બિંદુ $P(3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શે છે. $\Delta PAB$ નું લંબકેન્દ્ર શોધો.

શંકુ $\frac{5}{r}=2+3 \cos \theta+4 \sin \theta$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

એક ઉપવલય અને એક અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ સમાન છે,નાભિઓ સમાન છે અને એકની ગૌણ અક્ષ એ બીજાની અનુબદ્ધ અક્ષ સમાન છે. જો $e_1$ અને $e_2$ તેમની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e_1^{-2} + e_2^{-2}$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને પરવલય $x^2 = 4(y + b)$ એવા છે કે ઉપવલયના બે નાભિઓ અને પરવલયના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ એક ચોરસના શિરોબિંદુઓ છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક ઉપવલય,અતિવલય $2x^2 - 2y^2 = 1$ ને લંબરૂપે છેદે છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો ઉપવલયના અક્ષો યામ અક્ષો પર હોય,તો:
$(A)$ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે
$(B)$ ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ છે
$(C)$ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 4$ છે
$(D)$ ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm \sqrt{2}, 0)$ છે

એક દ્વિઘાત બહુપદી $y = f(x)$ જેનું અચળ પદ $3$ છે,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતી નથી કે છેદતી નથી અને રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. બહુપદીના અગ્ર સહગુણકનું મૂલ્ય એક છે. કાર્તેઝિયન લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ $OXY$ માં પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y = f(x)$ પર બિંદુ $A(x_1, y_1)$ જેનો $x$-યામ $x_1 = 1$ છે અને બિંદુ $B(x_2, y_2)$ જેનો $y$-યામ $y_2 = 11$ છે,આપેલા છે,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. સદિશો $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ નો અદિશ ગુણાકાર શોધો.