Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $m \angle A = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ છે,ત્રિકોણ બે ત્રિકોણો $\Delta ABD$ અને $\Delta CAD$ માં વિભાજિત થાય છે જે મૂળ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ ને સમરૂપ છે અને એકબીજાને પણ સમરૂપ છે.
સમરૂપતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta ABD \sim \Delta CAD$.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય: $\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$AD^{2} = BD \cdot CD$ અથવા $AD^{2} = BD \cdot DC$ મળે છે.

(A) એપોલોનિયસનું પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માટે,જો $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોય,તો બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ મધ્યગાના વર્ગ અને મધ્યગા દ્વારા દુભાગતી બાજુના અડધા ભાગના વર્ગના સરવાળાના બમણા જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $BD = DC = \frac{1}{2}BC$ છે.
આપેલ સમીકરણ $AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ સાથે સરખાવતા,તે સ્પષ્ટ થાય છે કે $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવી જોઈએ.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90$ અને $D$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના મધ્યગાના પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$BD = \frac{1}{2} AC$.

(B) $\Delta ABC$ માં,આપણને $m \angle A = 90^{\circ}$ અને $m \angle B = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
અહીં $\angle B$ $(30^{\circ})$ ની સામેની બાજુ $AC$ છે અને કર્ણ $BC$ છે.
તેથી,$AC = \frac{1}{2} BC$ થાય.

(A) $\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle B = 90^{\circ}$ અને $m \angle A = 60^{\circ}$,તેથી $m \angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$ થાય.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ના ત્રિકોણમાં,$30^{\circ}$ ના ખૂણાની સામેની બાજુનું માપ કર્ણના માપથી અડધું હોય છે.
અહીં,$AB$ એ $\angle C$ $(30^{\circ})$ ની સામેની બાજુ છે અને $AC$ એ કર્ણ છે.
તેથી,$AB = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.

(C) $\Delta ABC$ અને $\Delta ADB$ માં:
$1$. $m \angle ABC = m \angle ADB = 90^{\circ}$ (આપેલ છે).
$2$. $m \angle BAC = m \angle DAB$ (સામાન્ય ખૂણો).
$AA$ (ખૂ-ખૂ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે.
તેથી,સંગતતા $ABC \leftrightarrow ADB$ એ સમરૂપતા છે.

(C) $\triangle ABC$ માં,$m \angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
$BC^{2} = 8^{2} + 15^{2}$
$BC^{2} = 64 + 225$
$BC^{2} = 289$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$BC = \sqrt{289} = 17$.

(A) $\Delta PQR$ માં,$\angle R$ કાટખૂણો હોય તે માટે પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PR^2 + QR^2 = PQ^2$ થવું જોઈએ.
અહીં $PQ = 25$ અને $QR = 24$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $PR^2 + 24^2 = 25^2$.
$PR^2 + 576 = 625$.
$PR^2 = 625 - 576 = 49$.
$PR = \sqrt{49} = 7$.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં,જ્યાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે અને $\overline{QM}$ એ કર્ણ $\overline{PR}$ પરનો વેધ છે. ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ મુજબ:
$QM^{2} = PM \cdot RM$
અહીં $PM = 8$ અને $RM = 12$ આપેલ છે:
$QM^{2} = 8 \times 12$
$QM^{2} = 96$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$QM = \sqrt{96}$
$QM = \sqrt{16 \times 6}$
$QM = 4 \sqrt{6}$

(D) $\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD}$ એ કર્ણ $\overline{BC}$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$AB^{2} = BD \cdot BC$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\sqrt{5})^{2} = 2 \cdot BC$.
$5 = 2 \cdot BC$.
$BC = \frac{5}{2} = 2.5$.
તેથી,કર્ણ $\overline{BC}$ ની લંબાઈ $2.5$ છે.

(D) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^\circ$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ખાસ કરીને,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $AM = 8$ અને $BM = 8$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$8^2 = 8 \cdot CM$
$64 = 8 \cdot CM$
$CM = \frac{64}{8} = 8$.
હવે,કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ એ $AM$ અને $CM$ નો સરવાળો છે:
$AC = AM + CM = 8 + 8 = 16$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$BD^2 = AD \cdot CD$.
અહીં $BD = 2 \sqrt{30}$ અને $CD = 6$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2 \sqrt{30})^2 = AD \cdot 6$.
$4 \cdot 30 = 6 \cdot AD$.
$120 = 6 \cdot AD$.
$AD = 20$.
તેથી $AC = AD + CD = 20 + 6 = 26$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AM \cdot AC$.
અહીં $AB = \sqrt{10}$ અને $AM = 2.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\sqrt{10})^2 = 2.5 \cdot AC$.
$10 = 2.5 \cdot AC$.
$AC = \frac{10}{2.5} = 4$.
આમ,$AC = AM + MC$ હોવાથી,$4 = 2.5 + MC$.
$MC = 4 - 2.5 = 1.5$.

