Textbook - Triangles Questions in Gujarati

(A) $(i)$ બધા વર્તુળોનો આકાર સમાન હોય છે પરંતુ કદ સમાન હોવું જરૂરી નથી,તેથી તેઓ સમરૂપ છે.
$(ii)$ બધા ચોરસનો આકાર સમાન હોય છે (બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય છે અને બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે),તેથી તેઓ સમરૂપ છે.
$(iii)$ બધા સમબાજુ ત્રિકોણોના ખૂણા $60^{\circ}$ હોય છે અને બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,તેથી તેઓ સમરૂપ છે.
$(iv)$ બે બહુકોણ સમરૂપ હોય છે જો $(a)$ તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય અને $(b)$ તેમની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય.

(N/A) બે આકૃતિઓ સમરૂપ ત્યારે કહેવાય છે જ્યારે તેમનો આકાર સમાન હોય પરંતુ કદ સમાન હોવું જરૂરી નથી.
ઉદાહરણ $1$: $1\, cm$ અને $2\, cm$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા બે સમબાજુ ત્રિકોણ. કારણ કે તમામ સમબાજુ ત્રિકોણના ખૂણા $60^{\circ}$ હોય છે,તેથી તેમનો આકાર સમાન હોય છે.
ઉદાહરણ $2$: $1\, cm$ અને $2\, cm$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા બે ચોરસ. કારણ કે તમામ ચોરસના અંતઃકોણ $90^{\circ}$ હોય છે અને તેમની બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી તેમનો આકાર સમાન હોય છે.

(N/A) બે આકૃતિઓને અસમરૂપ ત્યારે કહેવામાં આવે છે જો તેમનો આકાર સમાન ન હોય,ભલે તેમની બાજુઓની સંખ્યા સમાન હોય.
ઉદાહરણ $1$: સમલંબ ચતુષ્કોણ (Trapezium) અને ચોરસ (Square) એ અસમરૂપ આકૃતિઓ છે કારણ કે તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન નથી અને તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં નથી.
ઉદાહરણ $2$: ત્રિકોણ (Triangle) અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (Parallelogram) એ અસમરૂપ આકૃતિઓ છે કારણ કે તેમની બાજુઓની સંખ્યા અલગ છે અને તેમના ભૌમિતિક ગુણધર્મો પણ અલગ છે.

(N/A) બે બહુકોણ સમરૂપ ત્યારે કહેવાય જો:
$1$. તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય.
$2$. તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (પ્રમાણમાં) હોય.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ અને $ABCD$ માં:
- બાજુઓનો ગુણોત્તર $PQ/AB = QR/BC = RS/CD = SP/DA = 1.5/3 = 1/2$ છે. આમ,બાજુઓ પ્રમાણમાં છે.
- જોકે,$PQRS$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ}$ નથી,જ્યારે $ABCD$ ના બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ છે.
અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન ન હોવાથી,ચતુષ્કોણ $PQRS$ અને $ABCD$ સમરૂપ નથી.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$DE || BC$,જ્યાં $D$ અને $E$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ પરના બિંદુઓ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય અથવા પાયાનું પ્રમાણભૂતતાનું પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર દોરેલી રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$\frac{DB}{AD} + 1 = \frac{EC}{AE} + 1$.
લસાઅ લેતા:
$\frac{DB + AD}{AD} = \frac{EC + AE}{AE}$.
અહીં $DB + AD = AB$ અને $EC + AE = AC$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$.
ફરીથી વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ચાલો આપણે $AC$ ને જોડીએ જે $EF$ ને $G$ માં છેદે છે (આકૃતિ જુઓ).
આપેલ છે: $AB \parallel DC$ અને $EF \parallel AB$.
જે રેખાઓ એક જ રેખાને સમાંતર હોય તે પરસ્પર સમાંતર હોય છે,તેથી $EF \parallel DC$ થાય.
હવે,$\Delta ADC$ માં,$EG \parallel DC$ હોવાથી (કારણ કે $EF \parallel DC$),પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (Basic Proportionality Theorem) મુજબ:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC} \quad ...(1)$
તે જ રીતે,$\Delta CAB$ માં,$GF \parallel AB$ હોવાથી (કારણ કે $EF \parallel AB$),પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય મુજબ:
$\frac{CG}{AG} = \frac{CF}{BF}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે:
$\frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC} \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણે મેળવી શકીએ છીએ કે:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$.

