Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow DEF$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ છે.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
આપેલ છે કે $3 AB = 5 DE$,તેથી $\frac{AB}{DE} = \frac{5}{3}$ લખી શકાય.
સમરૂપતાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{AC}{DF} = \frac{AB}{DE}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{AC}{9} = \frac{5}{3}$.
$AC = \frac{5}{3} \times 9 = 5 \times 3 = 15$.
આમ,$AC = 15$.

(B) આપેલ સંગતતા $PQR \leftrightarrow YZX$ સમરૂપતા છે,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય.
તેથી,$m \angle P = m \angle Y$,$m \angle Q = m \angle Z$,અને $m \angle R = m \angle X$.
આપેલ છે કે $m \angle X = 120^\circ$,તેથી $m \angle R = 120^\circ$.
$\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^\circ$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $m \angle P + m \angle Q + 120^\circ = 180^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $m \angle P + m \angle Q = 60^\circ$.
આપેલ છે કે $m \angle P = 2 m \angle Q$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2 m \angle Q + m \angle Q = 60^\circ$.
$3 m \angle Q = 60^\circ \implies m \angle Q = 20^\circ$.
તેથી,$m \angle P = 2 \times 20^\circ = 40^\circ$.
કારણ કે $m \angle Y = m \angle P$,તેથી $m \angle Y = 40^\circ$.

(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\Delta PQR$ માં,જો $PS$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોય,તો $\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR}$ થાય.
અહીં $\frac{PQ}{PR} = \frac{5}{4}$ અને $SR = 5.6 \text{ cm}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{5}{4} = \frac{QS}{5.6}$ મળે.
તેથી,$QS = \frac{5 \times 5.6}{4} = 5 \times 1.4 = 7 \text{ cm}$.
હવે,$QR = QS + SR = 7 + 5.6 = 12.6 \text{ cm}$.

(C) $\Delta ABC$ માં, $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી, મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ, $PQ \parallel BC$ અને $PQ = \frac{1}{2} BC$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta APQ \sim \Delta ABC$ થાય.
બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
તેથી, $\frac{\text{Area}(\Delta APQ)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{AP}{AB} \right)^2$.
અહીં $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $\frac{AP}{AB} = \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી, $\frac{12 \sqrt{3}}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ, $\text{Area}(\Delta ABC) = 12 \sqrt{3} \times 4 = 48 \sqrt{3}$.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
આ વિભાજન સમબાજુ ચતુષ્કોણની અંદર ચાર એકરૂપ ત્રિકોણ બનાવે છે.
તેથી,$\Delta OAB \cong \Delta OCB \cong \Delta OCD \cong \Delta OAD$.
આ ચાર ત્રિકોણ એકરૂપ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે:
$\text{Area}(\Delta OAB) = \text{Area}(\Delta OCB) = \text{Area}(\Delta OCD) = \text{Area}(\Delta OAD)$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ આ ચાર ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે:
$\text{Area}(\square ABCD) = \text{Area}(\Delta OAB) + \text{Area}(\Delta OCB) + \text{Area}(\Delta OCD) + \text{Area}(\Delta OAD)$.
સમાન ક્ષેત્રફળો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{Area}(\square ABCD) = 4 \times \text{Area}(\Delta OAB)$.
આમ,$\text{Area}(\Delta OAB) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\square ABCD)$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$D$,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC$,$CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણ ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે: $\Delta AFE$,$\Delta FBD$,$\Delta EDC$ અને $\Delta DEF$.
તેથી,$\text{Area}(\Delta AFE) = \text{Area}(\Delta FBD) = \text{Area}(\Delta EDC) = \text{Area}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC)$.
ચતુષ્કોણ $BDEF$ એ $\Delta FBD$ અને $\Delta DEF$ થી બનેલો છે.
આમ,$\text{Area}(BDEF) = \text{Area}(\Delta FBD) + \text{Area}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \text{Area}(\Delta ABC)$.

(D) $\Delta ABC$ માં,$P, Q$ અને $R$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,ત્રિકોણ ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે: $\Delta ARQ, \Delta RBP, \Delta QPC$ અને $\Delta PQR$.
તેથી,$Area(\Delta ARQ) = Area(\Delta RBP) = Area(\Delta QPC) = Area(\Delta PQR) = \frac{1}{4} Area(\Delta ABC)$.
ચતુષ્કોણ $BCQR$ એ આ ત્રણ ત્રિકોણોનો બનેલો છે: $\Delta RBP, \Delta QPC$ અને $\Delta PQR$.
આમ,$Area(BCQR) = Area(\Delta RBP) + Area(\Delta QPC) + Area(\Delta PQR) = \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) + \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) + \frac{1}{4} Area(\Delta ABC) = \frac{3}{4} Area(\Delta ABC)$.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
$\Delta ABC$ માટે,ક્ષેત્રફળને બે રીતે દર્શાવી શકાય:
$1. \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times BC \times AM$
$2. \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times AB \times CN$
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times AB \times CN$
$BC \times AM = AB \times CN$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $15 \times 9.6 = 12 \times CN$
$144 = 12 \times CN$
$CN = \frac{144}{12} = 12$
આમ,$CN = 12$.

(B) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\overline{ AD } \| \overline{ BC }$ અને $\overline{ AC } \cap \overline{ BD } = \{ P \}$ છે.
$\overline{ AD } \| \overline{ BC }$ હોવાથી,યુગ્મકોણો સમાન થાય,એટલે કે $\angle PAD = \angle PCB$ અને $\angle PDA = \angle PBC$.
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PAD \sim \triangle PCB$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય:
$\frac{ PA }{ PC } = \frac{ PD }{ PB }$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{ PC } = \frac{9}{7.2}$
$PC = \frac{5 \times 7.2}{9} = \frac{36}{9} = 4$.
હવે,$AC = PA + PC = 5 + 4 = 9$.

(C) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ અને $\overline{AC} \cap \overline{BD} = \{P\}$ છે.
$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ હોવાથી,યુગ્મકોણો સમાન થાય,એટલે કે $\angle PAB = \angle PCD$ અને $\angle PBA = \angle PDC$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PAB \sim \triangle PCD$ થાય.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{10}{15} = \frac{PB}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{PB}{12}$
$PB = \frac{2 \times 12}{3} = 8$
હવે,વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ:
$BD = PB + PD = 8 + 12 = 20$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણની $3$ બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે અને $3$ ખૂણાઓ દરેક $60^{\circ}$ ના હોય છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે.
ત્રિકોણની તેની પોતાની સાથેની સંગતતા એ તેના શિરોબિંદુઓનો ક્રમચય (permutation) છે.
$3$ શિરોબિંદુઓના કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
આ $6$ સંગતતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1. (A \to A, B \to B, C \to C)$
$2. (A \to A, B \to C, C \to B)$
$3. (A \to B, B \to A, C \to C)$
$4. (A \to B, B \to C, C \to A)$
$5. (A \to C, B \to A, C \to B)$
$6. (A \to C, B \to B, C \to A)$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી અને બધા ખૂણા $60^{\circ}$ હોવાથી,શિરોબિંદુઓનો કોઈપણ ક્રમચય એવી સંગતતા આપે છે જે અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર (બધા ગુણોત્તર $1$ છે) અને અનુરૂપ ખૂણાઓની સમાનતા જાળવી રાખે છે. આમ,તમામ $6$ સંગતતાઓ સમરૂપતા છે.

(C) આપેલ છે કે $ABC \leftrightarrow XYZ$ સંગતતા માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{AB}{4} = \frac{XY}{5}$ પરથી,આપણે $\frac{AB}{XY}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે પદોની ગોઠવણી કરી શકીએ છીએ.
બંને બાજુને $XY$ વડે ભાગતા અને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{AB}{XY} = \frac{4}{5}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{BC}{YZ} = \frac{AB}{XY}$ છે,તેથી $\frac{BC}{YZ} = \frac{4}{5}$ થાય.

(B) $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 4 + 8 + 10 = 22$ છે.
કારણ કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે,તેથી તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AC}{PR}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{22}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{10}{15}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{22}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{2}{3}$.
આમ,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ = $\frac{22 \times 3}{2} = 11 \times 3 = 33$ થાય.