(C) $\Delta PQR$ માં,$m\angle Q = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$.
તેથી,$PQ^{2} = PR^{2} - QR^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$PQ^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2} - (a^{2} - b^{2})^{2}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = a^{2}$ અને $y = b^{2}$ છે:
$PQ^{2} = 4(a^{2})(b^{2}) = 4a^{2}b^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$PQ = \sqrt{4a^{2}b^{2}} = 2ab$.

(B) ધારો કે $AB = AC = x$.
$\Delta ABC$ માં,$m \angle A = 90^\circ$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + AC^2 = BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $x^2 + x^2 = (\sqrt{2} a)^2$.
$2x^2 = 2a^2$.
$x^2 = a^2$,તેથી $x = a$ (કારણ કે $a \in R^+$).
આમ,$AB = AC = a$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times AC$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} a^2$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરના વેધના ગુણધર્મ મુજબ:
$AB^{2} = AM \cdot AC$ અને $BC^{2} = MC \cdot AC$
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$AB^{2} - BC^{2} = AM \cdot AC - MC \cdot AC$
$AB^{2} - BC^{2} = AC(AM - MC)$
અહીં $AB^{2} - BC^{2} = 175$ અને $AM - MC = 7$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$175 = AC(7)$
$AC = \frac{175}{7}$
$AC = 25$

(D) $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q = 90^{\circ}$ અને $\overline{QS} \perp \overline{PR}$ હોવાથી,કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,$PQ^2 = PS \cdot PR$ અને $QR^2 = SR \cdot PR$ થાય.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $PQ^2 - QR^2 = (PS - SR) \cdot PR$.
આપેલ છે કે $PQ^2 - QR^2 = 260$ અને $PS - SR = 10$.
આ કિંમતો મૂકતા: $260 = 10 \cdot PR$.
તેથી,$PR = \frac{260}{10} = 26$.

(A) આપેલ છે કે $\square PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
લંબચોરસ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $= PQ \cdot QR = 12$.
પાસેની બાજુઓનો સરવાળો $PQ + QR = 7$.
$\triangle PQR$ માં,$\angle Q = 90^\circ$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(PQ + QR)^2 = PQ^2 + QR^2 + 2(PQ \cdot QR)$.
તેથી,$PQ^2 + QR^2 = (PQ + QR)^2 - 2(PQ \cdot QR)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $PR^2 = (7)^2 - 2(12)$.
$PR^2 = 49 - 24 = 25$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$PR = 5$.

(A) ધારો કે $AB = x$ અને $BC = y$.
આપેલ છે કે $x + y = 23$ અને $xy = 120$.
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ બનાવી શકીએ,જે $t^2 - 23t + 120 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $t^2 - 15t - 8t + 120 = 0$.
$t(t - 15) - 8(t - 15) = 0$.
$(t - 15)(t - 8) = 0$.
તેથી,ઉકેલ $t = 15$ અને $t = 8$ મળે છે.
અહીં $AB > BC$ હોવાથી,$AB = 15$ અને $BC = 8$ લેતા.
આમ,$AB = 15$.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ માં,$m \angle A = m \angle B + m \angle C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$.
$m \angle B + m \angle C$ ની જગ્યાએ $m \angle A$ મૂકતા,આપણને $m \angle A + m \angle A = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 m \angle A = 180^{\circ}$,તેથી $m \angle A = 90^{\circ}$.
$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં ખૂણો $A$ કાટખૂણો છે,તેથી $BC$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC^2 = AB^2 + AC^2$.
$AB = 7$ અને $BC = 25$ આપેલ હોવાથી,$25^2 = 7^2 + AC^2$.
$625 = 49 + AC^2$,તેથી $AC^2 = 625 - 49 = 576$.
આમ,$AC = \sqrt{576} = 24$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ = $AB + BC + AC = 7 + 25 + 24 = 56$.

(D) ધારો કે $\overline{AC}$ એ સીડી છે અને $\overline{AB}$ એ દીવાલની ઊંચાઈ છે.
$\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
અહીં $AC = 6.5 \, m$ અને $AB = 6 \, m$ આપેલ છે.
$6.5^2 = 6^2 + BC^2$
$42.25 = 36 + BC^2$
$BC^2 = 42.25 - 36 = 6.25$
$BC = \sqrt{6.25} = 2.5 \, m$.
આમ,સીડીનો નીચેનો છેડો દીવાલથી $2.5 \, m$ દૂર રહેશે.

(C) $\Delta ABC$ માં,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\overline{AD}$ એ મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$7^2 + 5^2 = 2(5^2 + BD^2)$
$49 + 25 = 2(25 + BD^2)$
$74 = 2(25 + BD^2)$
$37 = 25 + BD^2$
$BD^2 = 12$
$BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
અહીં $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BC = 2 \times BD = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

(A) $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB = 17$,$BC = 15$ અને $AC = 8$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે શું આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$BC^2 + AC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
$AB^2 = 17^2 = 289$.
અહીં $BC^2 + AC^2 = AB^2$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ $AB = 17$ કર્ણ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુ તેનો કર્ણ હોય છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,કર્ણ પર દોરેલી મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધી હોય છે.
મધ્યગાની લંબાઈ = $\frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 17 = 8.5$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AD}$ એ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$.
આપેલ છે કે $AB^2 + AC^2 = 148$ અને $AD = 7$.
કિંમતો મૂકતા: $148 = 2(7^2 + BD^2)$.
$148 = 2(49 + BD^2)$.
$74 = 49 + BD^2$.
$BD^2 = 74 - 49 = 25$.
$BD = \sqrt{25} = 5$.
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BC = 2 \times BD$.
$BC = 2 \times 5 = 10$.

(B) $\Delta ADC$ માં,$\angle D = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$.
$25^{2} = AD^{2} + 7^{2}$.
$625 = AD^{2} + 49$.
$AD^{2} = 625 - 49 = 576$.
$AD = \sqrt{576} = 24$.
લંબચોરસ $ABCD$ ની પરિમિતિ $= 2(AD + CD) = 2(24 + 7) = 2(31) = 62$.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $XYZW$ માં,ધારો કે વિકર્ણો $XZ$ અને $YW$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
તેથી,$OX = \frac{1}{2} XZ = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ અને $OY = \frac{1}{2} YW = \frac{1}{2} \times 48 = 24$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta XOY$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$XY^2 = OX^2 + OY^2$
$XY^2 = 7^2 + 24^2$
$XY^2 = 49 + 576 = 625$
$XY = \sqrt{625} = 25$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $d_1 = 10$ અને $d_2 = 24$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો બિંદુ $O$ પર છેદે છે. તેથી,વિકર્ણોના અડધા ભાગ $d_1/2 = 5$ અને $d_2/2 = 12$ થશે.
આ ભાગો સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,જેમાં બાજુ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $\text{બાજુ}^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$.
$\text{બાજુ}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$\text{બાજુ} = \sqrt{169} = 13$.
તેથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક બાજુની લંબાઈ $13$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ માં,$m \angle Q : m \angle R : m \angle P = 1 : 2 : 1$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $x, 2x, x$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + 2x + x = 180^{\circ}$,તેથી $4x = 180^{\circ}$,એટલે કે $x = 45^{\circ}$.
આમ,$m \angle Q = 45^{\circ}$,$m \angle R = 90^{\circ}$ અને $m \angle P = 45^{\circ}$ મળે.
અહીં $m \angle P = m \angle Q$ હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન થાય,એટલે કે $QR = PR$.
કાટકોણ $\Delta PQR$ માં $(m \angle R = 90^{\circ})$,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 = PR^2 + QR^2$
$QR = PR$ હોવાથી,$PQ^2 = PR^2 + PR^2 = 2PR^2$.
આપેલ છે કે $PQ = 2 \sqrt{6}$,તેથી $PQ^2 = (2 \sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
તેથી,$24 = 2PR^2$,જેનો અર્થ છે કે $PR^2 = 12$.
વર્ગમૂળ લેતા,$PR = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.

(D) $\Delta ABC$ માં,$\overline{AB} \cong \overline{AC}$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,પાયા પરની મધ્યગા એ પાયા પરનો વેધ પણ હોય છે.
તેથી,$\overline{AD} \perp \overline{BC}$,એટલે કે $\overline{AD}$ એ પાયા $\overline{BC}$ ને અનુરૂપ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BC \times AD$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 18 \times 12$
ક્ષેત્રફળ $= 9 \times 12 = 108$.