(N/A) આપેલ છે કે $\frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR}$.
થેલ્સના પ્રમેયના પ્રતિપ (સમપ્રમાણતાનું મૂળભૂત પ્રમેય) મુજબ,$ST \parallel QR$ થાય.
તેથી,$\angle PST = \angle PQR$ (અનુકોણ) $...(1)$
વળી,આપેલ છે કે $\angle PST = \angle PRQ$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને $\angle PQR = \angle PRQ$ મળે છે.
જેમ કે બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ ની સામેના ખૂણા સમાન છે,તેથી તે બાજુઓ પણ સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,$PQ = PR$.
આમ,$\triangle PQR$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) $(i)$ ધારો કે $EC = x \text{ cm}.$
આપેલ છે કે $DE || BC.$
પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{1.5}{3} = \frac{1}{x}$
$x = \frac{3 \times 1}{1.5}$
$x = 2$
$\therefore EC = 2 \text{ cm}.$
$(ii)$ ધારો કે $AD = x \text{ cm}.$
આપેલ છે કે $DE || BC.$
પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{x}{7.2} = \frac{1.8}{5.4}$
$x = \frac{1.8 \times 7.2}{5.4}$
$x = 2.4$
$\therefore AD = 2.4 \text{ cm}.$

(N/A) થેલ્સના પ્રમેયના પ્રતિપ (સમપ્રમાણતાનું મૂળભૂત પ્રમેય) મુજબ,$EF || QR$ ત્યારે જ થાય જો $\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$ હોય.
આપેલ કિંમતો:
$PE = 3.9 \ cm$
$EQ = 3 \ cm$
$PF = 3.6 \ cm$
$FR = 2.4 \ cm$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = 1.3$
$\frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = 1.5$
અહીં $\frac{PE}{EQ} \neq \frac{PF}{FR}$ $(1.3 \neq 1.5)$ હોવાથી,$EF$ એ $QR$ ને સમાંતર નથી.
તેથી,$EF$ એ $QR$ ને સમાંતર નથી.

(N/A) આપેલ છે:
$PE = 4 \, cm, QE = 4.5 \, cm, PF = 8 \, cm, RF = 9 \, cm$.
પ્રમેય $6.2$ (થેલ્સના પ્રમેયનું પ્રતિપ) મુજબ,જો કોઈ રેખા ત્રિકોણની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો તે રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{4}{4.5} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
$\frac{PF}{FR} = \frac{8}{9}$.
અહીં $\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$ હોવાથી,થેલ્સના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$EF$ એ $QR$ ને સમાંતર છે $(EF || QR)$.

(A) આપેલ છે: $PQ = 1.28 \, cm, PR = 2.56 \, cm, PE = 0.18 \, cm, PF = 0.36 \, cm$.
પ્રમેયના પ્રતિપ (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ,જો કોઈ રેખા ત્રિકોણની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો તે રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\frac{PE}{PQ} = \frac{0.18}{1.28} = \frac{18}{128} = \frac{9}{64}$
$\frac{PF}{PR} = \frac{0.36}{2.56} = \frac{36}{256} = \frac{9}{64}$
અહીં $\frac{PE}{PQ} = \frac{PF}{PR} = \frac{9}{64}$ હોવાથી,રેખા $EF$ એ બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ નું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,સમપ્રમાણતાના મૂળભૂત પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$EF || QR$ થાય.

(N/A) આપેલી આકૃતિમાં,$LM \parallel CB$ છે.
$\triangle ABC$ માં પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC} \quad ...(i)$
તે જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$LN \parallel CD$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AN}{AD} = \frac{AL}{AC} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જમણી બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$DE \parallel AC$ છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનો પ્રમેય અથવા પાયાનું સપ્રમાણતાનું પ્રમેય - $BPT$) મુજબ:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} \quad ...(i)$
$\Delta BAE$ માં,$DF \parallel AE$ છે.
પાયાનું સપ્રમાણતાનું પ્રમેય $(BPT)$ વાપરતા:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,ડાબી બાજુ સમાન હોવાથી,જમણી બાજુ પણ સમાન થશે:
$\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta POQ$ માં,$DE \parallel OQ$ છે.
તેથી,$\frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO}$ (પ્રમેય $6.1$ - થેલ્સનું પ્રમેય) $...(i)$
$\Delta POR$ માં,$DF \parallel OR$ છે.
તેથી,$\frac{PF}{FR} = \frac{PD}{DO}$ (પ્રમેય $6.1$ - થેલ્સનું પ્રમેય) $...(ii)$
પરિણામ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$
તેથી,$EF \parallel QR$ (પ્રમેય $6.2$ - થેલ્સના પ્રમેયનું પ્રતિપ્રમેય).

