अतिपरवलय $4x^2 - 9y^2 - 8x - 18y = 41$ के किसी भी नाभि से खींचे गए स्पर्शरेखा के लंबपाद का बिंदुपथ क्या होगा?

मान लीजिए $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ और $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ जहाँ $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर दो बिंदु हैं। यदि $(h, k)$ $P$ और $Q$ पर खींचे गए अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो $k=$

रेखा $ℓx + my + n = 0$,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा कब कहलाती है?

यदि रेखा $5x - 2y - 6 = 0$,अतिपरवलय $5x^2 - ky^2 = 12$ की स्पर्श रेखा है,तो इस अतिपरवलय के बिंदु $(\sqrt{6}, p)$ (जहाँ $p < 0$) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सरल रेखा $x + y = \sqrt{2}p$ अतिपरवलय $4x^2 - 9y^2 = 36$ को स्पर्श करेगी,यदि

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ की नाभियाँ दीर्घवृत्त $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ की नाभियों के संपाती हैं और अतिपरवलय $H$ की उत्केंद्रता दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है। यदि $H$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $\alpha$ है और इसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई $\beta$ है,तो $3 \alpha^2+2 \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए: