मान लीजिए कि बिंदु C(0,-b) से अतिपरवलय frac{x | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।चूंकि

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$2$

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(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।चूंकि स्पर्श रेखा $C(0, -b)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{0 \cdot x_1}{a^2} - \frac{(-b)y_1}{b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{y_1}{b} = 1$ अर्थात $y_1 = b$ देता है।अतिपरवलय के समीकरण में $y_1 = b$ रखने पर: $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{b^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{x_1^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow x_1 = \pm a\sqrt{2}$।अतः,स्पर्श बिंदु $A(a\sqrt{2}, b)$ और $B(-a\sqrt{2}, b)$ हैं।त्रिभुज $\Delta ABC$ के शीर्ष $C(0, -b)$,$A(a\sqrt{2}, b)$ और $B(-a\sqrt{2}, b)$ हैं।आधार $AB$ की लंबाई $2a\sqrt{2}$ है। $C$ से $AB$ पर ऊंचाई $h = b - (-b) = 2b$ है।यदि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,तो कोण $C$ का मान $90^{\circ}$ होना चाहिए।यदि $\angle ACB = 90^{\circ}$ है,तो $CA$ की ढाल $m_1 = \frac{2b}{a\sqrt{2}} = \frac{b\sqrt{2}}{a}$ है।$CB$ की ढाल $m_2 = -\frac{b\sqrt{2}}{a}$ है।चूंकि $m_1 \cdot m_2 = -1$,इसलिए $-(\frac{b\sqrt{2}}{a})^2 = -1$ $\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 2$।

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यदि वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ अतिपरवलय $xy=c^{2}$ को चार बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1}), Q(x_{2}, y_{2}), R(x_{3}, y_{3})$ और $S(x_{4}, y_{4})$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो

यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः वक्रों $9x^2 - 16y^2 - 144 = 0$ और $9x^2 - 16y^2 + 144 = 0$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $\frac{e_1^2 e_2^2}{e_1^2 + e_2^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियों के निर्देशांक $(\pm 8, 0)$ हैं और नाभिलंब की लंबाई $24$ इकाई है।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $\dots \dots \dots$ वृत्त पर स्थित है।

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