જો $A = \{(x, y) : x^2 + y^2 = 25\}$ અને $B = \{(x, y) : x^2 + 9y^2 = 144\}$ હોય,તો $A \cap B$ માં કેટલા બિંદુઓ હોય?

$AB$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની બેવડી કોટિ (double ordinate) છે,જેથી $\Delta AOB$ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે) એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

એક શંકુ (conic) બિંદુ $(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે એવી રીતે છે કે તેના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકનો યામ અક્ષો વચ્ચેનો ભાગ સ્પર્શ બિંદુ પર દુભાગે છે. તો શંકુના નાભિઓ (foci) કયા છે?

ધારો કે $e_1$ અને $e_2$ એ સમીકરણ $x^2 - ax + 2 = 0$ ના બે ભિન્ન મૂળ છે.  ધારો કે ગણ  $S_1 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ અને } e_2 \text{ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે} \} = (\alpha, \beta),$ અને  $S_2 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ અને } e_2 \text{ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે} \} = (\gamma, \infty).$  તો $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ ની કિંમત શોધો.

જો બિંદુ $(\alpha, \beta)$ જે ઉપવલય $25x^{2} + 4y^{2} = 1$ પર આવેલું છે,ત્યાંથી પરવલય $y^{2} = 4x$ પર દોરેલા બે સ્પર્શકો એવા હોય કે એક સ્પર્શકનો ઢાળ બીજા કરતા ચાર ગણો હોય,તો $(10\alpha + 5)^{2} + (16\beta^{2} + 50)^{2}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

એક ઉપવલય,અતિવલય $2x^2 - 2y^2 = 1$ ને લંબરૂપે છેદે છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો ઉપવલયના અક્ષો યામ અક્ષો પર હોય,તો:
$(A)$ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે
$(B)$ ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ છે
$(C)$ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 4$ છે
$(D)$ ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm \sqrt{2}, 0)$ છે