अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का सहायक वृत्त (auxiliary circle) है:

मान लीजिए $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ और $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ जहाँ $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$,अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ पर दो बिंदु हैं। यदि $(\alpha, \beta)$ बिंदु $A$ और $B$ पर अतिपरवलय के अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) की नाभियाँ दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ की नाभियों के समान हैं और अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity),दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता की $\frac{15}{8}$ गुनी है,तो अतिपरवलय पर स्थित बिंदु $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ की छोटी नाभीय दूरी किसके बराबर है?

एक आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=a^2, a > 0$ पर,तीन बिंदु $A, B, C$ इस प्रकार लिए गए हैं: $A=(-a, 0)$; $B$ और $C$ को $X$-अक्ष के सापेक्ष अतिपरवलय की उस शाखा पर सममित रूप से रखा गया है जिसमें $A$ शामिल नहीं है। मान लीजिए कि $\triangle ABC$ समबाहु है। यदि $\triangle ABC$ की भुजा की लंबाई $ka$ है,तो $k$ किस अंतराल में स्थित है?

यदि अतिपरवलय $\frac{(x-1)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ पर $(h, k)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा का समीकरण $x=2$ है,तो $h+k=$

$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$ पर खींची गई $y-x+5=0$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण है