रेखा lx + my + n = 0,अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} | vedclass

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Question

(A) रेखा $y = Mx + C$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $C^2 = a^2M^2 - b^2$ है।दी गई रेखा $lx + my + n

Vedclass · Accepted Answer

$a^2l^2 - b^2m^2 = n^2$

Vedclass · Answer

(A) रेखा $y = Mx + C$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $C^2 = a^2M^2 - b^2$ है।दी गई रेखा $lx + my + n = 0$ को $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।इसकी तुलना $y = Mx + C$ से करने पर,हमें $M = -\frac{l}{m}$ और $C = -\frac{n}{m}$ प्राप्त होता है।इन मानों को $C^2 = a^2M^2 - b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:$(-\frac{n}{m})^2 = a^2(-\frac{l}{m})^2 - b^2$$\frac{n^2}{m^2} = \frac{a^2l^2}{m^2} - b^2$दोनों पक्षों को $m^2$ से गुणा करने पर,हमें $n^2 = a^2l^2 - b^2m^2$ प्राप्त होता है,जिसे $a^2l^2 - b^2m^2 = n^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

रेखा $lx + my + n = 0$,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होगी,यदि

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अतिपरवलय $4x^2 - y^2 = 12$ की स्पर्श रेखाओं के समीकरण $y = 4x + c_1$ और $y = 4x + c_2$ हैं,तो $|c_1 - c_2|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसकी उत्केंद्रता $\sqrt{2}$ है और जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $16$ इकाई है।

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