(B) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow XYZ$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ} = k$
સમાન ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{AB + BC}{XY + YZ} = \frac{AC}{XZ}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{7}{10.5} = \frac{5}{XZ}$
$XZ = \frac{5 \times 10.5}{7}$
$XZ = \frac{52.5}{7} = 7.5$
તેથી,$XZ = 7.5$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ છે.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.
અહીં $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{3}$ અને $AC = 15$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2}{3} = \frac{AN}{15}$.
$AN = \frac{2 \times 15}{3} = 10$.
$A-N-C$ હોવાથી,$AC = AN + NC$ થાય.
$15 = 10 + NC$.
$NC = 15 - 10 = 5$.

(D) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$m \angle B = 180^{\circ} - m \angle A - m \angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$.
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ ની સરખામણી કરતા:
$m \angle A = 30^{\circ}$ અને $m \angle Q = 30^{\circ}$,તેથી $m \angle A = m \angle Q$.
$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $m \angle P = 90^{\circ}$,તેથી $m \angle B = m \angle P$.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,શિરોબિંદુઓ તેમના સમાન ખૂણાઓના ક્રમમાં સંગત હોવા જોઈએ.
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow QPR$ એ સમરૂપતા છે.

(D) બે સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $= 4:9 = \frac{4}{9}$.
તેથી,તેમના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $= \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81} = 16:81$ થાય.

(A) આપેલ સંગતતા $ABC \leftrightarrow RPQ$ માં,શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ સંગત છે:
$A$ ને સંગત $R$ છે.
$B$ ને સંગત $P$ છે.
$C$ ને સંગત $Q$ છે.
તેથી,$\angle B$ ને સંગત $\angle P$ થાય.

(C) $\Delta DEF$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle E + m \angle F = 130^{\circ}$.
તેથી,$m \angle D = 180^{\circ} - (m \angle E + m \angle F) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow FDE$ સમરૂપતા દર્શાવે છે,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
અહીં,$\angle B$ ને અનુરૂપ ખૂણો $\angle D$ છે.
તેથી,$m \angle B = m \angle D = 50^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ ના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $m \angle A : m \angle B : m \angle C = 2 : 3 : 5$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $2x, 3x,$ અને $5x$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2x + 3x + 5x = 180^{\circ}$.
$10x = 180^{\circ} \implies x = 18^{\circ}$.
તેથી,$m \angle A = 2(18^{\circ}) = 36^{\circ}$,$m \angle B = 3(18^{\circ}) = 54^{\circ}$,અને $m \angle C = 5(18^{\circ}) = 90^{\circ}$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow QRP$ સમરૂપતા દર્શાવે છે,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય.
આમ,$m \angle A = m \angle Q$,$m \angle B = m \angle R$,અને $m \angle C = m \angle P$.
અહીં $m \angle B = 54^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle R = 54^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $XYZ \leftrightarrow ABC$ સંગતતા માટે $\Delta XYZ \sim \Delta ABC$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{XY}{AB} = \frac{YZ}{BC} = \frac{XZ}{AC}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{XY}{AB} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\frac{YZ}{BC} = \frac{3}{5}$.
$\frac{BC}{YZ}$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુનો વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{BC}{YZ} = \frac{5}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $PQR \leftrightarrow XYZ$ સંગતતા માટે $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ છે.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $PQ : QR : PR = 3 : 5 : 7$,તેથી $XY : YZ : XZ = 3 : 5 : 7$ થાય.
ધારો કે $XY = 3t$,$YZ = 5t$ અને $XZ = 7t$,જ્યાં $t > 0$ એક અચળાંક છે.
$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $22.5$ આપેલ છે.
તેથી,$XY + YZ + XZ = 22.5$.
$t$ ના સ્વરૂપમાં કિંમતો મૂકતા: $3t + 5t + 7t = 22.5$.
$15t = 22.5$.
$t = \frac{22.5}{15} = 1.5$.
હવે,$YZ$ ની કિંમત શોધતા: $YZ = 5t = 5 \times 1.5 = 7.5$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta MNP.$
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta MNP \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AB}{MN}.$
આપેલ છે: $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= 18,$ $\Delta MNP$ ની પરિમિતિ $= 27,$ અને $AB = 8.$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{18}{27} = \frac{8}{MN}.$
$\frac{18}{27}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2}{3} = \frac{8}{MN}.$
$2 \times MN = 8 \times 3.$
$2 \times MN = 24.$
$MN = \frac{24}{2} = 12.$
આમ,$MN = 12.$