(N/A) $\Delta POQ$ માં,$AB \parallel PQ$ છે.
તેથી,$\frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ}$ (પ્રમેય $6.1$ - પાયાના સપ્રમાણતાનું પ્રમેય) $...(i)$
$\Delta POR$ માં,$AC \parallel PR$ છે.
તેથી,$\frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR}$ (પાયાના સપ્રમાણતાનું પ્રમેય) $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR}$
તેથી,$BC \parallel QR$ (પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ).

(N/A) ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં $P$ એ બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને એક રેખા $PQ$ એ $BC$ ને સમાંતર દોરવામાં આવી છે જે $AC$ ને $Q$ માં છેદે છે.
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનું પ્રમેય અથવા પાયાનું પ્રમાણભૂતતાનું પ્રમેય) મુજબ,જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર દોરેલી રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
તેથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
અહીં $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AP = PB$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{AP}{PB} = 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1 = \frac{AQ}{QC}$
$\Rightarrow AQ = QC$
આ સાબિત કરે છે કે $Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,એટલે કે રેખા $PQ$ ત્રીજી બાજુ $AC$ ને દુભાગે છે.

(N/A) ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
આપેલ છે: $AP = PB$ અને $AQ = QC$.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ \parallel BC$.
સાબિતી:
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AP = PB$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{AP}{PB} = 1$.
$Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AQ = QC$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{AQ}{QC} = 1$.
ઉપરના બંને સમીકરણો પરથી,આપણને મળે છે કે $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.
પ્રમેય $6.2$ (સમપ્રમાણતાના મૂળભૂત પ્રમેયનું પ્રતિપ) મુજબ,જો કોઈ રેખા ત્રિકોણની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો તે રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$PQ \parallel BC$.

(N/A) બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી એક રેખા $EF$ દોરો,જેથી $EF \parallel CD$ થાય.
$\triangle ADC$ માં,$EO \parallel CD$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC} \quad ...(1)$
$AB \parallel CD$ અને $EF \parallel CD$ હોવાથી,$EF \parallel AB$ થાય.
$\triangle ABD$ માં,$EO \parallel AB$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD} \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD}$

(N/A) આપેલ પ્રશ્ન માટે નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.
એક રેખા $OE \parallel AB$ દોરો જેથી $E$ એ $AD$ પર આવેલું હોય.
$\triangle ABD$ માં,$OE \parallel AB$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$ $...(1)$
જોકે,આપેલ છે કે:
$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO}$
$\triangle ADC$ માં,$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ:
$EO \parallel DC$
આપણે $OE \parallel AB$ રચ્યું હતું અને આપણે સાબિત કર્યું કે $OE \parallel DC$,તેથી:
$AB \parallel DC$
તેથી,$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર છે.

(N/A) આપેલ છે: $PQ || RS$.
સાબિત કરવાનું છે: $\Delta POQ \sim \Delta SOR$.
સાબિતી:
$\Delta POQ$ અને $\Delta SOR$ માં:
$1$. $\angle P = \angle S$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $PQ || RS$ અને $PS$ છેદિકા છે).
$2$. $\angle Q = \angle R$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $PQ || RS$ અને $QR$ છેદિકા છે).
$3$. $\angle POQ = \angle SOR$ (અભિકોણ).
તેથી,$AAA$ (ખૂ-ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta POQ \sim \Delta SOR$.

$(40^{\circ})$ $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,
$\frac{AB}{RQ} = \frac{3.8}{7.6} = \frac{1}{2}$,$\frac{BC}{QP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{CA}{PR} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
એટલે કે,$\frac{AB}{RQ} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{PR}$
તેથી,$\Delta ABC \sim \Delta RQP$ ($SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
તેથી,$\angle C = \angle P$ (સમરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણાઓ).
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ:
$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B$
$\angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$
કારણ કે $\angle C = \angle P$,તેથી $\angle P = 40^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $OA \cdot OB = OC \cdot OD$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} \quad ...(1)$
વળી,આપણી પાસે છે:
$\angle AOD = \angle COB \quad$ (અભિકોણો) $...(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta AOD \sim \Delta COB$
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે:
તેથી,$\angle A = \angle C$ અને $\angle D = \angle B$.

