પરવલય $y^2 = 4x$ પર બિંદુ $P(t^2, 2t)$ આગળ એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે,જ્યાં તેનો $x$-યામ $t^2$ એ અંતરાલ $[1, 4]$ માં છે. બિંદુ $P$ આગળના સ્પર્શક,બિંદુ $P$ ના કોટિ (ordinate) અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

$4x^{2} + 9y^{2} = 1$ અને $4x^{2} + y^{2} = 4$ શંકુચ્છેદોના છેદબિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $a, b$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $ab \neq 0$ થાય. નીચેનામાંથી કઈ આકૃતિ વક્ર $(y-ax-b)(bx^2+ay^2-ab)=0$ ને દર્શાવે છે?

ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ અને પરવલય $P: y^2=12x$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો છે. ધારો કે સ્પર્શક $T_1$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_1$ અને $A_2$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને સ્પર્શક $T_2$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_4$ અને $A_3$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $35$ ચોરસ એકમ છે.
$(B)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.
$(C)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-3,0)$ બિંદુએ મળે છે.
$(D)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-6,0)$ બિંદુએ મળે છે.

ધારો કે $x^2=4ky, k>0$ એ શિરોબિંદુ $O(0,0)$ ધરાવતું પરવલય છે. ધારો કે $BC$ તેની નાભિલંબ છે. $BC$ પર કેન્દ્ર $P$ ધરાવતું એક ઉપવલય પરવલયને $O$ આગળ સ્પર્શે છે,અને $BC$ ને $D$ અને $E$ બિંદુઓમાં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $BD=DE=EC$ ($B, D, E, C$ તે ક્રમમાં છે). ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$,જ્યાં $y_1 < 0$ અને $y_2 < 0$,એ ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ છે. નાભિલંબ $PQ$ ધરાવતા પરવલયોના સમીકરણો કયા છે?
$(A) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(B) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(C) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$
$(D) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$