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$m \angle A = m \angle R$ અને $m \angle B = m \angle Q$ છે.
ખૂણા-ખૂણા $(AA)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણાને સમાન હોય,તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સંગતતામાં સમાન ખૂણાઓનો ક્રમ જળવાવો જોઈએ.
અહીં $\angle A = \angle R$,$\angle B = \angle Q$ છે,અને ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle C = \angle P$ થશે.
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow RQP$ એ સમરૂપતા છે.

(C) આપેલ છે કે સંગતતા $XYZ \leftrightarrow DEF$ માટે $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે: $\angle X = \angle D$,$\angle Y = \angle E$,અને $\angle Z = \angle F$.
$\Delta XYZ$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$m \angle X + m \angle Y + m \angle Z = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $50^{\circ} + 75^{\circ} + m \angle Z = 180^{\circ}$.
$125^{\circ} + m \angle Z = 180^{\circ}$.
$m \angle Z = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$.
કારણ કે $\angle Z = \angle F$,તેથી $m \angle F = 55^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $ABC \leftrightarrow XYZ$ સંગતતા માટે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{XY} = \frac{AC}{XZ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{6}{XZ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$4 \times XZ = 5 \times 6$ મળે.
$4 \times XZ = 30$.
$XZ = \frac{30}{4} = 7.5$.

(D) આપેલ સંગતતા $\Delta DEF \sim \Delta QPR$ હોવાથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય.
તેથી,$\frac{DE}{QP} = \frac{DF}{QR}$.
આપેલ સમીકરણ $2 DE = 3 PQ$ પરથી,આપણને $\frac{DE}{PQ} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{3}{2} = \frac{DF}{8}$.
$DF$ ની કિંમત શોધતા: $DF = \frac{3 \times 8}{2} = 12$.

(C) $XYZ \leftrightarrow EFD$ સંગતતા દર્શાવે છે કે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\therefore \frac{\text{Area}(\Delta XYZ)}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \left(\frac{XY}{EF}\right)^2$
અહીં $\text{Area}(\Delta XYZ) = 18$ અને $\frac{XY}{EF} = \frac{2}{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{18}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$\frac{18}{\text{Area}(\Delta DEF)} = \frac{4}{9}$
$\text{Area}(\Delta DEF) = \frac{18 \times 9}{4}$
$\text{Area}(\Delta DEF) = \frac{162}{4} = 40.5$

(B) આપેલ છે કે પત્રવ્યવહાર $ABC \leftrightarrow QPR$ હેઠળ $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle A = \angle Q,$ $\angle B = \angle P,$ અને $\angle C = \angle R.$
આપણને ગુણોત્તર $m \angle P : m \angle Q : m \angle R = 2 : 3 : 4$ આપેલ છે.
અનુરૂપ ખૂણાઓ મૂકતા:
$m \angle B : m \angle A : m \angle C = 2 : 3 : 4.$
$m \angle A : m \angle B : m \angle C$ ના ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને $3 : 2 : 4$ મળે છે.
તેથી,સાચો ગુણોત્તર $3 : 2 : 4$ છે.

(D) બે ત્રિકોણ $\Delta DEF$ અને $\Delta PQR$ સમરૂપ થવા માટે,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ અને તે બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો સમાન હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $m \angle D = m \angle R$,$\angle D$ બનાવતી બાજુઓ $DE$ અને $DF$ છે,અને $\angle R$ બનાવતી બાજુઓ $RQ$ અને $RP$ છે.
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણ ત્યારે જ સમરૂપ થાય જો $\frac{DE}{RQ} = \frac{DF}{RP}$ હોય.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{DE}{PR} = \frac{DF}{RQ}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ બે ત્રિકોણની બાજુઓનો ગુણોત્તર: $\frac{XY}{MN} = \frac{XZ}{NO} = \frac{YZ}{MO}$ છે.
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો બે ત્રિકોણની બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય,તો તે ત્રિકોણો સમરૂપ હોય છે.
ગુણોત્તરનું અવલોકન કરતા:
$XY$ ને સંગત $MN$ છે.
$XZ$ ને સંગત $NO$ છે.
$YZ$ ને સંગત $MO$ છે.
તેથી,શિરોબિંદુઓ સમાન ક્રમમાં સંગત હોવા જોઈએ: $X \leftrightarrow M$,$Y \leftrightarrow N$,અને $Z \leftrightarrow O$.
આમ,સંગતતા $\Delta XYZ \sim \Delta MNO$ છે.