(N/A) ધારો કે $AB$ એ લેમ્પ-પોસ્ટ છે અને $CD$ એ $4\, \text{સેકન્ડ}$ સુધી લેમ્પ-પોસ્ટથી દૂર ચાલ્યા પછીની છોકરીની સ્થિતિ છે.
આકૃતિ પરથી,તમે જોઈ શકો છો કે $DE$ એ છોકરીનો પડછાયો છે. ધારો કે $DE = x$ મીટર છે.
હવે,$BD = 1.2\, m/s \times 4\, s = 4.8\, m$.
નોંધો કે $\Delta ABE$ અને $\Delta CDE$ માં:
$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$ (દરેક ખૂણો $90^{\circ}$ છે કારણ કે લેમ્પ-પોસ્ટ અને છોકરી બંને જમીનને લંબ છે).
$\angle E = \angle E$ (સામાન્ય ખૂણો).
તેથી,$\Delta ABE \sim \Delta CDE$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
તેથી,$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$.
અહીં $AB = 3.6\, m$ અને $CD = 90\, cm = 0.9\, m$ આપેલ છે.
$\frac{4.8 + x}{x} = \frac{3.6}{0.9}$.
$\frac{4.8 + x}{x} = 4$.
$4.8 + x = 4x$.
$3x = 4.8$.
$x = 1.6\, m$.
આમ,$4\, \text{સેકન્ડ}$ ચાલ્યા પછી છોકરીના પડછાયાની લંબાઈ $1.6\, m$ છે.

(A) આપેલ છે: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં છે અને અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \quad ...(1)$
$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \quad ...(2)$
$CM$ અને $RN$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $N$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AB = 2AM$ અને $PQ = 2PN$.
$(i)$ $(1)$ પરથી,$\frac{2AM}{2PN} = \frac{CA}{RP} \implies \frac{AM}{PN} = \frac{CA}{RP}$.
વળી,$\angle MAC = \angle NPR$ ($(2)$ પરથી).
$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AMC \sim \Delta PNR$.
$(ii)$ $\Delta AMC \sim \Delta PNR$ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં છે:
$\frac{CM}{RN} = \frac{CA}{RP}$.
$(1)$ પરથી,$\frac{CA}{RP} = \frac{AB}{PQ}$.
તેથી,$\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$.
$(iii)$ $\Delta CMB$ અને $\Delta RNQ$ માં:
$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR}$ ($(ii)$ અને $(1)$ પરથી).
$\frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$ (મધ્યગાના ગુણધર્મ મુજબ $BC = 2BM$ અને $QR = 2QN$ હોવાથી).
આમ,$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$.
$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta CMB \sim \Delta RNQ$.

(A) $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ માં:
$\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 80^{\circ}, \angle C = 40^{\circ}$
$\angle P = 60^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ}, \angle R = 40^{\circ}$
અહીં $\angle A = \angle P = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle Q = 80^{\circ}$,અને $\angle C = \angle R = 40^{\circ}$ હોવાથી,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે.
તેથી,$AAA$ (ખૂ-ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ થાય.

(N/A) $\triangle ABC$ અને $\triangle QRP$ માં:
$\frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{RP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{QP} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
તેથી,$\triangle ABC \sim \triangle QRP$.

(NONE) $\triangle LMP$ અને $\triangle DEF$ માં:
$\frac{LM}{DE} = \frac{2.7}{4} = 0.675$
$\frac{LP}{DF} = \frac{3}{6} = 0.5$
$\frac{MP}{EF} = \frac{2}{5} = 0.4$
અહીં અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન નથી (એટલે કે,$\frac{LM}{DE} \neq \frac{LP}{DF} \neq \frac{MP}{EF}$),તેથી આ બંને ત્રિકોણ સમરૂપ નથી.

