अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ के नाभिलंब की लंबाई है

यदि $PQ$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक द्वि-कोटि (double ordinate) है और $\triangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ किस शर्त को संतुष्ट करती है?

$\alpha$ के विभिन्न मानों के लिए,दो सरल रेखाओं $\sqrt{3} x - y - 4 \sqrt{3} \alpha = 0$ और $\sqrt{3} \alpha x + \alpha y - 4 \sqrt{3} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है

वक्र $b^2 x^2 - a^2 y^2 = a^2 b^2$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ और $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर दो बिंदु इस प्रकार हैं कि $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ है। यदि $(h, k)$ बिंदु $P$ और $Q$ पर अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो $k=$

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींची जाएँ कि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $c^2$ हो,तो वे किस वक्र पर प्रतिच्छेद करती हैं?