(C) પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
અહીં $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ હોવાથી,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ થાય.
આપેલ છે કે $AB:AC = 3:4$,તેથી ધારો કે $AB = 3k$ અને $AC = 4k$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta ADE \sim \Delta ABC$.
તેથી,$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{4}$.
આનો અર્થ એ છે કે $AD = \frac{3}{4} AB$ અને $AE = \frac{3}{4} AC$.
હવે,$BD = AB - AD = AB - \frac{3}{4} AB = \frac{1}{4} AB$.
તે જ રીતે,$EC = AC - AE = AC - \frac{3}{4} AC = \frac{1}{4} AC$.
હવે ગુણોત્તર $\frac{EC}{BD} = \frac{\frac{1}{4} AC}{\frac{1}{4} AB} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$ મળે.
આમ,$EC:BD = 4:3$ થાય.

(C) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\Delta ABC$ માં,જો $\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને $D$ માં છેદે,તો $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$ અને $BD = 4.5$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{4.5}{DC}$.
તેથી,$DC = \frac{4.5 \times 4}{3} = 1.5 \times 4 = 6$.
હવે,$BC = BD + DC$ હોવાથી,$BC = 4.5 + 6 = 10.5$ મળે.

(B) $\Delta ABC$ માં,$\overline{BE}$ એ બાજુ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,જેનો અર્થ છે કે $AE = EC$,અથવા $AC = 2EC$.
$\Delta CEB$ માં,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $\overline{AD}$ મધ્યગા છે) અને રેખા $m$ ($D$ માંથી પસાર થતી) એ $\overline{BE}$ ને સમાંતર છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ $\Delta CEB$ માં,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી અને $\overline{DK} \parallel \overline{BE}$ હોવાથી,$K$ એ $\overline{EC}$ નું મધ્યબિંદુ થાય.
તેથી,$EK = KC = 2.5$.
આમ,$EC = EK + KC = 2.5 + 2.5 = 5$.
અંતે,$AC = 2EC = 2 \times 5 = 10$.

(D) $G$ એ $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,તે મધ્યગા $\overline{AD}$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$\frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}$ થાય.
$\Delta ADE$ માં,$\overline{GK} \parallel \overline{DE}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ,$\frac{GD}{AD} = \frac{EK}{AE} = \frac{1}{3}$ મળે.
આથી $AE = 3 \times EK = 3 \times 1.8 = 5.4$ થાય.
$\overline{BE}$ એ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$AC = 2 \times AE = 2 \times 5.4 = 10.8$ થાય.

(D) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow PQR$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણો માટે,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
$\therefore \frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AC}{PR}$
અહીં,$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= 35$,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= 28$,અને $PR = 4\sqrt{10}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{35}{28} = \frac{AC}{4\sqrt{10}}$
અપૂર્ણાંક $\frac{35}{28}$ ને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{5}{4}$ મળે છે.
$\frac{5}{4} = \frac{AC}{4\sqrt{10}}$
$AC = \frac{5}{4} \times 4\sqrt{10}$
$AC = 5\sqrt{10}$

(D) $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માં,આપણને $m\angle A = m\angle X$ અને $m\angle B = m\angle Y$ આપેલ છે.
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ થાય.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{XY} = \frac{AC}{XZ} = \frac{BC}{YZ}$.
અહીં $\frac{AB}{XY} = \frac{2}{3}$ અને $AC = 7.2$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{2}{3} = \frac{7.2}{XZ}$.
$XZ$ શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2 \times XZ = 7.2 \times 3$.
$2 \times XZ = 21.6$.
$XZ = \frac{21.6}{2} = 10.8$.

