.
$m = 1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ માં મૂકતા,આપણને $y = x + 2$ અથવા $x - y + 2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ $xh - yk = h^2 - k^2$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા,$y = \frac{h}{k}x - \frac{h^2 - k^2}{k}$ મળે.
આ રેખા $y^2 = 4ax$ પરવલયને સ્પર્શે છે. રેખા $y = mx + c$ એ $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$m = \frac{h}{k}$ અને $c = -\frac{h^2 - k^2}{k}$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $-\frac{h^2 - k^2}{k} = \frac{ak}{h}$.
$-h(h^2 - k^2) = ak^2$.
$h(k^2 - h^2) = ak^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x(y^2 - x^2) = ay^2$ મળે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 8x$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે.
અતિવલય $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{m^2 - 3}$ છે.
સરખામણી કરતા,$\frac{2}{m} = \pm \sqrt{m^2 - 3}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4}{m^2} = m^2 - 3$,એટલે કે $m^4 - 3m^2 - 4 = 0$.
$t = m^2$ લેતા,$t^2 - 3t - 4 = 0$,તેથી $(t - 4)(t + 1) = 0$.
$m^2 = 4$ હોવાથી,$m = \pm 2$ મળે.
ધન ઢાળ માટે,$m = 2$.
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = 2x + 1$ અથવા $y - 2x - 1 = 0$ થાય.

(C) ધારો કે વક્રો $C_1: y^2 = 16x$ અને $C_2: 9x^2 + \alpha y^2 = 25$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ શોધો.
$C_1$ પરથી,$y^2 = 16x$. આ કિંમત $C_2$ માં મૂકતા: $9x^2 + \alpha(16x) = 25 \implies 9x^2 + 16\alpha x - 25 = 0$.
વક્રો કાટખૂણે છેદે તે માટે,છેદબિંદુ પર તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવો જોઈએ.
$C_1$ નું વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}$.
$C_2$ નું વિકલન કરતા: $18x + 2\alpha y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{\alpha y}$.
છેદબિંદુ પર,ઢાળનો ગુણાકાર $(\frac{8}{y})(-\frac{9x}{\alpha y}) = -1 \implies \frac{72x}{\alpha y^2} = 1$ થાય.
$y^2 = 16x$ હોવાથી,આપણને $\frac{72x}{\alpha(16x)} = 1 \implies \frac{72}{16\alpha} = 1 \implies 16\alpha = 72 \implies \alpha = \frac{72}{16} = \frac{9}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ વક્રો $2x^2 + ky^2 = 30$ ...$(i)$ અને $3y^2 = 28x$ ...(ii) છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $4x + 2ky \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{ky} = m_1$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $6y \frac{dy}{dx} = 28 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{14}{3y} = m_2$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
$\left( \frac{-2x}{ky} \right) \left( \frac{14}{3y} \right) = -1 \Rightarrow \frac{28x}{3ky^2} = 1$.
(ii) પરથી,$3y^2 = 28x$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{28x}{k(28x)} = 1 \Rightarrow \frac{1}{k} = 1 \Rightarrow k = 1$.

(C) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને $y^3 = 16x$ છે.
ધારો કે વક્રો બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર છેદે છે.
પ્રથમ વક્ર $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{a^2y}$.
તેથી,$m_1 = -\frac{4x_1}{a^2y_1}$.
બીજા વક્ર $y^3 = 16x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2}$.
તેથી,$m_2 = \frac{16}{3y_1^2}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{4x_1}{a^2y_1}) \times (\frac{16}{3y_1^2}) = -1$.
$\frac{64x_1}{3a^2y_1^3} = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ $y^3 = 16x$ પર હોવાથી,$y_1^3 = 16x_1$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{64x_1}{3a^2(16x_1)} = 1
\implies \frac{64x_1}{48a^2x_1} = 1
\implies \frac{4}{3a^2} = 1
\implies a^2 = \frac{4}{3}$.

(B) પ્રથમ,આપણે $l$ ની ગણતરી કરીએ:
$l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( 3 \frac{\sin \theta}{\theta} - 4 \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\theta} \right) = 3(1) - 4(0)(1) = 3$.
આગળ,આપણે $m$ ની ગણતરી કરીએ:
$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{\tan \theta}{\theta} \cdot \frac{2}{1 - \tan^2 \theta} \right) = 1 \cdot \frac{2}{1 - 0} = 2$.
$l=3$ અને $m=2$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (l+m)x + lm = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (3+2)x + (3 \times 2) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 5x + 6 = 0$ થાય છે.

(A) માટે: ધારો કે $x = \frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$ અને $y = \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$.
$\Rightarrow \frac{2x}{p} = t+\frac{1}{t}$ અને $\frac{2y}{q} = t-\frac{1}{t}$.
વર્ગ કરીને બાદબાકી કરતા: $\left(\frac{2x}{p}\right)^2 - \left(\frac{2y}{q}\right)^2 = \left(t+\frac{1}{t}\right)^2 - \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 = 4$.
$\Rightarrow \frac{x^2}{p^2} - \frac{y^2}{q^2} = 1$,જે અતિવલય દર્શાવે છે. આમ,$(A \rightarrow IV)$.
$(B)$ માટે: ધારો કે $x = p+q \cos \theta$ અને $y = r+q \sin \theta$.
$\Rightarrow (x-p) = q \cos \theta$ અને $(y-r) = q \sin \theta$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $(x-p)^2 + (y-r)^2 = q^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = q^2$.
આ વર્તુળ દર્શાવે છે. આમ,$(B \rightarrow II)$.
$(C)$ માટે: ધારો કે $x = p+\lambda^2$ અને $y = q-\lambda$.
$\Rightarrow \lambda = q-y$.
$x$ માં $\lambda$ ની કિંમત મુકતા: $x = p + (q-y)^2$.
$\Rightarrow (y-q)^2 = x-p$,જે પરવલય દર્શાવે છે. આમ,$(C \rightarrow I)$.
તેથી,સાચી જોડ $(A$ $\rightarrow IV, B$ $\rightarrow II, C$ $\rightarrow I)$ છે.

(D) પરવલય $y^2=16x$ માટે,$a=4$ છે. પરવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{4}{m}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=8$ માટે,ત્રિજ્યા $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ છે. વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm 2\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}$ છે.
બંને રેખાઓ સમાન હોવાથી,અચળ પદો સમાન થશે:
$\frac{4}{m} = \pm 2\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{16}{m^2} = 8(1+m^2)$.
$8$ વડે ભાગતા,$\frac{2}{m^2} = 1+m^2$,જે $m^4+m^2-2=0$ આપે છે.
$t=m^2$ લેતા,$t^2+t-2=0$,તેથી $(t+2)(t-1)=0$. $t=m^2 \ge 0$ હોવાથી,$m^2=1$,એટલે કે $m=\pm 1$.
$m=1$ મૂકતા: $y=x+4$.
$m=-1$ મૂકતા: $y=-x-4$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકો $y=x+4$ અને $y=-x-4$ છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \frac{b^2}{a})$ છે.
આ બિંદુઓ પરવલય $x^2 + 2ay - 4 = 0$ પર આવેલા હોવાથી,$x = ae$ અને $y = \frac{b^2}{a}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(ae)^2 + 2a(\frac{b^2}{a}) - 4 = 0$
$a^2e^2 + 2b^2 - 4 = 0$
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^2e^2 + 2a^2(1 - e^2) - 4 = 0$
$2a^2 - a^2e^2 = 4$
$a^2 = \frac{4}{2 - e^2}$ અને $b^2 = \frac{4(1 - e^2)}{2 - e^2}$ મળે.
$a^2 + b^2 = \frac{4 + 4 - 4e^2}{2 - e^2} = 4$.
તેથી,બિંદુઓ $(a, b)$ એ $x^2 + y^2 = 4$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(i)$ અને પરવલયનું સમીકરણ $y^2=8ax$ $(ii)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0 \Rightarrow y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$ મળે.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2yy'=8a \Rightarrow y'=\frac{4a}{y}$ મળે.
વક્રો લંબછેદી હોવાથી,તેમના સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$\left(-\frac{b^2x}{a^2y}\right) \times \left(\frac{4a}{y}\right) = -1$
$\Rightarrow \frac{4b^2x}{a^2y^2} = 1$ $\Rightarrow 4b^2x = a^2y^2$.
$y^2=8ax$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$4b^2x = a^2(8ax)$ $\Rightarrow 4b^2 = 8a^2$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{2}$.
ઉપવલય માટે $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$e^4 = (e^2)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $5x^2 + 9y^2 = 45$ છે. $45$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ મળે. અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $5x^2 - 4y^2 = 45$ છે. $45$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{45/4} = 1$ મળે. અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = \frac{45}{4}$. ઉત્કેન્દ્રતા $e^{\prime} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{45/4}{9}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$ee^{\prime} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$.

