એક ઉપવલય અને એક અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ સમાન છે,નાભિઓ સમાન છે અને એકની ગૌણ અક્ષ એ બીજાની અનુબદ્ધ અક્ષ સમાન છે. જો $e_1$ અને $e_2$ તેમની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e_1^{-2} + e_2^{-2}$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 8$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોના સમીકરણો કયા છે?

જો $e_{1}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (જ્યાં $a > b$) ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય અને $e_{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે વર્તુળ $C$ રેખા $x - y + 1 = 0$ ને સ્પર્શે છે,તેનું કેન્દ્ર ધન $x$-અક્ષ પર છે,અને રેખા $-3x + 2y = 1$ પર $\frac{4}{\sqrt{13}}$ લંબાઈની જીવા કાપે છે. ધારો કે $H$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ છે,જેની એક નાભિ $C$ નું કેન્દ્ર છે અને પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $C$ નો વ્યાસ છે. તો $2\alpha^2 + 3\beta^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

વક્રો ${y^2} = 8x$ અને $xy = -1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ માંથી પસાર થાય છે. એક પરવલય દોરવામાં આવે છે જેનું નાભિ $H$ ના ધન અભિસિસાવાળા નાભિ જેવું જ છે અને પરવલયની નિયામિકા $H$ ના બીજા નાભિમાંથી પસાર થાય છે. જો પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ એ $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈના $e$ ગણી હોય,જ્યાં $e$ એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ પરવલય પર આવેલું છે?