अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 25$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है

मान लीजिए $a>0, b>0$ है। मान लीजिए $e$ और $\ell$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। मान लीजिए $e^{\prime}$ और $\ell^{\prime}$ क्रमशः इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। यदि $e^{2}=\frac{11}{14} \ell$ और $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8} \ell^{\prime}$ है,तो $77a+44b$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $m_1$ और $m_2$ बिंदु $P(4, 1)$ से अतिपरवलय $H: \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढाल हैं। यदि $Q$ वह बिंदु है जहाँ से $H$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की ढाल $|m_1|$ और $|m_2|$ हैं और वे $x$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड $\alpha$ और $\beta$ बनाती हैं,तो $\frac{(PQ)^2}{\alpha \beta}$ का मान $............$ है।

मान लीजिए $P(3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ और $Q(3 \sec \phi, 2 \tan \phi)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ पर दो बिंदु हैं,जहाँ $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ और $0 < \theta, \phi < \frac{\pi}{2}$ है। तो $P$ और $Q$ पर अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु का कोटि (ordinate) ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि $(1, 2)$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{3}$ और नियता $2x + y = 1$ है।

एक अतिपरवलय (hyperbola),दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ की नाभियों से होकर गुजरता है और इसके अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष क्रमशः दीर्घवृत्त के दीर्घ और लघु अक्षों के साथ संपाती हैं। यदि उनकी उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ है,तो अतिपरवलय का समीकरण ...... है।