(N/A) $\triangle MNL$ અને $\triangle QPR$ માં:
આપેલ છે કે $\angle M = \angle Q = 70^{\circ}$.
વળી,આ ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{MN}{QP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{ML}{QR} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{MN}{QP} = \frac{ML}{QR} = \frac{1}{2}$ અને $\angle M = \angle Q$ હોવાથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
તેથી,$\triangle MNL \sim \triangle QPR$.

(NONE) $\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ માં:
આપેલ છે કે $\angle A = 80^{\circ}$ અને $\angle F = 80^{\circ}$.
આ ખૂણાઓનો સમાવેશ કરતી બાજુઓ છે:
$AB = 2.5$,$AC$ આપેલ નથી.
$DF = 5$,$EF = 6$.
બાજુઓના ગુણોત્તર તપાસતા:
$\frac{AB}{DF} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{BC}{EF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$
બે બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે પરંતુ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો સમાન નથી (ખૂણો $80^{\circ}$ એ $\triangle ABC$ માં $A$ પાસે છે અને $\triangle DEF$ માં $F$ પાસે છે),તેથી આ ત્રિકોણો $SAS$ શરત મુજબ સમરૂપ નથી.
તેથી,આપેલા ત્રિકોણો સમરૂપ નથી.

(N/A) $\Delta DEF$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\angle D = 70^{\circ}$ અને $\angle E = 80^{\circ}$.
તેથી,$\angle F = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
$\Delta PQR$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\angle Q = 80^{\circ}$ અને $\angle R = 30^{\circ}$.
તેથી,$\angle P = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.
બંને ત્રિકોણની સરખામણી કરતા:
$\angle D = \angle P = 70^{\circ}$
$\angle E = \angle Q = 80^{\circ}$
$\angle F = \angle R = 30^{\circ}$
બધા અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$AAA$ (ખૂ-ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
સાંકેતિક સ્વરૂપ: $\Delta DEF \sim \Delta PQR$.

(N/A) $\angle DB$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle DOC$ અને $\angle BOC$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
$\angle DOC + \angle BOC = 180^{\circ}$
$\angle DOC + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DOC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
$\triangle ODC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle DCO + \angle CDO + \angle DOC = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 70^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO + 125^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle DCO = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$
આપેલ છે કે $\Delta ODC \sim \Delta OBA$,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે:
$\angle OAB = \angle OCD = \angle DCO$
તેથી,$\angle OAB = 55^{\circ}$.
આમ,$\angle DOC = 55^{\circ}$,$\angle DCO = 55^{\circ}$ અને $\angle OAB = 55^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ છે અને વિકર્ણો $AC$ તથા $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
સાબિતી:
$\triangle OAB$ અને $\triangle OCD$ લો.
$1$. $\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
$2$. $\angle OAB = \angle OCD$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$3$. $\angle OBA = \angle ODC$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ છેદિકા છે).
તેથી,$AAA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle OAB \sim \triangle OCD$.
બે ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta PQR$ માં,આપેલ છે કે $\angle PQR = \angle PRQ$.
સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે $PQ = PR$ $....(i)$
આપેલ છે,
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$
$(i)$ નો ઉપયોગ કરીને,$PR$ ની જગ્યાએ $PQ$ મૂકતા:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $....(ii)$
હવે,$\Delta PQS$ અને $\Delta TQR$ માં:
$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}$ $[(ii)$ પરથી$]$
$\angle Q = \angle Q$ $[\text{સામાન્ય ખૂણો}]$
તેથી,$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PQS \sim \Delta TQR$.

(N/A) $\Delta RPQ$ અને $\Delta RST$ માં:
$\angle RTS = \angle RPQ$ (આપેલ છે)
$\angle R = \angle R$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$\Delta RPQ \sim \Delta RTS$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABE \cong \Delta ACD.$
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
તેથી,$AB = AC$ $...(1)$
અને,$AE = AD$ $...(2)$
હવે,$\Delta ADE$ અને $\Delta ABC$ ને ધ્યાનમાં લો:
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
વળી,$\angle DAE = \angle BAC$ (સામાન્ય ખૂણો).
તેથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ADE \sim \Delta ABC.$

(N/A) $\Delta AEP$ અને $\Delta CDP$ માં:
$\angle AEP = \angle CDP = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AD \perp BC$ અને $CE \perp AB$)
$\angle APE = \angle CPD$ (અભિકોણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,
$\Delta AEP \sim \Delta CDP$.