(D) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow QPR$ એ સમરૂપતા છે.
તેમજ,સંગતતા $PQR \leftrightarrow YZX$ એ સમરૂપતા છે.
સમરૂપતાના સંમિતતાના ગુણધર્મ મુજબ,જો $PQR \leftrightarrow YZX$ સમરૂપતા હોય,તો $QPR \leftrightarrow ZYX$ પણ સમરૂપતા થાય.
હવે,આપણી પાસે $ABC \leftrightarrow QPR$ અને $QPR \leftrightarrow ZYX$ છે.
સમરૂપતાના પરંપરિતતાના ગુણધર્મ મુજબ,સંગતતા $ABC \leftrightarrow ZYX$ એ સમરૂપતા છે.

(A) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\Delta ABC$ માં,જો $\angle B$ નો દ્વિભાજક $\overline{AC}$ ને $D$ માં છેદે,તો સામેની બાજુના રેખાખંડોનો ગુણોત્તર એ ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.
અહીં $AB = 7.5$ અને $\frac{AD}{DC} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{7.5}{BC} = \frac{3}{4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3 \times BC = 7.5 \times 4$
$3 \times BC = 30$
$BC = \frac{30}{3}$
$BC = 10$

(C) $\Delta ABC$ માં,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$AC = 2EC$ $(1)$.
$\Delta BEC$ માં,રેખા $DK$ એ $\overline{BC}$ ના મધ્યબિંદુ $D$ માંથી પસાર થાય છે અને $\overline{BE}$ ને સમાંતર છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$K$ એ $\overline{EC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$EC = 2EK$ $(2)$.
$(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $AC = 2(2EK) = 4EK$ મળે છે.

(D) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેની લંબાઈથી અડધો હોય છે.
આમ,$PQ = \frac{1}{2} AC$,$QR = \frac{1}{2} AB$,અને $RP = \frac{1}{2} BC$.
$1$. $\Delta PQR$ અને $\Delta ABC$ ની બાજુઓનો ગુણોત્તર $1:2$ છે. તેથી,$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= \frac{1}{2} \times \Delta ABC$ ની પરિમિતિ થાય. (વિધાન $C$ સત્ય છે).
$2$. મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{4}$ ભાગનું હોય છે. તેથી,$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ થાય. (વિધાન $A$ સત્ય છે,વિધાન $D$ અસત્ય છે).
$3$. બાજુઓ પ્રમાણમાં હોવાથી,$\Delta PQR \sim \Delta CBA$. સંગતતા $ABC \leftrightarrow QRP$ એ દર્શાવે છે કે $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{RP} = \frac{AC}{PQ} = 2$,જે સમરૂપતા છે. (વિધાન $B$ સત્ય છે).
તેથી,જે વિધાન સત્ય નથી તે $D$ છે.

(A) ત્રિકોણની બાજુ-બાજુ-બાજુ $(SSS)$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
અહીં આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{QR}$.
બાજુઓના શિરોબિંદુઓને જોતા:
- બાજુ $AB$ એ બાજુ $PQ$ ને અનુરૂપ છે.
- બાજુ $BC$ એ બાજુ $PR$ ને અનુરૂપ છે.
- બાજુ $CA$ એ બાજુ $QR$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,શિરોબિંદુઓ મુજબ: $A$ ને $P$,$B$ ને $Q$ અને $C$ ને $R$ અનુરૂપ છે.
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow PQR$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta DEF$ માં,$\frac{AB}{DF} = \frac{BC}{EF}$ અને $\angle B = \angle F$ છે.
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,જો એક ત્રિકોણનો એક ખૂણો બીજા ત્રિકોણના એક ખૂણાને સમાન હોય અને આ ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓ સમપ્રમાણમાં હોય,તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
અહીં,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ એ $\angle B$ નો સમાવેશ કરે છે,અને બાજુઓ $DF$ અને $EF$ એ $\angle F$ નો સમાવેશ કરે છે.
બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી અને અંતર્ગત ખૂણાઓ એકરૂપ હોવાથી,$SAS$ શરત મુજબ સંગતતા $ABC \leftrightarrow DFE$ એ સમરૂપતા છે.