(B) $X$-અક્ષને લંબ રેખા $x = 3 \cos \alpha$ લો. વર્તુળ $x^2+y^2=9$ પરનું બિંદુ $A$ $(3 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ છે. $A$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 3$ છે. ઢાળ $m_1 = -\cot \alpha$ છે.
ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ પરનું બિંદુ $B$ $(3 \cos \alpha, 2 \sin \alpha)$ છે. $B$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $2x \cos \alpha + 3y \sin \alpha = 6$ છે. ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{3} \cot \alpha$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{\cot \alpha}{3 + 2 \cot^2 \alpha}$ મળે છે.
$f(u) = \frac{u}{3 + 2u^2}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$u = \sqrt{\frac{3}{2}}$ લેતા,$\tan \theta = \frac{1}{2 \sqrt{6}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 49$ અને $b^2 = 4$ છે,તેથી $c^2 = 49m^2 + 4$ $(i)$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ માટે,સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = r^2(1 + m^2)$ છે.
અહીં $r^2 = 16$ છે,તેથી $c^2 = 16(1 + m^2)$ (ii).
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$49m^2 + 4 = 16 + 16m^2$
$33m^2 = 12$
$m^2 = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}$
$m = \pm \frac{2}{\sqrt{11}}$
તેથી,ઢાળ $\frac{2}{\sqrt{11}}$ છે.

(D) આપેલ શંકુનું સમીકરણ: $\frac{5}{r}=2+3 \cos \theta+4 \sin \theta$.
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$.
આપણે $\frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$ ને $e \cos(\theta - \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ,જ્યાં $e = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
આમ,સમીકરણ $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{5}{2} \cos(\theta - \phi)$ બને છે.
આને પ્રમાણિત ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\frac{l}{r} = 1 + e \cos(\theta - \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ છે,જેને $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a_1^2 = \frac{144}{25}$ અને $b_1^2 = \frac{81}{25}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિઓ $(\pm a_2 e_2, 0) = (\pm 4 e_2, 0)$ છે.
નાભિઓ એકરૂપ હોવાથી,$4 e_2 = 3$,તેથી $e_2 = \frac{3}{4}$.
ઉપવલય માટે,$e_2^2 = 1 - \frac{b^2}{a_2^2} = 1 - \frac{b^2}{16}$.
$e_2 = \frac{3}{4}$ મૂકતા,$\frac{9}{16} = 1 - \frac{b^2}{16}$ મળે.
તેથી,$\frac{b^2}{16} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 7$.

(A) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ અનુક્રમે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ અને તેના સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2}$ અને $q^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2+b^2}{b^2}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{p^2} + \frac{y^2}{q^2} = 1$ છે.
$p^2$ અને $q^2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2 a^2}{a^2+b^2} + \frac{y^2 b^2}{a^2+b^2} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 x^2 + b^2 y^2 = a^2 + b^2$ થાય છે.
રેખાઓની જોડી $x^2 - y^2 = 0$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે $y^2 = x^2$.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y^2 = x^2$ મૂકતા: $a^2 x^2 + b^2 x^2 = a^2 + b^2$.
$(a^2 + b^2) x^2 = a^2 + b^2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
$y^2 = x^2$ હોવાથી,$y = \pm 1$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$ છે.
આ બિંદુઓ $s = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = 2$ બાજુવાળો ચોરસ બનાવે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $s^2 = 2^2 = 4$ ચોરસ એકમ.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે. અહીં $a^2=25$ અને $b^2=16$ છે.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^2=a^2(1-e^2)$,તેથી $16=25(1-e^2)$,જે $e^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ આપે છે,એટલે કે $e=\frac{3}{5}$.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે. અહીં $a^2=4$ છે.
ધારો કે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ છે. નાભિઓ $(\pm ae_1, 0) = (\pm 2e_1, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$2e_1=3$,તેથી $e_1=\frac{3}{2}$.
અતિવલય માટે,$b^2=a^2(e_1^2-1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2=4((\frac{3}{2})^2-1) = 4(\frac{9}{4}-1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$.

(B) આપેલ વક્રો $x^2-y^2=4$ ...$(i)$ અને $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ ...(ii) છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x^2 = 4(1+\sqrt{2})$,તેથી $x^2 = 2(1+\sqrt{2})$.
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$2y^2 = 4(\sqrt{2}-1)$,તેથી $y^2 = 2(\sqrt{2}-1)$.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x - 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} = m_1$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = m_2$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left|\frac{2x/y}{1 - x^2/y^2}\right| = \left|\frac{2xy}{y^2-x^2}\right|$.
અહીં $y^2-x^2 = -4$ અને $x^2y^2 = 4(2-1) = 4$,તેથી $xy = 2$.
તેથી,$\tan \theta = \left|\frac{2(2)}{-4}\right| = 1$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ બે વક્રોના કુળ $y^2=4ax$ અને $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ છે.
પ્રથમ કુળ $y^2=4ax$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે છે. $4a = \frac{y^2}{x}$ મૂકતા,$2y \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x}$.
બીજા કુળ $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2x + y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = \left(\frac{y}{2x}\right) \times \left(-\frac{2x}{y}\right) = -1$ થાય છે.
જેથી વક્રો કાટખૂણે છેદે છે. આમ,વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $2x^2 + y^2 = 20$ $(1)$ અને $4y^2 - x^2 = 8$ $(2)$ છે.
$(2)$ પરથી,$x^2 = 4y^2 - 8$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$2(4y^2 - 8) + y^2 = 20$
$8y^2 - 16 + y^2 = 20$
$9y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
છેદનબિંદુ $4^{th}$ ચરણમાં હોવાથી,$y = -2$ લેતા.
$y = -2$ ને $x^2 = 4y^2 - 8$ માં મૂકતા:
$x^2 = 4(4) - 8 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}$.
$4^{th}$ ચરણમાં $x > 0$ હોવાથી,$x = 2\sqrt{2}$. બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2)$ છે.
$(2)$ નું વિકલન કરતા: $8y \frac{dy}{dx} - 2x = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y}$.
$(2\sqrt{2}, -2)$ પર,$m_1 = \frac{2\sqrt{2}}{4(-2)} = -\frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$(1)$ નું વિકલન કરતા: $4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
$(2\sqrt{2}, -2)$ પર,$m_2 = -\frac{2(2\sqrt{2})}{-2} = 2\sqrt{2}$.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-\frac{1}{2\sqrt{2}}) \times (2\sqrt{2}) = -1$ હોવાથી,વક્રો લંબ છે.
તેથી,વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(D) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ $(i)$ અને $x^2-y^2=5$ (ii) છે.
(ii) પરથી,$x^2 = 5+y^2$. $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{5+y^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{20+4y^2+9y^2}{72} = 1 \Rightarrow 13y^2 = 52 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
જો $y = 2$,તો $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. જો $y = -2$,તો $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
છેદબિંદુઓ: $A(3, 2), B(-3, 2), C(-3, -2), D(3, -2)$.
$(i)$ નું વિકલન કરતા: $\frac{2x}{18} + \frac{2yy'}{8} = 0 \Rightarrow y' = -\frac{4x}{9y}$.
(ii) નું વિકલન કરતા: $2x - 2yy' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.
$A(3, 2)$ પર: $m_1 = -\frac{4(3)}{9(2)} = -\frac{2}{3}$,$m_2 = \frac{3}{2}$.
$\tan \theta_1 = |\frac{3/2 - (-2/3)}{1 + (3/2)(-2/3)}| = |\frac{13/6}{0}| \to \infty \Rightarrow \theta_1 = 90^\circ$.
બંને અક્ષોની સાપેક્ષે વક્રોની સમપ્રમાણતાને કારણે,ચારેય બિંદુઓ પર છેદનકોણ સમાન રહેશે.
તેથી,$\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta_4$.