(N/A) $\Delta ABD$ અને $\Delta CBE$ માં:
$\angle ADB = \angle CEB = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AD \perp BC$ અને $CE \perp AB$)
$\angle ABD = \angle CBE$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,
$\Delta ABD \sim \Delta CBE$

(N/A) $\triangle AEP$ અને $\triangle ADB$ માં:
$1. \angle AEP = \angle ADB = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $AD$ અને $CE$ વેધ છે).
$2. \angle PAE = \angle DAB$ (સામાન્ય ખૂણો).
તેથી,$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,આપણને મળે છે:
$\triangle AEP \sim \triangle ADB$.

(N/A) $\Delta PDC$ અને $\Delta BEC$ માં:
$\angle PDC = \angle BEC = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AD \perp BC$ અને $CE \perp AB$)
$\angle PCD = \angle BCE$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કરતા,
$\Delta PDC \sim \Delta BEC$.

(N/A) $\triangle ABE$ અને $\triangle CFB$ માં:
$1$. $\angle A = \angle C$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
$2$. $\angle AEB = \angle CBF$ (કારણ કે $AE \parallel BC$ અને $BE$ એ છેદિકા છે,તેથી આ યુગ્મકોણ છે).
તેથી,$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABE \sim \triangle CFB$.

(N/A) $\Delta ABC$ અને $\Delta AMP$ માં:
$\angle ABC = \angle AMP = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$\angle A = \angle A$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ABC \sim \Delta AMP$ થાય.
બે ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,$\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}$.

(N/A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta FEG$.
તેથી,$\angle A = \angle F, \angle B = \angle E,$ અને $\angle ACB = \angle FGE$.
કારણ કે $\angle ACB = \angle FGE,$ તેથી તેમના દ્વિભાજકો પણ સમાન થાય.
તેથી,$\angle ACD = \angle FGH$ (ખૂણાનો દ્વિભાજક).
અને,$\angle DCB = \angle HGE$ (ખૂણાનો દ્વિભાજક).
$(i)$ $\Delta DCA$ અને $\Delta HGF$ માં:
$\angle A = \angle F$ (આપેલ છે)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
તેથી,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$.
$(ii)$ $\Delta DCB$ અને $\Delta HGE$ માં:
$\angle DCB = \angle HGE$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$\angle B = \angle E$ (આપેલ છે)
તેથી,$\Delta DCB \sim \Delta HGE$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
$(iii)$ $\Delta DCA$ અને $\Delta HGF$ માં:
$\angle A = \angle F$ (આપેલ છે)
$\angle ACD = \angle FGH$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
તેથી,$\Delta DCA \sim \Delta HGF$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).

(N/A) આપેલ છે: $ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ છે.
$AB = AC$ હોવાથી,તેમની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle ABC = \angle ACB$.
$E$ એ $CB$ ને લંબાવતા મળતું બિંદુ હોવાથી,$\angle ABC$ અને $\angle ACB$ સમાન છે.
$\Delta ABD$ અને $\Delta ECF$ માં:
$1$. $\angle ADB = \angle EFC = 90^{\circ}$ (આપેલ છે).
$2$. $\angle ABD = \angle ECF$ (કારણ કે $\angle ABC = \angle ACB$ અને $\angle ECF$ એ $\angle ACB$ સાથે સંબંધિત છે).
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABD \sim \Delta ECF$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}$.
$AD$ અને $PM$ મધ્યગાઓ હોવાથી,$D$ અને $M$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $QR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$BD = \frac{BC}{2}$ અને $QM = \frac{QR}{2}$.
આ કિંમતો આપેલ ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM} \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$.
$\Delta ABD$ અને $\Delta PQM$ માં:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$ (ઉપર સાબિત કર્યું).
તેથી,$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ABD \sim \Delta PQM$.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle B = \angle Q$ (સમરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ ખૂણાઓ).
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં:
$1$. $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle B = \angle Q$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
તેથી,$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.

