दी गई आकृति में,$\angle ADE = \angle AED$ और $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ है। सिद्ध कीजिए कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ और $\angle ADE = \angle AED$.
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार,यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है,तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
अतः,$DE \parallel BC$.
चूंकि $DE \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए संगत कोण बराबर होंगे:
$\angle ADE = \angle ABC$ ....... $(1)$
इसी प्रकार,चूंकि $DE \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है:
$\angle AED = \angle ACB$ ....... $(2)$
हमें दिया गया है कि $\angle ADE = \angle AED$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान इस समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABC = \angle ACB$.
$\triangle ABC$ में,चूंकि आधार के कोण बराबर हैं $(\angle B = \angle C)$,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होनी चाहिए।
अतः,$AB = AC$.
चूंकि $\triangle ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।