उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ $(6, 4)$ और $(-4, 4)$ हैं और उत्केंद्रता $e = 2$ है।

अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 + 20x + 8y = 4$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है

अतिपरवलय $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ के उस स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों पर समान रूप से झुकी हुई है।

मान लीजिए $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ एक अतिपरवलय है जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $6$ है और इसकी नियताओं के बीच की दूरी $\frac{8}{3}$ है। यदि रेखा $x = k$ अतिपरवलय $H$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर इस प्रकार काटती है कि त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{15}$ है,जहाँ $O$ मूलबिंदु है,तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि अतिपरवलय $x^2-y^2=c^2$ पर एक बिंदु $P(t)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को $T$ पर काटती है और उसी बिंदु $P$ पर खींचा गया अभिलंब $Y$-अक्ष को $N$ पर काटता है,तो $TN$ के मध्य बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P, Q, R, S$ वृत्त $x^2+y^2=4$ और अतिपरवलय $xy=\sqrt{3}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यदि $P=(\alpha, \beta)$ और $\alpha>\beta>0$ है,तो अतिपरवलय पर $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?