(D) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ $(i)$ અને $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{k}=1$ (ii) છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{4} + \frac{2yy'}{9} = 0 \Rightarrow y'_1 = -\frac{9x}{4y}$.
વક્ર (ii) માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{16} - \frac{2yy'}{k} = 0 \Rightarrow y'_2 = \frac{kx}{16y}$.
વક્રો લંબરૂપે હોવાથી,$y'_1 \times y'_2 = -1$.
વિકલિતોની કિંમત મૂકતા: $(-\frac{9x}{4y}) \times (\frac{kx}{16y}) = -1 \Rightarrow \frac{9kx^2}{64y^2} = 1 \Rightarrow 9kx^2 = 64y^2$.
$(i)$ પરથી,$y^2 = 9(1 - \frac{x^2}{4}) = \frac{9(4-x^2)}{4}$.
$y^2$ ની કિંમત લંબરૂપતાની શરતમાં મૂકતા: $9kx^2 = 64 \times \frac{9(4-x^2)}{4} = 16 \times 9(4-x^2) = 144(4-x^2)$.
$kx^2 = 16(4-x^2) = 64 - 16x^2 \Rightarrow x^2(k+16) = 64 \Rightarrow x^2 = \frac{64}{k+16}$.
$x^2$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{64}{4(k+16)} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{16}{k+16} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{9} = 1 - \frac{16}{k+16} = \frac{k}{k+16} \Rightarrow y^2 = \frac{9k}{k+16}$.
$x^2$ અને $y^2$ ની કિંમત $9kx^2 = 64y^2$ માં મૂકતા: $9k(\frac{64}{k+16}) = 64(\frac{9k}{k+16})$.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\frac{1}{4} - \frac{1}{16})x^2 + (\frac{1}{9} + \frac{1}{k})y^2 = 0 \Rightarrow \frac{3}{16}x^2 + \frac{k+9}{9k}y^2 = 0$.
$9kx^2 = 64y^2 \Rightarrow x^2 = \frac{64y^2}{9k}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3}{16}(\frac{64y^2}{9k}) + \frac{k+9}{9k}y^2 = 0 \Rightarrow \frac{4y^2}{3k} + \frac{(k+9)y^2}{9k} = 0$.
$y^2/9k$ વડે ભાગતા: $12 + k + 9 = 0 \Rightarrow k = -21$.

(A, B, C) રેખા $y=x+5$ છે,તેથી $m=1$ અને $c=5$.
$(A)$ પરવલય $y^2=4ax$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c=\frac{a}{m}$ છે. અહીં $4a=20 \Rightarrow a=5$. તેથી $c=\frac{5}{1}=5$. રેખા સ્પર્શક છે.
$(B)$ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે. અહીં $a^2=16, b^2=9$. તેથી $c^2=5^2=25$ અને $a^2m^2+b^2=16(1)^2+9=25$. રેખા સ્પર્શક છે.
$(C)$ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2=a^2m^2-b^2$ છે. અહીં $a^2=29, b^2=4$. તેથી $c^2=5^2=25$ અને $a^2m^2-b^2=29(1)^2-4=25$. રેખા સ્પર્શક છે.
$(D)$ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2=r^2(1+m^2)$ છે. અહીં $r^2=25, m=1$. તેથી $c^2=25$ અને $r^2(1+m^2)=25(1+1)=50$. $25 \neq 50$ હોવાથી,રેખા સ્પર્શક નથી.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.