(B) બે ત્રિકોણોની સમરૂપતા માટેની શરતો $AAA$ (ખૂણો-ખૂણો-ખૂણો),$AA$ (ખૂણો-ખૂણો),$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) અને $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) છે.
$ASA$ (ખૂણો-બાજુ-ખૂણો) એ ત્રિકોણોની એકરૂપતા માટેની શરત છે,તેમની સમરૂપતા માટે નહીં.
તેથી,$ASA$ એ બે ત્રિકોણોની સમરૂપતા માટેની શરત નથી.

(C) $\triangle OPQ$ અને $\triangle OSR$ માં,આપણને $OQ = OR$ આપેલ છે.
વળી,$\angle POQ = \angle SOR$ કારણ કે તે અભિકોણો છે.
$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત દ્વારા ત્રિકોણો એકરૂપ છે તેમ સાબિત કરવા માટે,આપણને ખૂણા $\angle POQ$ અને $\angle SOR$ ની પાસેની બીજી બાજુ સમાન હોવી જરૂરી છે.
ખૂણાઓની પાસેની બાજુઓ $\triangle OPQ$ માં $OP$ અને $OQ$ છે,અને $\triangle OSR$ માં $OS$ અને $OR$ છે.
આપણી પાસે પહેલેથી જ $OQ = OR$ છે,તેથી $SAS$ શરત સંતોષવા માટે આપણને $OP = OS$ ની જરૂર છે.
તેથી,$OP = OS$ ની શરત પૂરતી છે.

(B) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે છે,તો તે સામેની બાજુને એવા રેખાખંડોમાં વિભાજિત કરે છે જે ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\Delta XYZ$ માં,$YM$ એ $\angle Y$ નો દ્વિભાજક છે,જે $\overline{XZ}$ ને $M$ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,બાજુ $\overline{XZ}$ ના રેખાખંડોનો ગુણોત્તર એ ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે:
$\frac{XM}{MZ} = \frac{XY}{YZ}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ કિરણ ત્રિકોણના ખૂણાને દુભાગે,તો તે સામેની બાજુને બાકીની બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,તે બાજુ $BC$ ને નીચે મુજબ વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા આપણને મળે છે:
$BD \times AC = DC \times AB$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $1.$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\angle A = \angle P$ અને $\angle C = \angle Q$ હોય,તો $AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta PRQ$ થાય. તેથી,$(1-d)$.
$2.$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PQ}$ અને $\angle B = \angle Q$ હોય,તો $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta RQP$ થાય. તેથી,$(2-a)$.
$3.$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{QR}$ હોય,તો $SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta PQR$ થાય. તેથી,$(3-c)$.
$4.$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,જો $\frac{AB}{PQ} = \frac{CA}{PR}$ અને $\angle A = \angle P$ હોય,તો $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta QPR$ થાય. તેથી,$(4-b)$.
આમ,સાચી જોડ $(1-d), (2-a), (3-c), (4-b)$ છે.

$(A)$ યોગ્ય જોડ નક્કી કરવા માટે, આપણે ત્રિકોણની સમરૂપતાની શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1.$ આપેલ છે કે $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ અને $\angle B \cong \angle Y$. આ $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરતનું પાલન કરે છે. તેથી, $1-b$.
$2.$ આપેલ છે કે $\angle A \cong \angle X, \angle B \cong \angle Y$, અને $\angle C \cong \angle Z$. આ $AAA$ (ખૂણો-ખૂણો-ખૂણો) સમરૂપતાની શરતનું પાલન કરે છે. તેથી, $2-c$.
$3.$ આપેલ છે કે $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{CA}{ZX}$. આ $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરતનું પાલન કરે છે. ભાગ $II$ માં $SSS$ વિકલ્પ તરીકે આપેલ નથી, તેથી આ $d$ (કોઈપણ શરત લાગુ પડતી નથી) સાથે જોડાય છે.
તેથી, સાચી જોડ $1-b, 2-c, 3-d$ છે.

(B) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$\angle B$ ની સામેની બાજુ $\overline{AC}$ છે,જે કર્ણ છે.
તેથી,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.