(A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^\circ$ થાય.
આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle C = m \angle B$,તેથી $m \angle B + m \angle B = 180^\circ$,એટલે કે $2 m \angle B = 180^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $m \angle B = 90^\circ$.
$\Delta ABC$ એ $B$ પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$.
ધારો કે $AC = 17x$ અને $AB = 15x$. આપેલ છે કે $BC = 8$,તેથી $(17x)^2 = (15x)^2 + 8^2$.
$289x^2 = 225x^2 + 64$.
$64x^2 = 64$,તેથી $x^2 = 1$,એટલે કે $x = 1$.
આમ,$AB = 15(1) = 15$ અને $AC = 17(1) = 17$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 4 \times 15 = 60$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિનું સૂત્ર: $P = 3 \times \text{બાજુ}$.
અહીં $P = 12$ આપેલ છે,તેથી $12 = 3 \times \text{બાજુ}$.
તેથી,બાજુની લંબાઈ $\text{બાજુ} = \frac{12}{3} = 4$ મળે.
સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{બાજુ}^2$.
બાજુની કિંમત મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQR$ માં,જ્યાં $\angle P = 90^{\circ}$ અને $\overline{PM}$ એ કર્ણ $\overline{QR}$ પરનો વેધ છે,ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ એ કર્ણના બે ભાગોનો ભૂમિતિ મધ્યક છે.
તેથી,સંબંધ $PM^{2} = QM \cdot RM$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$PM^{2} = (2x^{2}) \cdot (8x^{2})$
$PM^{2} = 16x^{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$PM = \sqrt{16x^{4}}$
$PM = 4x^{2}$

(A) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $AC$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટેના ભૂમિતિના મધ્યક પ્રમેય મુજબ,કર્ણ પરનો વેધ ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે મૂળ ત્રિકોણ અને એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
આથી,$BM^2 = AM \cdot CM$.
અહીં $AC = 13$ અને $CM = 9$ આપેલ છે,તેથી $AM = AC - CM = 13 - 9 = 4$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $BM^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
તેથી,$BM = \sqrt{36} = 6$.

(C) $\Delta PQR$ માં,આપણને આપેલ છે કે $m \angle P = m \angle Q + m \angle R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$.
$m \angle Q + m \angle R$ ની જગ્યાએ $m \angle P$ મૂકતા,આપણને $m \angle P + m \angle P = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 \cdot m \angle P = 180^{\circ}$,તેથી $m \angle P = 90^{\circ}$.
$\Delta PQR$ એ $P$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$QR$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$QR^2 = PQ^2 + PR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$25^2 = 20^2 + PR^2$.
$625 = 400 + PR^2$,તેથી $PR^2 = 625 - 400 = 225$.
આમ,$PR = \sqrt{225} = 15$.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ = $PQ + QR + PR = 20 + 25 + 15 = 60$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈનું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
અહીં વિકર્ણ $d = 8 \sqrt{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને બાજુની લંબાઈ $a = 8$ મળે છે.
ચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 4 \times a$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = 4 \times 8 = 32$ મળે છે.

(D) ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી તેના વિકર્ણ $d$ ની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને આ સૂત્ર દ્વારા કરી શકાય છે: $\text{Area} = \frac{d^2}{2}$.
અહીં વિકર્ણની લંબાઈ $d = 6$ આપેલી છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

(D) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
અહીં,$b$ એ કર્ણ છે ($\angle B$ ની સામેની બાજુ).
તેથી,$b^{2} = a^{2} + c^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $b^{2} = 9^{2} + 12^{2}$.
$b^{2} = 81 + 144 = 225$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$b = \sqrt{225} = 15$.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $m \angle A = 90^{\circ}$ છે,બાજુ $a$ એ કર્ણ છે,અને $b$ તથા $c$ એ બાકીની બે બાજુઓ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $a^2 = b^2 + c^2$.
અહીં $a = 20$ અને $b = 12$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$20^2 = 12^2 + c^2$
$400 = 144 + c^2$
$c^2 = 400 - 144$
$c^2 = 256$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $c = \sqrt{256} = 16$ મળે છે.

(A) લંબચોરસ $ABCD$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $CD = AB$ અને $DA = BC$.
વળી,$\angle B = 90^{\circ}$.
આપેલ સમીકરણ: $AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2} = 338$.
સમાન બાજુઓ મૂકતા: $AB^{2} + BC^{2} + AB^{2} + BC^{2} = 338$.
$2(AB^{2} + BC^{2}) = 338$.
$AB^{2} + BC^{2} = 169$.
$\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
તેથી,$AC^{2} = 169$.
$AC = \sqrt{169} = 13$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
તેથી,$AC = \sqrt{100} = 10$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે શોધી શકાય છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$ અથવા $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
બંને સૂત્રોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times BM$.
$AB \times BC = AC \times BM$.
$8 \times 6 = 10 \times BM$.
$48 = 10 \times BM$.
$BM = \frac{48}{10} = 4.8$.