(A) પરવલય $y^{2}=4ax$ ના બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^{2}$ છે,જેને $x - ty + at^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલય $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{ay}{\tan \theta} = 2a^{2}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x \cos \theta + y \cot \theta = 2a$ થાય છે.
બંને સમીકરણો $x - ty + at^{2} = 0$ અને $x \cos \theta + y \cot \theta - 2a = 0$ ની સરખામણી કરતા,સહગુણકોનો ગુણોત્તર:
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-t}{\cot \theta} = \frac{at^{2}}{-2a}$.
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-t}{\cot \theta}$ પરથી,$t = -\frac{\cot \theta}{\cos \theta} = -\operatorname{cosec} \theta$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ (સમીકરણ $I$) અને $4x^{2} + y^{2} = 4$ (સમીકરણ $II$) છે.
સમીકરણ $II$ માંથી સમીકરણ $I$ બાદ કરતા:
$(4x^{2} + y^{2}) - (4x^{2} + 9y^{2}) = 4 - 1$
$-8y^{2} = 3$
$y^{2} = -\frac{3}{8}$
$y$ ની વાસ્તવિક કિંમતો માટે $y^{2}$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આથી,બંને શંકુચ્છેદો વાસ્તવિક સમતલમાં છેદતા નથી.
છેદબિંદુઓની સંખ્યા $0$ છે.

(A) પરવલય $y^{2}=8 \sqrt{3} x$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે,જ્યાં $c=\frac{a}{m}$.
અહીં $4a=8 \sqrt{3}$,તેથી $a=2 \sqrt{3}$.
આમ,$c=\frac{2 \sqrt{3}}{m}$.
અતિવલય $4x^{2}-y^{2}=4$ માટે,$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1$,જ્યાં $a^{2}=1$ અને $b^{2}=4$.
સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$c^{2}=m^{2}-4$.
બંને સમીકરણો સરખાવતા:
$\left(\frac{2 \sqrt{3}}{m}\right)^{2}=m^{2}-4$
$\frac{12}{m^{2}}=m^{2}-4$
$m^{4}-4m^{2}-12=0$
$(m^{2}-6)(m^{2}+2)=0$.
$m^{2}=-2$ શક્ય નથી,તેથી $m^{2}=6$,એટલે કે $m=\sqrt{6}$ (ધન ઢાળ માટે).
તેથી $c=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=\sqrt{6}x+\sqrt{2}$ છે.

(C) અતિવલય $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ માટે,તેને $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8 \cos^{2} \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^{2} = 8$ અને $b^{2} = 8 \cos^{2} \theta$ છે.
$e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \cos^{2} \theta}$.
$l_{1} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(8 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{8}} = 4 \sqrt{2} \cos^{2} \theta$.
ઉપવલય $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ માટે,તેને $\frac{x^{2}}{6 \cos^{2} \theta} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^{2} = 6$ અને $b^{2} = 6 \cos^{2} \theta$ છે.
$e_{2} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sin \theta$.
$l_{2} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(6 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{6} \cos^{2} \theta$.
આપેલ છે કે $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$,તેથી $1 + \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta (1 + \frac{1}{\cos^{2} \theta}) = \sin^{2} \theta (\frac{\cos^{2} \theta + 1}{\cos^{2} \theta}) = \tan^{2} \theta (1 + \cos^{2} \theta)$.
$1 + \cos^{2} \theta \neq 0$ હોવાથી,$\tan^{2} \theta = 1$ મળે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\cos^{2} \theta = \frac{1}{2}$,$e_{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$,$l_{1} = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{2}$.
$e_{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$l_{2} = 2 \sqrt{6} (\frac{1}{2}) = \sqrt{6}$.
તેથી $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta = (\frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}) \cdot 1 = \frac{2 \sqrt{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$.

(D) ઉપવલય $E$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને નિયામિકા $x = \frac{a}{e} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ છે.
તેથી,$a = \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2}$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$b^2 = 8(1 - 3/4) = 2$,તેથી $b = \sqrt{2}$.
અતિવલય $H$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = a = 2\sqrt{2}$.
$H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b_H^2}{a_H} = 2b = 2\sqrt{2}$ છે.
વળી,અતિવલય $H$ માટે,$b_H^2 = a_H^2(e_H^2 - 1) = a_H^2(8 - 1) = 7a_H^2$.
આ કિંમતને નાભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2(7a_H^2)}{a_H} = 2\sqrt{2} \implies 14a_H = 2\sqrt{2} \implies a_H = \frac{\sqrt{2}}{7}$.
$H$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2a_H e_H = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{7} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8}{7}$ થાય.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim_{x \to 2} \frac{\tan(x-2)}{x-2} \cdot \frac{rx^2 + px - 2x - 2p}{x-2} = 5$.
કારણ કે $\lim_{x \to 2} \frac{\tan(x-2)}{x-2} = 1$,તેથી $\lim_{x \to 2} \frac{r(x^2-4) + p(x-2)}{x-2} = 5$.
આનું સાદું રૂપ $\lim_{x \to 2} (r(x+2) + p) = 4r + p = 5$ થાય છે,તેથી $p = 5 - 4r$.
સમીકરણ $f(x) = rx^2 - px + q = 0$ ના બીજ $(0, 2)$ માં હોય તે માટે,આપણે ધારીએ કે $r > 0$.
શરતો:
$1) D = p^2 - 4rq \ge 0 \implies q \le \frac{p^2}{4r}$.
$2) f(0) = q > 0$.
$3) f(2) = 4r - 2p + q > 0 \implies q > 2p - 4r$.
$4) 0 < \frac{p}{2r} < 2 \implies 0 < p < 4r$.
$p = 5-4r$ મૂકતા: $0 < 5-4r < 4r \implies 5/8 < r < 5/4$.
ચોક્કસ $r$ માટે,$q \in (2p-4r, p^2/4r]$.
સીમાઓની ગણતરી અને $q$ માટે શ્રેષ્ઠીકરણ કરતા અંતરાલ $(\alpha, \beta] = (0, 25/16]$ મળે છે.
આમ,$\alpha = 0, \beta = 25/16$.
$4(\alpha + \beta) = 4(0 + 25/16) = 17$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$ છે. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા, આપણને $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$ મળે છે. આમ, કેન્દ્ર $C(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે。
પરવલયનું સમીકરણ $x^2 + 6x + y + 13 = 0$ છે. તેને $(x+3)^2 = -(y+4)$ તરીકે લખી શકાય. તેથી, પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(-3, -4)$ છે。
કેન્દ્ર $C(3, 4)$ અને શિરોબિંદુ $V(-3, -4)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ થાય。
વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ નું શિરોબિંદુ $V$ થી મહત્તમ અંતર $d + r = 10 + 2 = 12$ થાય.

(C) અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોય છે. ઉપવલય માટે,$0 < e < 1$ હોય છે. સમીકરણ $x^2 - ax + 2 = 0$ ના બીજ $e_1, e_2$ છે.
સરવાળો $e_1 + e_2 = a$ અને ગુણાકાર $e_1 e_2 = 2$ છે.
$S_1$ માટે,બંને $e_1, e_2 > 1$. $e_1 e_2 = 2$ હોવાથી,જો $e_1 > 1$,તો $e_2 = 2/e_1 < 2$. વળી,$D = a^2 - 8 > 0 \implies a > 2\sqrt{2} \approx 2.828$. $e_1, e_2 > 1$ માટે,ધારો કે $f(x) = x^2 - ax + 2$. આપણે $f(1) > 0$ અને શિરોબિંદુ $a/2 > 1$ ની જરૂર છે. $f(1) = 1 - a + 2 = 3 - a > 0 \implies a < 3$. તેથી,$S_1 = (2\sqrt{2}, 3)$,એટલે કે $\alpha = 2\sqrt{2}$ અને $\beta = 3$.
$S_2$ માટે,એક બીજ $e_1 < 1$ અને બીજું $e_2 > 1$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $f(1) < 0 \implies 3 - a < 0 \implies a > 3$. તેથી,$\gamma = 3$.
આપણે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 + 3^2 = 8 + 9 + 9 = 26$ મેળવીએ છીએ.