(N/A) $\triangle ADC$ અને $\triangle BAC$ માં:
$\angle ADC = \angle BAC$ (આપેલ છે)
$\angle ACD = \angle BCA$ (સામાન્ય ખૂણો)
તેથી,$\triangle ADC \sim \triangle BAC$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આપણે જાણીએ છીએ કે સમરૂપ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CA}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$CA^2 = CB \cdot CD$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$
ધારો કે $AD$ અને $PM$ ને અનુક્રમે બિંદુ $E$ અને $L$ સુધી લંબાવીએ,જેથી $AD = DE$ અને $PM = ML$ થાય. ત્યારબાદ,$B$ ને $E$ સાથે,$C$ ને $E$ સાથે,$Q$ ને $L$ સાથે અને $R$ ને $L$ સાથે જોડો.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યગા સામેની બાજુને દુભાગે છે. તેથી,$BD = DC$ અને $QM = MR$.
વળી,$AD = DE$ (રચના મુજબ) અને $PM = ML$ (રચના મુજબ).
ચતુષ્કોણ $ABEC$ માં,વિકર્ણો $AE$ અને $BC$ એકબીજાને બિંદુ $D$ પર દુભાગે છે. તેથી,ચતુષ્કોણ $ABEC$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\therefore AC = BE$ અને $AB = EC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે ચતુષ્કોણ $PQLR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $PR = QL, PQ = LR$.
આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$.
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{2AD}{2PM}$
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{AE}{PL}$
$\therefore \Delta ABE \sim \Delta PQL$ ($SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આપણે જાણીએ છીએ કે સમરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
$\therefore \angle BAE = \angle QPL \dots(1)$
તે જ રીતે,સાબિત કરી શકાય કે $\Delta AEC \sim \Delta PLR$ અને $\angle CAE = \angle RPL \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle BAE + \angle CAE = \angle QPL + \angle RPL$
$\Rightarrow \angle CAB = \angle RPQ \dots(3)$
$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}$ (આપેલ છે)
$\angle CAB = \angle RPQ$ (સમીકરણ $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$\therefore \Delta ABC \sim \Delta PQR$ ($SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).

(C) ધારો કે $AB$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $CD$ એ થાંભલાની ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $BE$ એ ટાવરનો પડછાયો છે અને $DF$ એ થાંભલાનો પડછાયો છે.
સૂર્યના કિરણો એક જ સમયે સમાન ખૂણે પડતા હોવાથી,વસ્તુઓ અને તેમના પડછાયાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણો સમરૂપ હોય છે.
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ABE \sim \triangle CDF$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DF}$
આપેલ છે કે $CD = 6\, m$,$DF = 4\, m$,અને $BE = 28\, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{AB}{6} = \frac{28}{4}$
$\frac{AB}{6} = 7$
$AB = 7 \times 6 = 42\, m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $42\, m$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
આપણે જાણીએ છીએ કે સમરૂપ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR} \dots(1)$
વળી,$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \dots(2)$
$AD$ અને $PM$ મધ્યગાઓ હોવાથી,તેઓ સામેની બાજુઓને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$BD = \frac{BC}{2}$ અને $QM = \frac{QR}{2} \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC/2}{QR/2} = \frac{BD}{QM} \dots(4)$
$\Delta ABD$ અને $\Delta PQM$ માં,
$\angle B = \angle Q$ [સમીકરણ $(2)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}$ [સમીકરણ $(4)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$\therefore \Delta ABD \sim \Delta PQM$ ($SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ)
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$

(D) અહીં $XY \parallel AC$ આપેલ છે.
$\angle BXY = \angle A$ અને $\angle BYX = \angle C$ (અનુકોણ).
તેથી,$\Delta ABC \sim \Delta XBY$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત).
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \left(\frac{AB}{XB}\right)^2$ (સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરનું પ્રમેય).
$XY$ ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(XBY)$.
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \frac{2}{1}$.
તેથી,$\left(\frac{AB}{XB}\right)^2 = \frac{2}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{AB}{XB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{XB}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\frac{AX}{AB} = \frac{AB - XB}{AB} = 1 - \frac{XB}{AB} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\frac{AX}{AB} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta DEF$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ,બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\therefore \frac{\text{ar}(\Delta ABC)}{\text{ar}(\Delta DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$
આપેલ છે કે $\text{ar}(\Delta ABC) = 64 \text{ cm}^2$,$\text{ar}(\Delta DEF) = 121 \text{ cm}^2$ અને $EF = 15.4 \text{ cm}$.
$\frac{64}{121} = \left(\frac{BC}{15.4}\right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{BC}{15.4}$
$\frac{8}{11} = \frac{BC}{15.4}$
$BC = \frac{8 \times 15.4}{11}$
$BC = 8 \times 1.4 = 11.2 \text{ cm}$.