$PQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની દ્વિ-કોટિ (double ordinate) છે. $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું થાય?

$\lambda$ ના એવા મૂલ્યો,જેના માટે બિંદુ $(\lambda, \lambda-2)$ એ ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ ની અંદર અને પરવલય $y^2=x$ ની બહાર આવેલું હોય,તે નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

બે અતિવલયો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોના સમીકરણો છે:

જો $e_1$,$e_2$ અને $e_3$ એ શંકુઓ $y = x^2 - x + 3$,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3a^4} = 1$ અને $a^2x^2 - 3a^4y^2 = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાઓ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે? (જ્યાં $a > 1$)

ધારો કે $e_{1}$ અને $e_{2}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b < 5)$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,જે $e_{1}e_{2}=1$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અને અતિવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)$ બરાબર છે

જો ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ એ એક અતિવલય સાથે સમનાભિ હોય,જેની પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2$ છે,તો ઉપવલય અને અતિવલયના છેદબિંદુઓ કયા વર્તુળ પર આવેલા છે?