बिंदु $P(h, k)$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए ताकि रेखा $y = hx + k$ अतिपरवलय $4x^2 - 3y^2 = 1$ की स्पर्शरेखा हो।

मान लीजिए $LL^{\prime}$ एक अतिपरवलय की नाभि $S$ से गुजरने वाला नाभिलंब है और $A^{\prime}$ अतिपरवलय का विपरीत शीर्ष है। यदि त्रिभुज $A^{\prime}LL^{\prime}$ समबाहु है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

वक्रों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $xy = c^2$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए शर्त ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $lx + my = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब है,तो $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2}$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि बिंदु $C(0,-b)$ से अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएं अतिपरवलय को बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। यदि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,तो $\frac{a^2}{b^2}$ का मान क्या होगा -

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ पर स्थित है। यदि ये स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो $a =$