(C) $\Delta AMB$ માં,$m \angle M = 90^{\circ}$ અને $m \angle B = 45^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle MAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ થાય.
અહીં $m \angle MAB = m \angle B = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\Delta AMB$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$AM = BM = 4$ મળે.
આપેલ છે કે $M \in \overline{BC}$,તેથી $BC = BM + MC$ થાય.
$7 = 4 + MC$,જેનો અર્થ છે કે $MC = 7 - 4 = 3$.
હવે,કાટકોણ $\Delta AMC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^{2} = AM^{2} + MC^{2}$
$AC^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$
$AC = \sqrt{25} = 5$.

(D) જો ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે (પાયથાગોરસનો પ્રમેય).
વિકલ્પ $A$ માટે: $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $8^{2} + 24^{2} = 64 + 576 = 640$,જ્યારે $26^{2} = 676$. અહીં $640 \neq 676$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ નથી.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,ધારો કે $\overline{AC} \cap \overline{BD} = \{O\}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી $O$ એ $\overline{AC}$ અને $\overline{BD}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(12) = 6$.
$\Delta ABD$ માં,$\overline{AO}$ એ બાજુ $\overline{BD}$ પરની મધ્યગા છે.
એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,$AB^{2} + AD^{2} = 2(AO^{2} + BO^{2})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $200 = 2(AO^{2} + 6^{2})$.
$100 = AO^{2} + 36$.
$AO^{2} = 100 - 36 = 64$.
$AO = \sqrt{64} = 8$.
$O$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AC = 2 AO = 2 \times 8 = 16$.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,તેના વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો તેની ચાર બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ કહેવામાં આવે છે: $AC^{2} + BD^{2} = 2(AB^{2} + BC^{2})$.
અહીં $AB^{2} + BC^{2} = 260$ અને $AC = 18$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $18^{2} + BD^{2} = 2(260)$.
$324 + BD^{2} = 520$.
$BD^{2} = 520 - 324$.
$BD^{2} = 196$.
$BD = \sqrt{196} = 14$.

(C) ચોરસમાં,વિકર્ણની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{વિકર્ણ} = \sqrt{2} \times \text{બાજુ}$.
અહીં બાજુની લંબાઈ $AB = 4 \sqrt{2}$ આપેલી છે.
સૂત્રમાં બાજુની કિંમત મૂકતા:
$\text{વિકર્ણ} = \sqrt{2} \times (4 \sqrt{2})$
$= 4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})$
$= 4 \times 2 = 8$.
તેથી,વિકર્ણની લંબાઈ $8$ છે.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 3 \times \text{બાજુ}$ છે.
અહીં $P = 18$ આપેલ છે,તેથી $18 = 3 \times \text{બાજુ}$,જેનો અર્થ છે કે $\text{બાજુ} = 6$.
સમબાજુ ત્રિકોણના વેધ $(h)$ નું સૂત્ર $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{બાજુ}$ છે.
બાજુની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3 \sqrt{3}$.

(C) એપોલોનિયસનું પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,જો $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોય,તો બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો એ મધ્યગાના વર્ગ અને ત્રીજી બાજુના અડધા ભાગના વર્ગના સરવાળા કરતાં બમણો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$.
$\overline{AD}$ એ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BD = DC$.
$BD$ ની જગ્યાએ $DC$ મૂકતા,આપણને $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + DC^2)$ મળે છે.

(D) જો કોઈ ત્રિપુટી $(a, b, c)$ શરત $a^2 + b^2 = c^2$ નું પાલન કરે,જ્યાં $c$ સૌથી મોટી સંખ્યા છે,તો તેને પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી કહેવાય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. આ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. આ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$. આ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $13^2 + 35^2 = 169 + 1225 = 1394$,જ્યારે $37^2 = 1369$. અહીં $1394 \neq 1369$ હોવાથી,આ પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી નથી.

(B) $1.$ કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે. તેથી,$BM = \frac{1}{2} AC$ $(1-d)$.
$2.$ કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં કર્ણ પરના વેધ $\overline{AD}$ માટે,સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મો મુજબ,$AC^2 = CD \cdot BC$ સંબંધ મળે છે $(2-c)$.
$3.$ $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ ત્રિકોણમાં,$30^\circ$ ની સામેની બાજુ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે. અહીં,$BC$ એ $30^\circ$ ની સામેની બાજુ છે,તેથી $BC = \frac{1}{2} AB$ $(3-b)$.
$4.$ એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં મધ્યગા $\overline{BD}$ માટે,$AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + CD^2)$ થાય છે $(4-a)$.
તેથી,સાચી જોડ $(1-d), (2-c), (3-b), (4-a)$ છે.